1、i(個(gè)數(shù))和頻率 f （ 平均數(shù) »），形成1m v1        頻數(shù)的和å  （頻數(shù) ´ 組中值）的和   å  v ym數(shù)量方法（二）（代碼 00994）自學(xué)考試復(fù)習(xí)提綱第一章 數(shù)據(jù)的整理和描述基本知識(shí)點(diǎn)：一、數(shù)據(jù)的分類：按照描述的事物分類：1分類型數(shù)據(jù)：描述的是事物的品質(zhì)特征，本質(zhì)表現(xiàn)是文字形式；2

2、數(shù)量型數(shù)據(jù)：事物的數(shù)量特征，用數(shù)據(jù)形式表示；3日期和時(shí)間型數(shù)據(jù)。按照被描述的對象與時(shí)間的關(guān)系分類：1截面數(shù)據(jù)：事物在某一時(shí)刻的變化情況，即橫向數(shù)據(jù)；2時(shí)間序列數(shù)據(jù)：事物在一定的時(shí)間范圍內(nèi)的變化情況，即縱向數(shù)據(jù)；3平行數(shù)據(jù)：是截面數(shù)據(jù)與時(shí)間序列數(shù)據(jù)的組合。二、數(shù)據(jù)的整理和圖表顯示：1組距分組法：1)將數(shù)據(jù)按上升順序排列，找出最大值 max 和最小值 min；2)確定組數(shù)，計(jì)算組距 c；3) 計(jì)算每組的上、下限（分組界限）、組中值及數(shù)據(jù)落入各組的頻數(shù) viiii頻率分布表；4) 唱票記頻數(shù)；5) 算出組頻率，組中值；6

3、) 制表。2餅形圖：用來描述和表現(xiàn)各成分或某一成分占全部的百分比。注意：成分不要多于 6 個(gè)，多于 6 個(gè)一般是從中選出 5 個(gè)最重要的，把剩下的全部合并成為“其他”；成分份額總和必須是 100；比例必須于扇形區(qū)域的面積比例一致。3條形圖：用來對各項(xiàng)信息進(jìn)行比較。當(dāng)各項(xiàng)信息的標(biāo)識(shí)（名稱）較長時(shí)，應(yīng)當(dāng)盡量采用條形圖。4柱形圖：如果是時(shí)間序列數(shù)據(jù)，應(yīng)該用橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示數(shù)據(jù)大小，即應(yīng)當(dāng)使用柱形圖，好處是可以直觀的看出事物隨時(shí)間變化的情況。5折線圖：明顯表示趨勢的圖示方法。簡單、容易理解，對于同一組數(shù)據(jù)具有唯一

4、性。6曲線圖：許多事物不但自身逐漸變化，而且變化的速度也是逐漸變化的。具有更加自然的特點(diǎn)，但是不具有唯一性。7散點(diǎn)圖：用來表現(xiàn)兩個(gè)變量之間的相互關(guān)系，以及數(shù)據(jù)變化的趨勢。8莖葉圖：把數(shù)據(jù)分成莖與葉兩個(gè)部分，既保留了原始數(shù)據(jù)，又直觀的顯示出了數(shù)據(jù)的分布。三、數(shù)據(jù)集中趨勢的度量：1平均數(shù)：容易理解，易于計(jì)算；不偏不倚地對待每一個(gè)數(shù)據(jù)；是數(shù)據(jù)集地“重心”；缺點(diǎn)是它對極端值十分敏感。平均數(shù)全體數(shù)據(jù)的總和數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)x =n1 åni=1x12中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)或最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。它的優(yōu)點(diǎn)是它對極端值不像平均數(shù)那么敏感，因此，如果包含

5、極端值的數(shù)據(jù)集來說，用中位數(shù)來描述集中趨勢比用平均數(shù)更為恰當(dāng)。3眾數(shù)：數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。缺點(diǎn)是一個(gè)數(shù)據(jù)集可能沒有眾數(shù)，也可能眾數(shù)不唯一；優(yōu)點(diǎn)在于它反映了數(shù)據(jù)集中最常見的數(shù)值，而且它不僅對數(shù)量型數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)都是數(shù)值）有意義，它對分類型數(shù)據(jù)集也有意義；并且能夠告訴我們最普遍、最流行的款式、尺寸、色彩等產(chǎn)品特征。4分組數(shù)據(jù)的平均數(shù)（加權(quán)平均）：（頻數(shù) ´ 組中值）的和     åm v y平均數(shù) »      

6、;           11i頻數(shù)的和åm vyi 為第 i 組組中值。5平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的關(guān)系：iiv，m 為組數(shù)， i 為第 i 組頻數(shù)，數(shù)據(jù)分布是對稱分部時(shí)：眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù)數(shù)據(jù)分布不是對稱分部時(shí)：左偏分布時(shí)：眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)右偏分布時(shí)：眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)四、數(shù)據(jù)離散趨勢的度量：1極差 R最大值 max最小值 min2四分位點(diǎn)：第二四分位點(diǎn)

