1、1第二章第二章 波函數(shù)波函數(shù)和和 SchrSchr dinger dinger 方程方程l1 1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋 l2 2 態(tài)的疊加性態(tài)的疊加性l3 3 力學(xué)量的平均值和算符的引進力學(xué)量的平均值和算符的引進 l4 Schr4 Schr dinger dinger 方程方程 l5 5 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 （粗體隸書）l6 定態(tài)Schrdinger方程 （細宋體）說明：本ppt文字使用粗體隸書，致使打印出來的文字會因墨跡濃厚而變得模糊。 讀者在平時學(xué)習(xí)過程中，可以將它一一改為細宋體（如果你想打印的話）。 如果打印店的電腦沒有安裝Mathtype,

2、那么公式會顯示亂碼，所以先轉(zhuǎn)化成pdf文件，才不至于變?yōu)閬y碼。21 1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（一）波函數(shù)（一）波函數(shù) （二）波函數(shù)的詮釋（二）波函數(shù)的詮釋 （三）波函數(shù)的性質(zhì)（三）波函數(shù)的性質(zhì)本塊內(nèi)容請結(jié)合所發(fā)講義本塊內(nèi)容請結(jié)合所發(fā)講義“曾謹言曾謹言量子力學(xué)教程量子力學(xué)教程第一章第一章”學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)。3 )(expEtrpiA 3 3個問題？個問題？ 描寫自由粒子的描寫自由粒子的平平 面面 波波),(tr 如果粒子處于如果粒子處于隨時間和位置變化的力場隨時間和位置變化的力場中運動，它的動量和能中運動，它的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波量不再是常量（或不

3、同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫，而必須用較復(fù)雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常波函數(shù)，它通常是一個是一個復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)。稱為稱為 dedeBroglie Broglie 波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。(1) (1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2) (2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3) (3) 描寫的是什么樣的波呢？描寫的是什么樣的波呢？（一）波函數(shù)（一）波函數(shù)4電子源電子源感感光光屏屏（1 1）兩種錯誤的看法）兩種錯誤的看法 （因時間關(guān)系，本

4、頁自學(xué)）（因時間關(guān)系，本頁自學(xué)）1. 1. 波由粒子組成波由粒子組成如如水波，聲波水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實驗矛盾的，它這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗不能解釋長時間單個電子衍射實驗。電子一個一個地通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增電子一個一個地通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性單個電子就具有波動性。 波由粒子組成的看法

5、波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。了粒子的波動性的一面，具有片面性。PPOQQO事實上，正是由于單個電子具有波動性，事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子才能理解氫原子（只含一個電子！）中電子運動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。些量子現(xiàn)象。52. 2. 粒子由波組成粒子由波組成 （錯誤看法）（錯誤看法） （因時間關(guān)系，本頁自學(xué)）（因時間關(guān)系，本頁自學(xué)）l電子是波包電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連。把電子波看成是電子的某種實

6、際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。 （錯誤看法）（錯誤看法）l什么是波包？什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，振幅與位置無關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是

7、沒有意義的，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。與實驗事實相矛盾。 l實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小其廣延不會超過原子大小1 1 。 l電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ “ 電子既不是粒電子既不是粒子也不是波子也不是波 ” ”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波，但是我們但是我們也可以說，也可以說，“ “ 電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一一?！?

8、” 這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。這個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。6經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中 1.1.有一定質(zhì)量、電荷等有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性顆粒性”的屬性的屬性; ; 粒子意味著粒子意味著 2 2有確定的運動軌道，每一時刻有一定有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。位置和速度。經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中 1.1.實在的物理量的空間分布作周期性的變化實在的物理量的空間分布作周期性的變化; ; 波意味著波意味著 2 2干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。1.1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣入射

9、電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣; ;電子源電子源感感光光屏屏QQOPP我們再看一下電子的衍射實驗我們再看一下電子的衍射實驗2.2. 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣. .7l結(jié)論：結(jié)論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是：衍射實驗所揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許許多電子在同一個實驗中的統(tǒng)計結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。 l波函數(shù)波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎(chǔ)上，正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎(chǔ)上，BornBorn（

10、玻恩，德國）（玻恩，德國） 提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計詮釋。提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計詮釋。 r r 點附近衍射花樣的強度點附近衍射花樣的強度 正比于該點附近感光點的數(shù)目，正比于該點附近感光點的數(shù)目， 正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目，正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目， 正比于電子出現(xiàn)在正比于電子出現(xiàn)在 r r 點附近的幾點附近的幾率。率。在電子衍射實驗中，在電子衍射實驗中，照相底片上照相底片上 8據(jù)此，據(jù)此，描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運動的動的一一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù) (r) (r)有時也稱為幾率幅。有時也稱為幾率幅。 這就是首

