1、第三章靜定梁與靜定剛架目的要求：熟練掌握靜定梁和靜定剛架的內力計算和內力圖的繪制方法，熟練掌握繪制彎矩圖的疊加法及內力圖的形狀特征，掌握繪制彎矩圖的技巧。掌握多跨靜定梁的幾何組成特點和受力特點。能恰當選取隔離體和平衡方程計算靜定結構的內力。重點：截面法、微分關系的應用、簡支梁疊加法。難點：簡支梁疊加法，繪制彎矩圖的技巧§3-1單跨靜定梁1.反力常見的單跨靜定梁有簡支梁、伸臂梁和懸臂梁三種，如圖3-1(a)、(b)、(c)所示，其支座反力都只有三個，可取全梁為隔離體，由三個平衡條件求出。ABAEx45TI3O5)圖3-12.內力儂截面法是將結構沿所求內力的截面截開，取截面任一側的部分為

2、隔離體，由平衡條件計算截面內力的一種基本方法。(1)內力正負號規(guī)定軸力以拉力為正；剪力以繞隔離體有順時針轉動趨勢者為正；彎矩以使梁的下側纖維受拉者為正，如圖3-2(b)所示。(2)梁的內力與截面一側外力的關系圖3-21) 軸力的數(shù)值等于截面一側的所有外力(包括荷載和反力)沿截面法線方向的投影代數(shù)和。2) 剪力的數(shù)值等于截面一側所有外力沿截面方向的投影代數(shù)和。3) 彎矩的數(shù)值等于截面一側所有外力對截面形心的力矩代數(shù)和。3 .利用微分關系作內力圖表示結構上各截面內力數(shù)值的圖形稱為內力圖。內力圖常用平行于桿軸線的坐標表示截面位置(此坐標軸常稱為基線)，而用垂直于桿軸線的坐標(亦稱豎標)表示內力的數(shù)值

3、而繪出的。彎矩圖要畫在桿件的受拉側，不標注正負號；剪力圖和軸力圖將正值的豎標繪在基線的上方，同時要標注正負號。繪內力圖的基本方法是先寫出內力方程，即以變量x表示任意截面的位置并由截面法寫出所求內力與x之間的函數(shù)關系式，然后由方程作圖。但通常采用的是利用微分關系來作內力圖的方法。(1)荷載與內力之間的微分關系在荷載連續(xù)分布的直桿段內，取微段dx為隔離體，如圖3-3所示。若荷載以向下為正，x軸以向右為正，則可由微段的平衡條件得出微分關系式(3-1)(2)內力圖形的形狀與荷載之間的關系由上述微分關系的幾何意義可得出以下對應關系：圖3-31) 在均布荷載作用的梁段，q(x)=q(常數(shù))，F(xiàn)S圖為斜直線

4、，M圖為二次拋物線，其凸向與q的指向相同。在FS=0處，彎矩圖將產(chǎn)生極值。2) 無荷載的梁段，q(x)=0,FS=常數(shù)，F(xiàn)S圖為矩形，當FS=0時，F(xiàn)S圖與基線重合。彎矩圖為斜直線。3)在集中力F作用處，F(xiàn)S圖有突變，突變值等于F;彎矩圖在該處出現(xiàn)尖角，且尖角的方向與F的指向相同。在FS圖變號處，M圖中出現(xiàn)極值。4)在集中力偶Me作用處，F(xiàn)S圖無變化；M圖有突變，突變值等于力偶Me的大小。4 .用疊加法作彎矩圖當梁同時受幾個荷載作用時，用疊加法作彎矩圖很方便。此時可不必求出支座反力。如要作圖3-4所示簡支梁的彎矩圖，可先繪出梁兩端力偶MA、MB和集中力F分別作用時的彎矩圖，再將兩圖的豎標疊加，

5、即可求得所求的彎矩圖，如圖3-4所示。實際作圖時，先將兩端彎矩MA、MB繪出并聯(lián)以直線，如圖中虛線所示，再以此虛線為基線繪出簡支梁在荷載F作用下的彎矩圖。值得注意的是豎標Fab/l仍應沿豎向量取(而不是從垂直于虛線的方向量取)。最后所得的圖線與水平基線之間的圖形即為疊加后所得的彎矩圖。圖3-4上述疊加法對直桿的任何區(qū)段都是適用的。只需將直桿段的兩端彎矩求出并連以直線(虛線)，然后在此直線上再疊加相應簡支梁在荷載下的彎矩圖，這種方法稱為區(qū)段疊加法或簡支梁疊加法，也簡稱疊加法。5 .繪制內力圖的一般步驟(1)求支座反力。(2)求控制截面的內力(分段、定點)。所謂控制截面是指集中力和集中力偶作用的兩

