1、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題“臨界問題”大量存在于高中物理的許多章節(jié)中，如“圓周運(yùn)動(dòng)中小球能過最高點(diǎn)的速度條件”“動(dòng)量中的避免碰撞問題”等等，這類題目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等詞語，其最終的求解一般涉及極值，但關(guān)鍵是找準(zhǔn)臨界狀態(tài)。帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題，在解答上除了有求解臨界問題的共性外，又有它自身的一些特點(diǎn)。一、解題方法畫圖一動(dòng)態(tài)分析一找臨界軌跡。（這類題目關(guān)鍵是作圖，圖畫準(zhǔn)了，問題就解決了一大半，余下的就只有計(jì)算了一一這一般都不難。）二、常見題型（B為磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，v0為粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的初速度）曠巾不向疋犬小不確疋第類癡定V、內(nèi)大卜宦，方向不確定

2、一第二類1比犬小i芳向部不確定-第三類心確定第四類2.B不確定1|巾大屮一定4方向不醸定一第五類分述如下：第一類問題：例1如圖1所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,寬度為d,邊界為CD和EF。一電子從CD邊界外側(cè)以速率v0垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)射入，入射方向與CD邊界夾角為9O已知電子的質(zhì)量為m,電荷量為e，為使電子能從磁場(chǎng)的另一側(cè)EF射出，求電子的速率v°至少多大？分析：如圖2,通過作圖可以看到：隨著v0的增大，圓半徑增大，臨界狀態(tài)就是圓與邊界EF相切，然后就不難解答了。°第二類問題：例2如圖3所示，水平線MN下方存在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在MN線上某點(diǎn)0正下方與之相

3、距L的質(zhì)子源S，可在紙面內(nèi)360°范圍內(nèi)發(fā)射質(zhì)量為m、電量為e、速度為v°=BeL/m的質(zhì)子，不計(jì)質(zhì)子重力，打在MN上的質(zhì)子在O點(diǎn)右側(cè)最遠(yuǎn)距離OP=，打在O點(diǎn)左側(cè)最遠(yuǎn)距離OQ=。分析：首先求出半徑得r=L，然后作出臨界軌跡如圖4所示（所有從S發(fā)射出去的質(zhì)子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道圓心是在以S為圓心、以r=L為半徑的圓上，這類問題可以先作出這一圓就是圓心的集合，然后以圓上各點(diǎn)為圓心，作出一系列動(dòng)態(tài)圓），0P=£，OQ=L?！揪毩?xí)】如圖5所示，在屏MN的上方有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。P為屏上的一小孔，PC與MN垂直。一群質(zhì)量為m、帶電荷量為一q的粒子（

4、不計(jì)重力）,以相同的速率V,從P處沿垂直于磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域。粒子入射方向在與磁場(chǎng)B垂直的平面內(nèi)，且散開在與PC夾角為0的范圍內(nèi)，則在屏MN上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度為（）2wv(l-sinNR6尸V分析：如圖6所示，打在屏上距P最遠(yuǎn)的點(diǎn)是以為圓心的圓與屏的交點(diǎn)，打在屏上最近的點(diǎn)是以02或03為圓心的圓與屏的交點(diǎn)（與例2相似,可先作出一系列動(dòng)態(tài)圓）。故答案選“D”。第三類問題：例3（2009年山東卷）如圖甲所示，建立Oxy坐標(biāo)系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長(zhǎng)度和板間距均為1,第一、四象限有磁場(chǎng)，方向垂直于Oxy平面向里。位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連續(xù)發(fā)射質(zhì)量為m、電量

5、為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子。在03t0時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極板邊緣的影響）。圖甲圖乙已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在t0時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場(chǎng)。上述m、q、1、t。、B為已知量。（不考慮粒子間相互影響及返回極板間的情況）（1）求電壓U°的大小。（2）求t。時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。（3）何時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短？求此最短時(shí)間。圖丙分析：粒子進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可求得偏轉(zhuǎn)電壓U。；t=t。時(shí)刻進(jìn)入的粒子先做類平拋運(yùn)動(dòng)，空t。后沿末速度方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，利用相應(yīng)規(guī)律可求得射出電場(chǎng)的速度

