1、經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診與試題預(yù)測(cè)(十五)考點(diǎn)15導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用?導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算?導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用?導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義?利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性?利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值勤最值經(jīng)典易錯(cuò)題會(huì)診命題角度1導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算1. (典型例題)設(shè)fo(x)=sinx,fl(x)=fo',f2(X)=f1(X),fn+1(x)=fn',nN,則f2019(x)()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx考場(chǎng)錯(cuò)解選A專家把脈由f'1(x)=f'0(x)=(sinx)'=cosx,f2sx)=,(3x)=(-sinx)'-co=x,f4(x)=(-c

2、osx)'=sin,f2019(x)=f'2004(x=f0(x0=sinx前面解答思路是正確的，但在歸納時(shí)發(fā)生了錯(cuò)誤。因f4(x)=f0(x)=f8(x0=f2004(x),所以f2019(x)=f1(x)=cosx.對(duì)癥下藥選C2. (典型例題)已知函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3,f(x)的解析式可能為()A.f(x)=(x-1)3+32(x-1)B.f(x)=2x+1C.f()=2(x-1)2D.f(x)-x+3考場(chǎng)錯(cuò)解選B/f(x)=2x+1,f'(x)=(2x+1)'=2x+1|x=仁3.專家把脈上面解答錯(cuò)誤原因是導(dǎo)數(shù)公式不熟悉，認(rèn)為(2x+1)&#

3、39;2x+1.正確的是(2x+1)'2,所以x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)是2,不是3。對(duì)癥下藥選A/f(x)=(x-1)3+3(x-1)f'(x)=3(x-1)2+3,當(dāng)x=1時(shí),f'(1)=33. (典型例題)已知f(3)=2f'(3)=-2，則lim2x®(x)的值為()x-3x3A.-4B.0C.8D.不存在考場(chǎng)錯(cuò)解選DTxt3,x-3t0lim_(x)不存在。Tx-3專家把脈限不存在是錯(cuò)誤的，事實(shí)上，求0型的極限要通過(guò)將式子變形的可求的。0對(duì)診下藥選C”2x-3f(x)_”倒f(x)-f(3)-62xlim_limx13x-3x3x-3_lim2-3-空=

4、2_3|im3些=2_3f'(3)=2一3(/)=8.x3x_3x3x_34. (05,全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)_ex(cosx+sinx),將滿足f'(x)_0的所有正數(shù)x從小到大排成數(shù)列；(2)記S是數(shù)列Xnf(Xn)的前項(xiàng)和。S|亠S2亠-Sh求lim2-n)：:n考場(chǎng)錯(cuò)解/f'(x)=e-x(cosx+sinx)'(e-x)'(cosx+sinx)=e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2e-xcosx令f'(x)=0,x=nn+二(n=1,2,3,)從而x-=nn+二。f(xn)=e-(nn+_2)(-1)nf(

5、xn1)=-e.2 2f(Xn)2數(shù)列f(xn)是公比為q=-e-n的等比數(shù)列。專家把脈上面解答求導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，即(e-x)'e-x是錯(cuò)誤的，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知(e-x)'e-x(-x)'-e-x才是正確的。對(duì)診下藥(1)證明：f'(x)=(e-x)'cos+sinx)+e-X(cosx+sinx)'-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cos)=-2e-Xsinx.令f'(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=nn,(n為整數(shù)，從而Xn=nn(n=1,2,3,)，f(xn)=(-1)ne-nnf(Xn1)=_

6、eVf(Xn)所以數(shù)列|f(xn)|是公比q=-e-n的等比數(shù)列，且首項(xiàng)f(x1)=-e-n(2)Sn=X1f(X1)+x2f(x2)+xnf(xn)=nq(1+2q+nqn-1)1n1naS=nq(q+2q2+nqn)=nq(-nqn)從而S=L(-nqn)1 -q1_q1_qSiS2恥F'Snrq2q2n、rqn22 3(1q)2n(1-q)2n(1_q)3(1_q)2-nT|q|=e<1limqn=0,nJpCC.f(x)=OD.f(x)=1答案：C解析：f(x)=0,0'=0,f(x)=f'(x).4 已知f(x)=ln|2x|,則f'(x)=()

7、A.1xB.丄2xC.|x|答案：1D.|2x|A解析：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=ln(2x),f，(x)=cf，(x)=1xx25已知函數(shù)f(x)=ln(x-2)-(a為常數(shù)且a=0)(1)求導(dǎo)數(shù)f'(x)答案：f(x)x-2_a“X幼解不等式:f'(x)>0答案：令f，(x)=x0(x.2).x-2ax>02即2x+2x-a=0勺A=4+4ax+2x-a>0(i)當(dāng)a<-1時(shí)，x2+2x-a>恒成立，x>2.(ii)當(dāng)a>-1時(shí)，二0,x22x-a0的解集為x|x>a1_1或x：-.a1_1當(dāng)-1<aw8時(shí)，,a1_1

8、冬2,.x.2.當(dāng)a>8時(shí)，,aT-1>2,x>、aT-1.綜合得，當(dāng)aw8時(shí)，f，(x)>0的解集為(2,+s).當(dāng)a>8時(shí)，f，(x)>0的解集為(、.a1-1,+).命題角度2導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用1.(典型例題)曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為.考場(chǎng)錯(cuò)解填2由曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)的切線斜率為1,.切線方程為y-仁=x-1,y=x.所以三條直線y=x,x=0,x=2所圍成的三角形面積為S=Zx2X2=22專家把脈根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某點(diǎn)處的切線斜率等于函數(shù)在這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，上面的解答顯然是不知道這點(diǎn)，無(wú)故得出