6、側截面、均布荷載的起點及終點等外力不連續(xù)點所在的截面。用截面法求出控制截面的內力值后在內力圖的基線上用豎標標出。(3)連線。利用微分關系，將各控制截面之間內力圖的形狀繪出。例3-1試作圖3-5(a)所示梁的內力圖。解：1.求支座反力2MB=0,FA=16kN(T);2MA=0,FB=40kN(T)校核：2Fy=16+40-8-8X4-16=02.繪FS圖(1)求控制截面的FS值。FSAR=FSCL=16kN;FSCR=FSD=8kN;FSGL=FSBR=16kN;FSBL=FSE=-24kN(2)求出上述各控制截面的剪力后，按微分關系聯(lián)線即可繪出FS圖，如圖3-5(b)所示。(C)號OcH-m

7、)3.繪M圖(1)求控制截面的M值MA=0;MC=16X1=16kNm;MD=16X2-8X1=24kNm；MG=0,MB=-16X1=-16kNmMFR=-16X2+40X1=8kNmMFL=-16X2+40X1-40=-32kNmME=-16X3+40X2-40=-8kNm圖3-5(2)根據(jù)微分關系，可繪出M圖如圖3-4(c)所示。在均布荷載作用區(qū)段DE,剪力圖有變號處,在FS=0處對應截面M值應有極值，必須求出。欲求M的最大值，可由圖3-5(b)中求出截x4-x=面所在位置x值，由*4得，x=1m。取AI段為隔離體，由2MI=0，可得：MI=16X3-8X2-8X1X1/2=28kNm。

8、§3-2多跨靜定梁1 .多跨靜定梁的組成多跨靜定梁是由若干根梁用錢相聯(lián)，并通過若干支座與基礎相聯(lián)而組成的靜定結構。圖3-7(a)為用于公路橋的多跨靜定梁，其計算簡圖如圖3-7(b)所示。從幾何組成看，多跨靜定梁各部分可分為基本部分和附屬部分。如上述多跨靜定梁中的AB和CD部分均直接用三根鏈桿與基礎相聯(lián)，它們不依賴于其他部分的存在而能獨立維持幾何不變性，稱為基本部分。而BC梁必須依賴AB、CD部分才能維持幾何不變。必須依賴其他部分才能維持幾何不變的部分，稱為附屬部分。為了清晰地表示各部分之間的支承關系，可將基本部分畫在下層，而將附屬部分畫在上層，這樣得到的圖形稱為層疊圖，如圖3-7(c

9、)所示。圖3-72 .多跨靜定梁的傳力關系從受力分析看，當荷載作用在基本部分上時，該部分能將荷載直接傳向地基，而當荷載作用在附屬部分上時，則必須通過基本部分才能傳向地基。故當荷載作用在基本部分上時，只有該部分受力，附屬部分不受力。而當荷載作用在附屬部分上時，除該部分受力外，基本部分也受力。3 .多跨靜定梁的計算步驟后基本部分。即由最上層由上述傳力關系可知，計算多跨靜定梁的順序應該是先附屬部分,的附屬部分開始，利用平衡條件求出約束反力后，將其反向作用在基本部分上，如圖3-7(d)所示。這樣便把多跨靜定梁拆成了若干根單跨梁，按單跨梁作內力圖的方法，即可得到多跨靜定梁的內力圖，從而可避免解聯(lián)立方程。

10、例3-2作圖3-10(a)所示多跨靜定梁的內力圖。解：(1)畫層疊圖。ABC與DEF部分為基本部分，CD部分為附屬部分。將附屬部分畫在上層，基本部分畫在下層，得到圖3-10(b)所示的層疊圖。(2)求反力。先求附屬部分BC的反力，將其反向作用在基本部分上，然后再求基本部分的反力，如圖3-10(c)所示。(3)作內力圖。首先求出各單跨梁控制截面的M、FS值，然后按微分關系聯(lián)線，也可用疊加法作彎矩圖。其內力圖如圖3-10(d)、(e)所示。；1113ItthLtfF»=I1NFm=jlU圖3-10例3-3如圖3-11(a)所示為一兩跨靜定梁，承受均布荷載q,試確定較D的位置，使梁內正、負

