1、導(dǎo)數(shù)與解析幾何大題解題技巧參考資料一：不等式恒成立問題中的參數(shù)求法已知含參數(shù)不等式恒成立求其中參數(shù)取值范圍問題是高考熱點，這里匯集了這類問題的通法和巧法，包括直接求導(dǎo)法、二次求導(dǎo)法、特值壓縮法、分離lnx法、重構(gòu)函數(shù)法、解不等式法、設(shè)而不求法等,都是高考壓軸題最常用到的方法.一、直接求導(dǎo)法1x題目：當(dāng)xw(0,1)時，f(x)=e*x>1恒成立，求a的取值范圍.1-x分析：注意ex|_f(x)型函數(shù)不分離最好，這里f(x)是有理函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)為exLf(x)=exf(x)+ex|_f<x)=exf(x)+f'(x),這里f(x)+f'(x)是有理函數(shù)，容易討論其性質(zhì)

2、.1x、.-ax1xz_ax、.2ax1x_axi,、解：f(x)(-)e-(e)-jLe-e(-a)1-x1-x(1一x)1一x%2a(1立皿2=e2-=e2(1-x)21-x(1-x)2a(1-x2)(1-x)2(1-x)2-axe,(2由ax+2-a可知，我們可以按照二次函數(shù)的討論要求處理，比較復(fù)雜,于是可以考慮分離參數(shù)a,r12_2_2222即ax2-a=a(x-1)2=(x-1)(a)=(x-1)(a2),xT1-x,2.,_.注意到當(dāng)xw(0,1)時，2w(2,)，所以當(dāng)aW2時，f(x)>0,f(x)是增函數(shù),1一x所以f(x)>f(0)=1,當(dāng)a>2時，f(x

3、)=a；：a-<0可解得0<x<Ja三2,即當(dāng)0<x<J三二時,f(x)是減函數(shù)，所以f(x)<f(0)=1,不合題意.綜上，a的取值范圍(g,2.二、二次求導(dǎo)法題目：當(dāng)x之0時，f(x)=ex-1xax230恒成立，求a的取值范圍分析：f(x)=kexax2-bx-c型函數(shù)一般用到二次求導(dǎo)法.解：f(x)=ex12ax,f"(x)=e-2a因為x20,所以ex之1,1.一.一一.一當(dāng)2aM1即aM時，f(x)之0,f(x)是增函數(shù)，所以f'(x)Af'(0)=0,所以f(x)是增函數(shù)，所以f(x)之f(0)=0;1當(dāng)2aa1即aa

4、一時，則當(dāng)0<x<ln(2a)時，f(x)<0,f(x)是減函數(shù)，所以2f'(x)<f'(0)=0,所以f(x)是減函數(shù)，所以f(x)<f(0)=0.，一1所以a的取值氾圍(-00,.2三、特值壓縮法題目：當(dāng)x之2時，f(x)=2kex(x+1)x24x220恒成立，求k的取值范圍.分析：特值法先壓縮參數(shù)范圍，可以大大減少討論步驟，但是這是一個特殊方法，不被重視.解：由Jf(-2)=2ke(-2+1)-(-2)2-4x(-2)-2,0#f(0)=2keO(01)-02-40-2_02_2_-2ke+220,日2得1<k<e,2k-2.0

5、f'(x)=2kex(x+1)+ex2x4=2(x+2)(kex-1),191當(dāng)1MkMe2時，由f(x)=2(x+2)(kex1)=0得ex=weN,1=x=Inw2,0,kk當(dāng)卜=32時，顯然當(dāng)x之-2時，f'(x)0,f(x)為增函數(shù)，從而f(x)>f(-2)=0,21當(dāng)1Ek<e2時，則lnw(-2,0,所以k，一1、當(dāng)xy_2,ln)時，f'(x)<0,f(x)為減函數(shù),k1當(dāng)x=(ln,")時，f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),k11ln：11o1所以f(x)的取小值為f(ln)=2kek(ln-+1)(ln)4(l