9、切線的斜率為1顯然是錯(cuò)誤的。對(duì)癥下藥填8。Tf'(x)=3x2當(dāng)x=1時(shí)f'(1)=3.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點(diǎn)(1,1)處的斜率為3。即切線方程為y-1=3(x-1)得y=3x-2.24)。又y=3x-2與x軸交于(一，0)。3三條直線所圍成的面積為2、83333是函數(shù)f(x)=x+ax與g(x)=bx+c的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖像在PS=2x4X2-)=8。2332.(典型例題)設(shè)t豐0,點(diǎn)P(t,0)點(diǎn)處有相同的切線。(1) 用t表示a、b、c;(2) 若函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減，求t的取值范圍。聯(lián)立:T2得交點(diǎn)(2,-f(t)=g(t

10、)t3+at=bt2+c.由得b=t,代入得a=-t2.考場(chǎng)錯(cuò)解(1).函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)P(t,0).3=3t+a=2bt. 又兩函數(shù)的圖像在點(diǎn)P處有相同的切線，f'(t)=g(t)c=-t3.t表示a、b、c,其實(shí)錯(cuò)解在f(t)=0，即t3+at=0，因?yàn)閠工0,所專家把脈上面解答中得b=t理由不充足，事實(shí)上只由、兩式是不可用使用兩函數(shù)有公共點(diǎn)P,只是利用f(t)=g(t)是不準(zhǔn)確的，準(zhǔn)確的結(jié)論應(yīng)是以a=-t2.2g(t)=0即bt+c=0,所以c=ab又因?yàn)閒(x)、g(x)在(t,0)處有相同的切線，所以f'(t)=g;(t

11、).即3t+a=2bt,/a=-t,b=t.因此c=ab=-tt=-t23故a=-t,b=t,c=-t3223解法1y=f(x)-g(x)=x-tx-tx+ty'=3x-2tx-t=(3x+t)(x-t).當(dāng)y'(3x+t)(x-t)<0時(shí)，函數(shù)y=f(d)-g(x)單調(diào)遞減。由y'0,若t<0,則t<x<-,若t>0,則-<x<t.3 3則題意，函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減，則(-1,3)(-3,t)或(-1,3)(t，-3)所以t>3或-丄>3。即t<-9或t>3。3又當(dāng)-9&l

12、t;t<3時(shí)，函數(shù)y=f(x0-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞增，所以t的取值范圍(-,-9)U(3,+)3223解法2y=f(x)-g(x)=x-tx-tx+t,22y'=3x-3tx-t=(3x+t)(x-t).函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減，且y'(3x+t)(x-t)<0在(-1,3)上恒成立，.'|x=4蘭o即_3+1)(-_t)蘭oy'|x<0(9卄)(3-t)Wo-解得tW-9或t>3.3.(典型例題)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處有極值。(1) 討論f(1)和f(-1)是函

13、數(shù)的極大值還是極小值。(2) 過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線y=f(x)的切線，求此切線方程。2考場(chǎng)錯(cuò)解(1)f(x)=3ax2bx-3依題意f(1)=f1)=0(Rn3aPb-3=0"”/口即/解得：a=1,b=0.3a-2b3=032/f(x)=x-3x,f'(x)=3x-3=3(x-1)(x+1)令f'(x)=0.得x=±1.若x(-a,-1)U(1,+g)時(shí)，f'(x)>故f(x)在(-g,-1)和(1,+g)上都是增函數(shù)。若x(-1,1),則f'(刈<故f(x)在(-1,1)上是減函數(shù)，所以f(-1)=2是極大值；f(1)=-

14、2是極小值。(2) tf'(x)=3x2-3,過(guò)點(diǎn)A(0,16),因此過(guò)點(diǎn)A的切線斜率為k=-3.二所求的切線方程是y=-3專家把脈上面解答第(2)問(wèn)錯(cuò)了，錯(cuò)誤原因是把A(0,16)當(dāng)成了切點(diǎn)，其實(shí)A(0,16),不可能成為切點(diǎn)。因此過(guò)點(diǎn)A不在曲線，因此根求方程必須先求切點(diǎn)坐標(biāo)。2一對(duì)癥下藥(1)f'(x)=3ax+2bx-3，依題意f'(1)=f'(-1)=0剛3a-+2b-3=0A7JZB.,_即，解得a=1,b=0尹-2b=032 f(x)=x+3x,f'x)=3x-3=0.解得x=±1.又x(-g,-1)U(1,+g)f'(x)

15、>0 f(x)在(-g,-1)與(1,+g)上是增函數(shù)。若x-1,1時(shí)，f'(x丘0,故f9x)在-1,1上是減函數(shù)。 f(-1)=2是極大值。f(1)=-2是極小值。3(2)解：曲線方程為y=f(x)=x-3x,點(diǎn)A(0,16)不在曲線上。設(shè)切點(diǎn)M(xo,y。)，則點(diǎn)M在曲線上，yo=x3o-3xo.因f'(xo)=3x2o-3.故切線的方程為y-yg=(3x2q-3)(x-x0)./點(diǎn)A(0,16)在曲線上，有16-(x2o-O)23=3(xo-1)(0-xg),化簡(jiǎn)得xg=-8，得Xo=-2.專家會(huì)診設(shè)函數(shù)y=f(x),在點(diǎn)(xo,yq)處的導(dǎo)數(shù)為f'(xo