7、60;Q 就是整個(gè)數(shù)據(jù)集的中位數(shù)；第一四分位點(diǎn) Q21個(gè)（若    不是整數(shù)，取左右兩個(gè)是整個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列后第n + 1      n + 14         4的平均）；第三四分位點(diǎn) Q 是整個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列后第     個(gè)（若43n + 133

8、n + 14不是整數(shù)，取左右兩個(gè)的平均）。四分位極差Q  Q ，它不像極3 1差 R 那么容易受極端值的影響，但是仍然存在著沒有充分地利用數(shù)據(jù)所有信息地缺點(diǎn)。3方差：離平均數(shù)地集中位置地遠(yuǎn)近；1 å  ( x  - x ) 2 =ni  i   - 1å v  (vi yi ) 

9、2å v=    is 2 =ni=1iå xi2 - nx 2n=å v y 2 åiiå v y 2in- ny 2i                   

10、 i                             即用分組數(shù)v 是頻數(shù)， y  是組中值， n = å   v 即數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)， y =å&

11、#160;vå v yiiii據(jù)計(jì)算的平均數(shù)。4標(biāo)準(zhǔn)差： s = s 2 。變異系數(shù)：表示數(shù)據(jù)相對于其平均數(shù)的分散程度。x  ´100V = s基本運(yùn)算方法：1、一組數(shù)據(jù) 3，4，5，5，6，7，8，9，10 中的中位數(shù)是（）A5B5.5C6D6.5解析：按從小到大排列，此九個(gè)數(shù)中，正中間的是 6，從而答案為 C。2、某企業(yè) 30 歲以下職工占 25%，月平均工資為 800 元

12、；3045 歲職工占 50%，月平均工資為 1000 元；45 歲以上職工占 25%，月平均工資 1100 元，該企業(yè)全部職工的月平均工資為（）A950 元B967 元C975 元D1000 元解析：25%*800+50%*1000+25%*1100975，故選 C。3、有一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為 50、25，這組數(shù)據(jù)的變異系數(shù)為（）x  ´100A.0.2C.0.5解析：變異系數(shù) V =s2550B

13、.0.4D.0.7= 0.5 ，故選 C。4、若兩組數(shù)據(jù)的平均值相差較大，比較它們的離散程度應(yīng)采用（）A極差B變異系數(shù)C方差D標(biāo)準(zhǔn)差解析：考變異系數(shù)的用法，先 B。5、一組數(shù)據(jù) 4，4，5，5，6，6，7，7，7，9，10 中的眾數(shù)是（）A6B6.5C7D7.5解析：出現(xiàn)最多的數(shù)為眾數(shù)，故選 C。6、對于峰值偏向左邊的單峰非對稱直方圖，一般來說（）A平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)B眾數(shù)>中位數(shù)>平均數(shù)C平均數(shù)>眾數(shù)>中位數(shù)D中位數(shù)>眾數(shù)>平均數(shù)解析：數(shù)據(jù)分布是對稱分部時(shí)：眾數(shù)=中位數(shù)=平

14、均數(shù)數(shù)據(jù)分布不是對稱分部時(shí)：左偏分布時(shí)：眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)右偏分布時(shí)：眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)需要記住提，峰值偏向左邊的單峰非對稱直方圖稱為右偏分布，峰值偏向右邊的單峰非對稱直方圖稱為左偏分布，從而此題答案為 B。第二章 隨機(jī)事件及其概率基本知識(shí)點(diǎn)：一、 隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件：1隨機(jī)試驗(yàn)：a) 可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；b) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但是試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的；c) 試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果。2樣本空間 W ：a) 所有基本事件的全體所組成的集合稱為樣本空

15、間，是必然時(shí)間；b) 樣本空間中每一個(gè)基本事件稱為一個(gè)樣本點(diǎn)；c) 每一個(gè)隨機(jī)事件就是若干樣本點(diǎn)組成的集合，即隨機(jī)事件是樣本空間的子集；d) 不包含任何樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件就是不可能事件 F 。3樣本空間的表示方法：a) 列舉法：如擲骰子 W = 1,2,3,4,5,6b) 描述法：若擲骰子出現(xiàn) 1,3,5可描述為：擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)。二、 事件的關(guān)系和運(yùn)算1. 事件的關(guān)系：a) 包含關(guān)系：事件 A 的每一個(gè)樣本點(diǎn)都包含在事件 B&

16、#160;中，或者事件 A的發(fā)生必然導(dǎo)致事件B 的發(fā)生，成為事件B 包含事件 A ，記做A Ì B或者B É A 。若 A Ì B且B Ì A 則稱事件 A 與事件 B 相等，記做AB。b) 事件的并：事件 A 和事件 B 至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱為事件 A 與事件 B 

17、的并，記做 A U B或者A + B 。c) 事件的交：事件 A 與事件 B 同時(shí)發(fā)生的事件稱為事件 A 與事件 B 的交，記做 A I B或者AB 。d) 互斥事件：事件 A 與事件 B 中，若有一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)必定不發(fā)生，則稱事件 A 與事件 B 是互斥的，否則稱這兩個(gè)事件是相容的。A I B&

