1、1第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分3.2 柯西積分定理柯西積分定理3.1 復(fù)積分的概念復(fù)積分的概念3.3 柯西積分公式柯西積分公式3.4 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)2第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 3.1 復(fù)積分的概念復(fù)積分的概念一、復(fù)積分的定義一、復(fù)積分的定義二、復(fù)積分的性質(zhì)二、復(fù)積分的性質(zhì)三、復(fù)積分的計(jì)算三、復(fù)積分的計(jì)算3第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 abxyC定義定義 如圖設(shè)如圖設(shè) C 為簡單光滑的有向?yàn)楹唵喂饣挠邢?1) 將曲線將曲線 C 恣意劃分：恣意劃分：一、復(fù)積分的定義一、復(fù)積分的定義函數(shù)函數(shù) 在在 C 上有

2、定義，上有定義，)(zf,210bzzzazn 令令,1 kkkzzz, |max1knkz zkzkz0zkznzk-1(2) 在每個(gè)弧段在每個(gè)弧段 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn),1kkkzz z zkkzz1 假設(shè)假設(shè) 存在存在(不依賴不依賴 C 的劃分和的劃分和 的選取的選取)， nkkkzf10)(limz z kz z那么稱之為那么稱之為 沿曲線沿曲線 C 的積分，記為的積分，記為.d)( Czzf)(zf曲線，其方向是從曲線，其方向是從 a 到到 b， P54定義定義 3.1 4第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 abxyC一、復(fù)積分的定義一、復(fù)積分的定義表示沿曲線表示沿曲線 C

3、的的注注 (1) Czzfd)(znzk-1z0zkzkzkC 負(fù)方向積分；負(fù)方向積分；表示沿閉曲線表示沿閉曲線 G(2) zzfd)( (的逆時(shí)針方向的逆時(shí)針方向) )積分；積分；5第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 第一類曲線積分第一類曲線積分二、復(fù)積分的性質(zhì)二、復(fù)積分的性質(zhì)(1).d)(d)(d)()( CCCzzgzzfzzgzf CCzzfzzf|d| | )(|d)(|(4) (2) .d)(d)( CCzzfzzf Cszfd| )(|(3) ,d)(d)(d)(21 CCCzzfzzfzzf其中，其中，.21CCC 其中，其中，, | )(|maxzfMCz L為曲線為

4、曲線C的弧長。的弧長。,ML P58 6第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 估計(jì)估計(jì) Czzzde例例的模的一個(gè)上界，其中的模的一個(gè)上界，其中 C 如下圖。如下圖。xyCi111 Czszd|e | Cxsd|e | Cxsde.e 解解 Czzzde Czzz|d|e7第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 解解 曲線曲線 C ：,10:t,43titz | )14(3| titiz22)14()3( tt18252 tt259254252)( t.53 Czizd1 Csizd|1.325535 xyC34P58 例例3.4 i8第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 證證

5、 無妨設(shè)無妨設(shè),1 r2412rr zzzrzd1|23 0szzrzd|1 |23 szzrzd|1|23| . )0(,0r|22|1|1 |zz P59 例例3.5 9第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 三、復(fù)積分的計(jì)算三、復(fù)積分的計(jì)算 CCyixviuzzf)dd( )(d)(.dddd CCyuxviyvxu附附 格林格林(Green)公式公式 進(jìn)一步可化為定積分或者二重積分。進(jìn)一步可化為定積分或者二重積分。方法一方法一 化為第二類曲線積分化為第二類曲線積分 P55 定理定理3.1 ( (推導(dǎo)推導(dǎo)?)?)10第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 ,d)()(d)( ba

6、Cttztzfzzf三、復(fù)積分的計(jì)算三、復(fù)積分的計(jì)算方法二方法二 直接化為定積分直接化為定積分 , )()()(:tyitxtzzC ,:bat設(shè)曲線設(shè)曲線那么那么. )()()(tyitxtz 其中，其中，附附 其它方法其它方法(后面的章節(jié)引見后面的章節(jié)引見) 利用原函數(shù)計(jì)算，即利用原函數(shù)計(jì)算，即.)(d)(10zzCzFzzf 利用柯西積分公式、高階導(dǎo)公式計(jì)算。利用柯西積分公式、高階導(dǎo)公式計(jì)算。 利用留數(shù)計(jì)算。利用留數(shù)計(jì)算。P56 11第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 解解,xz (1) 曲線曲線 C1 的方程為的方程為,10:x,1yiz 曲線曲線 C2 的方程為的方程為,10