16、)，則過(guò)此點(diǎn)的切線的斜率為f'(xo),在此點(diǎn)處的切線方程為y-yo=f'(xo)(x-xg).利用導(dǎo)數(shù)的這個(gè)幾何意義可將解析幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解?？紙?chǎng)思維訓(xùn)練1曲線y=2x-x3在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為.答案：x+y-2=0解析：Ty'=2-3x2.y'|x=1=2-3=-1,切線方程為y-1=-(x-1).即x+y-2=0.2曲線y=x3在點(diǎn)(a,a3)(a豐0)處的切線與x軸，直線x=a所轉(zhuǎn)成的三角形的面積為1,則a=.6答案：土1解析：曲線在(a,a3)處的切線斜率為3a2.切線方程為y-a3=3a2(x-a)且它與x軸.x=a的交點(diǎn)為(-a

17、,0)、(a,a3),S=-*a*a-.3 236 a4=1,解得a=±1.3已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx(a*0)(1)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍。2答案：b=2時(shí)，h(x)=lnx-ax2-2x，貝Vh'(x)=-ax-2=-ax2x-1.2xxt函數(shù)h(x)存在單調(diào)逆減區(qū)間，h'(x)<0有解.又Tx>0,則ax2+2x-1>0有x>0的理. 當(dāng)a>0時(shí)，ax2+2x-1>0總有>0的解. 當(dāng)a<0,要ax2+2x-1>0總有>0的解.則

18、厶=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根，此時(shí)-1<a<0.綜上所述,a的取值范圍是(-1,0)U(0,+g)C、C2(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像C與函數(shù)g(x)圖像C2交于點(diǎn)P、Q過(guò)線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交于點(diǎn)MN證明Ci在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行。答案：證法1.設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是(Xi、yi),(X2,y2),0<Xi<X2.則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為x=蘭X2,2C1在點(diǎn)M處的切線斜率為Xi-X2Z2=2x<|-.-x2C2在點(diǎn)M處的切線斜率為k2=ax+b|XiX2二a(XiX2)b-2假設(shè)Ci在點(diǎn)M處的切線與C在點(diǎn)

19、N處的切線平行，則ki=k2.即_嚴(yán)I)七,則XiX222(X2-X|)X-Ix2a22a2a2(x2-x-i)b(x2-X)(x2bx2)_(x-i-bx-i)222y2yi=lnx2-lnxi.x22(丄-i)xi所以in竺4Xii+X2X2(t-i)則int=-t0.(i)令r(t)=int-蘭2t.i.i卅2則r'(t)=-匸老t(t十i)2t(t+i)2因?yàn)閠>i時(shí)，r'(t)>所以r(t)在i,+上單調(diào)遞增，故r(t)>r(i)=0.則lnt>空包.這與矛盾,假設(shè)不成立.i十t故Ci在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行，證法i得(x2+x

20、i)(inx2-lnxi)=2(x2-xi).因?yàn)閄i>0,所以(X2i)in(生-i).x-x-令t=，得(t+i)int=2(t-1),t>1xi令r(t)=(t+i)int-2(t-1),t>1,則r'(t)=int-i.t因?yàn)?Int-)'=2二牙-,所以t>1時(shí),(int+-)'>0.故Int+1在1,+g上單調(diào)遞增從而Int+!-i>0,即r1(t)>0.于是r(t)在1,+g上單調(diào)遞增故r(t)>r(1)=0.即(t+1)Int>2(t-1).與矛盾，假設(shè)不成立。故C1在點(diǎn)M處的切與C2在點(diǎn)N處的線不平

21、行14已知函數(shù)f(x)=|1-|,(x>0)x(1)證明：0<a<b,且f(a)=f(b)時(shí)，ab>1;答案：由f(a)=f(b)得|1-11=|1-1|.ab若1-1與1-1同號(hào)，可得ab故1-1與1-1必異號(hào)，即ab111-a=1-b=a=b這與°<a<b矛盾a4441=1-一二一亠一=2=2ab=a2、ab,故、ab.1,即ab.1.abab(用點(diǎn)P(xo,yo)(O<xo<1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的線與x軸、y軸的正方向所圍成的三角形面積表達(dá)式Xo表示)。答案：0<x<1時(shí)，y=f(x)=|1-1|=1-1.x

22、x二f'x0)=$,0：x0：1.曲線y=f(x)在點(diǎn)P(X0,y°)處的切線方程為：y-y0=-$(x-x°)x0xo即y=_-2-Xo.x2xo切線與x軸、y軸、正向的交點(diǎn)為(xo(2-ao),o)和(o,丄(2_xo)xo故所求三角形面積表達(dá)式為A(xo)=1xo(2-xd)*丄(2-xo)=丄(2-xo)2.2xo2命題角度3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. (典型例題)已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間-2,2上最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值?？紙?chǎng)錯(cuò)解(1)f'(x)=-3x2+6x+9,令f&#