11、先由波恩（這就是首先由波恩（Max BornMax Born）提出的）提出的波函數(shù)的幾率解釋波函數(shù)的幾率解釋，它，它是是量子力學(xué)的基本原理量子力學(xué)的基本原理。假設(shè)衍射波波幅用假設(shè)衍射波波幅用 (r) (r) 描述，與光學(xué)相似，描述，與光學(xué)相似， 衍射花紋的強度則用衍射花紋的強度則用 | (r)| (r)|2 2 描述，但意義與經(jīng)典波不同。描述，但意義與經(jīng)典波不同。| (r)| (r)|2 2 的意義是代表電子出現(xiàn)在的意義是代表電子出現(xiàn)在 r r 點附近幾率的大小，點附近幾率的大小，確切的說，確切的說， | (r)| (r)|2 2 x y z x y z 表示在表示在 r r 點處，體積元點處

12、，體積元x y x y zz中中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅絕對值絕對值 的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例，的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例，9Max Born （18821970)德國理論物理學(xué)家Max Born(玻恩)是海森堡（創(chuàng)建矩陣力學(xué)）的導(dǎo)師，因完善矩陣力學(xué)，并提出波函數(shù)統(tǒng)計詮釋獲得1954年Nobel物理學(xué)獎。（小注：本人是玻恩的學(xué)生的學(xué)生的學(xué)生，根小注：本人是玻恩的學(xué)生的學(xué)生的學(xué)生，根正正苗苗紅紅。波恩程開甲高孝純我波恩程開甲高孝純我 則，海森堡我的師叔公）則，海森堡我的師叔公）10（三）波函數(shù)的性質(zhì)（三）波函數(shù)

13、的性質(zhì)在在 t t 時刻，時刻， r r 點，點，d = dx dy dz d = dx dy dz 體積元內(nèi)，找體積元內(nèi)，找到由波函數(shù)到由波函數(shù) (r,t) (r,t)描寫的粒子的幾率是：描寫的粒子的幾率是： ld W( r, t) = C| (r,t)|d W( r, t) = C| (r,t)|2 2 d d， 其中，其中，C C是比例系數(shù)。是比例系數(shù)。根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質(zhì)：（1 1）幾率和幾率密度）幾率和幾率密度在在 t t 時刻時刻 r r 點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是： ( r, t

14、 ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|( r, t ) = dW(r, t )/ d = C | (r,t)|2 2 稱為幾率密度。稱為幾率密度。在體積在體積 V V 內(nèi)，內(nèi)，t t 時刻找到粒子的幾率為：時刻找到粒子的幾率為： W(t) = W(t) = V V dW = dW = V V( r, t ) d= C( r, t ) d= CV V | (r,t)| | (r,t)|2 2 d d11（2 2）平方可積平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即：所以在

15、全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即： CC | (r , t)| | (r , t)|2 2 d= 1, d= 1, 從而得常數(shù)從而得常數(shù) C C 之值為：之值為： C = 1/ C = 1/ | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d這即是要求描寫粒子量子這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)狀態(tài)的波函數(shù) 必須是絕必須是絕對值平方可積的函數(shù)。對值平方可積的函數(shù)。若若 | (r , t)| | (r , t)|2 2 d d , , 則則 C C 0 0, , 這是沒有意義的。這是沒有意義的。 )(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函數(shù)注意：自由粒子波函數(shù) 不滿足這一要求。關(guān)于

16、自由粒子波函數(shù)如何歸一化問不滿足這一要求。關(guān)于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問題，以后再予以討論。題，以后再予以討論。 12（3 3）歸一化波函數(shù)）歸一化波函數(shù)這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的 2 2 倍），則相應(yīng)的波動能量將為原來的倍），則相應(yīng)的波動能量將為原來的 4 4 倍，因而代表完全不同的波動狀倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。 (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t )C (r , t )是等價的，是等價的， 所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這

17、里的 C C 是常數(shù)。是常數(shù)。 因為在因為在 t t 時刻，空間任意兩點時刻，空間任意兩點 r r1 1 和和 r r2 2 處找到粒處找到粒子的相對幾率之比是：子的相對幾率之比是： 由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t)

18、 C (r, t) 描述同一狀態(tài)描述同一狀態(tài)221221),(),(),(),(trtrtrCtrC 可見，可見， (r , t ) (r , t ) 和和 C (r , t ) C (r , t ) 描述的是同一幾率波，描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。13歸一化常數(shù)l若若 (r , t ) (r , t ) 沒有歸一化，沒有歸一化， | (r , t )| (r , t )|2 2 d= A d= A （A A 是大于零的常數(shù)），則有是大于零的常數(shù)），則有 l | |(A)(A)-1/2-1/2 (r , t ) (r , t )| |2 2

19、d= 1 d= 1 也就是說，也就是說，(A)(A)-1/2-1/2 (r,t) (r,t)是歸一化的波函數(shù)，與是歸一化的波函數(shù)，與(r,t)(r,t)描寫同一幾率波，描寫同一幾率波， (A)(A)-1/2 -1/2 稱為歸一化因子稱為歸一化因子。 l注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個模為一的因子不定性模為一的因子不定性。若。若(r,t)(r,t)是歸一化波函數(shù)，是歸一化波函數(shù)，那么，那么，expiexpi (r,t) (r,t) 也是歸一化波函數(shù)（其中也是歸一化波函數(shù)（其中是實數(shù)），與前者描述同一是實數(shù)），與前者描述同一幾率波。幾率波。14（4 4）平面波歸一化）平面波

