1、會(huì)計(jì)學(xué)1系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性第一頁，共54頁。2 在研究運(yùn)動(dòng)的內(nèi)部穩(wěn)定性時(shí)，為體現(xiàn)出系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，常限于研究沒有外部輸入作用時(shí)的系統(tǒng)。也就是說內(nèi)部穩(wěn)定性表現(xiàn)為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即在輸入恒為零時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)演變(ynbin)的趨勢。 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般性理論，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且(r qi)適用于非線性、時(shí)變系統(tǒng)。 第2頁/共54頁第二頁，共54頁。3 利用線性系統(tǒng)微分方程的解來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。由于間接法需要解系統(tǒng)微分方程，并非易事，所以間接法的應(yīng)用受到了很大的限制。李雅普諾夫第一法（間接法）先利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)，再

2、利用李雅普諾夫函數(shù)來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。直接法不需解系統(tǒng)微分方程，獲得廣泛應(yīng)用。李雅普諾夫第二法（直接法）第3頁/共54頁第三頁，共54頁。4一 外部(wib)穩(wěn)定性 對于一個(gè)因果系統(tǒng)，假定系統(tǒng)的初始條件為零，如果對應(yīng)于一個(gè)有界的p維輸入u(t)，所產(chǎn)生的q維輸出y(t)也是有界的，則稱此系統(tǒng)是外部穩(wěn)定(wndng)的。也稱為有界輸入-有界輸出穩(wěn)定(wndng)(BIBO穩(wěn)定(wndng)。外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性5.1第4頁/共54頁第四頁，共54頁。5 線性時(shí)變(sh bin)系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定判據(jù)： 對于零初始條件的線性時(shí)變(sh bin)系統(tǒng)，G(t,)為其單位脈沖響應(yīng)矩陣，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定

3、的充要條件為：存在一個(gè)有限常數(shù)k，使對于一切 ，G(t,)的每一個(gè)元均滿足如下關(guān)系式： ) p, 1j ; q, 1i (), t (gij,tt0ttij0kd), t (g第5頁/共54頁第五頁，共54頁。6 線性定常系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定判據(jù)： 對于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，G(t)為其單位脈沖響應(yīng)矩陣，G(s)為其傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件為：存在一個(gè)有限(yuxin)常數(shù)k，G(t)的每一個(gè)元 均滿足如下關(guān)系式： tij0g (t) dtk0和任一實(shí)數(shù)0，不管多么大,也不管有多么小，在S()內(nèi)總存在著一個(gè)狀態(tài)x0，使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出S() ，則平衡狀態(tài)xe就稱為是

4、不穩(wěn)定的。第17頁/共54頁第十七頁，共54頁。18)(Sxex0 x1x2)(Sxe 李雅普諾夫意義(yy)下穩(wěn)定)(Sxex0 x1x2)(Sx e 漸 近 穩(wěn) 定(wndng)xex0 x1x2xe 全局(qunj)漸近穩(wěn)定)(Sxex0 x1x2)(Sxe 不穩(wěn)定第18頁/共54頁第十八頁，共54頁。19 李雅普諾夫第二法直接從系統(tǒng)的狀態(tài)方程出發(fā)，通過構(gòu)造一個(gè)類似于“能量”的李亞普諾夫函數(shù)，并分析它和其一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)特征(tzhng)，從而獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關(guān)信息。該方法無需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故又稱為直接法。 第19頁/共54頁第十九頁，共54頁。20 設(shè)實(shí)系數(shù)二次型f(x)=xT

5、Ax，其中A是實(shí)對稱方陣，如果對任何不全是零的實(shí)數(shù)(shsh) ，簡記為x0，函數(shù)值f(x)0，則稱f是正定的，同時(shí)也稱A是正定的，記為A 0。1正定(zhn dn)矩陣：1,nxxp 單位陣是正定的： 221Tnnx I xxxp對角陣D=diagd1, dn正定的充要條件是所有對角元素di 0。這是因?yàn)?的充要條件是di 0 。221 1( )0Tnnf xx Dxd xd x第20頁/共54頁第二十頁，共54頁。21p A 0的充要條件是p 存在可逆實(shí)方陣(fn zhn)C，使A=CTC。p A的所有特征值全都大于0。p A順序主子式(即位于左上角的主子式)全大于0， p 即111111