23、39;(x)<0,解得x<-1或x>3,函數(shù)f(x)的音調(diào)遞減區(qū)間為(-m,-1)(3,+)(2)令f(x)=0,得x=-1或x=3當(dāng)-2<x<-1時(shí),f'(x)<0;當(dāng)-1<x<3時(shí)，f'(x)>0;當(dāng)x>3時(shí)，f'(x)<0. x=-1,是f(x)的極不值點(diǎn)，x=3是極大值點(diǎn)。 f(3)=-27+27+27+a=20,a=-7.f(x)的最小值為f(-1)=-1+3-9+a=-14.專家把脈在閉區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值，應(yīng)把極值點(diǎn)的函數(shù)值與兩端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較大小才能產(chǎn)生最大(小)值點(diǎn)，而上面解

24、答題直接用極大(小)值替代最大(小)值，這顯然是錯(cuò)誤的。2一對(duì)癥下藥(1)f'(x)=-3x+6x+9,令f'(x)<0,解得x<-1或x>3.因?yàn)閒(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(x)在-1,2因?yàn)樵?-1,3)上f'(x)>0,所以f(x)在-1,2上單調(diào)遞增，又由于f(x)在-2,-1上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間-2，2上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,f-1=1+3-9-2=-7即函數(shù)f(x)

25、在區(qū)間-2，2上的最小值為-7。32.2. (典型例題)已知函數(shù)f(x)=ax+3x-x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍?？紙?chǎng)錯(cuò)解/f'(x)=3ax+6x-1,因?yàn)閒(x)在R上是減函數(shù)，所以f'(x)=3ax+6x-1<0對(duì)任何xR恒成立。.3a<0-<解得a<-3.06+12a£0專家把脈當(dāng)f'(x)>e,f(x)是減函數(shù)，但反之并不盡然，如f(x)=-x3是減函數(shù)，f'(x)=3)并不恒小于0,(x=0時(shí)f'(x)=0.因此本題應(yīng)該有f'(在R上恒小于或等于0。對(duì)癥下藥函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：f

26、9;(x)=3+6x-1.當(dāng)f'(x)=3a+6x-1<0對(duì)任何xR恒成立時(shí)，f(x)在R上是減函數(shù)。對(duì)任何xR,3ax2+6x-1<0恒成立，：二a<0且厶=36+12a<0=a<-3.所以當(dāng)a<-3時(shí)，由f'(x)<對(duì)任何xR恒成立時(shí)，f(x)在R上是減函數(shù)。 當(dāng)a=-3時(shí),f(x)=-3x3+3x2-x+仁-3(x-1)'+9.38由函數(shù)y=x3在R上的單調(diào)性知，當(dāng)a=-3時(shí)，f(x)在R上是減函數(shù)。 當(dāng)a>-3時(shí)，f'(x)=3a+6x-1>0在R上至少可解得一個(gè)區(qū)間，所以當(dāng)a>-3時(shí)，f(x)

27、是在R上的減函數(shù)。綜上，所求a的取值范圍是(-R,-3)。23. (典型例題)已知aR討論函數(shù)f(x)=ex(x+ax+a+1)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。22考場(chǎng)錯(cuò)解f'(x)=ex(xax+a+1)+ex(2x+a)=exx+(a+2)x+(2a+1).2令f'儀)=得x+(a+2)x+(2a+1)=0,(*)22=(a+)2-4(2a+1)=a-4a.當(dāng)a2-4a>0,即a>4或a<0時(shí)，方程(*)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X1、X2，因此函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)。當(dāng)a2-4a=，即玄=或a=0時(shí)，方程(*)有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根X1=x2。因此函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)。當(dāng)a2

28、-4a<0,即0<a<4時(shí)，方程(*)沒(méi)有實(shí)根，因經(jīng)函數(shù)f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)。專家把脈以上解法看似合理，但結(jié)果有誤，原因就在于將駐點(diǎn)等同于極值點(diǎn)，方程f'=0的實(shí)根個(gè)數(shù)并不等價(jià)于f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，要使駐點(diǎn)成為極值點(diǎn)，必須驗(yàn)證在此點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(hào)，即函數(shù)在此點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性相反，如果一味地把駐點(diǎn)等同于極值點(diǎn)，往往容易出錯(cuò)。x2xx2對(duì)癥下藥f'(x)=e+ax+a+1)+e(2x+a)=ex+(a+2)x+(2a+1)令f'(x)=得x+(a+2)x+(2a+1)=0.2(1) 當(dāng)厶=(a+2)2-4(2a+1)=a-4a=a(a-4)>0即a&

29、lt;0或a>4時(shí)方程x+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x2,不妨設(shè)X1<X2.于是f'(X)=e<-X1)(X-X2),從而有下表X(-m,x1X1(X1,X2)X2(X2,+8)F'(x)+0-0+F(x)f(X1)有極大值f(X2)有極小值即此時(shí)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)。(2)當(dāng)厶=0,即a=0或a=4時(shí)，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個(gè)相同的實(shí)根X1=X2于是f'(X)=%-X1)2.故當(dāng)x<xi時(shí)，f'(x)>0；X>Xi時(shí)，f'(x)>因此f(x)無(wú)極值。(3) 當(dāng)厶<