20、歸一化 （不作要求，請自學(xué)）（不作要求，請自學(xué)）I Dirac 函數(shù)函數(shù) 定義：定義： 0000)(xxxxxx )0(1)()(0000 dxxxdxxxxx或等價的表示為：對在或等價的表示為：對在x=xx=x0 0 鄰域鄰域連續(xù)的任何函數(shù)連續(xù)的任何函數(shù) f f（x x）有：）有：)()()(00 xfdxxxxf 函數(shù)函數(shù) 亦可寫成亦可寫成 Fourier Fourier 積分形式：積分形式：)(0021)(xxikedkxx 令令 k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= dpx x/ / , , 則則xxxpidpexxx)(0021)( 性質(zhì)：性質(zhì)：)()()()(000

21、 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx 0 x0 x)(0 xx dxeppxpxpxppixxxxxx)(021)( ，則則，作作代代換換：15II II 平面波平面波 歸一化歸一化EtipEtrpiperAetr )(),(寫成分量形式寫成分量形式321)()()()(zpiypixpippprpipzyxzyxeAeAeAzyxAer t=0 t=0 時的平面波時的平面波)(),(),(22*22xxtppippppedxtxtxxxxx 考慮一維積分考慮一維積分dxxxexxxxpptEEi)()(* dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxxxxxpp)

22、()(* )(221xxppA 若取若取 A A1 12 2 2 2 = 1 = 1，則，則 A A1 1= 2= 2 -1/2-1/2, , 于是于是xpipxxex 21)( )(xxpp 平面波可歸一化為平面波可歸一化為函數(shù)函數(shù))(xxpp dxtxtxxxpp),(),(* )(xxpp dxeAxppixx21 dxeppxppixxxx)(21)( )()()()(000 xxxfxxxf 16三維情況：三維情況：EtipEtrpiperetr )(21),(2/3 drredtrtrpptEEipp)()(),(),(* )()()()()()(*ppppppppdrrzzyyx

23、xpp 2/332121 AAAA)()(ppppetEEi 其中其中2/321)(rpiper 注意：注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點找到粒子的幾率依然只是表示平面波所描寫的狀態(tài)在空間各點找到粒子的幾率相同。相同。17思考題思考題 （已作為習(xí)題）（已作為習(xí)題）波波函函數(shù)數(shù)是是否否等等價價？兩兩種種情情況況，得得到到的的兩兩個個取取、對對是是否否等等價價？和和、波波函函數(shù)數(shù)請請問問：已已知知下下列列兩兩個個波波函函數(shù)數(shù)：2)()()(, 3 ,2, 1|0|)(2sin)(, 3 ,2

24、, 1|0|)(2sin)()2(12121 nxIIxxInaxaxaxanAxnaxaxaxanAx .)24(,3,)1 (/26/ )2(5/24/33/22/211xixixixixixieieeeee 描描寫寫同同一一狀狀態(tài)態(tài)？些些與與請請問問下下列列波波函函數(shù)數(shù)中中，哪哪182 2 態(tài)的疊加態(tài)的疊加特性 （一）（一）態(tài)的疊加特性態(tài)的疊加特性 l（二）（二）動量空間（表象）的波函數(shù)動量空間（表象）的波函數(shù)19（一）態(tài)的疊加性l微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性波的疊加性，即可相加性，即可相加

25、性，兩個相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。因此，同兩個相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在量子力學(xué)中也存在波疊加原理波疊加原理。因為量子力學(xué)中的波，即波函數(shù)。因為量子力學(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱為以量子力學(xué)的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理。l說明：有的教材把說明：有的教材把“態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理”當作量子力學(xué)的一條基本原理，但也當作量子力學(xué)的一條基本原理，但也有人認為，薛定諤方程是線性的，態(tài)疊加原理已經(jīng)包含在薛定諤方程與有人認為，薛定諤方

26、程是線性的，態(tài)疊加原理已經(jīng)包含在薛定諤方程與波函數(shù)統(tǒng)計詮釋里面了，不再是一條基本原理。波函數(shù)統(tǒng)計詮釋里面了，不再是一條基本原理。20考慮電子雙縫衍射考慮電子雙縫衍射 l= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是電子的可能狀態(tài)。也是電子的可能狀態(tài)。 l空間找到電子的幾率則是：空間找到電子的幾率則是： l|2 2 = |C = |C1 11 1+ C+ C2 22 2| |2 2 l = (C = (C1 1* *1 1* *+ C+ C2 2* *2 2* *) (C) (C1 11 1+ C+ C2 22 2) ) l = |C = |C1 1 1 1| |2 2+ |C+ |