18、#160;= f 。e) 對立事件：一個(gè)事件 B 若與事件 A 互斥，且它與事件 A 的并是整個(gè)樣本空間 ，則稱事件 B 是事件 A 的對立事件，或逆事件。事件 A的對立事件是 A ， A I A = f ，A U A = W 。f) 事件的差：事件 A 發(fā)生，但事件 B

19、0;不發(fā)生的事件，稱為事件 A 與事件 B 的差，記做 AB。2運(yùn)算律：a) 交換律： A I B = B U A，A I B = B I A;b) 結(jié)合律： A U ( B U C ) = ( A U B) U C，A( BC )

20、0;= ( AB)C;c) 分配律：A U ( B I C ) = ( A U B) I ( A U C )，A I ( B U C ) = ( A I B) U ( A I C ) ：c)  

21、60;完全可加性： P(A ) = å  P( A ) ；i=1d) 對偶律： AB = AB， AB = AB 。三、 事件的概率與古典概型：1. 事件 A 發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值 p 稱為事件 A 發(fā)生的概率，記做：P( A) = p ，0 £ p £

22、; 1。2. 概率的性質(zhì)：a) 非負(fù)性： P( A) ³ 0 ；b) 規(guī)范性： 0 £ p £ 1；¥¥iii=1d)P(f ) = 0 ；e) 設(shè) A，B 為兩個(gè)事件，若 A Ì B ，則有 P( B - A) = P(

23、0;B) - P( A) ，且P( B) ³ P( A) ；3. 古典概型試驗(yàn)與古典概率計(jì)算：a) 古典概型試驗(yàn)是滿足以下條件地隨機(jī)試驗(yàn)： 它的樣本空間只包含有限個(gè)樣本點(diǎn)； 每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的。b) 古典概率的計(jì)算： P( A) = N A ；Nc) 兩個(gè)基本原理： 加法原理：假如做一件事情有兩類辦法，在第一類辦法中有m種不同方法，而在第二類辦法中有 

24、;n 種不同方法，那么完成這件事情就有 m+n 種不同方法。加法原理可以推廣到有多類辦法的情況； 乘法原理：假設(shè)做一件事情可以分成兩步來做，做第一步有m種不同方法，做第二步有 n 種不同方法，那么完成這件事情有mn 種不同方法。乘法原理也可以推廣到多個(gè)步驟的情形。4. 條件概率：在事件 B 發(fā)生的條件下（假定 P（B）>0），事件 A 發(fā)生的概率稱為事件 A 在給定事件 B 下的條件概率，簡稱 A 對

25、 B 的條件概率，記做： P( A | B) =P( AB)P( B)；5. 概率公式：a) 互逆：對于任意的事件 A， P( A ) + P( A) = 1 ；P( B) = å  P( A ) P( B | A ) ；b) 廣義加法公式

26、：對于任意的兩個(gè)事件 A 和 B，P( A + B) = P( A) + P( B) - P( AB) ，廣義加法公式可以推廣到任意有限個(gè)事件的并的情形，特別地：P( A + B + C ) = P( A) + P( B) + P(C ) - P( AB)&#

27、160;- P( AC ) - P( BC ) + P( ABC )c) 減法公式：P( A - B) = P( A) - P( AB)  A É B，則P( A - B) = P( A) - P( B) ；d) 乘法公式：P（A

28、B）P（A）P（B|A），P（A）0；e) 事件獨(dú)立：若 P( AB) = P( A) P( B) ，則 A與B 相互獨(dú)立。f) 全概率公式：設(shè)事件 A ，A ，, A 兩兩互斥，A +A +A 12n12n（完備事件組），且 P（A ）>0，i1，2，n 則對于任意事件 B，i有：niii =1g) 貝葉斯公式：條件同上,

29、0;則對于任意事件 B，如果 P（B）>0，有：P( A | B) =P( Aj )P(B | Aj )jnåP( A ) P( B | A )iii=1；基本運(yùn)算方法：1、事件的表示：例 1、設(shè) A、B、C 是三個(gè)隨機(jī)事件，用 A、B、C 的運(yùn)算關(guān)系表示事件：A 不發(fā)生但 B 與 C 發(fā)生為（）A&#

30、160;ABCC. ABCB. ABCD. ABC解析：本題考察事件的表示方法，選 B。例 2、對隨機(jī)事件 A、B、C，用 E 表示事件：A、B、C 三個(gè)事件中至少有一個(gè)事件發(fā)生，則 E 可表示為（）A.AUBUCC. AUBUCB. ABCD. ABC解析：選 A。2、古典概型例 1、正方體骰子六個(gè)面點(diǎn)數(shù)分別為 2、4、6、8、10、12，擲二次所得點(diǎn)數(shù)之和大于等于 4 的概率為()A.C.13616B.