30、0,即0<a<4時(shí),x2+(a+2)x+(2a+1)>0,f'x2+)=e2)x+(2a+1)>0,故f(x)為增函數(shù)，此時(shí)f(x)無(wú)極值點(diǎn)，因此，當(dāng)a>4或a<0時(shí)，f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)0wa<4時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn)。4. (典型例題)設(shè)函數(shù)f(x)=x-In(x+m)其中常數(shù)m為整數(shù)。(1)當(dāng)m為何值時(shí)，f(x)>0;定理：若g(x)在a、b上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)x°(a、b),使g(x0)=0試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，方程f(x)=0,在e-m-m,e2m-m內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根?？紙?chǎng)錯(cuò)

31、解令f(x)>0,x>ln(x+m).meex-xm取小于或等于ex-x的整數(shù)。專家把脈上面解答對(duì)題意理解錯(cuò)誤，原題“當(dāng)m為何值時(shí)，f(x)>0恒成立”，并不是對(duì)x的一定范圍成立。因此，meex-x這個(gè)結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的。1對(duì)癥下藥(1)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+g)連續(xù)，且f'(x)=,令f'(x)=0,x=1-m.x+m當(dāng)-m<x<1-m時(shí)，f'(x)<0,f(x)減函數(shù)；當(dāng)x>1-m時(shí)，f'(x)>0,f(為增函數(shù)。x根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且對(duì)x(-m,+g)

32、都有f(x)>f(1-m)=1-m，故當(dāng)1-m=f(min)>0,即me1時(shí)，f(x)>0.即me1且mZ時(shí)，f(x)>0.證明：由(1)可知，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，f(1-m)=1-m<0,f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0,又f(x)為連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)m>1時(shí)，f(e-m-m)與f(1-m)異號(hào)，由所給定理知，存在唯一的X1(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而當(dāng)m>12m、2m2m2m(2m-1)時(shí)，f(e-m)=e-3m>(1+1)-3m>1+2m+-3m>0.(Tm>1:2m-1

33、>1).類似地，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，f(x)=x-ln(x+m)在1-m,e2m-m上為連續(xù)增函數(shù)，且f(1-m)與f(e2m-m)異號(hào)，由所給定理知，存在唯一的x+(1-m,e2m-m)使f(X2)=0.故當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，方程f(x)=0在e-m-m,e2m-m內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。5. (典型例題I)用長(zhǎng)為90cm,寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)小正形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90。角，再焊接而成(如圖，)問(wèn)該容器高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？考場(chǎng)錯(cuò)解設(shè)容器的高為X,容器的容積為V,則V=(90-2x)(48-2x)x=4x3-276x2+4320

34、x/V'=12x2-552x+4320=0得X1=10,x2=36又x<10時(shí)，V'<0,10<x<36,V'>0,x>36時(shí)，V'<0當(dāng)x=36時(shí)，V有極大值V(36)<0故V沒(méi)有最大值。專家把脈上面解答有兩處錯(cuò)誤：一是沒(méi)有注明原函數(shù)定義域；二是驗(yàn)算f'(x)的符號(hào)時(shí)，計(jì)算錯(cuò)誤，x<10,V'>0;10<x<36,V'<0;x>36,V'>0.對(duì)癥下藥設(shè)容器的高為x,容器的容積為V。則V=(90-2x)(48-2x)x32=4x-276x+

35、4320x(0<x<24)/V'=12x2-552x+43202由V'=12x-552x+4320=0得xi=10,x2=36/x<10時(shí),V'0,10<x<36時(shí)，V'0,x>36時(shí)V'O.所以，當(dāng)x=10時(shí)V有最大值V(10)=1960cm3又V(0)=0,V(24)=0所以當(dāng)x=10時(shí),V有最大值V(10)=1960。所以該窗口的高為10cm容器的容積最大，最大容積是1960cm3.專家會(huì)診1 證函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)，可以用函數(shù)的單調(diào)性定義，也可用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明，前者較繁，后者較易，要注意若f(x)在(a、

36、b)內(nèi)個(gè)別點(diǎn)上滿足f'(x)=0(或不存在但連續(xù))其余點(diǎn)滿足f(x)>0(或f(x)<0)函數(shù)f(x)仍然在(a、b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，即導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是增、減區(qū)間的分界點(diǎn)。2 函數(shù)的極值是在局部對(duì)函數(shù)值的比較，函數(shù)在區(qū)間上的極大值(或極小值)可能有若干個(gè)，而且有時(shí)極小值大于它的極大值，另外，f'(x)=0是可導(dǎo)數(shù)f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對(duì)于連續(xù)函數(shù)(不一定處處可導(dǎo))時(shí)可以是不必要條件。3函數(shù)的最大值、最小值，表示函數(shù)f(x)在整個(gè)區(qū)間的情況，即是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值的比較，連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a、b上必有一個(gè)最大值和一最小值，最多

37、各有一個(gè)，但f(x)在(a、b)上就不一定有最大值(或最小值)。4.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)求f(x)在(a、b)的最大值時(shí)，f'(x)=0在(a,b)的解只有一個(gè)，由題意最值確實(shí)存在，就是f'(x)=0的解是最值點(diǎn)?？紙?chǎng)思維訓(xùn)練1已知mR,設(shè)P：X1和x2是方程x2-ax-2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式|m2-5m-3|>|X1-X2|對(duì)任意實(shí)數(shù)a-1,1恒成立。Q:函數(shù)f(x)=x3+(m+-4)x+6在(-g，+上有極值。求使P正確且Q正確的m的取值范圍。答案：解：T|x1-x2|=J(x)x2)2-4x)x2-：a28(T_a_1).|x1-x2|W3由題意，不等式|m2-