6、21112212210,0,0nnnnnaaaaaaaaa 第21頁/共54頁第二十一頁，共54頁。22 p 標(biāo)量函數(shù)V(x)對所有S域（域S包含狀態(tài)空間(kngjin)的原點(diǎn)）中的非零狀態(tài)x有V(x)0且V(0) = 0，則稱V(x)在S域內(nèi)是正定的。p如果時(shí)變函數(shù)V(x,t)有一個(gè)正定函數(shù)作為下限(xixin)，也就是說，存在一個(gè)正定函數(shù)W(x) ，使得p則稱時(shí)變函數(shù)V(x,t)在域S（域S包含狀態(tài)空間的原點(diǎn)）內(nèi)是正定的。0( , )( ),( , )0,VtWVtttxx02正定(zhn dn)函數(shù)：第22頁/共54頁第二十二頁，共54頁。233. 負(fù)定函數(shù)：如果-V(x)是正定(zhn

7、 dn)函數(shù)，則標(biāo)量函數(shù)V(x)為負(fù)定函數(shù)。4. 正半定函數(shù)：如果(rgu)標(biāo)量函數(shù)V(x)除了原點(diǎn)及某些狀態(tài)處等于零外，在域S內(nèi)的所有其它狀態(tài)都是正定的，則V(x)為正半定函數(shù)。5. 負(fù)半定函數(shù)：如果-V(x)是正半定函數(shù)，則標(biāo)量(bioling)函數(shù)V(x)稱為負(fù)半定函數(shù)。6. 不定函數(shù)：如果不論域S多么小，在域S內(nèi)的V(x)可能是負(fù)值也可能為正值，則標(biāo)量函數(shù)V(x)稱為不定函數(shù)。第23頁/共54頁第二十三頁，共54頁。24(1) V(x,t)正定(zhn dn)且有界；(2) 負(fù)定且有界；) tx,(V結(jié)論5.10：對于(duy)時(shí)變系統(tǒng) ，如果0t) tx,(xtf，則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡(

8、pnghng)狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。(3) 當(dāng)|x|時(shí)，V(x,t) 。存在一個(gè)對狀態(tài)x和時(shí)間t具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)量函數(shù)V(x,t), V(0,t) = 0，且滿足如下條件：1 大范圍一致漸近穩(wěn)定判別定理(時(shí)變)李雅普諾夫第二法主要定理二第24頁/共54頁第二十四頁，共54頁。25(1) V(x)為正定(zhn dn)；(2) 為負(fù)定；) x (V對于(duy)定常系統(tǒng) ，其平衡狀態(tài)0)x (xtf，則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)(zhungti)是大范圍漸近穩(wěn)定的。(3) 當(dāng)|x|時(shí)，V(x) xe = 0，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x), V(0) = 0，并且對于狀態(tài)空間中

9、的一切非零 x 滿足如下條件：2 結(jié)論5.11（定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1）穩(wěn)定性第25頁/共54頁第二十五頁，共54頁。26例5.1：設(shè)系統(tǒng)(xtng)狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)(xtng)的穩(wěn)定性。22121122221212()()xxx xxxxx xx 解：顯然(xinrn), 原點(diǎn)(x1=0, x2=0)是該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。選取正定標(biāo)量函數(shù)為:2212( )Vxxx則沿任意軌線V(x)對時(shí)間(shjin)的導(dǎo)數(shù)為:1 122222222222121121221212( )2222()22()2()V xx xx xx xxxxx xxxxxx 是負(fù)定的。 故V(x)是系統(tǒng)的一個(gè)

10、李雅普諾夫函數(shù)。由于當(dāng) 時(shí)， ，故系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 x( )V x第26頁/共54頁第二十六頁，共54頁。27(1) V(x)為正定(zhn dn)；(2) 為負(fù)半定；) x (V對于定常系統(tǒng) ，其平衡(pnghng)狀態(tài)0)x (xtf，則系統(tǒng)(xtng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。(4) 當(dāng)|x|時(shí)，V(x) xe = 0，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x), V(0) = 0，并且對于狀態(tài)空間中的一切非零 x 滿足如下條件：3 結(jié)論5.12（定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2 ）(3)對任意初始狀態(tài)，0( (,0)0Vt x ；第27頁/共54頁

11、第二十七頁，共54頁。28設(shè)系統(tǒng)(xtng)狀態(tài)方程為 試確定(qudng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。12xx，22212)1 (xxxx第28頁/共54頁第二十八頁，共54頁。29 對于定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)具有(jyu)連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V（x），其中V（x）=0，滿足： 則系統(tǒng)平衡狀態(tài)(zhungti)為不穩(wěn)定4. 結(jié)論5.19不穩(wěn)定(wndng)判別定理(1) V(x)為正定；(2) 為正定；) x (V第29頁/共54頁第二十九頁，共54頁。30Tnxfxf)()() x ( f10)x(xtf，其中，f(0)=0,即原點(diǎn)是系統(tǒng)(xtng)唯一的平衡狀態(tài)。非線性定常系統(tǒng)(xtng)：三 李亞