7、:y,dd12 CCzzzzI 1010)1(d)1(dyiyixx 1010d)1(dyyiixx102102)21(21yyix . i xyC1C2C3i1C42yx 計(jì)算計(jì)算,d CzzI例例其中其中 C 為為(如圖如圖)：(1);21CCC (2);3CC (3).4CC P57 例例3.3 修正修正 12第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 解解 (2) 曲線曲線 C3 的方程為的方程為,10:t, t itz 3dCzzI102212ti . i 10)(d)(t itt it 10d)1( )1(ttiixyC1C2C3i1C42yx 計(jì)算計(jì)算,d CzzI例例其中其中

8、C 為為(如圖如圖)：(1);21CCC (2);3CC (3).4CC P57 例例3.3 修正修正 13第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 解解,10:t(3) 曲線曲線 C4 的方程為的方程為,2t itz 4dCzzI. i 1022)(d)(t itt it1022)(21t it 2)1(21i xyC1C2C3i1C42yx 計(jì)算計(jì)算,d CzzI例例其中其中 C 為為(如圖如圖)：(1);21CCC (2);3CC (3).4CC P57 例例3.3 修正修正 14第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 解解,xz (1) 曲線曲線 C1 的方程為的方程為,10:x

9、,1yiz 曲線曲線 C2 的方程為的方程為,10:y 1010)1(d)1(dyiyixx 1010d)1(dyyiixx102102)21(21yyix .1i xyC1C2C3i1計(jì)算計(jì)算,d CzzI例例其中其中 C 為：為： (1);21CCC (2).3CC ,dd12 CCzzzzIP56 例例3.1 修正修正 15第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 解解 (2) 曲線曲線 C3 的方程為的方程為,10:t, t itz 102212t .1 10)(d)(t itt it 10d)1( )1(ttii 3dCzzIxyC1C2C3i1計(jì)算計(jì)算,d CzzI例例其中其中

10、C 為：為： (1);21CCC (2).3CC P56 例例3.1 修正修正 16第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 niirirI20d)(ee ,e0 irzz 解解 曲線曲線 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,20: ,d20)1(1e ninri 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1 n;2 iI 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1 n.0)1(20)1(1e ninrniiI xry0zzC注注 此例的結(jié)果很重要！此例的結(jié)果很重要！ P57 例例3.2 17第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 休憩一下18第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 附：附：復(fù)積分化為第二類曲線積分的公式推導(dǎo)復(fù)積分化為第二類曲

11、線積分的公式推導(dǎo)az0zk-1znzkbxyzkzkC設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 C 上延續(xù)，上延續(xù)，viuzf )(那么那么 也在也在 C 上延續(xù)；上延續(xù)；),(, ),(yxvyxu,kkkyixz 由由有有當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0|max1 knkz ,0|max1 knkx;0|max1 knky, ),(kkk z z 記記那么那么 nkkkzf1)(z z, )(,(),(1 nkkkkkkkyixivu ,)(lim10 nkkkzfz z Czzfd)(如圖如圖(1) 19第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 nkkkzf1)(z z, )(,(),(1 nkkkkkkkyixivu , ),(),(1kkkkkknkyuxvi nkkkkkkkyvxu1),(),( Czzfd)(.dddd CCyuxviyvxu將上式兩端取極限將上式兩端取極限(即令即令 )，得，得0|max1 knkz 附：附：復(fù)積分化為第二類曲線積分的公式推導(dǎo)復(fù)積分化為第二類曲線積分的公式推導(dǎo)20第三章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)積分的概念 )(tz Czzfd)(.dddd CCyuxviyvxu.d)()( battztzf(2) , )()()(:tyitxtzzC ,:bat設(shè)曲線設(shè)曲線那么那么 Czzfd)( battyt