38、5m-3|>3的解集。由此不等式得2m-5m-3w-3或m2-5m-3>3不等式的解為0WmW5.不等式的解為mW-1或m6.因此，當(dāng)mW-1或0wmW5或m>6時(shí)，P；是正確的。對(duì)函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+4)x+6求導(dǎo)f(x)=3x2mx+m+.3令f(x)=0即3x2+2mx+m+-=0。此一無(wú)二次方程的判別式3=4ni-12(m+4)=4m2-12m-16.3若厶二。，則f(x)=O有兩個(gè)相等的實(shí)根X0,且f(X)的符號(hào)如下:X(-8,X0)X0(X0+8)F'x)+0+因此f(x0)不是函數(shù)f(x)的極值.若厶>0,則f(x)=0有兩個(gè)不相等的

39、實(shí)X1和X2(x1<X2)，且f(x)的符號(hào)如下:X(-8,X1)XX1X2乂2(X-8)F'(x)+0-0+因此，函數(shù)f(x)在x=xi處取得極大值，在X=X2處取得極小值.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)A>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(-a,+8)上有極值.由A=4m2-12m-16>0得m<-1或m>4因此，當(dāng)m<-1或m>4時(shí)，Q是正確的.綜上，使P正確且Q正確時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-a,-1)U(4,5)U6,+a.4x2_72已知函數(shù)f(x)=0,12_x(1)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間和值域；2答案：對(duì)函數(shù)F(x)求導(dǎo)，得f(x)=二竺16X-7=_(

40、2x-1)(2x一7)(2x)2a3a2蘭r3-3即"卜2a3-3.解得1蘭£a_1已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2x)令f(x)=0解得x=2或x=.22當(dāng)X變化時(shí)f(x)、f(x)的變化情況如下表.X01(0,1)212(討1F'(X)-0+72-4/-3所以，當(dāng)x(0,丄)時(shí)f(x)是減函數(shù);2當(dāng)x(丄，1)時(shí)f(x)是增函數(shù).2當(dāng)x0,1時(shí)f(x)的值域?yàn)?4，3.(2) 設(shè)a>1,函數(shù)g(x)=x-3ax-2a,x0,1若對(duì)于任意x10,1,總存在x00,1,使得g(x0)=f(x”成立,求

41、a的取值范圍.答案：對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得g'(x)=3(x2-a2).因?yàn)閍>1時(shí)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g'(x)<3(1-a2)<0.因此當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)為減函數(shù)，從而求x0,1時(shí)有22g(x)1-2a-3a,-2a.任給X10,1,缺)-4,-3.存在x00,1使得g(x°)=f(X0),則1-2a-3a,2a-4,答案：函數(shù)的定義域?yàn)?-1,+8),f(x)=丄-1，令f(x)=O，解得x=0，當(dāng)-1<x<0時(shí)f(x)>0，當(dāng)x>01 +x時(shí)f(x)<0,f(0)=0，故當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí),f(x)取得最大

42、值，最大值為0.(2)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g(ab)<(b-a)2答案：g(x)=xlnx,g'(x)=Inx+1，設(shè)F(x)=g(a)+g(x)-2g()則F'(x)=g'(x)-2g(_)'=lnx-ln當(dāng)0<x<0,F'(x)<0.因此F(x)在(0,a)上單調(diào)遞減.當(dāng)x>a時(shí)，F(xiàn)'(x)>0，因此F(x)在(a,+8)上為增函數(shù).從而x=a時(shí)，F(xiàn)(x)有極小值F(a).因?yàn)镕(a)=0,b>a.所以F(b)>0.即0<g(a)+g(b)-2g(

43、ab).2設(shè)G(x)=F(x)-(x-a)In2，貝UG'(x)=Inx-lnx-ln2.=lnx-ln(a+x).當(dāng)x>0,G(x)<0，因此C(x)在(0,+8)上為減函數(shù).因?yàn)镚(a)=0,b>a,所以G(b)<0.a+x即g(a)+g(b)-2g(2)<(b-a)ln2.4 設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中aR,(1) 若f(x)在x=3處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值。答案：f(x)=6x26(a+1)x+60=6(x-a°(x-1)因f(x)在x=3取得極值，所以f(3)=6(3-a)(3-1)=0，解得a=3.經(jīng)檢

44、驗(yàn)當(dāng)a=3時(shí)x=3為f)(x)的極值點(diǎn).(2) 若f(x)在(-8,0)上為增函數(shù)，求a的取值范圍。答案：令f(x)=6(x-a)(x-1)=0得X1=a,x2=1.當(dāng)a<1時(shí)，若x(-8,-a)U(1,+8)，貝yf(x)>0，所以f(x)在(-8,a)和(1,+8)上為增函數(shù).故當(dāng)0<0<1時(shí)f(x)在(-8,0)上為增函數(shù).5某企業(yè)有一條價(jià)值a萬(wàn)元的流水生產(chǎn)線，要提高該流水生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，就要對(duì)充水生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)改造，假設(shè)增加值y萬(wàn)元與技改把風(fēng)入x萬(wàn)元之間的關(guān)系滿足y與(a-x)x2成正比例；3當(dāng)x=a時(shí)，y=H；0<x一Wt,其中t為常