6、大小，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，可求提半徑R;2t。時(shí)刻進(jìn)入的帶電粒子加速時(shí)間最長(zhǎng)（如圖丙所示），加上此時(shí)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)是向上偏轉(zhuǎn)，故運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，同樣應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即可求得此最短時(shí)間。第四類問題：例4如圖7所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.15T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在半徑R=0.10m的圓形區(qū)域內(nèi)，圓的左端跟y軸相切于直角坐標(biāo)系原點(diǎn)0,右端跟熒光屏MN相切于x軸上的A點(diǎn)。置于原點(diǎn)的粒子源可沿x軸正方向射出速度Vo=3.OXlO6m/s的帶正電的粒子流，粒子的重力不計(jì)，荷質(zhì)比q/m=1.0X108C/kg?，F(xiàn)以過0點(diǎn)并垂直于紙面的直線為軸，將圓形磁場(chǎng)

7、逆時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)90°，求此過程中粒子打在熒光屏上離A的最遠(yuǎn)距離。分析：本題可先設(shè)想磁場(chǎng)是無界的，那么粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一段圓弧如圖8中的弧OE（半徑r=2R=0.20m,圓心為O'）,現(xiàn)在圓形磁場(chǎng)以O(shè)為軸在旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于直徑OA也在旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直徑OA旋轉(zhuǎn)至OD位置時(shí)，粒子從圓形磁場(chǎng)中離開射向熒光屏MN時(shí)離A有最遠(yuǎn)距離（落0OCrtan點(diǎn)為F）圖中AO'OD為等邊三角形,FD與0'02延長(zhǎng)交于C點(diǎn)，圖中0=60°,2,AC=2R-OC0.5m練習(xí)：如圖9所示，一個(gè)質(zhì)量為m,帶電荷量為+q的粒子以速度v0從O點(diǎn)沿y軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，

8、磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后,從x軸上的b點(diǎn)穿過，其速度方向與x軸正方向的夾角為30°,粒子的重力可忽略不計(jì)，試求：（1）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（3）b到O的距離。y%O分析：如圖10,過b點(diǎn)作速度的反向延長(zhǎng)線交y軸于C點(diǎn)，作ZOCb的角平分線交X軸于，再以為圓心、以0卩為半徑畫弧,與直線Cb相切于點(diǎn)A,粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡即為0-A-b,圓形磁場(chǎng)即為以0A為直徑的圓，利用相關(guān)物理公式及幾何知識(shí)不難計(jì)算出本題的結(jié)果。第五類問題:例5電子質(zhì)量為m,電荷量為e,從坐標(biāo)原點(diǎn)0處沿xOy平面射入第一象限，射入時(shí)速度方向不同，速度大小均為v°

9、,如圖11所示?，F(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,若這些電子穿過磁場(chǎng)后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行，求：（1）熒光屏上光斑的長(zhǎng)度；（2）所加磁場(chǎng)范圍的最小面積。分析：本題可先作出這些射入第一象限的電子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道圓心的集合，必在弧0卩2上（如圖12）,然后設(shè)想以該弧上的各點(diǎn)（如圖12中的02等四點(diǎn)）為圓心作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，最終垂直射到MN上的PQ間，所以熒光屏上光斑的長(zhǎng)度即為PQ=R=mv0/eB；所加磁場(chǎng)范圍即為圖中由弧0000所圍的區(qū)域，其中弧00可看成是由弧00向上平移R得到的。433412練習(xí)：例5若改為“磁場(chǎng)方向垂直于x0y平面

10、向里，熒光屏MN移至y軸右側(cè)，”其他條件不變，情況又怎樣呢？讀者可試作分析。（所加磁場(chǎng)的最小范圍為一“樹葉”形狀）綜合以上題型，我們可以看到，這些問題的解答很能體現(xiàn)學(xué)生的分析思維能力以及想象能力，要求學(xué)生能夠由一條確定的軌跡想到多條動(dòng)態(tài)軌跡，并最終判定臨界狀態(tài)，這需要在平時(shí)的復(fù)習(xí)中讓學(xué)生能有代表性地涉獵一些習(xí)題，才能在高考應(yīng)試中得心就手，應(yīng)對(duì)自如。例析用圓心軌跡確定帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)區(qū)域問題同種帶電粒子從同一點(diǎn)以相同速率、沿不同方向進(jìn)入同一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，粒子可能達(dá)到的區(qū)域的確定是教學(xué)中常遇，學(xué)生感到棘手，高考又考查的問題?，F(xiàn)就此類問題舉例分析。題目1（2005年全國(guó)高考）如圖1，在一水平放置的