11、彎矩峰值相等。解：(1)畫層疊圖，如圖3-11(b)所示。(2)求各單跨梁的反力。由本題題意可看出，只需求出FDy便可得出較D的位置。設校D距B支座的距離為x,由2MA=0,可得出FDy=q(l-x)/2,如圖3-11(c)所示。(3)繪M圖。如圖3-11(d)所示，從圖中可以看出，全梁的最大正彎矩發(fā)生在AD梁跨中截面，其值為q(l-x)2/8;最大負彎矩發(fā)生在B支座處，其值為q(l-x)x/2+qx2/2。依題意，令正負彎矩峰值相等，即；守0-K)K十1022可得x=0.172；較D的位置確定后，可作出彎矩圖，如圖3-11(e)所示，正負彎矩的峰值為0.0857q12。川川口“iTrrrru

12、rLLitrrULUlllVsuuumjjxLmiuLu12印配方如|'圖3-11如果改用兩個跨度為的簡支梁，彎矩圖如圖3-11(f)所示。比較可知，多跨靜定梁的彎矩峰值比兩跨簡支梁的要小，是簡支梁的68.6%。一般而言，在荷載與跨度總長相同的情況下，多跨靜定梁與一系列簡支梁相比，材料用料較省，但由于有中間鍍，使得構造上要復雜一些。例3-4試作圖3-12所示多跨靜定梁的內力圖，并求出各支座的反力。解：按一般步驟是先求出各支座反力及較結處的約束力，然后作梁的剪力圖和彎矩圖。但是,如果能熟練地應用彎矩圖的形狀特征以及疊加法，則在某些情況下也可以不計算反力而首先繪出彎矩圖。有了彎矩圖，剪力圖

13、即可根據(jù)微分關系或平衡條件求得。對于彎矩圖為直線的區(qū)段，可利用彎矩圖的斜率來求剪力，如CE段梁的剪力值為4+4=2kN90°的轉角），則剪力為正，反之為負。據(jù)此可知,凱應為正。對于彎矩圖為曲線的區(qū)段,可利用桿段的平衡條件來求得其兩端剪力。-門例如BC段梁，取BC梁為隔離體，由至于剪力的正負號，看按以下方法確定：若彎矩圖是從基線順時針方向轉的（以小于和£%二o可分別求得4乂4沖2-4+2_7.5kN%二544+2一海剪力圖作出后，可由結點平衡來求支座反力。取結點為隔離體，由=S.5+2=lu.5kN(T)(b)kN皿4kH-塔耳nrnFf圖(kN)圖3-12法3靜定泮:面剛架

14、1 .剛架的組成及其特征3-13剛架是由直桿組成的具有剛結點的結構。靜定平面剛架常見的形式有懸臂剛架（如圖所示站臺雨棚）、簡支剛架（如圖3-14所示渡槽）及三較剛架（如圖3-15所示屋架）等。當剛架受力變形時，匯交于該結點的各桿端的夾角保持不變。這種結點稱為剛結點，具有剛結點是剛架的特點。從變形角度看，在剛結點處各桿不能發(fā)生相對轉動。從受力角度看，剛結點可以承受和傳遞彎矩，因而在剛架中彎矩是其主要的內力。圖3-13圖3-14圖3-152,剛架的內力計算在靜定剛架的受力分析中，通常是先求支座反力，再求控制截面的內力，最后利用微分關系或疊加法再作內力圖。（1）支座反力的計算當剛架與地基之間是按兩剛

15、片規(guī)則組成時，支座反力有三個，可取整個剛架為隔離體，由平衡條件求出反力；當剛架與地基之間是按三剛片規(guī)則組成時，支座反力有四個，除三個整體平衡方程外，還可利用中間較處彎矩為零的條件建立一個補充方程，從而可求出四個支座反力；而當剛架是由基本部分和附屬部分組成時，應先計算附屬部分的反力，再計算基本部分的反力。(2)剛架中各桿的桿端內力剛架中控制截面大多即是各桿的桿端截面，故作內力圖時，首先要用截面法求出各桿端內力。在剛架中，剪力和軸力的正負號規(guī)定與梁相同，剪力圖和軸力圖可繪在桿件的任一側，但必須注明正負號；彎矩則不規(guī)定正負號，但彎矩圖應繪在桿件的受拉側而不注正負號。為了明確地表示剛架上不同截面的內力