6、n-)2kkkk1,、，1、2,1、八，1、21-2(ln1)-(ln)-4(ln)-2-(ln)-2lnkkkkk1212-(ln)-2ln=-(lnk)2lnk=(2-lnk)(lnk)-0kk'所以求k的取值范圍是1wkwe2.四、分離lnx法lnx1lnxk題目：當(dāng)*>0且*#1時，十1+k恒成立，求k的取值范圍.x1xx-1x分析：把lnx分離出來可以使導(dǎo)數(shù)非常簡單.如lnxlnx,k1,11、1k1-2,-k1解：()=()xn=xl-nx1x-1xxx1x-1xx-1x1k-12111_2lnx(x-1)=-2lnx-(k-1)(x)x-1xx-1x(這一步的目的是

7、提取因式2,分離出lnx,由于24的符號不確定，所以分類討論x-1x-1如下)1 .令設(shè)g(x)=2lnx-(k-1)(x-),于是原題等價于xg(x)0,-x(1，二),g(x)：0,-x(0,1).21、g'(x)=(k-1)(1+-),若是通分，分子是一個關(guān)于x的二次函數(shù)，討論比較復(fù)雜,xx1不如再次提取(1+),分離參數(shù)k,這樣會轉(zhuǎn)化為對號函數(shù)，可謂一舉兩得：x21121于是g(x)=-«-1)(1=)=(1二)一丁-(k-1)12下x-xx(k1)121-(1-)-7-(k-1)=(1-)xx1xxh(x)在(1,收)單調(diào)遞減,人2令h(x)=,由對號函數(shù)的單倜性，

8、x-x,，一1當(dāng)x>1時，x+->2,從而h(x)W(0,1),所以當(dāng)(k1)21,x即kM0時，g'(x)之0恒成立，從而g(x)為增函數(shù)，所以g(x)ag(1)=0恒成立;當(dāng)kA0時，(k-1)<1,所以存在>1，使得當(dāng)xW(1,%)時，g'(x)<0,從而g(x)為減函數(shù)，所以g(x)<g(1)=0,不合題意同理可討論當(dāng)0<xc1時,仍然是kw0時，g'(x)至0恒成立，從而g(x)為增函數(shù)，所以g(x)<g(1)=0恒成立;當(dāng)k>0時，_(k1)<1,所以存在x°w(0,l),使得當(dāng)xw(x0

9、,1)時，g'(x)<0,從而g(x)為減函數(shù)，所以g(x)>g(1)=0,不合題意.綜上，k<0五、重構(gòu)函數(shù)法題目：ex-(a+1)xb20恒成立，求(a+1)b的最大值.分析：構(gòu)造以參數(shù)為自變量的函數(shù)是經(jīng)?？嫉某Ｒ?guī)題型解：令f(x)=ex-(a+1)xb,則f(x)=ex(a+1)(1)當(dāng)a+1W0時，f'(x)之0,f(x)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)xt8時，f(x)T3,不合題意.(2)當(dāng)a+1A0時，則當(dāng)x<ln(a+1)時，f'(x)<0,f(x)是減函數(shù)，當(dāng)xln(a+1)時，f'(x)>0,f(x)是增函數(shù)，所以當(dāng)x=

10、ln(a+1)時，f(x)min=f(ln(a+1)=a+1(a+1)ln(a+1)一b至0,所以b<a+1-(a+1)ln(a+1),所以(a+1)b<(a+1)2(a+1)2ln(a+1),其中a+1>0,令g(x)Ex2-x2lnx(x>0),則g'(x)=2x-(2xlnx+x)=x(1-2lnx),當(dāng)0<x<je時，g'(x)>0,g(x)是增函數(shù),當(dāng)xje時，g'(x)<0,g(x)是減函數(shù),所以當(dāng)x=je時，g(x)max=g(A)=eeM；=；,所以(a+1)b的最大值是-.2六、解不等式法mx2題目：設(shè)函