45、數(shù)且t0,2.2 22(a-x)(1) 設(shè)y=f(x),求出f(x)的表達(dá)式，并求其定義域；答案：f(x)=8a2x212x3=(0wx-2ta,丄WtW2).'1七t2(2)求出增加值y的最大值，并求出此時(shí)的技改投入x值。答案：f(x)=16a2x-36x2，令f(x)=0，得x=2a，當(dāng)1wt<1時(shí)f(x)=36(x2-4a2)<0.(/213>2a)3 291+2t3f(x)在0,匹上是減數(shù)，當(dāng)x=t時(shí)，ymas=f(2)=16ta,當(dāng)1Wtw2時(shí)f(x)=-36(x2a).12t12t12r(12t)392ta22z22z2163<a/0<x<

46、;a時(shí)f(x)>0;<xWa時(shí)f(x)<0,.x=-aa時(shí)，ymax=f(a)=a.12t33333127探究開(kāi)放題預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)角度1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義1已知拋物線y=-x2+2,過(guò)其上一點(diǎn)P引拋物線的切線I，使I與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的面積最小，求I的方程。S,在利用函數(shù)關(guān)系式求最值就可以解題思路設(shè)法用某個(gè)變量(如P點(diǎn)橫坐標(biāo))去表示三角形的面積解決問(wèn)題。2解答設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(X0,-x0,+2).y'=-2x,過(guò)P點(diǎn)的切線方程為：2y-(-xo+2)=-2xo(x-xo)令x=0得y=x2o-x2o+2=x2o+2>O22y=0得x=Xo+2xo-x0-2xo2x

47、oS=-2xg22xo2(xo+2)(xo>O)_1x44x#-44xoS'=-(3x2o+4-4)令s'=0得xo=64 x3又o<xo<±6時(shí)，S'<o；蘭<x時(shí)S'>o.33當(dāng)xo=時(shí)，S最小。3把xo討代入得1的方程為:2、6x+3y-8=o.2由原點(diǎn)O向三次曲線y=x3-3ax2(o)引切線，切于點(diǎn)P-(x-,y-)(O,P-兩點(diǎn)不重合)，再由P-引此曲線的切線，切于點(diǎn)P2(X2,y2)(P1,P2不重合)。如此繼續(xù)下去，得到點(diǎn)列Pn(Xn,yn)(1) 求X1；(2) 求Xn與Xn+1滿足的關(guān)系式；若a&

48、gt;0，試判斷Xn與a的大小關(guān)系并說(shuō)明理由解題思路利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，再通過(guò)切線方程找到Xn、Xn+1的遞推關(guān)系，通過(guò)遞推關(guān)系求出xn的通項(xiàng)公式，最后按n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況的討論可得xn與a的大小關(guān)系。解答(1)由y=x3-3ax2,得y'=3x2-6ax過(guò)曲線上點(diǎn)P1(X1,y1)的切線L1的斜率為3x21-6ax1.L1的方程為y-(x31-3ax21)=(3x21-6ax"(x-x1).又tL1過(guò)原點(diǎn)，故有：-(x1-3ax1)=-x1(3x1-6ax1)323二2x1=3ax1,二X1=a2322(2) 過(guò)曲線上的點(diǎn)R+1(Xn+1,yn+1)的切線方

49、程是y-(xn+1-3aXn+1)=(3xn+1-6aXn+1)(X-Xn+1)TLn+1過(guò)曲線上點(diǎn)Pn(xn,yn).故xn-3axn-(xn+1,-3axn+1)=(3xn+1-6axn+1)(xn-xn+1).即X3n-Xn+1-3a(xn-Xn+1)=(3xn+1-6aXn+1)(Xn-xn+1).Xn-Xn+1工0,222n+1-xn+XnXn+1+Xn+1-3a(xn+xn+1)=3x-6ax22Xn+XnXn+1-2xn+1-3a(xn+Xn+1)=0(Xn-xn+1)(xn+2Xn+1-3a)=0.-Xn+2Xn+1=3a.(3) 由(2)得Xn+1=-1x3a22_1-Xn+

50、1-a=-2(Xn-a)故數(shù)列Xn-a是以X1-a=1a為首數(shù)，公比為冷的等比數(shù)列。xn-a=(-1)n-122當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，xn-a=-a(-丄)門<0./.xn<a21當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xn-a=-a(-)n>0./.xn>a.2預(yù)測(cè)角度2利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性1.已知mR,研究函數(shù)f(x)=m"3(m嚴(yán)鋪6的單調(diào)區(qū)間Xe解題思路先求f'(再令f'(x)>00f'()0<可解得函數(shù)的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間。、2mx+3(m北)2%-mx2+3(m+1)x+3mf'(x):解答(dx)22-mx(m，3)x-3ex2記g

51、(x)=-mx-(m+3)x-3ex>0,只需g(x)的正負(fù)即可。(1)當(dāng)m=0時(shí)，g(x)=-3x-3.當(dāng)g(x)>0時(shí)，x<-1,f'(x)>0當(dāng)g(x)<0時(shí)，x>-1,f'(x)<0.當(dāng)m=0時(shí)，f'(x)的增區(qū)間為(2)當(dāng)m0時(shí),g(x)有兩個(gè)根:-m,-1),減區(qū)間為(-1,+m)。3彳X1=-,X2=-1.m當(dāng)m<0時(shí)，X1>X2,在區(qū)間(7-1)U(鳥+)上，g(X)>°，即f'(gf(x)在(-8,-1)U(-3，+8)上是增函數(shù)。在區(qū)間(-1,-)上,g(x)<0，即

