1、第第1212章章 非正弦周期電流電路非正弦周期電流電路2. 2. 非正弦周期函數(shù)的有效值和平均功率非正弦周期函數(shù)的有效值和平均功率l 重點重點3. 3. 非正弦周期電流電路的計算非正弦周期電流電路的計算1. 1. 周期函數(shù)分解為付里葉級數(shù)周期函數(shù)分解為付里葉級數(shù)12.1 12.1 非正弦周期信號非正弦周期信號 生產(chǎn)實際中不完全是正弦電路，經(jīng)常會遇到非正弦周生產(chǎn)實際中不完全是正弦電路，經(jīng)常會遇到非正弦周期電流電路。在電子技術(shù)、自動控制、計算機(jī)和無線電技期電流電路。在電子技術(shù)、自動控制、計算機(jī)和無線電技術(shù)等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。術(shù)等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。

2、l 非正弦周期交流信號的特點非正弦周期交流信號的特點(1) (1) 不是正弦波不是正弦波 (2) (2) 按周期規(guī)律變化按周期規(guī)律變化例例1 1半波整流電路的輸出信號半波整流電路的輸出信號)()(kTtftf 例例2 2示波器內(nèi)的水平掃描電壓示波器內(nèi)的水平掃描電壓周期性鋸齒波周期性鋸齒波計算機(jī)內(nèi)的脈沖信號計算機(jī)內(nèi)的脈沖信號 Tt例例3 3交直流共存電路交直流共存電路 Es +V例例4 4基波（和原基波（和原函數(shù)同頻）函數(shù)同頻）二次諧波二次諧波（2 2倍頻）倍頻） 直流分量直流分量高次諧波高次諧波)cos()(110 kkkmtkAAtf 12.2 12.2 周期函數(shù)分解為付里葉級數(shù)周期函數(shù)分解

3、為付里葉級數(shù) )cos()(1110 tAAtfm )2cos(212 tAm )cos(1nnmtnA 周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)：周期函數(shù)展開成付里葉級數(shù)：sincos)(1110tkbtkaatfkkk tkbtkatkAkkkkm 111sincos )cos( 也可表示成：也可表示成：kkkkkmkkkmkkkkmabAbAabaAaA arctansin cos2200 系數(shù)之間系數(shù)之間的關(guān)系為的關(guān)系為 20112011000)(sin)(1)(cos)(1)(1ttdktfbttdktfatdtfTaAkkT求出求出A0、ak、bk便可得到原函數(shù)便可得到原函數(shù)f(t)的展開式。的展

4、開式。系數(shù)的計算：系數(shù)的計算：利用函數(shù)的對稱性可使系數(shù)的確定簡化利用函數(shù)的對稱性可使系數(shù)的確定簡化（1）偶函數(shù)）偶函數(shù) T/2t T/2f(t)0 )()( kbtftf T/2t T/2f(t)0 )()( katftf（2）奇函數(shù)）奇函數(shù)（3）奇諧波函數(shù)）奇諧波函數(shù)0 )2()(22 kkbaTtftftf (t)tT/2TSimI周期性方波信號的分解周期性方波信號的分解例例1解解圖示矩形波電流在一個周期內(nèi)圖示矩形波電流在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為：的表達(dá)式為： TtTTtItiS2 020 )(m21)(102/0mTTmSOIdtITdttiTI 直流分量：直流分量：諧波分量：諧波分量： 2

5、0) (sin)(1tdtktibSKK為偶數(shù)為偶數(shù)K為奇數(shù)為奇數(shù) kItkkImm20)cos1(00sin12)(cos)(2020 tkkItdtktiamSksi的展開式為：的展開式為：)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS ttt基波基波直流分量直流分量三次諧波三次諧波五次諧波五次諧波七次諧波七次諧波周期性方波波形分解周期性方波波形分解基波基波直流分量直流分量直流分量直流分量+基波基波三次諧波三次諧波直流分量直流分量+基波基波+三次諧波三次諧波)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS tT/2TSimIIS01si3si5siIS01si3si5