11、平板MN的上方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，許多質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子，以相同的速率v0沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力,不計(jì)粒子間的相互影響。圖2中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中r=mv0/Bq，哪個(gè)圖是正確的（）析與解依據(jù)題意，所有帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同r=mv0/Bq所以，在紙面內(nèi)由O點(diǎn)沿不同方向入射的帶電粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的圓心軌跡是以O(shè)為圓心,r為半徑的圓周（A圖中虛線圓示）。又因?yàn)閹щ娏Ｗ訋д姟⑦M(jìn)磁場(chǎng)時(shí)只分布在以O(shè)N和OM為邊界的上方空間，而向心力由洛侖茲力提供，它既指向圓心又始終垂直速度,可確定：圓心

12、軌跡只能是A圖中虛線圓直徑分隔的左半邊虛線圓周；再以A圖中左半虛線圓上各點(diǎn)為圓心、以r為半徑作圓，圓周在磁場(chǎng)中所能達(dá)到的區(qū)域應(yīng)為A圖陰影區(qū)。所以A圖正確。題目2如圖3所示，有許多電子（每個(gè)電子的質(zhì)量為m，電量為e）在xOy平面內(nèi)從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷地以相同大小的速度v0沿不同方向射入第一象限?，F(xiàn)加上一個(gè)方向向里垂直于xOy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過該磁場(chǎng)后都能平行于x軸并向x軸的正方向運(yùn)動(dòng)。試求符合該條件的磁場(chǎng)的最小面積。析與解因?yàn)樗须娮佣荚趧驈?qiáng)磁場(chǎng)中作半徑為r=mv0/Be的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。而沿y軸的正方向射入的邊緣電子需轉(zhuǎn)過1/4圓周才能沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，它的軌跡應(yīng)為所

13、求最小面積磁場(chǎng)區(qū)域的上邊界如圖中弧線a，其圓心在垂直入射速度的x軸上O（r，0）?，F(xiàn)設(shè)沿與x軸成任意角a（0<a<90°）射入的電子在動(dòng)點(diǎn)p離開磁場(chǎng)。這些從O點(diǎn)沿不同方向入射的電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O'到入射點(diǎn)O的距離又都為半徑r。所以,O'形成一個(gè)以入射點(diǎn)O（即坐標(biāo)原點(diǎn)）為圓心、r為半徑的1/4圓弧軌跡如圖3中弧線c。根據(jù)題目要求，各電子射出磁場(chǎng)時(shí)速度v要為平行x軸的正方向。故由做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的圓心又應(yīng)在垂直出射速度的直線上可知，從不同點(diǎn)p射出的電子的圓心O'又必在對(duì)應(yīng)出射點(diǎn)p的正下方，即曲線c上各點(diǎn)到對(duì)應(yīng)正上方出射點(diǎn)p的距離也都等于r；因此將1

14、/4圓弧軌跡c沿y軸正向平移距離后如圖中弧線b，弧線b就是各出射點(diǎn)p的軌跡，它實(shí)際是以O(shè)2（0，r）為圓心，半徑為r的1/4圓?。患热稽c(diǎn)p是出射點(diǎn)-即磁場(chǎng)的下邊界，故弧線b應(yīng)為所求最小面積磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。所以,所求面積為圖中弧線a與b所圍陰影面積。由幾何得：將*二寧代入得:Be5uni1 2)(m唏/2 ef“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”解析2011-12-1513:58:53|分類：高三物理|字號(hào)大中小訂閱處理帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)問題，其本質(zhì)是平面幾何知識(shí)與物理知識(shí)的綜合運(yùn)用。重要的是正確建立完整的物理模型，畫出準(zhǔn)確、清晰的運(yùn)動(dòng)軌跡。下面我們從基本問題出發(fā)對(duì)“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓

15、周運(yùn)動(dòng)”進(jìn)行分類解析。一、“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的基本型問題找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ)。帶電粒子垂直于磁場(chǎng)進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場(chǎng)后在洛侖茲力作用下必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，抓住運(yùn)動(dòng)中的任兩點(diǎn)處的速度，分別作出各速度的垂線，則二垂線的交點(diǎn)必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數(shù)學(xué)知識(shí)求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑及粒子經(jīng)過的圓心角從而解答物理問題?！纠?】圖示在y0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B;帶正電的粒子以速度Vo從0點(diǎn)射入磁場(chǎng)中，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正方向的夾角為9；邑若粒子射出磁場(chǎng)的位置與0點(diǎn)的距離為L(zhǎng)。求該粒子的電荷量和質(zhì)量比燒

16、；粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。分析：粒子受洛侖茲力后必將向下偏轉(zhuǎn)，過0點(diǎn)作速度V的垂線必過粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心O'；由0于圓的對(duì)稱性知粒子經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)的速度方向與X軸正方向的夾角必為0,故點(diǎn)P作速度的垂線與點(diǎn)0處速度垂線的交點(diǎn)即為圓心O'（也可以用垂徑定理作弦OP的垂直平分線與點(diǎn)0處速度的垂線的交點(diǎn)也為圓心）。Lsin8上一R：由圖可知粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑由尺$尺有2sin。再由洛侖茲力作向心力得出粒子在叨峠）_Lq2vasmA二二；=磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為故有，解之叨-71"由圖知粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角為，故粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2tt【例2】如圖以ab為邊界的二勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁

17、感應(yīng)強(qiáng)度為B=2B，現(xiàn)有一質(zhì)量為m帶電+q的粒子從012點(diǎn)以初速度V沿垂直于ab方向發(fā)射；在圖中作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，并求出粒子第6次穿過直線ab所經(jīng)歷的時(shí)0間、路程及離開點(diǎn)0的距離。（粒子重力不計(jì)）洛侖茲力的方向可以作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。粒子從點(diǎn)0出發(fā)第6次穿過直線ab時(shí)的位置必為點(diǎn)P；故粒子運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為I"I222nm=qB.，而粒子的運(yùn)動(dòng)周期代入前式有噬3阿+鷗）=警。粒子經(jīng)過的路程。點(diǎn)0與P的距離為二、“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的范圍型問題尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R”，然后利用粒子運(yùn)動(dòng)的實(shí)際軌道半徑R與R的大小關(guān)00系確定范圍?！纠?】如圖所示真空中寬

18、為d的區(qū)域內(nèi)有強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向如圖，質(zhì)量m帶電-q的粒子以與CD成9角的速度V垂直射入磁場(chǎng)中；要使粒子必能從EF射出則初速度V應(yīng)滿足什么條件？EF上有粒子射00出的區(qū)域？分析：粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后受洛侖茲力作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子必能從EF射出，則相應(yīng)的臨界軌跡必為過點(diǎn)A并與EF相切的軌跡如圖示，作出A、P點(diǎn)速度的垂線相交于0'即為該臨界軌跡的圓心,故粒子必能穿出EF的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡半徑RNR。,&七&3%B二d%臨界半徑R由有0由圖知粒子不可能從P點(diǎn)下方向射出EF，即只能從P點(diǎn)上方某一區(qū)域射出；又由于粒子從點(diǎn)A進(jìn)入磁場(chǎng)后受洛侖茲力必使其向右下方偏轉(zhuǎn)，故粒子不可能從

19、AG直線上方射出；由此可見EF中有粒子射出的區(qū)PG=Rqsin9+dcot=-dcot域?yàn)镻G，且由圖知1+C0S?！纠?】如圖所示S為電子射線源能在圖示紙面上和360°范圍內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率相等的質(zhì)量為m、帶電-e的電子，MN是一塊足夠大的豎直檔板且與S的水平距離0S=L,檔板左側(cè)充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；若電子的發(fā)射速率V0要使電子一定能經(jīng)過點(diǎn)0,則磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的條件？若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,要使S發(fā)射出的電子能到達(dá)檔板，則電子的發(fā)射速率多大？若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,從S發(fā)射出的電子的速度為険，則檔板上出現(xiàn)電子的范圍多大？分析：電子從點(diǎn)S發(fā)出后必受到洛侖茲力作用而在紙面