12、普諾夫函數(shù)(hnsh)的構(gòu)造方法 -克拉索夫斯基方法系統(tǒng)的雅可比矩陣為：nn1nn111Tx)x(fx)x(fx)x(fx)x(fx)x(f)x(F第30頁/共54頁第三十頁，共54頁。31 定理(dngl)1：對連續(xù)非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點(diǎn)平衡態(tài)的域，若 0)x(xtf，TF (x)F(x)0,x0 則有：V(x)0其中(qzhng)x(f )x(f)x(VT第31頁/共54頁第三十一頁，共54頁。32 定理2(克拉索夫斯基)：對連續(xù)(linx)非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點(diǎn)平衡態(tài)的域，原點(diǎn)為域內(nèi)唯一平衡態(tài)，若 TF (x)F(x)0,x0 則系統(tǒng)(xtng)原點(diǎn)平衡態(tài)為域內(nèi)漸近穩(wěn)定平衡態(tài)。且 為

13、一個(gè)(y )李亞普諾夫函數(shù)。)x(f )x(f)x(VT第32頁/共54頁第三十二頁，共54頁。33 定理(dngl)3：對線性定常系統(tǒng) ,A為非奇異矩陣，若 TAA0,x0 則系統(tǒng)(xtng)原點(diǎn)平衡態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定平衡態(tài)。Axx 第33頁/共54頁第三十三頁，共54頁。34，0 x) 0 (xxx0tA結(jié)論5.22/5.23特征值判據(jù)：考慮(kol)線性定常系統(tǒng)u系統(tǒng)的每一平衡態(tài)是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充要u條件是：系統(tǒng)矩陣(j zhn)A的所有特征值均具有非正（負(fù)或零）u實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值為A的最小多項(xiàng)式的單根； 一 線性時(shí)不變系統(tǒng)(xtng)的特征值穩(wěn)定判據(jù)u系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)

14、 是漸近穩(wěn)定的充要條件是： 系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。0 xe5.4 連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性判據(jù)第34頁/共54頁第三十四頁，共54頁。35 對于任意一個(gè)n階方陣(fn zhn)A，總存在一個(gè)多項(xiàng)式f(s)滿足f(A)=0，這樣的多項(xiàng)式稱為A的一個(gè)化零多項(xiàng)式。 由凱萊哈密爾頓定理可知任意一個(gè)方陣(fn zhn)A都是它的特征方程： 的根，即(A)=0 ,故矩陣A的特征多項(xiàng)式是A的一個(gè)化零多項(xiàng)式。 方陣(fn zhn)A的化零多項(xiàng)式不唯一，有無窮多個(gè)，在所有化零多項(xiàng)式中，次數(shù)最低且最高次冪項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式。1110( )det0nnnssIAsss第35頁

15、/共54頁第三十五頁，共54頁。36定理(dngl)：已知設(shè)m(s)為adj(sI-A)中所有元素的首1最大公約式,則 為矩陣A的最小多項(xiàng)式。1det()( )adj sIAadj sIAsIAsIAs( )( )sm s注：換言之，矩陣A的最小多項(xiàng)式就是(sI-A)-1中所有(suyu)元素的最小公分母。第36頁/共54頁第三十六頁，共54頁。37例（補(bǔ)充）：判斷(pndun)下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性000000001xx解：1）系統(tǒng)矩陣A為奇異矩陣，故系統(tǒng)存在無窮多個(gè)平衡狀態(tài)(zhungti)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)(zhungti)為 ，其中x1和x2為任意實(shí)數(shù)，即狀態(tài)(zhungti)空間中x

16、1x2平面上的每一個(gè)點(diǎn)均為平衡狀態(tài)(zhungti)。120Texxx2det()(1)0sIAss得特征值分別(fnbi)為： 。2）解系統(tǒng)的特征方程1231 ,0 零 實(shí) 部 ！第37頁/共54頁第三十七頁，共54頁。38112200(1)001000(1)0(1)001001001010(1)00ss ssIAss ssssssss ss3）故最小多項(xiàng)式為f(s)=s(s+1)。系統(tǒng)所有特征值均具有非正實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值是最小多項(xiàng)式的單根，因此(ync)系統(tǒng)的每一個(gè)平衡狀態(tài)都是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。第38頁/共54頁第三十八頁，共54頁。39例：判斷(pndun)下述線性定常系