31、 112D.19                                  B 1解析：樣本空間中樣本點(diǎn)一共有 36 個(gè)，兩次擲得點(diǎn)數(shù)和不可能小于 4，從而選 D。例 2、在一次拋硬

32、幣的試驗(yàn)中，小王連續(xù)拋了 3 次，則全部是正面向上的概率為（）A 18C 16D 13解析：樣本空間一共有 8 個(gè)樣本點(diǎn)，全部正面向上只有一次，故選 B。例 3、某夫婦按國家規(guī)定，可以生兩胎。如果他們每胎只生一個(gè)孩子，則兩胎全是女孩的概率為（）A. 116C. 14B. 18D. 12解析：生兩胎，樣本空間共有 4 個(gè)樣本點(diǎn)，故選 C。3、加法公式、減法公式、條件概率例 1、設(shè) A、B 為兩個(gè)事件，P（A）

33、=0.4，P（B）=0.3。如果 BA，則 P（AB）=（）A0.1B0.3C0.4D0.7解析：BA，則 P(AB)P(B)，故選 B。B例 2、設(shè) A、 為兩個(gè)事件，P(A)=0.4，P(B)=0.8，P( AB )=0.5，則 P(BA)=（）A0.45B0.55C0.65D0.375解析：由 P( AB )P(B)P( AB )，從而 P( AB )0.3，P(BA)=P(AB)P(B)0.375,故選

34、60;D。例 3、事件 A 和 B 相互獨(dú)立，且 P（ A ）=0.7，P（B）=0.4，則 P（AB）=（）A0.12C0.28B0.21D0.42解析：事件 A 和 B 相互獨(dú)立知事件 A 與 B 獨(dú)立，從而 P(AB)=P(A)P(B)=0.12,A。例 4、事件 A，B 相互獨(dú)立，P（A）=0.3，P（B| A ）=0.6，則 P（A）+P（B）=（

35、）A.0.C.0.9B.0.3D.1解析：由事件 A，B 相互獨(dú)立知 P（B| A ）= P（B）=0.6，從而選 C。4、事件的互斥、對立、獨(dú)立關(guān)系：例1、A與B為互斥事件，則A B 為()A.ABC.AB.BD.A+B解析：A與B為互斥事件，即AB =F ，從而選C。例 2、事件 A、B 相互對立，P(A)=0. 3，P( B)=0.7，則 P(A-B)=（）A.0B.0.2C.0.3D.1解析：由事件 A、B&

36、#160;相互對立知 AB =F ，從而 P(AB)=P(A)=0.3，選 C。例 3、事件 A、B 相互獨(dú)立，P(A)=0.2，P(B)=0.4，則 P(A+B)=()A.0.50C.0.52B.0.51D.0.53P( A ) = P( A ) = P( A ) =， P( B | A ) = 0.01 ，

37、0;P( B | A ) = 0.023P( B) = å  P( A ) P( B | A ) = 0.02 ，從而 P( B | A ) = 0.03 ，即第三箱的次品率為 0.03.n        &#

38、160;              =  16解析：P(A+B)P(A)+P(B)-P(AB),由 A、B 相互獨(dú)立知 P(AB)P(A)P(B),從而P(A+B)P(A)+P(B)- P(A)P(B)0.52，選 C。例 4、事件 A、B 互斥，P(A)=0.3，P(B| A )=0.6，則 P(A-B)=（）A0B0.3C0

39、.9D1解析：事件 A、B 互斥有 AB =F ，從而 P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)=0.3,選 B。5、全概率公式和貝葉斯公式：例 1、在廠家送檢的三箱玻璃杯中，質(zhì)檢部門抽檢其中任一箱的概率相同。已知第一箱的次品率為 0.01，第二箱的次品率為 0.02，三箱玻璃杯總的次品率為0.02。求第三箱的次品率。若從三箱中任抽一只是次品，求這個(gè)次品在第一箱中的概率。解析：設(shè) A 表示抽到第 i 箱， i 1，2，3. 

40、;B 表示次品，則i1123123ii3i=1P( A | B) =P( A1 ) P( B | A1 )1åP( A ) P( B | A )iii=1即從三箱中任抽一只是次品，這個(gè)次品在第一箱中的概率為 1/6。例 2、實(shí)戰(zhàn)演習(xí)中，在甲、乙、丙三處射擊的概率分別為 0.2，0.7，0.1，而在甲、乙、丙三處射擊時(shí)命中目標(biāo)的概率分別為 0.8，0.4，0.

41、6。若最終目標(biāo)被命中，求目標(biāo)是由乙處射擊命中的概率。解析：設(shè) A 表示在甲處射擊， A 表示在乙處射擊， A 表示在丙處射擊，B 表示123命中，則 P( A ) = 0.2, P( A ) = 0.7, P( A ) = 0.1 ，123P( B | A ) = 0.8 ， P(

42、0;B | A ) = 0.4 ， P( B | A ) = 0.6123P( A ) P( B | A )P( A | B) =2P( A ) P( B | A )2 2nåi       

43、0;   i= 0.56i=1從而目標(biāo)是由乙處射擊命中的概率為 0.56.第三章 隨機(jī)變量及其分布基本知識(shí)點(diǎn)：一、離散型隨機(jī)變量：取值可以逐個(gè)列出1. 數(shù)學(xué)期望：1) 定義： Ex = å x p ，以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)；iii2) 性質(zhì)：E(C)=C(常數(shù)期望是本身)E(aX)=aE(X)(常數(shù)因子提出來)E(aX+b)=aE(X)+b(一項(xiàng)一項(xiàng)分開算)E（aX+bY）=aE(X)+bE(Y)(線性性)2. 方差：1)&