20、上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于電子從點(diǎn)S射出的方向不同將使其受洛侖茲力方向不同，導(dǎo)致電子的軌跡不同，分析知只有從點(diǎn)S向與S0成銳角且位于S0上方發(fā)射出的電子才可能經(jīng)過點(diǎn)0。R>- 要使電子一定能經(jīng)過點(diǎn)0,即S0為圓周的一條弦，則電子圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑必滿足2，由O 要使電子從S發(fā)出后能到達(dá)檔板，則電子至少能到達(dá)檔板上的0點(diǎn)，故仍有粒子圓周運(yùn)動(dòng)半徑1枷。LsBLsin仕二一>vn>42若2m，由有。2BL，但由于電子發(fā)射出的方向不同則其軌道不同，因而到達(dá)MN板的位置不同。由此作出圖示的二臨界軌跡SO必成30。向SO下方發(fā)射；對(duì)SP弧由圖知，且該電子的發(fā)射方向與SO當(dāng)從s發(fā)出的電子的速度

21、為険時(shí)，電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑成a為朋呂而向SO的左上方發(fā)射。三、“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的極值型問題尋找產(chǎn)生極值的條件：直徑是圓的最大弦；同一圓中大弦對(duì)應(yīng)大的圓心角；由軌跡確定半徑的極值?！纠?】圖中半徑r=10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點(diǎn)O處相切;磁場(chǎng)B=0.33T垂直于紙面向內(nèi)，在o處有一放射源s可沿紙面向各個(gè)方向射出速率均為=的a粒子;已知a粒子質(zhì)量為66X10起，電量q=3'2X1°,則a粒子通過磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角9及在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t各多少？R-=0.23=2r分析：a粒子從點(diǎn)O進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)半徑由一

22、定；由于a粒子從點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)的方向不同故其相應(yīng)的軌跡與出場(chǎng)位置均不同，則粒子通過磁場(chǎng)的速度偏向角9不同；要使a粒子在運(yùn)動(dòng)中通過磁場(chǎng)區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角9最大，則必使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的弦長(zhǎng)最大；因而圓形磁場(chǎng)區(qū)域的直徑OP即為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的最大弦；故a粒子從點(diǎn)O入磁場(chǎng)而從點(diǎn)P出場(chǎng)的軌跡如圖圓O'所對(duì)應(yīng)的圓弧示，該弧所對(duì)的圓心角即為最大偏轉(zhuǎn)角9。由前面計(jì)算知SO/P必為等邊三角形，故a=30。且9=2a=60°。此過程中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由即為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間?！纠?】一質(zhì)量m、帶電q的粒子以速度V。從A點(diǎn)沿等邊三角形ABC的AB方向射入強(qiáng)度為B的垂直于紙面的圓

23、形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中，要使該粒子飛出磁場(chǎng)后沿BC射出，求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。分析：由題中條件求出粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為一定，故作出粒子沿AB進(jìn)入磁場(chǎng)而從BC射出磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖中虛線圓所示，只要小的一段圓弧PQ能處于磁場(chǎng)中即能完成題中要求；故由直徑是圓的最大弦可得圓形磁場(chǎng)的最小區(qū)域必為以直線PQ為直徑的圓如圖中實(shí)線圓所示。由于三角形ABC為等邊三角形，故圖中a=30°2r=PQ-2cosa;=，那么，故最小磁場(chǎng)區(qū)域的面積為【例7】有一粒子源置于一平面直角坐標(biāo)原點(diǎn)0處，如圖所示相同的速率v向第一象限平面內(nèi)的不同0方向發(fā)射電子，已知電子質(zhì)量為m,電量為e。欲使這些電子穿過垂直

24、于紙面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，都能平行于x軸沿+x方向運(yùn)動(dòng)，求該磁場(chǎng)方向和磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積s。分析：由于電子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=mv/Be是確定的，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，作出電子0可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，所以電子運(yùn)動(dòng)的最上面一條軌跡必為圓0,它就是磁場(chǎng)的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)0為圓心，以R為半徑的圓弧000。112n由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，故由幾何知識(shí)有電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)。如對(duì)圖中任一軌跡圓0而言，要使電子能平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，過0作弦的垂線0A,則電子必將從點(diǎn)222A飛出，相當(dāng)于將

