1、數(shù)學(xué)物理方程模擬試題一、填空題（3分父10=30分）1 .說明物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件叫（），說明邊界上的約束情況的條件叫（），二者統(tǒng)稱為（）.2 .三維熱傳導(dǎo)齊次方程的一般形式是：（）.3 .在平面極坐標(biāo)系下，拉普拉斯方程算符為（）.4 .邊界條件（四+w）=f是第（）類邊界條件，其中S為邊界.cnS.2.25 .設(shè)函數(shù)u（x,t）的傅立葉變換式為U（露t）,則方程4=a24的傅立ct二x葉變換為（）.6 .由貝塞爾函數(shù)的遞推公式有g(shù)j0（x）=（）dx.7 .根據(jù)勒讓德多項(xiàng)式的表達(dá)式有-P2（x）+-Po（x）=（）.33128.計(jì)算積分F2（x）dx=（）-49.勒讓德多項(xiàng)式P1（x）的微

2、分表達(dá)式為（）10.二維拉普拉斯方程的基本解是（1.試用分離變量法求以下定解問題.2.2I二u-2tu-222,0x3,t0；t2；x2VUvA=0，Ux=0x3-Wu-U=3xt=0,0xt=0ct（30分）:0,31 一22 u二u二-r,0x4,t0:t:x22.u|0,u|二。x=0x=4!u|=2xiy3.-2二ut2-22U2x=0,16,0x2,t0x=0ut=0Ft=8,x=2三、用達(dá)朗貝爾公式求解下列一維波動(dòng)方程的初值問題（10分）22二U:t2=a-2cosx,二x二，t0xt=0=sin2x,四、用積分變換法求解下列定解問題（10分）:2FuxyIUx=0IUy=01,x

3、0,yy1,1,五、利用貝賽爾函數(shù)的遞推公式證明下式（10分）：、,、I/、1I/、J2(x)=J0(x)J0(x)x六、在半徑為1的球內(nèi)求調(diào)和函數(shù)U,使它在球面上滿足Uy=cos2e,即所提問題歸結(jié)為以下定解問題（10分）：1-:/2：UT(r)2rrr+r2sin7:u(sin)=0,0r1,0三丁m二C0u=3cos2十1,0we工九（本題的u只與r,e有關(guān)，與中無關(guān)）數(shù)學(xué)物理方程模擬試題參考答案一、填空題:1 .初始條件，邊值條件，定解條件-2-2-2-U_2/二u二u二u2 .7aa(22-2)t二x:y二z3 .(：當(dāng)口Bs:一:二)：2T4.5.6.d2U22,2-二一a1U.d

4、t-Ji(x).7.8.251d29.(x-1).2dx10.u=ln(xx。)2(yy。)2X(0)=X=0,得到-232為特征值，特征函數(shù)Xn(x)=Bnsin再解T(t),得到(t)=CnCOS2n：tDnsin2n-：tqQu(x,t)八(Cncos2n二tDnsin2n二tn123Cn=-3xsin30、.n二x)sin,冉3史xdx=(-1嚴(yán),Dn=0,所以原定解問題的解為3n二二、試用分離變量法求以下定解問題1 .解令u(x,t)=X(x)T(t),代入原方程中得到兩個(gè)常微分方程:丁(t)+a2兒T(t)=0,X(x)十九X(x)=0,由邊界條件得到對九的情況討論，只有當(dāng)兒0時(shí)才

5、有非零解，令)sinu(x,t)=(-(-1)n1cosn1n二2 .解令u(x,t)=X(x)T(t),代入原方程中得到兩個(gè)常微分方程:T(t)十九T(t)=0,X(x)+九X(x)=0,由邊界條件得到九的情況討論，只有當(dāng)兒0時(shí)才有非零解,，242n2r?t為特征值，特征函數(shù)n二Xn(x)-Bnsin4n2二2tX(0)=X(4)=0,對令九=*,得到,再解T(t),得到Tn(t)=Cne16,于是u(x,t)=(Cne16sin皿，再由初始條件得到24Cn=402xsinn二xdx48u(x,t)=n116n1一(-1)en二16(-1)n二16sinn-：x4以原定解問題的解為3 .解由

6、于邊界條件和自由項(xiàng)均與無關(guān)，令u(x,t)=v(x,t)+w(x),代入原方程中，將方程與邊界條件同時(shí)齊次化。因此U2y44-2+w(x)+16=4w(x)=16=w(x)=-2x2+c1x+c2,再由邊界條-tFx件有w(0)=0,w(2)=8,于是G=8q=0,w(x)=-2x2十8x.再求定解問題22220H2；x2,V0x=05:x二2,t0二0一,、一.、,、一0,用分離變量法求以上定解問題，、V=-w(x),ft=0,0x二16nv(x,t)(-1)nn4n二323(-1)-1)cosn二tsinn二u(x,t)=8x-2x2八(-1)nn1n.解令u(x,t)=v(x,t)+w(

7、x)323(-1)n-1)cosn二tsinn二,代入原方程中，將方程齊次化,因此;：2V-2-二a21Vexw(x)cosx=.-w(x)cosx=0=1w(x)=-cosxaf2vft22V2,t0:x解問題=sin2x-1，、：v2cosxw(x),-aft上問t=0由達(dá)朗貝爾公式0,，、1、v(x,t)sin2(xat)-2cos(x-at)01,、.、-cos(aat)sin2(x-at)-a=sinxcosat一u(x,t)=sinxcosat-12a1-2acosxcosatcosxcosat口cosx.a四.解對y取拉普拉斯變換時(shí)對y取拉普拉斯變換得到pLu(x,y)=U(x,p)dk,Udxp,對方程和邊界條件同,工，解這個(gè)微分方程P得至UU(x,p)=口x+y十工，再取拉普拉斯逆變換有u(x,y)=yx+y+1ppp所以原問題的解為u(x,y)=yx+y+1.五.證明由公式9(xn(x)dx=-xJn七(x)有xjn(x)-nJn(x)=xJn書(x),令n=1有xJi(x)-J1(x)=-xJ2(x),J0(x)=-J1(x),J0(x)=-J1(x),所以J2(x)=J1(x)十二Ji(x)x所以J2(x)=J0(x)-J0(x).x六.解由分離變量法，令u(r,e)=R(r)(日)，得到Q0u(r,e)=CnrnPn