44、#160;定義： Dx = E ( x - Ex) 2 = å ( x - Ex) 2 p ；iii2) 性質(zhì)：D(c)=0（常數(shù)方差等于 0）D(aX)=a2D(X)（常數(shù)因子平方提）D (aX+b) =a2D(X)3) 公式： D( X ) = E ( X 2 ) 

45、- E 2 ( X ) （方差平方的期望期望的平方）；3. 常用隨機(jī)變量：1) 0-1 分布：a) 隨機(jī)變量 X 只能取 0，1 這兩個(gè)值；b) XB（1，p）；c) E(X)pD(X)p(1-p)2) 二項(xiàng)分布：1 2，a) 分布律： P( X = k ) = C k p k (1 -&

46、#160;p) n-k ，k = 0， ¼¼ n ；nk!    ，k = 0,1,2¼¼ ，  >0b) XB（n，p）c) E(X)=npd) D(X)=np(1-p)e) 適用：隨機(jī)試驗(yàn)具有兩個(gè)可能的結(jié)果 A 或者 A ,且 P（A）=p，P（ A ）1p，將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)

47、60;n 次得到 n 重貝努里試驗(yàn)。3) 泊松分布：a) 分布律： P( X = k ) = l k e -lb) XP（ ）c) E(X)d) D(X)e) 適用：指定時(shí)間內(nèi)某事件發(fā)生的次數(shù)。二、連續(xù)型隨機(jī)變量：1. 設(shè) X 是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量：1) X 的均值，記做，就是 X 的數(shù)學(xué)期望，即 EX；2) 

48、;X 的方差，記做 D(X)或 s 2 ，是 ( X - m ) 2 的數(shù)學(xué)期望，即:D( X ) = E( X - m )2  = E ( X 2 ) - m 23) X 的標(biāo)準(zhǔn)差，記做，是 X 的方差 s 2 的算術(shù)平方根，即

49、 s = s 2 ；2. 常用連續(xù)型隨機(jī)變量：名稱分布律或密度記法       E(X)     D(X)f ( x) = í b - a2    (b - a) 2均勻分布ì 1ï，（a £ x &

50、#163; b)X  U a, b   a + b12ïî0，其他指數(shù)分布ìl l -lx，x > 0f ( x) = í        ，>0î0，x £ 0X  E (l )  

51、60;   1l1l 2正態(tài)分布p( x) =   12ps 2l -( x-m )22s 2，s > 0X  N (m，s 2）s 2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布          f（x）= 1    l2xp-x2XN（0，1）01，3.

52、60;正態(tài)分布的密度曲線 y=P(x)是一條關(guān)于直線 x=的對稱的鐘形曲線，在x=處最高，兩側(cè)迅速下降，無限接近 X 軸；越大（小） 曲線越矮胖（高瘦）。4. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度曲線 y（x），是關(guān)于 Y 軸對稱的鐘形曲線。DX  （減去期望除標(biāo)差）。s   N (0,1) 。5. 隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化X ® X - EX6. 標(biāo)準(zhǔn)化定理：設(shè) X &#

53、160;N (m，s 2），則Z X - m三、二維隨機(jī)變量：（1. 用兩個(gè)隨機(jī)變量合在一起（X，Y）描述一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)， X，Y）的取值帶有隨意性，但具有概率規(guī)律，則稱（X，Y）為二維隨機(jī)變量。2. X，Y 的協(xié)方差：cov（X，Y）E（XEX）（YEY）=E (XY)-EX · EY，cov（X，Y）>0 說明 X 與 Y 之間存在一定程度的正相關(guān)關(guān)系，cov（X，Y）0 稱 X 

54、;與 Y 不相關(guān)，cov（X，Y）<0 說明 X 與 Y 存在一定程度的負(fù)相關(guān)關(guān)系；x, y  = cov( X , Y )DX ´DY   ，取值范圍是 - 1 £ r3. X，Y 的相關(guān)系數(shù)：rX ,Y£ 1 ，越接近1，表明 X 與 Y 

55、之間的正線性相關(guān)程度越強(qiáng)，越接近于1，表明 X 與 Y之間的負(fù)線性相關(guān)程度越弱，當(dāng)?shù)扔?#160;0 時(shí)，X 與 Y 不相關(guān)。4. 隨機(jī)變量的線性組合：1) E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y);2)D(aX + bY ) = a 2 D( X ) + 2abCov ( X ,Y ) + b 2 D(Y 

