1、問題問題: 數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家面包店數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家面包店買一塊買一塊1000g 的面包，并記錄下買回的面的面包，并記錄下買回的面包的實際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)包的實際質(zhì)量。一年后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為950g。于是龐。于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足。加萊推斷這家面包店的面包分量不足。假設(shè)假設(shè)“面包分量足面包分量足”，則一年購買面包的質(zhì)量數(shù)，則一年購買面包的質(zhì)量數(shù)據(jù)的平均值應(yīng)該不少于據(jù)的平均值應(yīng)該不少于1000g ；“這個平均值不大于這個平均值不大于950g”是一個與假設(shè)是一個與假設(shè)“面包面包分量足分量足”矛盾的小概率事件；矛盾的小

2、概率事件；這個小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。這個小概率事件的發(fā)生使龐加萊得出推斷結(jié)果。一一: :假設(shè)檢驗問題的原理假設(shè)檢驗問題的原理假設(shè)檢驗問題由兩個互斥的假設(shè)構(gòu)成，其中一個假設(shè)檢驗問題由兩個互斥的假設(shè)構(gòu)成，其中一個叫做原假設(shè)，用叫做原假設(shè)，用H0表示；另一個叫做備擇假設(shè)，表示；另一個叫做備擇假設(shè)，用用H1表示。表示。例如，在前面的例子中，例如，在前面的例子中，原假設(shè)原假設(shè)為為 H0：面包分量足，：面包分量足，備擇假設(shè)備擇假設(shè)為為 H1：面包分量不足。：面包分量不足。這個假設(shè)檢驗問題可以表達(dá)為：這個假設(shè)檢驗問題可以表達(dá)為： H0：面包分量足：面包分量足 H1：面包分量不足：面包分量不足

3、二二: :求解假設(shè)檢驗問題求解假設(shè)檢驗問題考慮假設(shè)檢驗問題：考慮假設(shè)檢驗問題： H0：面包分量足：面包分量足 H1：面包分量不足：面包分量不足1. 在在H0成立的條件下，構(gòu)造與成立的條件下，構(gòu)造與H0矛盾的小概率事件；矛盾的小概率事件；2. 如果樣本使得這個小概率事件發(fā)生，就能以一定如果樣本使得這個小概率事件發(fā)生，就能以一定把握斷言把握斷言H1成立；否則，斷言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)成立；否則，斷言沒有發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)與與H0相矛盾的證據(jù)。相矛盾的證據(jù)。求解思路：求解思路：三三:二個概念二個概念這種變量的不同取這種變量的不同取“值值”表示個體所屬的不表示個體所屬的不同類別，這類變量稱為同類別，這類變量稱為

4、分類變量分類變量1.1.分類變量分類變量 對于性別變量，取值為：男、女對于性別變量，取值為：男、女 分類變量分類變量在現(xiàn)實生活中是大量存在的，如是在現(xiàn)實生活中是大量存在的，如是否吸煙，是否患肺癌，宗教信仰，國別，年齡，否吸煙，是否患肺癌，宗教信仰，國別，年齡，出生月份等等。出生月份等等。利用隨機變量利用隨機變量K K2 2來確定在多大程度上可以認(rèn)為來確定在多大程度上可以認(rèn)為”兩個分類變量有關(guān)系兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為的方法稱為兩個分類變量兩個分類變量的獨立性檢驗的獨立性檢驗.(.(為假設(shè)檢驗的特例為假設(shè)檢驗的特例) ) 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計

5、不吸煙不吸煙77757775424278177817吸煙吸煙20992099494921482148總計總計98749874919199659965為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機為了調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了地調(diào)查了99659965人，得到如下結(jié)果（單位：人）人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是在不吸煙者中患肺癌的比重是 在吸煙者中患肺癌的比重是在吸煙者中患肺癌的比重是 說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大吸煙者患肺癌的可能性大0.54%0.54%

6、2.28%2.28%1)通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：三維柱三維柱狀圖狀圖2) 通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：二維條二維條形圖形圖3)通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)：患肺癌患肺癌比例比例不患肺癌不患肺癌比例比例 獨立性檢驗獨立性檢驗H H0 0：吸煙吸煙和和患肺癌患肺癌之間沒有關(guān)系之間沒有關(guān)系 H H1 1： 吸煙吸煙和和患肺癌患肺癌之間有關(guān)系之間有關(guān)系通過數(shù)據(jù)和圖表分析，通過數(shù)據(jù)和圖表分析，得到結(jié)論是：得到結(jié)論是：吸煙與吸煙與患肺癌有關(guān)患肺癌有關(guān)結(jié)論的可靠結(jié)

7、論的可靠程度如何？程度如何？ 用用 A A 表示表示“不吸煙不吸煙”， B B 表示表示“不患肺癌不患肺癌”則則 H H0 0：吸煙吸煙和和患肺癌患肺癌之間沒有關(guān)系之間沒有關(guān)系 “吸煙吸煙”與與“患肺癌患肺癌”獨立獨立, , 即即A A與與B B獨立獨立P(AB)= P(A)P(B)P(AB)= P(A)P(B)等價于等價于等價于等價于 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙a ab ba+ba+b吸煙吸煙c cd dc+dc+d總計總計a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+da a + + b ba a + + c ca aP P( (A