27、C2 22 2| |2 2 + C + C1 1* *C C2 21 1* *2 2 + C + C1 1C C2 2* *1 12 2* * P1 12 2S1S2電子源電子源感感光光屏屏電子穿過狹縫電子穿過狹縫出現(xiàn)在點出現(xiàn)在點的幾率密度的幾率密度電子穿過狹縫電子穿過狹縫出現(xiàn)在點出現(xiàn)在點的幾率密度的幾率密度相干項相干項 正是由于相干項的正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。射花紋。一個電子有一個電子有 1 1 和和 2 2 兩種可能的狀兩種可能的狀態(tài)，態(tài)， 是這兩種狀是這兩種狀態(tài)的疊加。態(tài)的疊加。21 其中C1 和 C2 是復(fù)常數(shù)，這就是量子力學(xué)的態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理一般

28、表述：態(tài)疊加原理一般表述： 若1 ，2 ,., n ,.是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 = C11 + C22 + .+ Cnn + . (其中 C1 , C2 ,.,Cn ,.為復(fù)常數(shù))。 也是體系的一個可能狀態(tài)。 處于態(tài)的體系，部分地處于 1態(tài)，部分地處于2態(tài).，部分地處于n，. 在經(jīng)典世界中，一女嫁二夫，犯重婚罪。但在量子世界中，王家閨女要想同時嫁給張家傻兒與李家癡子(管不住的是兒子，看不住的是女兒，現(xiàn)代父母的頭痛事)，卻是合法的。態(tài)的疊加原理告訴我們：如果波函數(shù)|嫁張家與|嫁李家是可能的狀態(tài)的話，那么波函數(shù)|嫁張家|嫁李家也是一個合法的可能狀態(tài)，因為這個態(tài)（波函數(shù)）也是遵

29、守薛定諤（ Schrdinger）方程的。只要遵守薛定諤方程，什么奇怪的事情都可能發(fā)生，如可以處于既死又活狀態(tài)： |活|死 （著名的薛定諤貓佯謬）。一般情況下，如果1和2 是體系的可能狀態(tài)，那末它們的線性疊加= C= C1 11 1 + C + C2 22 2 也是該體系的一個可能狀態(tài)也是該體系的一個可能狀態(tài).（因時間關(guān)系，本頁自學(xué)）（因時間關(guān)系，本頁自學(xué)）22例：例： )(expEtrpiAp了了求求和和。所所以以后后式式應(yīng)應(yīng)用用積積分分代代替替是是連連續(xù)續(xù)變變化化的的，由由于于其其中中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppp ),()(),(),()(),(電子在晶體表

30、面反射后，電子可電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量能以各種不同的動量 p p 運動。具運動。具有確定動量的運動狀態(tài)用有確定動量的運動狀態(tài)用dedeBroglie Broglie 平面波表示平面波表示根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)可表示可表示成成 p p 取各種可能值的平面波的線性疊加，即取各種可能值的平面波的線性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。 dp p（因時間關(guān)系，本頁自學(xué)）（因時間關(guān)系，本頁自學(xué)）23（二）（二）動量空間（表象）的波函數(shù)動量空間（表象）的波函數(shù)（自學(xué)內(nèi)容

31、）（自學(xué)內(nèi)容）（前面我們用坐標表象來敘述，比較直觀。其實，也可以用動量表象來敘述。一句話，動量表象與坐標表象的差別與聯(lián)系在于：兩者通過傅立葉變換相聯(lián)系，相轉(zhuǎn)換）l (r,t) (r,t)是以坐標是以坐標 r r 為自變量的波函數(shù)，為自變量的波函數(shù)， 坐標空間波函數(shù)，坐標空間波函數(shù)，坐標表象坐標表象波函數(shù)；波函數(shù)； lC(p, t)C(p, t) 是以動量是以動量 p p 為自變量的波函數(shù)，為自變量的波函數(shù)， 動量空間波函數(shù)，動量空間波函數(shù)，動量表象動量表象波函數(shù)；波函數(shù)； exp21)(2/3rpirp ）（ 波函數(shù)波函數(shù) (r,t) (r,t) 可用各種不同動量的平面波表示，可用各種不同動量

32、的平面波表示， 下面我們給出簡單證明。下面我們給出簡單證明。rdtrrtpcp),()(),( 同同描描述述方方式式。是是同同一一量量子子態(tài)態(tài)的的兩兩種種不不一一一一對對應(yīng)應(yīng)，與與所所以以的的。變變換換式式，故故而而總總是是成成立立顯顯然然，二二式式互互為為),(),(tpctrFourier 展開展開系數(shù)系數(shù)pdrtpctrp)(),(),( 令令則則 可按可按p p 展開展開dxdydzrpitrexp),(212/3 ）（ zyxdpdpdprpitpcexp),()2(12/3 l二者描寫同一量子狀態(tài)。兩者相差一個傅立葉變換而已。稱為不同表象（坐標表象與動量表象），二者描寫同一量子狀態(tài)