16、，尤其是區(qū)分匯交于同一結點的各桿端截面的內力而不致于混淆，在內力符號后引用兩個下標：第一個下標表示內力所在的截面，第二個下標表示該截面所屬桿件的另一端。例如MAB表示AB桿A端截面的桿端彎矩，F(xiàn)SCA表示AC桿C端截面的剪力。例3-5試作圖3-16(a)所示剛架的內力圖。解：1.求支座反力。2Fx=0,5+FBx=0,FBx=-5kN()負號表示與FBx的假設方向相反，即向左。2MB=0,4XFAy+5X2-16X4X2+8X1=0,FAy=27.5kN(1)同理，由NMA=0,得：FBy=44.5kN(T)校核：2Fy=27.5+44.5-16X4-8=0故知反力計算無誤。CISX甘寸餐圖3

17、-162 .繪內力圖。（1）作M圖。求各桿端彎矩（控制截面的彎矩）MAE=MEA=MEC=0,MCE=5X2=10kNm（左側受拉）MCD=5X2=10kNm（上側受拉），MDC=8X1-（-5）X4=28kNm（上側受拉）MDB=5X4=20kNm（右側受拉），MDF=8X1=8kNm（上側受拉），MBD=MFD=0求得上述各控制截面的彎矩后，對無荷桿段，直接聯(lián)線即可得彎矩圖，對受均布荷載的區(qū)段，將桿端彎矩聯(lián)以虛直線后，再疊加上相應簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖。如CD桿中點的彎矩為:16X42/8-（10+28）/2=13kNm（下側受拉）。整個剛架的彎矩圖如圖3-16（b）所示。(2)作

18、FS圖及FN圖。作剪力圖時同樣應逐桿考慮。根據(jù)荷載和已求出的反力，用截面法求得各控制截面(桿端)的剪力如下：FSAE=FSEA=0;FSEC=-5kN;FSCD=27.5kNFSDC=8-44.5=-36.5kN;FSDF=FSFD=8kN;FSBD=FSDB=5kN據(jù)此，可繪出剪力圖，如圖3-16(d)所示。用同樣的方法可繪出軸力圖，如圖3-16(c)所示。在CD桿剪力為零處，彎矩圖有極值，一般應求出。由圖3-16(d)可知UN»“十用)i解得：x=1.72m故有：MG=27.5X1.72-5X2-16X1.722/2=13.6kNm(3)校核。內力圖作出后，應進行校核，可取剛架的

19、任一部分為隔離體，看其是否滿足平衡條件。一般取剛結點為隔離體進行分析，如取結點D為隔離體，有2Fx=5-5=0;2Fy=44.5-36.5-8=0;NMD=8+20-28=0可見，結點D的三個平衡條件均能滿足。對其他剛結點，也可按同樣的方法進行校核，讀者可自行校核結點C的平衡條件是否滿足。例3-6試作圖3-17(a)所示三校剛架的內力圖。解：(1)求支座反力。本題計算特點：(1)反力計算；(2)斜桿內力計算及內力圖取整體為隔離體，由2MB=0,得：FAy=6X6X9/12=27kN(T)由2MA=0,得:FBy=6X6X3/12=9kN(T)由2Fx=0,得：FAx=FBx再取剛架右半部分為隔

20、離體，由2MC=0,得FBx=9X6/9=6kN()故知：FAx=6kN(f)校核：2Fy=27+9-6X6=0。可知反力計算無誤。(2)作彎矩圖。首先求出各桿端彎矩，畫在受拉側并聯(lián)以直線，再疊加同跨度簡支梁在荷載作用下的彎矩圖?，F(xiàn)以斜桿DC為例說明彎矩圖的作法。MDC=6X6=36kNm(外側受拉)MCD=0DC桿中點彎矩為：36/2-X6X62/8=-9kNm(內側受拉)。內側最大彎矩所在截面由剪力圖確定，其值為11.9kNm。M圖如圖3-17(b)所示。(3)作剪力圖。取豎桿AD和BE為隔離體，由平衡條件可得FSDA=FSAD=-6kN;FSEB=FSBE=6kN但對于斜桿CD和CE,可分別取這兩桿為隔離體，如圖3-17(c)、(d)所示。對桿件兩端截面中心取矩即可求出桿件兩端剪力。圖3-17FSDC=(36+6X6X3)/6.71=21.5kNFSCD=(36-6X6X3)/6.71=-10.7kNFSCE=FSEC=-36/6.71=-5.37kNFS圖如圖3-17(e)所示。(4)作軸力圖。仍取AD和BE兩桿為隔離體，利用平衡條件即可求出桿端軸力為FNDA=FNAD=-27kN;FNEB=F