56、)四、決策準(zhǔn)則與決策樹：1. 對不確定的因素進(jìn)行估計(jì)，從幾個(gè)方案中選擇一個(gè)，這個(gè)過程稱為決策；2. 決策三準(zhǔn)則：1) 極大極小原則：將各種方案的最壞結(jié)果（極小收益）進(jìn)行比較，從中選擇極小收益最大的方案；2) 最小期望損失原則：選擇期望損失最小的方案；3) 最大期望收益原則：選擇期望收益最大的方案。3. 決策樹：使我們把不確定因素的過程以圖解的形式表示出來，有簡單、直觀的優(yōu)點(diǎn)。基本運(yùn)算方法：1、隨機(jī)變量的含義：例 1、某一事件出現(xiàn)的概率為 1/4，試驗(yàn) 4 次，該事件出現(xiàn)的次數(shù)將是（）A1

57、0;次B大于 1 次C小于 1 次D上述結(jié)果均有可能解析：答案為 D，此題考察對隨機(jī)變量的理解。2、六種常見分布例 1、某企業(yè)出廠產(chǎn)品 200 個(gè)裝一盒，產(chǎn)品分為合格與不合格兩類，合格率為 99%，設(shè)每盒中的不合格產(chǎn)品數(shù)為 X，則 X 通常服從（）A正態(tài)分布B泊松分布C均勻分布D二項(xiàng)分布解析：將任一個(gè)合格品記為 0，不合格記為 1，則 XB（200，0.01），選 D。例 2、一般正態(tài)分布 N（ ，

58、0;2）的概率分布函數(shù) F（x）轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的概率分布函數(shù)時(shí)表示為（）B. ( x - m )A. （x）sD. ( x )C. (x- )s解析：本題考察正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化 X  N (m，s 2），則ZX - ms N (0,1) ，選 B.例 3、擲一枚不均勻硬幣，正面朝上的概率為 3 ，將此硬幣連擲 3&

59、#160;次，則恰好 24次正面朝上的概率是（）A 964C 2764B 1264D 3664464解析：記 X 表示正面向上的次數(shù),則 XB(3， 3 ), P( X = 2) = C 2 0.7520.25 = 27 , C。3例 4、若隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布，則隨機(jī)變量 Y=aX+b(a0)服從（）A正態(tài)分布C泊松分布B二項(xiàng)分布

60、D指數(shù)分布解析：本題考察正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布，選 A。例 5、某電梯一星期發(fā)生故障的次數(shù)通常服從()A.兩點(diǎn)分布C.指數(shù)分布B.均勻分布D.泊松分布解析：選 D，泊松分布描述不常發(fā)生的事情。例 6、一個(gè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，其方差與期望之比為 13，則該二項(xiàng)分布的參數(shù) P 為()A.13C.1B.23D.3D( X )  np(1- p)       1解析：此題考察二項(xiàng)分布的方差與期望，=&#

61、160;1 - p =，從而選 B。E ( X )np3e-(x -2 )2/ 8 ( ¥ < x < ¥ )則 X 的例 7、設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為 j (x)=12 2方差 D(X)=（）A1B2C3D4解析：此題考察正態(tài)分布的密度函數(shù)，選 D。例 8、隨機(jī)變量 

62、X 分布律為 P（x=k）= 0.4  eD（X）=（）kk!-0.4，k=0，1，2，3，則 X 的方差P X ³ 1300 = 1 - P X < 1300= 1 - P í     <      ýA0.4B2C2.5D3解析：此題

63、考察泊松分布的方差，選 A。例 9、據(jù)調(diào)查，某單位男性員工中吸煙者的比例為 20%，在一個(gè)由 10 人組成的該單位男性員工的隨機(jī)樣本中，恰有 3 人吸煙的概率是多少？解析：設(shè) X 表示 10 人中抽煙的人數(shù)，則 XB(10, 0.2)，從而P( X = 3) = C 3 0.230.87 （自行用計(jì)算器計(jì)算出概率）。10（例 10、某零件的壽命服從均值為 1200&#

64、160;小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為 250 小時(shí)的正態(tài)分布。隨機(jī)地抽取一個(gè)零件，求它的壽命不低于 1300 小時(shí)的概率。 F（0.3）=0.6179, F(0.4)=0.6554, F (0.5)=0.6915）解析：設(shè)某零件的壽命為 X，則 XN(1200, 250 2 )，從而250ì X - 12001300 - 1200 üî250þ1 F (0.4)

65、0.34463、隨機(jī)變量期望、方差及協(xié)方差的運(yùn)算和性質(zhì)：例 1、設(shè) X 和 Y 為兩個(gè)隨機(jī)變量，D(X)=10，D(Y)=1，X 與 Y 的協(xié)方差為- 3，則 D(2X- Y)為（）A18B24C38D53解析：由 D(aX + bY ) = a 2 D( X ) + 2abCov ( X ,Y ) + b&

66、#160;2 D(Y ) 知，答案為 D。例 2、設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，已知 D(X)=60，D(Y)=80，則Z=2X-3Y+7 的方差為（）A100B960C1007D1207解析：由于常數(shù)方差為 0，且由 X 和 Y 獨(dú)立知其協(xié)方差為 0，從而由公式D(aX + bY ) = a 2 D( X ) +&