6、si等效電源等效電源 給定函數(shù)給定函數(shù) f(t)的部分波形如圖所示。為使的部分波形如圖所示。為使f(t) 的傅立葉級數(shù)中只包含如下的分量：的傅立葉級數(shù)中只包含如下的分量：tT/4Of(t)(1) (1) 正弦分量；正弦分量；(2) (2) 余弦分量；余弦分量；(3) (3) 正弦偶次分量；正弦偶次分量；(4) (4) 余弦奇次分量。余弦奇次分量。試畫出試畫出 f(t) 的波形。的波形。tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2(1) (1) 正弦分量；正弦分量；例例2解解(2) (2) 余弦分量；余弦分量；tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2(3) (3) 正弦偶次分量；正弦偶次分量；(4)

7、 (4) 余弦奇次分量。余弦奇次分量。tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2tT/4Of(t)T/2 T/4 T/2 20200)(cos 0)(sinttdkttdk12.2 12.2 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率1.1. 三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì) （1）正弦、余弦信號一個周期內(nèi)的積分為）正弦、余弦信號一個周期內(nèi)的積分為0。k整數(shù)整數(shù) （2）sin2、cos2 在一個周期內(nèi)的積分為在一個周期內(nèi)的積分為 。 )(cos )(sin202202ttdkttdk（3 3） 三角函數(shù)的正交性三角函數(shù)的正交性 0)(sinsin 0)(coscos0)(sincos20202

8、0 tdtptkttdptkttdptk pk 2. 非正弦周期函數(shù)的有效值非正弦周期函數(shù)的有效值)sin()(10kkktkIIti 若若則有效值則有效值: )(sin1)(1201002tdtkIITtdtiTITkkkT 21220 kkIII 周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。分量有效值平方和的方根。利用三角函數(shù)的正交性得：利用三角函數(shù)的正交性得： 222120 IIII結(jié)論結(jié)論3. 非正弦周期函數(shù)的平均值非正弦周期函數(shù)的平均值 TAVdttiTI0)(1則其平均值定義為：則其平均值定義為：)cos()(10kkktkIIt

9、i 若若4. 非正弦周期交流電路的平均功率非正弦周期交流電路的平均功率 TdtiuTP01)cos()(10ukkktkUUtu )cos()(10ikkktkIIti 利用三角函數(shù)的正交性，得：利用三角函數(shù)的正交性，得：.)( cos210100 PPPIUIUPikukkkkkk 平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率 coscos 22211100 IUIUIUP結(jié)論結(jié)論 12.4 12.4 非正弦周期交流電路的計算非正弦周期交流電路的計算1. 計算步驟計算步驟（2 2） 利用正弦交流電路的計算方法，對各諧波信號利用正弦交流電路的計算方法，對各諧

10、波信號 分別應(yīng)用相量法計算；分別應(yīng)用相量法計算； （注意（注意: :交流各諧波的交流各諧波的 XL、XC不同，對直流不同，對直流C 相當(dāng)于相當(dāng)于 開路、開路、L相于短路。）相于短路。）（1 1） 利用付里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)展開利用付里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)展開 成若干種頻率的諧波信號；成若干種頻率的諧波信號；（3 3） 將以上計算結(jié)果轉(zhuǎn)換為瞬時值迭加。將以上計算結(jié)果轉(zhuǎn)換為瞬時值迭加。2. 計算舉例計算舉例例例1 1方波信號激勵的電路。求方波信號激勵的電路。求u, 已知：已知：STICLRm 28. 6 A157pF1000 mH1 20 、tT/2TSimIRLCuSi解解（1）已知方

11、波信號的展開式為：）已知方波信號的展開式為：)5sin51 3sin31(sin22 tttIIimmS sTAIm28.6,157 代入已知數(shù)據(jù)：代入已知數(shù)據(jù)：直流分量直流分量A5.78215720IIm A 10014.357.1221 mmII基波最大值基波最大值A(chǔ)205115 mmII五次諧波最大值五次諧波最大值rad/s101028.614.32266 T 角頻率角頻率三次諧波最大值三次諧波最大值A(chǔ)IImm 3.333113 A5 .780 SI 電流源各頻率的諧波分量為：電流源各頻率的諧波分量為：A10sin10061 tis A103sin310063 tis A105sin51

12、0065 tis mV57.1105.7820600 SRIU （2 2） 對各種頻率的諧波分量單獨計算：對各種頻率的諧波分量單獨計算：（a) a) 直流分量直流分量 IS0 作用作用RIS0u0電容斷路，電感短路電容斷路，電感短路: :A5 .780SI（b)b)基波作用基波作用tis6110sin100 k11010k110100010113611261LC RLCuSi k50)()()()(1RCLRXXXXjRjXjXRZCLCLCL XLRK50)(1 ZmV2500050210100(6111 ） ZIUA10sin10061tis (c)(c)三次諧波作用三次諧波作用tis63