8、 A) ), ,P P( (B B) ), ,P P( (A AB B) )n nn nn n其其 中中 n n = = a a + + b b + + c c + + d dacac,a+bc+da+bc+d a c+d c a+b , a c+d c a+b ,adbcaa+ba+caa+ba+cnnnnnn2 22 2n n（a ad d- -b bc c）K K = =( (a a+ +b b) )( (c c+ +d d) )( (a a+ +c c) )( (b b+ +d d) ) 獨立性檢驗0.adbcad-bc 越小，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越弱，ad-bc 越小，說明吸煙

9、與患肺癌之間的關(guān)系越弱，ad-bc 越大，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越強ad-bc 越大，說明吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越強引入一個隨機變量引入一個隨機變量作為檢驗在多大程度上可以認(rèn)為作為檢驗在多大程度上可以認(rèn)為“兩個變量兩個變量有關(guān)系有關(guān)系”的標(biāo)準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn) 。1)1)如果如果P(m10.828)= 0.001P(m10.828)= 0.001表示有表示有99.9%99.9%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;2)2)如果如果P(m7.879)= 0.005P(m7.879)= 0.005表示有表示有99.5%99.5%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;

10、3)3)如果如果P(m6.635)= 0.01P(m6.635)= 0.01表示有表示有99%99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;4)4)如果如果P(m5.024)= 0.025P(m5.024)= 0.025表示有表示有97.5%97.5%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;5)5)如果如果P(m3.841)= 0.05P(m3.841)= 0.05表示有表示有95%95%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;6)6)如果如果P(m2.706)= 0.010P(m2.706)= 0.010表示有表示有90%90%的把握認(rèn)為

11、的把握認(rèn)為“X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;7)7)如果如果m2.706),m2.706),就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“X X與與Y”Y”有關(guān)系有關(guān)系; ;設(shè)有兩個分類變量設(shè)有兩個分類變量X X和和Y Y它們的值域分別為它們的值域分別為xx1 1,x,x2 2 和和yy1 1,y,y2 2 其樣其樣本頻數(shù)列表本頻數(shù)列表( (稱為稱為2 22 2列聯(lián)表列聯(lián)表) )為為y y1 1y y2 2總計總計x x1 1a ab ba+ba+bx x2 2c cd dc+dc+d總計總計a+ca+cb+db+da+b+c+da+b+c+d22列聯(lián)表22()()()()n ad b

12、cKa b c d a c b d（）2 2P(k m)P(k m)適用觀測數(shù)據(jù)適用觀測數(shù)據(jù)a a、b b、c c、d d不小于不小于5 5 獨立性檢驗 吸煙與肺癌列聯(lián)表吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌總計總計不吸煙不吸煙7775427817吸煙吸煙2099492148總計總計9874919965通過公式計算通過公式計算2242 209956.6327817 2148 9874 91K9965(7775 49） 獨立性檢驗已知在已知在 成立的情況下，成立的情況下，0H2(6.635)0.01P K 即在即在 成立的情況下，成立的情況下，K K2 2大于大于6.6356.635概率非

13、常概率非常小，近似為小，近似為0.010.010H現(xiàn)在的現(xiàn)在的K K2 2=56.632=56.632的觀測值遠(yuǎn)大于的觀測值遠(yuǎn)大于6.6356.635分類變量之間關(guān)系條形圖柱形圖列聯(lián)表獨立性檢驗背景分析 例例1.1.在某醫(yī)院在某醫(yī)院, ,因為患心臟病而住院的因為患心臟病而住院的665665名男性名男性病人中病人中, ,有有214214人禿頂人禿頂, ,而另外而另外772772名不是因為患心臟病名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有而住院的男性病人中有175175人禿頂人禿頂. .分別利用圖形和獨分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷是否有關(guān)立性檢驗方法判斷是否有關(guān)? ?你所得的結(jié)論在什么范你所得的結(jié)

14、論在什么范圍內(nèi)有效圍內(nèi)有效? ? 例例2.2.為考察高中生性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間為考察高中生性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系的關(guān)系, ,在某城市的某校高中生中隨機抽取在某城市的某校高中生中隨機抽取300300名學(xué)生名學(xué)生, ,得到如下列聯(lián)表得到如下列聯(lián)表: : 性別與喜歡數(shù)學(xué)課程列聯(lián)表性別與喜歡數(shù)學(xué)課程列聯(lián)表喜歡數(shù)學(xué)課程喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程 總計總計 男男 37 37 85 85 122 122 女女 35 35 143 143 178 178 總計總計 72 72 228 228 300 300 由表中數(shù)據(jù)計算得由表中數(shù)據(jù)計算得 , ,高中生的性別與是高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間是否有關(guān)系否喜歡數(shù)學(xué)課程之間是否有關(guān)系? ?為什么為什么? ?2 2K 4.513K 4.513acdb獨立性檢驗基本的思想類似獨立性檢驗基本的思想類似反證法反證法(1)(1)假設(shè)結(jié)論不成立假設(shè)結(jié)論不成立, ,即即“兩個分類變量沒有關(guān)系兩個分類變量沒有關(guān)系”. .(2)(2)在此假設(shè)下隨機變量在此假設(shè)下隨機變量 K K2 2 應(yīng)該很能小應(yīng)該很能小, ,如果由觀測如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到數(shù)據(jù)計算得