11、數(shù)f(x)=e+x-mx.(1)證明：f(x)在(*,0)單調(diào)遞減，在(0,依c)單調(diào)遞增；(2)若對于任意x,x2引,1,都有|f(xjf區(qū))怪e1,求m的取值范圍.分析：求參數(shù)范圍時，把參數(shù)看成未知數(shù)，解不等式.解：(1)f'(x)=memx+2xm,f"(x)=m2emx+2,因為f“(x)=m2emx+2A0,所以f'(x)=memx+2x-m在R上是增函數(shù)，注意到f(0)=0,所以當(dāng)x<0時，(x)<r(0)=0,當(dāng)x>0時，(x)>(0)=0,所以f(x)在(q,0)單調(diào)遞減，在(0,8)單調(diào)遞增.(2)由(1)可知，f(x)在1,

12、1上的最小值為f(0)=1,f(x)的最大值是f(1)=em1-m和fD=e+1+m,所以|f(xj-f(x2)|的最大值為em-m或e"+m,所以只要em-m<e-1或e+mWe-1,令g(m)=emm,則g'(m)=em1,當(dāng)m<0時，g'(m)<0,g(m)是減函數(shù),當(dāng)m>0時,g'(m)0,g(m)是增函數(shù),1而g(1)=e1,g(-1)=+1,且g(1)>g(1)所以存在mo<-1,使得eg(mo)=g所以由em-m<e1即g(m)<g(1)可得m0<m<1,其中mb<-1而e口+m&

13、lt;e-1即g(5)<g(1),所以mo<m<1,即1<m<-m0,其中m()<1,由、得-1:二m七、設(shè)而不求法已知函數(shù)f(x)=ex-e-2x,(1)設(shè)g(x)=f(2x)4bf(x),當(dāng)x>0時，g(x)>0,求b的最大值，(2)已知1.4142<應(yīng)<1.4143,估計ln2的近似值(精確到0.001)分析：設(shè)而不求那些不容易求出的極值點.解：(1)g(x)=e2x-ex-4x-4b(ex-e-2x),g'(x)=2(e2x+e4x-2)-4b(ex+e、-2),令ex+e=t,則e2x+ex=t2-2,所以g(x)=

14、2(t2-4)-4b(t-2)=(t-2)(t2-2b)=(t-2)t-(2b-2),注意到t=exe'2.exe'=2(x0),所以當(dāng)2b2W2即bW2時，g'(x)主0,g(x)為增函數(shù)，所以g(x)>g(0)=0,當(dāng)b>2時，存在>0,當(dāng)xw0)X0時，g'(x)<0,g(x)為減函數(shù)，所以g(x)<g(0)=0,不合題意，所以b的最大值2.(2)考慮g(in衣=e2ln*e=1n避4ln應(yīng)4b(eln。e"一21n72)=2JZin24b(、-2一停1n2)=|2，,2b(4b2)1n2,由(1)知道，當(dāng)b=2時，

15、g(1n72)=2-275x2+(4x2-2)102>0,所以in24、,254空2-1.5=0,6928,66'那么，下一步如何再取b的值呢？這是不可以隨意取的，我們不得不考慮第二問中的x=x0這個分界點滿足的條件，可以考慮x=1nJ2滿足ex+e(2b2)E0,考慮到滿足等號成立的b的值，e1n#en"(2b2)=0,解得b=*2+1,4則由(1)知,當(dāng)bM+l時，g(1n揚=|2正父(342+1)+4父(342+1)21n2<0,所以1n2/=11-,，所以0,6928<1n2<0,6934，所以1n2=0.691.參考資料二：“一定二動斜率定值