13、103sin3100 03333119.895 .374)()()3(CLCLXXjRjXjXRZ k31010333.0101000103113631263 LKC 0613319.895 .3742103 .33)3( ZIUSmV2.89247.120 (d)(d)五次諧波作用五次諧波作用A105sin510065 tis 53.893 .208)5()()5(55551CLCLXXjRjXjXRZ k510105)K(2 .0101000105113651265 LC mV53.892166.453.893 .20821020)5(6155 ZIUs (3) (3)各諧波分量計算結(jié)果瞬

14、時值迭加：各諧波分量計算結(jié)果瞬時值迭加：mV)53.895sin(166.4 )2.893sin(47.12 sin500057.15310 tttuuuUu mV57. 10UmV2 .89247.123UmV250001UmV53.892166. 45UV. )42000cos(601000cos12030: ttu知知已已求圖示電路中各表讀數(shù)求圖示電路中各表讀數(shù)( (有效值有效值) )及電路吸收的功率。及電路吸收的功率。例例2V1L1C1C2L240mH10mHu+_25 F25 F30 abcdA3A2V2V1A1L1C1C2L240mH10mHu+_25 F25 F30 abcdii

15、C1iL2解解(1) u0=30V作用于電路，作用于電路，L1、 L2 短路，短路， C1 、 C2開路。開路。L1C1C2L2u0+_30 abcdi0iC10iL20i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0, uad0= ucb0 = u0 =30V(2) u1=120cos1000t V作用作用40102510001111010101000 40104010006213231 CCLL L1、C1 發(fā)生并聯(lián)諧振。發(fā)生并聯(lián)諧振。+_30 abcd1U1I11CI21LIj40 j40 j40 j10 V01201 U0 0cb1211 UIILA90340j012

16、0j1111 UCICV012011ad UU(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用作用20102520001212120101020002 ,801040200026213231 CCLLL2、C2 發(fā)生并聯(lián)諧振。發(fā)生并聯(lián)諧振。+_30 abcd1U2I12CI22LIj80 j20 j20 j20 V45602 UA45320j4560j22122 LUIL0122 CIIV4560 , 0 2cb2ad2 UUUi=i0+ i1 + i2 =1A 所求的電壓、電流的瞬時值為：所求的電壓、電流的瞬時值為：iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90

17、 ) AiL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45 ) Auad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t Vucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45 ) V A1 I電流表電流表A1的讀數(shù)：的讀數(shù)：2.12A 2/3 電流表電流表A2的讀數(shù)：的讀數(shù)：A35. 2)2/3(122 電流表電流表A3的讀數(shù)：的讀數(shù)：V90)2/120(3022 電壓表電壓表V1的讀數(shù)：的讀數(shù)：V0 .52)2/60(3022 電壓表電壓表V2的讀數(shù)：的讀數(shù)：例例3 已知已知u(t)是周期函數(shù)，波形如圖，是周

18、期函數(shù)，波形如圖，L=1/2 H，C=125/ F，求理想變壓器原邊電流求理想變壓器原邊電流i1(t)及輸出電壓及輸出電壓u2的有效值。的有效值。*C1i2i+2u+2 : 18 Lu2410.5u/Vt/ms12解解sradT/102/23 ) cos(1212)(ttu Ai5 . 18/121 當(dāng)當(dāng)u=12V作用時，電容開路、作用時，電容開路、電感短路，有：電感短路，有：02 u作用時作用時當(dāng)當(dāng)) cos(12 tu 410125102163 CXC 1102110233 LXL*-j41i2i+2U+2 : 18 j 0012 1I+8 j4 -j4 0012 +1UAjjjUI341241 VUU01012 VUnU012061 VU243. 4262 Ati)90cos(35 . 101 例例4 求求Uab、i、及功率表的讀數(shù)。及功率表的讀數(shù)。I+60 j20 +1UWab2U*VttutVu)303cos(2100cos2220 cos2220021 已已知知解解一次諧波作用時：一次諧波作用時：VUab0)1(0440 AjjI0)1(4 .1896. 63222060440 三次諧波作用時：三次諧波