17、統(tǒng)的穩(wěn)定性0100016116xx解：系統(tǒng)矩陣A為非奇異(qy)，顯然原點(diǎn) x = 0 是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。32det ()6116(1)(2)(3)0sIAssssss得特征值分別(fnbi)為： 1231,2 ,3 系統(tǒng)的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，所以系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。 解系統(tǒng)的特征方程第39頁/共54頁第三十九頁，共54頁。400(0)0Atxxxx，( )TVPxxx作為可能的李雅普諾夫函數(shù)?，F(xiàn)在只需保證是負(fù)定的，則根據(jù)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定(wndng)判別定理1，可斷定系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定(wndng)的。 設(shè)線性定常系統(tǒng)(xtng)為A為非奇異矩陣。故狀態(tài)空

18、間的原點(diǎn)是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。通常(tngchng)可選取正定二次型函數(shù)( )V x二 線性時(shí)不變系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定判據(jù)第40頁/共54頁第四十頁，共54頁。41欲使 是負(fù)定函數(shù)，即要求(yoqi)矩陣Q是任意正定矩陣。 根據(jù)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1，只要給定一個(gè)正定(zhn dn)矩陣Q，李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程：有正定解P，系統(tǒng)就是大范圍(fnwi)漸近穩(wěn)定的。TA PPAQ TA PPAQ 推導(dǎo)V(x)對時(shí)間導(dǎo)數(shù)滿足要求的條件：令：( )V x李亞普諾夫矩陣代數(shù)方程xPAPAxxPxPxxxVTTTT)()(第41頁/共54頁第四十一頁，共54頁。420(0)0Atxxxx，0e

19、xTA PPAQ 的原點(diǎn)平衡狀態(tài) 為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，對于(duy)任意給定的一個(gè)正定對稱矩陣Q，李雅普諾夫矩陣方程有唯一正定(zhn dn)對稱矩陣解P。 注意：使用中常選取Q陣為單位陣或?qū)顷?。?2頁/共54頁第四十二頁，共54頁。43解：令李雅普諾夫方程(fngchng)為試用李雅普諾夫方程(fngchng)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。0121xx，ITQPAPA11121222TppPPpp則有：1112111212221222020110112101pppppppp第43頁/共54頁第四十三頁，共54頁。44得到(d do)3個(gè)線性方程：1211122212224120221pppp

20、pp 1112220.750.250.25ppp 0.750.250.250.25P 由于(yuy) ，故P負(fù)定，則系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。121112221112221222421022201ppppppppp得到(d do)：110.750, det0.250pP 第44頁/共54頁第四十四頁，共54頁。45解得特征值為：有一個(gè)特征值具有正實(shí)部，故系統(tǒng)(xtng)不穩(wěn)定。，21212det ( I)2(1)(2)0sAssss 為了對比，下面用李亞普諾夫間接(jin ji)法判斷：A是非奇異矩陣，故xe=0是系統(tǒng)的唯一平衡(pnghng)狀態(tài)，且0121xx第45頁/共54頁第四十五頁，共54

21、頁。46 根據(jù)系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2可以推知，若系統(tǒng)任意(rny)的狀態(tài)軌跡在非零狀態(tài)不存在 恒為零時(shí)，Q陣可選擇為正半定的，即允許Q取單位陣時(shí)主對角線上部分元素為零，而解得的P陣仍應(yīng)正定。 ( )V x第46頁/共54頁第四十六頁，共54頁。47試用(shyng)李雅普諾夫方程確定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的k值。解：根據(jù)(gnj)圖中定義的狀態(tài)變量，得到狀態(tài)方程 ，ukk00 x10120010 x 1sk21ss1 x1 x2 x3 u-因detA=-k0，A非奇異，故原點(diǎn)是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。 -第47頁/共54頁第四十七頁，共54頁。4823( ),( )TV xx Qxx V x 假定(jidng)Q取為正半定矩陣000000001Q則 為負(fù)半定。1220 xxx 令 ，有 ( )0V x 30 x 31310 xkxxx 表明惟有原點(diǎn)使 ，故可以采用(ciyng)正半定Q來簡化穩(wěn)定性分析。( )0V x 第48頁/共54頁第四十八頁，共54頁。49令 李 雅 普 諾 夫 方 程(fngchng)：，QPAPAT1112131222231