16、”問題的高等背景與初等解以下四個例題，都有類似條件：A是圓錐曲線C上的定點，E,F是圓錐曲線C上的兩個動點，求證直線EF的斜率為定值.我們把這類問題簡稱“一定二動斜率定值”問題，筆者經(jīng)過仔細分析發(fā)現(xiàn)，這類問題的命題者利用了導(dǎo)數(shù)法研究曲線的切線斜率，也就是利用了導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的幾何背景，本文利用極限與導(dǎo)數(shù)這一高等數(shù)學(xué)的方法先探求這個定值，然后利用初等方法給出證明.223例1、如圖1,已知E,F是橢圓七十匕=1上的兩個動點，A(1；)是橢圓上432的定點，如果直線AE與AF關(guān)于直線x=1對稱，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.高等背景：當(dāng)AE與AF的傾斜角都趨近于90：時，直線EF的斜率就趨向于

17、過322A(1=3)的切線斜率.在左+匕=1中，兩243邊對x求導(dǎo)有，&+2!上=0,把Ay,-3)432-，3、.212(-”1代入有：幺+2=0,解得y'=.4321因此，可以確定所求的定值為-.2初等解法：因為直線AE與AF關(guān)于直線x=1對稱，所以直線AE的斜率與AF的3斜率互為相反數(shù).設(shè)直線AE的萬程為y=k(x-1)+；,則直線AF的方程為3y二k(x-1)2.322把y=k(x1)+一代入土+匕=1得:2432232(3+4k)x+4k(3-2k)x+4(-k)12=0|3|(1),2設(shè)E（X1,yJ,F（X2,y2）,注意到x=1是方程（1）的一個根，由根與系數(shù)關(guān)

18、系得,324(2-k)-12X1=-2，34k2同理可求X221-2)K3-234k2kEF=jX-X233NX")二/刈一1)-31k(XiX2)-2kX-X2X1-X2把X1,X2代入上式得kEF例2、如圖2,已知E,F是橢圓+'=1上的兩個動點，A（T3,V3）是橢圓上的定點，如果直線AE與AF關(guān)于直線y=“對稱，證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值.背景：當(dāng)AE與AF的傾斜角一個趨近于180°時，另一個趨近于0，時，直線ef的斜率就趨向于過a（-V3,V3）的22切線斜率.在工+匕=1中，兩邊對X求124F導(dǎo)有，/卜。,把人（-£圾代入有:八3

19、、3y八”日1+-=0，解得y=.623因此，可以確定所求的定值為1.3初等解法：設(shè)直線AE的方程為y=k(x-V3)+W,22代入看十=1得：(1+3k2)x2+6T3k(1k)x+9k2-18k-3=0|(1),9k2-18k-3一3(1-3k2)同理可求乂2=29k2_18k二3.3(13k2)'E(x1,yJFU*),注意到x=/3是方程的一個根，所以x1=kEF=y=kJ+x"2瓜，把,x2代入得kEF=Lx1-x2X-x23例3、如圖3,已知E,F是拋物線y=x2上的兩個動點，A(1,1)是拋物線上的定點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜

20、率為定值，并求出這個定值.高等背景：當(dāng)AE與AF的傾斜角一個趨近于0時，另一個趨近于180時,直線EF的斜率就趨向于過A(-1,1)的切線斜率.而y'=2x,所以y'|x-1=-2,因此，可以確定所求的定值為-2.初等解法：設(shè)直線AE的方程為y=k(x-1)+1,代入y=x2得：x2-kx+k-1=0|HI(1),設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),注意到x=1是方程的一個根，所以x1=k-1,同理可求x2=-k-1,_2_2K-x2所以kEF=y2=x+”，把x1,x2代入上式得kEF=-2.例4、如圖4,已知E,F是拋物線y2=x上的兩個動點，A(1,1)是拋物線上的定點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定佰，并求出這個定值.背景：當(dāng)AE與AF的傾斜角都趨近于90：時，直線EF的斜率就趨向于過A(1,-1)的切線斜率.由y2=x解得y=±&而在A(1,-1)附近導(dǎo)數(shù)y'=圖4一,1所以y上二二-2,因此，可以確定所求的定值初等解法：設(shè)直線ae的方程為y-1y=k(x-1)+1SMk0,x=+1,k代入y2=x得：y2-+1-1=0|(1),kk設(shè)E(x1，),F(x2,