52、f'(x)<0.mf(x)在(-1,-)上是減函數(shù)。m當(dāng)0<m<3時(shí)，X1<X2.在區(qū)間(-m,-3)U(-1,+8)上g(x)<0,即f'(x)<0.m函數(shù)f(x)在(-m,-)U(-1,+m)上是減函數(shù)，在區(qū)間(-,-1)上,g(x)>0，廠(x)>0mmf(x)在(-色,-1m)上是增函數(shù)。m=3時(shí)，X1=X2.在區(qū)間(-m,-1)U(-1,+m)上g(x)<0,f(x)<0。/f(x)在X=-1處連續(xù)。.f(x)在(-m,+m)上是減函數(shù)。當(dāng)m>3時(shí)X1>X2。在區(qū)間(-m,-1)U(-,+m)上，

53、g(x)<0,f'x)<0。m3If(x)在(-m,-1)U(,+m)上是減函數(shù)。m在區(qū)間(-1,-2)上,g(x)>0，即f'(x)>0.mf(x)在(-1,-3)上是增函數(shù)。m4-x-1X2ax在區(qū)間43242.已知函數(shù)f(x)=7即一守"2ax在X=1處取極值，且函數(shù)g(x)=(a-6,2a-3)內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍。32解答f'(x)=x-bx-(2+a)x+2a由f'(1)=0得b=1-a.f'x)=x3+(1-a)x2-(2+a)x+2a=(x-1)(x+2)(x-a)2若a=1時(shí)f'(x)=(

54、x-1)(x+2).x(-2,1)f'(x)>0x(1,+m),f'(x)>0. X=1不是極值點(diǎn)。 1又b=1-a.g(x)=x3+(1-a)x2-(a-1)x-a=(x-a)(x2+x+1).當(dāng)x<a時(shí),g'(x)<0, g(x)在(-m,a)上遞減，(a-6,2a-3)(-m,a) a-6<2a-3wa,-3<aw3.綜合，得a的范圍為(-3,1)U(1,3)。3.已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定義在R上的函數(shù)，其圖像交x軸于AB、C三點(diǎn)，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),且f(x)在-1,0和4,5上有相同的單調(diào)性，在0,2

55、和4,5上有相反的單調(diào)性。(1) 求C的值；(2) 在函數(shù)f(x)的圖像上是否存在一點(diǎn)M(X0,y0)使得f(x)在點(diǎn)M處的切線斜率為3b?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。解題思路根據(jù)題設(shè)條件作出f(x)的圖像知,f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)為x=0,另一個(gè)極值點(diǎn)在2,4之間，借助這個(gè)結(jié)論可判定在點(diǎn)M處的切線的斜率能否等于3b,解答(1)由題意可知f(x)在-1,0和0,2上具有相反的單調(diào)性。x=0是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，故f'(0)=0。即3ax+2bx+c=0有一個(gè)解為x=0.c=0。(2)vf(x)交x軸于點(diǎn)B(2,0)。8a+4b+d=0,即d=-4(b+2a).22

56、b令f'(x)=0，貝U3ax+2bx=0,xi=0,x2=一3af(x)在0,2和4,5上具有相反的單調(diào)2<-空<4,-6<-<-3。3aa2假設(shè)存在點(diǎn)M(xo,yo),使得f(x)在點(diǎn)M處的切線斜率為3b,則f'xc)=3b。即3axo+2bxo-3b=0。=(2b)2-4x3ax(-3b)=4+36ab=4ab(+9)a.又-6wbw-3,<0.a不存在點(diǎn)M(xo,yo),使得f(x)在點(diǎn)M處的切線斜率為3b。4已知函數(shù)f(x)=1x3+-1(b-1)/+cx(b,c為常數(shù))(1)若f(x)在x(4,x1)及x(X2+8)上單調(diào)遞增，且在x(

57、X1,x2)上單調(diào)遞減，又滿足0<X2-X1<1.求證b2<2(b+2c).在(1)的條件下，若t>x1,試比較12+bt+c與X1的大小，并加以證明。解題思路由f(x)的單調(diào)性可知X1、X2是f'x)=0的兩根，<X2-x1<1可證明(1),(2)可用作差比較法。解答Tf(x)在X(-a,X1)及X(X2,+8)上單調(diào)遞增，且在X(X1,X2)上單調(diào)遞減，X=X1或X=X2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，即fx1)=0,f(x2)=0。2/f'(x)=x+(b-1)x+c. X1、X2是方程x+(b-1)x+c=0的兩根，得紀(jì)xg"又.0

58、<x2-x1<1,“=C22(X2-X1)<1,即(x1+X2)-4x1X2<1.22 (1-b)-4c<1.b<2(b+2c)(2)由(1)有b=1-(x1+X2)c=X1X2.-(t2+bt+c)-x1=t2+1-(x1+X2)t+x1X2-X1=(t-xd(t-x2+1)./t>X1,X2-X1<1 t-x1>0,x1<X1+1<t+1 (t-x1)(t-x2+1)>0 12+bt+c>x1.預(yù)測(cè)角度3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值1. 已知函數(shù)f(x)=ax+cx+d(a豐0)是R上奇函數(shù)，當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)取得極值2。(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)