1、不等式的證明（二）陳濤陳濤綜 合 法分 析 法反 證 法變 換 法有時我們可以利用某些已經(jīng)證明過的不等式(例如均值不等式)和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種方法通常叫做綜合法,也叫做公式法公式法.證明證明:22222,0,2.bcbc aa bcabc同理同理22222,2.b acabcc ababc因為因為 不全相等不全相等,所以三式不能全取所以三式不能全取等號等號cba,2222226.a bcb cac ababc例例1.已知已知 是不全相等的正數(shù)是不全相等的正數(shù),求證求證:cba,2222226.a bcb cac ababc證明不等式時,有時可以從求證的不等式出發(fā),分析

2、使這個不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題,如果能夠肯定這些充分條件都已具備,那么就可以斷定原不等式成立,這種證明方法通常叫做分析法分析法.例例2 求證求證:527373 525273225273202121010212215.2125.證明證明: :因為因為 和和 都是正數(shù)都是正數(shù), ,所以為了證明所以為了證明只需證明只需證明展開得展開得即即因為因為 成立成立,所以所以 成立成立 25215273證明某些含有根式的不等式證明某些含有根式的不等式時時,用綜合法比較困難用綜合法比較困難,例如例如這道題這道題,我們很難想到從我們很難想到從2125下手下手,因此因此

3、,我們常用我們常用分析法探索證明的途徑分析法探索證明的途徑,然然后用綜合法的形式寫出證明后用綜合法的形式寫出證明過程過程,這是解決數(shù)學(xué)問題的這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法一種重要方法例例3 證明證明:當(dāng)周長相等時當(dāng)周長相等時,圓的面積比正方形的面積大圓的面積比正方形的面積大證明證明:設(shè)周長為設(shè)周長為 ,依題意依題意,圓的面積為圓的面積為 ,正方形面積為正方形面積為 .所以本題只需證明所以本題只需證明為了證明上式成立為了證明上式成立,只需證明只需證明:兩邊同時乘以正數(shù)兩邊同時乘以正數(shù) ,得得:因此只需證明因此只需證明:上式是成立的上式是成立的,所以所以:這就證明了這就證明了,如果周長相等如果周長

4、相等,那么圓的面積比正方形的面積大那么圓的面積比正方形的面積大.L22L24 L2242LL164222LL24L41142242LL分析分析: :設(shè)周長為設(shè)周長為 , ,則周長為則周長為 的圓的半徑為的圓的半徑為 , ,面積面積為為 ; ;周長為周長為 的正方形的正方形邊長為邊長為 , ,面積為面積為 . .所以本題只需證明所以本題只需證明L2LL22LL4L24 L2242LL反證法是一種間接證明方法,我們?nèi)绻C明“若A則B”,可以通過否定B來達(dá)到肯定B的效果,步驟一般分為三步:1.反設(shè)結(jié)論不成立;2.歸謬,由假設(shè)作為條件推出矛盾;3.結(jié)論,肯定欲證結(jié)論的正確已知 都是小于1的正數(shù),求證

5、:cba, accbba1,1,1中至少有一個不大于1.4證明:假設(shè)1111, 1, 1.444a bb cc a, , ,1111,1,1.2223111.2a b ca bb cc aa bb cc a23212121111accbbaaccbba都是小于1的正數(shù)，但是，矛盾!變換法就是利用拆項或者插項,換元(三角換元,增量換元,等價轉(zhuǎn)化)等變換達(dá)到證明不等式的目的,其中,最為常用的就是三角換元法,把多個變量換成同一個角的三角函數(shù)值,再用三角公式進(jìn)行證明.已知: ,且 求證:Rcba,222cba(,2).nnnabcnN n證明:由已知,可設(shè)cos ,sin,ab22220sin1,0cos1,0sinsin,0coscos.sincossincos.nnnnn