25、此軌跡的圓心0沿y方向平移了半徑R即為此電子的出場(chǎng)位置。由此可見我們將軌跡的2圓心組成的圓弧000沿y方向向上平移了半徑R后所在的位置即為磁場(chǎng)的下邊界，圖中圓弧0AP示。綜上12n所述，要求的磁場(chǎng)的最小區(qū)域?yàn)榛?AP與弧0BP所圍。利用正方形00PC的面積減去扇形OOP的面積即為110BPC的面積；即R2-nR2/4。根據(jù)幾何關(guān)系有最小磁場(chǎng)區(qū)域的面積為S=2(R2-nR2/4)=(n/2-1)(mv/Be)02。四、“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的多解型問題抓住多解的產(chǎn)生原因：速度方向的不確定引起的多解，與自然數(shù)相關(guān)的多解即粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間與運(yùn)動(dòng)周期的倍數(shù)不確定。qBL【例8】在前面“【例4】”中

26、若將檔板取走，磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，當(dāng)電子以速率庇從點(diǎn)S射出后要擊中0點(diǎn)，則點(diǎn)S處電子的射出方向與0S的夾角為多少？從S到點(diǎn)0的時(shí)間多少？xx!xxIn啊rTr=L分析：由已知條件知電子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑"月，電子從點(diǎn)S射出后要經(jīng)過點(diǎn)0即直線SO為圓的一條弦，由圖知必有兩種運(yùn)動(dòng)軌跡存在；由于題中S0=L=r，故Z0S0=60°,那么電子從點(diǎn)S的發(fā)2射速度V的方向與SO所成的夾角a=30°；圖中Z0S0=60°，故電子的發(fā)射速度V的方向與SO所成的211夾角。=150°?！纠?】一質(zhì)量m帶電q的粒子以速率V垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，粒子經(jīng)過一

27、段時(shí)間受到的沖量的大小為mv，粒子重力不計(jì)。則此過程經(jīng)歷的時(shí)間為多少？分析：粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑"用，右圖示設(shè)粒子的初位置為a,因其受沖量的大小為収而方向未知故必有右圖中的兩種情況，即未動(dòng)量的方向有P'P-兩個(gè)，對(duì)應(yīng)的沖量方向仍有I'11B-P_P=II兩個(gè)。粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)中動(dòng)量的大小始終為mv不變，由動(dòng)量定理°可知2a=血；故粒子在該過程中經(jīng)歷的時(shí)間為【例10】在半徑為r的圓筒中有沿筒軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；質(zhì)量為m帶電+q的粒子以速度V從筒壁A處沿半徑方向垂直于磁場(chǎng)射入筒中；若它在筒中只受洛侖茲力作用且與筒壁發(fā)生彈性碰撞，欲使

28、粒子與筒壁連續(xù)相碰撞并繞筒壁一周后仍從A處射出；則B必須滿足什么條件？帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間？分析：由于粒子從A處沿半徑射入磁場(chǎng)后必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子又從A處沿半徑方向射向磁場(chǎng),且粒子與筒壁的碰撞次數(shù)未知，故設(shè)粒子與筒壁的碰撞次數(shù)為n（不含返回A處并從A處射出的一次），由2打171&=圖可知皿十12網(wǎng)十1，其中n為大于或等于2的整數(shù)（當(dāng)n=1時(shí)即粒子必沿圓0的直徑作直線R-rtan氐二廠tan運(yùn)動(dòng)，表示此時(shí)B=0）；由圖知粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R為肖十1，再由粒子在磁場(chǎng)可求出cotqr料+1T粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期為，粒子每碰撞一次在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的角度由圖得n-1n"十1