33、。兩者相差一個傅立葉變換而已。稱為不同表象（坐標表象與動量表象），就好像一個運動，我們可以用直角坐標描寫，也可以用球坐標描寫一樣。就好像一個運動，我們可以用直角坐標描寫，也可以用球坐標描寫一樣。24若若 (r,t) (r,t)已歸一化，則已歸一化，則 C(p, t)C(p, t)也是歸一化的也是歸一化的pdtpctpcpdtpc),(),(| ),(|2 證證明明：pdrdrtrrdrtrpp ) (), ()(),( pdrrrdrdtrtrpp) ()(), (),( ) (), (),(rrrdrdtrtr 1),(),(rdtrtr函函數(shù)數(shù)的的目目的的。平平面面波波歸歸一一化化為為由由

34、此此我我們們也也可可以以看看出出把把關(guān)關(guān)系系式式其其中中使使用用了了 ) () ()(rrpdrrppr dtrrtpcp),()(),( 25體體積積元元內(nèi)內(nèi)的的幾幾率率；點點附附近近時時刻刻粒粒子子出出現(xiàn)現(xiàn)在在rdrtrdtrtrdW 2|),(|),(具具有有類類似似的的物物理理含含義義與與),(),(trtrc 體體積積元元內(nèi)內(nèi)的的幾幾率率。點點附附近近時時刻刻粒粒子子出出現(xiàn)現(xiàn)在在動動量量pdptpdtrctpdW 2|),(|),(263 3 力學(xué)量的平均值和算符的引進力學(xué)量的平均值和算符的引進 （一）力學(xué)量平均值（一）力學(xué)量平均值 l（1 1）坐標平均值）坐標平均值 l（2 2）動

35、量平均值）動量平均值 l（二）力學(xué)量算符（二）力學(xué)量算符 l（1 1）動量算符）動量算符 l（2 2）動能算符）動能算符 l（3 3）角動量算符）角動量算符 l（4 4）Hamilton Hamilton 算符算符27（一）（一）力學(xué)量平均值力學(xué)量平均值l在統(tǒng)計物理中知道，在統(tǒng)計物理中知道， l當可能值為離散值時當可能值為離散值時: 一個物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各一個物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的種可能值乘上相應(yīng)的幾率求和；幾率求和； 當可能值為連續(xù)取值時：當可能值為連續(xù)取值時：一個物理一個物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率密度求積分。幾

36、率密度求積分。 基于波函數(shù)的幾基于波函數(shù)的幾率含義，率含義，我們馬上可以得到粒子坐標和動量的平均值。先考慮一維我們馬上可以得到粒子坐標和動量的平均值。先考慮一維情況，然后再推廣至三維。情況，然后再推廣至三維。28（1 1）坐標平均值）坐標平均值2*| ( )|( )( )xxxxdxx xx dx 2*|( ) |( )( )rrrrdr rr d 為簡單計，除去時間變量（或者說，先不考慮隨時間的變化）為簡單計，除去時間變量（或者說，先不考慮隨時間的變化） 設(shè)設(shè)(x)(x) 是歸一化波函數(shù)，是歸一化波函數(shù)，| (x)| (x)|2 2 是粒子出現(xiàn)在是粒子出現(xiàn)在x x點的幾率密度，點的幾率密度，

37、則則對三維情況對三維情況，設(shè)，設(shè)(r) (r) 是歸一化波函數(shù)，是歸一化波函數(shù)，|(r)|(r)|2 2是粒子出現(xiàn)是粒子出現(xiàn)在在 r r 點的幾率密度，則點的幾率密度，則x x的平均值為的平均值為（2 2）動量平均值）動量平均值（自學(xué)）（自學(xué)）一維情況一維情況：令：令(x)(x)是歸一化波函是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動量表象波函數(shù)為數(shù)，相應(yīng)動量表象波函數(shù)為xxxxxxxxxdppcpppppcdxxipxpc222/1|)(|)(|)/exp()()2(1)( 的的幾幾率率密密度度，則則粒粒子子動動量量為為 證明見后面證明見后面第第2頁頁ppt29（二）力學(xué)量算符（二）力學(xué)量算符簡言之，由于量子力學(xué)

38、和經(jīng)典力學(xué)完全不同，它是用波函數(shù)描寫狀簡言之，由于量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)完全不同，它是用波函數(shù)描寫狀態(tài)，所以力學(xué)量也必須改造成與經(jīng)典力學(xué)不同的算符形式（稱為一態(tài)，所以力學(xué)量也必須改造成與經(jīng)典力學(xué)不同的算符形式（稱為一次量子化）。次量子化）。結(jié)論：在牛頓力學(xué)中，力學(xué)量是一個數(shù)；在量子力學(xué)中，力學(xué)量是結(jié)論：在牛頓力學(xué)中，力學(xué)量是一個數(shù)；在量子力學(xué)中，力學(xué)量是一個算符（算符雖然抽象，但其實經(jīng)常見到，如一個算符（算符雖然抽象，但其實經(jīng)常見到，如df/dx中的求導(dǎo)符號中的求導(dǎo)符號d/dx，就是一個算符。，就是一個算符。（“算符算符”在數(shù)學(xué)著作中，有時被稱呼為在數(shù)學(xué)著作中，有時被稱呼為“算算子子”）下面我們將

