1、 第二章第二章 二、二、 無窮大量無窮大量 三三 、無窮小量與無窮大量的關(guān)系、無窮小量與無窮大量的關(guān)系 一、一、 無窮小量無窮小量 2.4 2.4 無窮大量與無窮小量無窮大量與無窮小量當(dāng)當(dāng)一、一、 無窮小量無窮小量,01lim1nnqq時，時，當(dāng)當(dāng)定義定義1 . 假設(shè)假設(shè)0 xx 時時 , 函數(shù)函數(shù),0)(xf則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf0 xx 例如例如 :,0)1(lim1xx函數(shù)函數(shù) 1x當(dāng)當(dāng)1x時為無窮小量時為無窮小量;,01limxx函數(shù)函數(shù) x1x時為無窮小量時為無窮小量;,011limxx函數(shù)函數(shù) x11當(dāng)當(dāng)x)x(或為為時的無窮小量時的無窮小量 .時為無窮小量時為無窮小量.)x(或

2、.11為無窮小量為無窮小量時，時，所以，當(dāng)所以，當(dāng)nqq 說明說明: 除除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小量以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小量 ! 0 xx 時時 , 函數(shù)函數(shù),0)(xf(或或 )x則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf為為0 xx 定義定義1. 假設(shè)假設(shè)(或或 )x時的無窮小量時的無窮小量 .其中其中 為為0 xx 時的無窮小量時的無窮小量 . 定理定理 2.5 . ( 無窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系 )Axfxx)(lim0 Axf)(,（若函數(shù)在某點的極限存在，則該函數(shù)等于它的（若函數(shù)在某點的極限存在，則該函數(shù)等于它的極限加上一個無窮小量極限加上一個無窮小量 .）

3、證證: :Axfxx)(lim0,0,0當(dāng)當(dāng)00 xx時時, ,有有 Axf)(Axf)(0lim0 xx對自變量的其它變化過程類似可證對自變量的其它變化過程類似可證 .定理定理 2.6 無窮小量與局部有界變量的乘積還是無窮小量與局部有界變量的乘積還是證明證明 （就函數(shù)情形證明）（就函數(shù)情形證明）, 0lim0 xx設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)臨臨域域的的某某空空心心在在且且函函數(shù)數(shù)),()(000 xUxxf無窮小量無窮小量有界，即存在正數(shù)有界，即存在正數(shù) M 使得使得.)(Mxf. 0)(lim0 xfxx下面證明下面證明,0對對,010時時當(dāng)當(dāng)xx, 0lim0 xx由于由于,010)(0)(xfxf),m

4、in(01取取,00時時當(dāng)當(dāng)xxMM. 0)(lim0 xfxx例如例如 01sinlim0 xxx0cos1limnnnMxf)(二、二、 無窮大量無窮大量定義定義2 . 若任給若任給 M 0 ,000 xx一切滿足不等式一切滿足不等式的的 x , 總有總有則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時為無窮大量時為無窮大量, 使對使對.)(lim0 xfxx若在定義中將若在定義中將 式改為式改為Mxf)(則記作則記作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正數(shù)正數(shù) X ) ,記作記作, )(Mxf總存在總存在注意注意:1. 無窮大不是很大的數(shù)

5、無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài)它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無窮大函數(shù)為無窮大 , 必定無界必定無界 . 但反之不真但反之不真 !例如例如, 函數(shù)函數(shù)),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n當(dāng)當(dāng)n2但但0)(2nf所以所以x時時 ,)(xf不是無窮大不是無窮大 !oxyxxycos例例 . 證明證明11lim1xx證證: 任給正數(shù)任給正數(shù) M ,要使要使,11Mx即即,11Mx只要取只要取,1M則對滿足則對滿足10 x的一切的一切 x , 有有Mx11所以所以.11lim1xx11xy假假設(shè)設(shè) ,)(lim0 xfxx則直線則直線0 xx 為曲線為曲線)(xfy 的鉛直

6、漸近線的鉛直漸近線 .漸近線漸近線1說明說明:xyo三、無窮小量與無窮大量的關(guān)系三、無窮小量與無窮大量的關(guān)系假設(shè)假設(shè))(xf為無窮大為無窮大,)(1xf為無窮小為無窮小 ;假設(shè)假設(shè))(xf為無窮小為無窮小, 且且,0)(xf那那么么)(1xf為無窮大量為無窮大量.那那么么據(jù)此定理據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論無窮小來討論.定理定理2. 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中,說明說明: 第二章第二章 ,0時x2,2,xxx都是無窮小都是無窮小,引例引例 .xxx20lim,0但是但是 可見無窮小趨于可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的的速度是多樣的 . （四）（四） 無窮小量的階無窮小量的階22lim0 xxx無窮小量的階就是研究無窮小量趨于無窮小量的階就是研究無窮小量趨于0的快慢的快慢. ,0lim0Ckxx,0lim0 xx假假設(shè)設(shè)則稱則稱 是比是比 高階的無窮高階的無窮小小,)(o,lim0 xx假假設(shè)設(shè)假假設(shè)設(shè)假假設(shè)設(shè), 1lim0 xx假假設(shè)設(shè),0lim0Cxx或或記作記作則稱則稱 是比是比 低階的無窮低階的無窮小小