67、#160;b2 D(Y ) 知答案為 B。例 3、設(shè) X 為隨機(jī)變量，E(X)=2，D(X)= 6，則 E(X2)為（）A5B10C20D30解析：由方差的等價(jià)定義：D(X)E(X2)E2 (X)知，答案為 B。例 4、若已知 DX = 25, DY = 9,COV ( X ,Y ) = 10.5 ，則 X 與 y&#

68、160;相關(guān)系數(shù) r 為x, y  =DX ´DY   知答案為 C。A0.2C0.7解析：由相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式 rB0.6D0.8cov( X , Y )例 5、設(shè) X、Y 為隨機(jī)變量，D(X)=6,D(Y)=7,Cov(X,Y)=1,試計(jì)算 D(2X3Y).解析：由 D(aX + bY ) = a 2 D( 

69、;X ) + 2abCov ( X ,Y ) + b 2 D(Y ) 知D(2X3Y)4D(X)12Cov(X,Y)+9D(Y)=75。4、概率分布、密度函數(shù)：例 1、離散型隨機(jī)變量 X 只取-1，0，2 三個(gè)值，已知它取各個(gè)值的概率不相等，且三個(gè)概率值組成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè) P(X=0)= ，則 =()A.14B.13C.12D.1解析：由于三者成等差數(shù)列，故設(shè) X 取1

70、60;的概率為 d, 取 2 的概率為 +d，而三者相加為 1，從而 1/3，答案為 B。例 2、設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為 P（x）= ìí2 1 £ x £ 1.5î0 其它則 x 的數(shù)學(xué)期望 E(X)=（）A1B1.25C1.5D2解析：顯然，從概率密度函數(shù)知 XU（1，1.5），從而期望為 1.

71、25，答案為 B。第四章 抽樣方法與抽樣分布基本知識(shí)點(diǎn)：一、抽樣基本概念：1. 總體：研究對象的全體；2. 個(gè)體：組成總體的每一個(gè)個(gè)體；3. 抽樣：從總體中抽取一部分個(gè)體的過程；4. 樣本：從總體中抽出的一部分個(gè)體構(gòu)成的集合；5. 樣本值：在一次試驗(yàn)或觀察以后得到一組確定的值；6. 隨機(jī)樣本：1) 個(gè)體被抽到的可能性相同；2) 相互獨(dú)立；3) 同分布。二、抽樣方法：1. 簡單隨機(jī)抽樣：總體中有 n 個(gè)單元，從中抽取 r 個(gè)單元作為樣本，

72、使得所有可能的樣本都有同樣的機(jī)會(huì)被抽中。有放回抽樣的樣本個(gè)數(shù)為 n r ；無放回抽樣的樣本個(gè)數(shù)為 C r 。n2. 系統(tǒng)抽樣（等距抽樣）：將總體單元按照某種順序排列，按照規(guī)則確定一個(gè)起點(diǎn)，然后每隔一定的間距抽取樣本單元。3. 分層抽樣：在抽樣之前將總體劃分為互不交叉重疊的若干層，然后從各個(gè)層中獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的單元作為樣本。4. 整群抽樣：在總體中由若干個(gè)總體單元自然或人為地組成的群體稱為群，抽樣時(shí)以群體為抽樣單位，對抽中的各群的所有總體單元進(jìn)行觀察。三、抽樣中經(jīng)常遇到的三個(gè)問題：1. 抽樣選

73、取不當(dāng)；2. 無回答：處理無回答常用的方法：1) 注意調(diào)查問卷的設(shè)計(jì)和加強(qiáng)調(diào)查員的培訓(xùn)；2) 進(jìn)行多次訪問；3) 替換無回答的樣本單元；4) 對存在無回答的結(jié)果進(jìn)行調(diào)整。3. 抽樣本身的誤差。四、抽樣分布與中心極限定理：1. 不包含任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱作統(tǒng)計(jì)量；2. 常用的統(tǒng)計(jì)量：å x1) 樣本均值： x =1nn1 i；å ( x2) 樣本方差： S 2 =1n-1n1i-

74、60;x) 2 ；n                        n113) 樣本標(biāo)差： S = S 2 。3. 統(tǒng)計(jì)量的分布叫做抽樣分布，當(dāng)樣本容量 n 增大時(shí)，不論原來的總體是否服從正態(tài)分布，其樣本均值都將趨向于正態(tài)分布，當(dāng) n30&

75、#160;時(shí)，樣本均值就可以近似的服從正態(tài)分布。4. 中心極限定理：Xi2設(shè)隨機(jī)變量 X ， ，X 獨(dú)立同分布，且 EX ，DX 2， 1， ，12niiX  ； EX = E ( 1 ån X ) n， X = 1 å n1 å n EX ；ini1åDX&

76、#160;= D ( 1nån1X ) =i1n 2D ( å n X ) =i1n 2ni =1DXi =1       s2ns  =n 2 n22，n， X =  1 å   n X  ，則&#