39、看到：下面我們將看到： 是動量算符是動量算符（momentum operator）。 為虛數(shù)為虛數(shù)單位單位 ）。）。xp （1 1）動量算符）動量算符既然既然(x) (x) 是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動量表象波函是歸一化波函數(shù)，相應(yīng)動量表象波函數(shù)為數(shù)為c(pc(px x) ) 與之一與之一 一一 對應(yīng)，相互等價的描述粒子的同對應(yīng)，相互等價的描述粒子的同一狀態(tài)，那么動量的平均值也應(yīng)可以在坐標表象用一狀態(tài)，那么動量的平均值也應(yīng)可以在坐標表象用(x)(x)表示出來。但是表示出來。但是(x)(x)不含不含p px x變量，為了能由變量，為了能由(x)(x)來確來確定動量平均值，動量定動量平均值，動量 p p

40、x x必須改造成只含自變量必須改造成只含自變量 x x 的形的形式，這種形式稱為動量式，這種形式稱為動量 p px x的算符形式，記為的算符形式，記為didx i30一維情況：一維情況：（自學(xué)）（自學(xué)）xxxxxxxxxdppcppcdppcppp)()(| )(|2 xxxxpidppcpdxexx)()(21 xxxxpidxdppcpexx)()(21 xxxpidxdppcedxdixx)()(21 )(21)(xxxpidppcedxdixdxx dxxpxdxxdxdixx)()()()( 也可見曾謹言也可見曾謹言量子力學(xué)教量子力學(xué)教程程P.1331比較上面二式得兩點結(jié)論：比較上面

41、二式得兩點結(jié)論： izkyjxiiprrxx 體系狀態(tài)用坐標表象中的波函數(shù)體系狀態(tài)用坐標表象中的波函數(shù) (r) (r) 描寫時，描寫時，坐標坐標 x x 的算符就是其自身，即的算符就是其自身，即說明：力學(xué)量在自身表象中的算符形式最簡單。說明：力學(xué)量在自身表象中的算符形式最簡單。dxdipx 而動量而動量 p px x 在坐標表象（非自身表象）中的形式必在坐標表象（非自身表象）中的形式必須改造成動量算符形式：須改造成動量算符形式：三維情況：三維情況：32記住：坐標表象的動量算符是exp()xxp xidipdxxdpidx xdpid x ( )()( )xdpxix dxdx動量平均值是：33

42、由歸一化波函數(shù)由歸一化波函數(shù)(r)(r)求求 力學(xué)量平均值時，必須力學(xué)量平均值時，必須把該力學(xué)量的算符夾在把該力學(xué)量的算符夾在* *(r)(r)和和(r)(r)之間之間, ,對全空間積分，對全空間積分，即即 dxxFxFFdxxpxppdxxxxxxxxx)()()()()()(一一維維情情況況： rdrrrdrFrFF)()()()(若若波波函函數(shù)數(shù)未未歸歸一一化化，則則F 是任一是任一 力學(xué)量算符力學(xué)量算符 rdrFrFFrdrprpprdrxrxxxxx)()()()()()(三三維維情情況況：34（2 2）動能算符）動能算符rdrTrTTmpTmpT)()(2222 則則所所以以動動能

43、能算算符符在在經(jīng)經(jīng)典典力力學(xué)學(xué)中中，（3 3）角動量算符）角動量算符prLprL )()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLxyzzxyyzx 三三個個分分量量：rdrLrL)()( 35四四章章中中討討論論。將將在在第第算算符符之之間間更更深深刻刻的的關(guān)關(guān)系系學(xué)學(xué)量量與與相相應(yīng)應(yīng)算算符符的的寫寫法法以以及及力力量量，對對于于有有經(jīng)經(jīng)典典對對應(yīng)應(yīng)的的力力學(xué)學(xué)的的粒粒子子在在勢勢場場中中)(2)()(22rVmrVTHVTHrV （4 4）Hamilton Hamilton 算符算符36思考題思考題 (已經(jīng)作為習(xí)題已經(jīng)作為習(xí)題)、動動能能平平均均值值。；、歸歸一一化

44、化系系數(shù)數(shù)為為實實常常量量，求求：其其中中狀狀態(tài)態(tài)中中，一一維維諧諧振振子子處處于于實實數(shù)數(shù)，則則）證證明明：如如果果波波函函數(shù)數(shù)是是（IIAIAexpxx 2/22)()2(. 01 374 Schr4 Schr dinger dinger 方程方程（一）（一） 引引 言言（二）（二） 引進方程的基本考慮引進方程的基本考慮 （三）（三） 自由粒子滿足的方程自由粒子滿足的方程 （四）（四） 勢場勢場 V (r) V (r) 中運動的粒子中運動的粒子 （五）（五） 多粒子體系的多粒子體系的SchrSchr dingerdinger方程方程Schrdinger，奧地利物理學(xué)家奧地利物理學(xué)家38這些

45、問題在這些問題在19261926年年SchrSchr dinger dinger 提出了波動方程之后提出了波動方程之后得到了圓滿解決。得到了圓滿解決。微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個力學(xué)量的平均值及其測量的可能值和之后，粒子的任何一個力學(xué)量的平均值及其測量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個問的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問題就是要解決以下兩個問題：題：(1)(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各

46、種可能的波函數(shù)；在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)； (2)(2)波函數(shù)如何隨時間演化。波函數(shù)如何隨時間演化。（一）（一）引引 言言39（二）（二）引進方程的基本考慮引進方程的基本考慮 （自學(xué)部分）（自學(xué)部分） 從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻 t t 粒子的粒子的狀態(tài)狀態(tài) r r 和和 p p 。因為初條件知道的是坐標及其對時。因為初條件知道的是坐標及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運動方程，看是否

47、能給我們以啟發(fā)。（1 1）經(jīng)典情況）經(jīng)典情況0000,ttdtrdmprtt 時時刻刻，已已知知初初態(tài)態(tài)是是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子滿滿足足的的方方程程是是牛牛頓頓40（2 2）量子情況）量子情況3 3第三方面，方程第三方面，方程不能包含狀態(tài)參量不能包含狀態(tài)參量，如，如 p p, , E E等，否則方程等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。1 1因為，因為，t = tt = t0 0 時刻，已知的初態(tài)是時刻，已知的初態(tài)是( r, t( r, t0 0) ) 且只知道且只知道這樣一個初條件，所

48、以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程程只能含只能含對時間對時間 的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。2 2另一方面，另一方面，要滿足態(tài)疊加原理要滿足態(tài)疊加原理，即，若，即，若1 1( r, t )( r, t ) 和和2 2( r, t )( r, t )是方程的解，那末。是方程的解，那末。 ( r, t)= C( r, t)= C1 11 1( r, t ) + C( r, t ) + C2 22 2( r, t ) ( r, t ) 也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線性的，也就是說方程中只能包含中

49、只能包含, , 對時間的一階導(dǎo)數(shù)對時間的一階導(dǎo)數(shù)和和對坐標各階導(dǎo)數(shù)的一次對坐標各階導(dǎo)數(shù)的一次項項，不能含它們的平方或開方項。，不能含它們的平方或開方項。41請自學(xué)“引進薛定諤波動方程的基本考慮引進薛定諤波動方程的基本考慮”部分。這里我們來看一則小史： 1926年，法國德布洛依（ de Broglie）物質(zhì)波概念（認為電子也是波）傳到奧地利的時候，徳拜（Debye）請薛定諤（ Schrdinger ）在討論會上講解一下物質(zhì)波概念。薛定諤講完后，徳拜說：“波動，波動，你講了那么多波動，可是為什么沒有一個波動方程？” 兩周后，在另一次討論會上，薛定諤說：“我的同事徳拜先生說必須要有一個波動方程?，F(xiàn)在

50、，我得到了一個?！?于是，量子力學(xué)中具有最重要地位的薛定諤方程就這樣誕生。 薛定諤方程有多重要呢？ 我們知道，牛頓力學(xué)有方程F=ma。薛定諤方程之于量子力學(xué)的地位就好比F=ma之于牛頓力學(xué)的地位。尤其甚者，由于一切粒子（包括電子、質(zhì)子、中子）都具有波動性，牛頓力學(xué)F=ma在微觀世界中其實不再成立，我們用薛定諤方程代替了F=ma. 42（三）（三）自由粒子滿足的方程自由粒子滿足的方程這不是所要尋找的方程，因為它包含狀這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量態(tài)參量 E E （能量）。將）。將對坐標二次微商，得：對坐標二次微商，得：）（1 EtiEit )(expEtrpiA描寫自由粒子波函數(shù)描寫自

51、由粒子波函數(shù): :應(yīng)是所要建立的方程的解。應(yīng)是所要建立的方程的解。將上式對將上式對 t t 微商，得：微商，得：， 2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx(1)(2)(1)(2)式式 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有)2(221222222 pp或或43 )2()2(222 pEti滿足上述構(gòu)造方程滿足上述構(gòu)造方程的三個條件的三個條件討論：討論：其實，我們發(fā)現(xiàn)：通過引出自由粒子波動方程的過程可其實，我們發(fā)現(xiàn)：通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式以看出，如果能量關(guān)系式 E = pE = p2 2/2/2 寫成如

52、下方程寫成如下方程形式：形式： 22224ppipptiE）（做做算符替換（算符替換（4 4），也可以得到自由，也可以得到自由粒子所滿足的波動方程（粒子所滿足的波動方程（3 3）。）。）（所所以以3222 ti 22pE 對對自自由由粒粒子子，0)2(2 pE(1)(2)(1)(2)式式44（四）勢場（四）勢場 V(r) V(r) 中運動的粒子中運動的粒子該方程稱為該方程稱為 SchrSchr dinger dinger 方程，也常稱為量子力學(xué)波動方程。方程，也常稱為量子力學(xué)波動方程。量量。算算符符，亦亦常常稱稱為為是是體體系系的的式式中中HamiltonHamiltonHtrHtrrVtrt