77、160;X  N（m，s 2）；  X -m   N (0,1) ；n1isni1且 å   n X    N (np, np(1 - p) 。1n³301) 設(shè)隨機(jī)變量 X ，X ，X 獨(dú)立同分布，且 EX ，DX 2，i1，12nii近似近似n&

78、#179;30n³302) 設(shè)隨機(jī)變量 X ，X ，X 獨(dú)立同（0，1）分布，則 ån X B (n, p) ，12n近似i五、 常用的抽樣分布1. 樣本均值的抽樣分布：總體均值、方差抽樣方式有限總體重復(fù)抽樣有限總體不重復(fù)抽樣樣本的期望樣本方差s2ns2 × N -nn N -1無限總體任意s2n若有限總體不重復(fù)抽樣nNN - n<5%時(shí)，其修正系數(shù) 

79、N -1 近似為 1，樣本均值的方差可以簡化為   n  。s 22. 樣本比例的抽樣分布：總體比例抽樣方法無限總體任意EPpDPp (1- p )n有限總體有放回抽樣pp (1- p )n有限總體無放回抽樣pp(1- p)n× N -nN -1n若有限總體無放回抽樣  N  <5%時(shí)，其修正系數(shù)  N -1&#

80、160;近似為  1，樣本比例的方差n   。N - n可以簡化為 p (1- p )六、三種小樣本的抽樣分布：名稱統(tǒng)計(jì)量 2 分布 1， 2 n 分布c 2 + c 2 + ¼¼ + c 2 = c 212nt 分布XN（0，1），Y 2（n）X，Y 相互獨(dú)

81、立記法 2 2(n)tt (n)上 分位點(diǎn)P c 2 > c 2 (n) = aaPt > t (n) = aaF 分布Uc 2 (n ) ， V  c 2 (n )1 2U，V 相互獨(dú)立， F = U / n1V / 

82、;n2FF (n ，n )1 2P F > F (n ，n ) = aa 1 2F (n ，n ) =1-a 1 2(Fa n2 ,n1 )設(shè) XN（ ，  2），X1，X2，Xn 是 X 的樣本，樣本均值 X =  1 å 

83、;  n X i ，七、幾種重要統(tǒng)計(jì)量的分布：1( x  - x) 2 ：1樣本方差 S 2 =1 ån-1niXN (m ，2 ) ¾¾¾® X -m N (0， ¾¾ ¾ ¾ ¾¾® X 

84、;-m t (n - 1) ；1.t 分布：化本差snsSnn2. 2 分布：nå1( X I - X )2 =s 2( n-1) S 2s 2c 2 (n - 1) ；23.設(shè) X1，X2，Xn 是 N（m1，s1 ）的樣本，Y1，Y2，Yn 是 N（m2，s 2）的樣本，并且

85、都相互獨(dú)立，則：X - Y N (m  - m ，s12 + s 22 ) ¾標(biāo)¾準(zhǔn)¾® X -Y -( m1 -m2 ) N (0，1)n1n2              s 2 s

86、60;2n1  +¾以¾S合¾替¾® X -Y -( m1 -m2 ) t (n  + n  - 2)S12化1212n2代s1 + 1合n1n21     12     1n2 -1S 2 =n1-1å n11(

87、60;X - X ) 2 ； S 2 =iå n21(Y - Y ) 2 ； S =i 合2(n1-1) S1 +(n2 -1)S2n1+n2 -2基本運(yùn)算方法：1、基本概念及抽樣方法：例 1、如果抽選 10 人作樣本，在體重 50 公斤以下的人中隨機(jī)抽選 2 人，5065公斤的人中隨機(jī)選 5

88、60;人，65 公斤以上的人中隨機(jī)選 3 人，這種抽樣方法稱作（）A簡單隨機(jī)抽樣B系統(tǒng)抽樣C分層抽樣D整群抽樣解析：本題考察概率抽樣方法的分類，答案為 C。例 2、將總體單元按某種順序排列,按照規(guī)則確定一個(gè)隨機(jī)起點(diǎn),然后每隔一定的間隔逐個(gè)抽取樣本單元。這種抽選方法稱為（）A系統(tǒng)抽樣B簡單隨機(jī)抽樣C分層抽樣D整群抽樣解析：本題考察概率抽樣方法的分類，答案為 A。2、抽樣分布與中心極限定理：例 1、一個(gè)具有任意分布形式的總體，從中抽取容量為 n 的樣本，隨著樣本容量的增大，樣本均值 X 將

89、逐漸趨向于（）A泊松分布B c 2分布CF 分布D正態(tài)分布解析：本題考察中心極限定理，答案為 D。例 2、在簡單隨機(jī)抽樣中，如果將樣本容量增加 9 倍，則樣本均值抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤差將變?yōu)樵瓉淼模ǎ〢19 倍C3 倍解析：由于 D( X ) s 2 , 從而標(biāo)準(zhǔn)誤差為nsnB13 倍D9 倍，答案為 B。例 3、對于容量為 N 的總體進(jìn)行不重復(fù)抽樣（樣本容量為 n），樣本均值 X 的方差為（）A. s   ( N - n )B. s2nN - 12nC. s