53、i),(),()(2),(22 若粒子處于勢場若粒子處于勢場 V(r)V(r) 中運動，則能動量關(guān)系變?yōu)椋褐羞\動，則能動量關(guān)系變?yōu)椋篐rVpE )(22 )(22rVpE 將其作用于波函數(shù)得：將其作用于波函數(shù)得：做（做（4 4）式的算符替換得：）式的算符替換得：45（五）多粒子體系的（五）多粒子體系的 SchrSchr dinger dinger 方程方程（不作要求，請自學(xué)）（不作要求，請自學(xué)）設(shè)體系由設(shè)體系由 N N 個粒子組成，個粒子組成， l質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為 i i (i = 1, 2,., N) (i = 1, 2,., N) l體系波函數(shù)記為體系波函數(shù)記為 ( r( r1 1,

54、r, r2 2, ., , ., r rN N ; t) ; t) l第第i i個粒子所受到的外場個粒子所受到的外場 U Ui i(r(ri i) ) l粒子間的相互作用粒子間的相互作用 V(rV(r1 1, r, r2 2, ., , ., r rN N) ) l則多粒子體系的則多粒子體系的 SchrSchr dinger dinger 方程可表示為：方程可表示為：);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 46多粒子體系多粒子體系 Hamilton Hamilton 量量 ZjijiZrrerrrV|),(221iiirZerU2)(

55、對有對有 Z Z 個電子的原子，電子間相互作用為個電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb Coulomb 排斥作用：排斥作用：而原子核對第而原子核對第 i i 個電子的個電子的 Coulomb Coulomb 吸引能為：吸引能為：假定原子核位于坐標原點，無窮遠為勢能零點。假定原子核位于坐標原點，無窮遠為勢能零點。 NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 例如：例如：475 5 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（一）定域幾率守恒（一）定域幾率守恒 （二）再論波函數(shù)的性質(zhì)（二）再論波函數(shù)的性質(zhì)48（一）（一） 定域幾率守恒定域幾率守恒考慮低能非相對論實物粒子情

56、況，因沒有粒子的產(chǎn)生和考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時間改變，即它的幾率總和應(yīng)不隨時間改變，即2|),(|),(),(),(trtrtrtr 0),( dtrdtd在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，我們進一在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，我們進一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在變化。粒子在 t t 時刻時刻 r r 點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的點周圍單位體積內(nèi)粒子出

57、現(xiàn)的幾率即幾率密度是：幾率即幾率密度是：49證：考慮考慮 Schrodinger Schrodinger 方程及其共軛式：方程及其共軛式：)5(222 Vti )6(222 Vti 式式得得：將將)6()5( 2222 titi22 ）（ti取共軛取共軛50 dddtdi22 ）（在空間閉區(qū)域在空間閉區(qū)域中將上式積分，則有：中將上式積分，則有：閉區(qū)域閉區(qū)域上找到粒上找到粒子的總幾子的總幾率在單位率在單位時間內(nèi)的時間內(nèi)的增量增量J J是幾率流密是幾率流密度，是一矢度，是一矢量。量。所以所以(7)(7)式是幾率（粒子數(shù)）式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。守恒的積分表示式。令令 Eq.Eq.（7

58、7）趨于趨于 ，即讓積分對全空間進行，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函考慮到任何真實的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零，于是數(shù)在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零，于是 Eq.Eq.（7 7）變?yōu)椋海┳優(yōu)椋?0),( dtrdtd0 Jt 其微分形式與其微分形式與流體力學(xué)中連流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形續(xù)性方程的形式相同式相同 diddtd2 ）（ dJdtrdtd ),(的的表表面面。是是體體積積）（ StrSdJdtrdtdS ),(7),(使用使用 Gauss Gauss 定理定理單位時間內(nèi)通過單位時間內(nèi)通過的封閉表面的封閉表面

59、 S S 流入（面積分前面的負號）流入（面積分前面的負號）內(nèi)內(nèi)的幾率的幾率2 iJSdS 51 0),( dtrdtd討論：表明，波函數(shù)歸一化不隨表明，波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是時間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。粒子既未產(chǎn)生也未消滅。（1 1） 這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當空間某處這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。（2 2） 以以乘連續(xù)性方乘連續(xù)性方程等號兩邊，得到：程等號兩邊，得到：0 Jt量子力學(xué)的質(zhì)

60、量量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律守恒定律同理可得量子力學(xué)同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：的電荷守恒定律：0 eeJt 表明電荷總量表明電荷總量不隨時間改變不隨時間改變 )(2| ),(|2iJJtr 質(zhì)量密度質(zhì)量密度 和和 質(zhì)量流密度矢量質(zhì)量流密度矢量 )(2| ),(|2 ieJeJtreeee電荷密度電荷密度 和和 電流密度矢量電流密度矢量52（二）再論波函數(shù)的性質(zhì)（二）再論波函數(shù)的性質(zhì)1. 1. 由由 Born Born 的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即空間的幾率分布，即 l d (r, t) = |(