29、，粒子從A射入磁場(chǎng)再?gòu)腁沿半徑射出磁場(chǎng)的過程中將經(jīng)過n+1段圓弧，故粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為:口將前面B代入T后與口共同代入前式得2JTV23+1五、“帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的動(dòng)力學(xué)問題注意洛侖茲力不做功，洛侖茲力的方向?qū)㈦S物體的運(yùn)動(dòng)方向的變化而發(fā)生相應(yīng)的變化；正確結(jié)合變速圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)關(guān)系與能量守恒定律處理。【例11】金屬小球質(zhì)量m帶電-q,由長(zhǎng)L的絕緣細(xì)線懸掛于圖示勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的0點(diǎn)，然后將小球拉到9=600處由靜止釋放，小球沿圓弧運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)懸線上的張力恰好為0；求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=?小球住復(fù)擺動(dòng)中懸線上的最大張力多少？分析：小球從點(diǎn)A由靜止釋放后在繞點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)中必同時(shí)受到重力、線的

30、拉力及洛侖茲力作用，由左手定則知小球從A向P運(yùn)動(dòng)中洛侖茲力方向必沿半徑指向圓心，且洛侖茲力對(duì)小球不做功；故小球到達(dá)P郴:=mgLfl-匚0£日)點(diǎn)的速度大小為(1);小球在P點(diǎn)受力如圖示由圓周運(yùn)動(dòng)有；?；由共得，由“”求出故g小球從右向左運(yùn)動(dòng)或從左向右運(yùn)動(dòng)中由于所受洛侖茲力的方向?qū)l(fā)生變化故懸線上的張力大小將作相應(yīng)的變化，分析可知當(dāng)小球從左向右運(yùn)動(dòng)經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)線上的張力必有最大值，小球從左向右經(jīng)過點(diǎn)P嚴(yán);二廖(If啊y=J2gL(l-coS;小球從左向右過P點(diǎn)時(shí)其受時(shí)的速度大小仍為有°V1-(/+)=m到的洛侖茲力方向必沿半徑向外，故P點(diǎn)處線上的張力T0可得7L=/+知疥一2

31、mgcos&=B十-匚，將及9=600代入前式得總之在處理帶電粒子在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題中，我們必須將物理規(guī)律與數(shù)學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合，準(zhǔn)確分析粒子運(yùn)動(dòng)過程及臨界狀態(tài)與極值條件；處理帶電粒子在磁場(chǎng)中的變速圓周運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，時(shí)刻注意洛侖茲力的方向變化并在解答中注意洛侖茲力不做功，正確利用動(dòng)力學(xué)規(guī)律與能量守恒定律。帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的六類高考題型歸類解析2011-12-1421:44:40|分類：高三物理|字號(hào)大中小訂閱一、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)基本問題找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ)。帶電粒子垂直于磁場(chǎng)進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場(chǎng)后在洛倫茲力作用下必作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，抓住運(yùn)動(dòng)中的任兩點(diǎn)處的速度，分別作

32、出各速度的垂線，則二垂線的交點(diǎn)必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數(shù)學(xué)知識(shí)求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑及粒子經(jīng)過的圓心角從而解答物理問題。（04天津）釷核發(fā)生衰變生成鐳核并放出一個(gè)粒子。設(shè)該粒子的質(zhì)量為喘、電荷量為q,它進(jìn)入電勢(shì)差為U的帶窄縫的平行平板電極禺和卞2間電場(chǎng)時(shí)，其速度為巾，經(jīng)電場(chǎng)加速后，沿方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，衛(wèi)怎垂直平板電極勰=，當(dāng)粒子從戸點(diǎn)離開磁場(chǎng)時(shí)，其速度方向與口怎方位的夾角3W，如圖所示，整個(gè)裝置處于真空中。（1）寫出釷核衰變方程；（2）求粒子在磁場(chǎng)中沿圓弧運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R；（3）求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間匚$230/7T.t

33、t,22（5n解析：（1）釷核衰變方程(2)設(shè)粒子離開電場(chǎng)時(shí)速度為對(duì)加速過程有=粒子在磁場(chǎng)中有由、得2qU+vo(3)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的回旋周期粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間I=由、得加以二、帶電粒子在磁場(chǎng)中軌道半徑變化問題導(dǎo)致軌道半徑變化的原因有：帶電粒子速度變化導(dǎo)致半徑變化。如帶電粒子穿過極板速度變化；帶電粒子使空氣電離導(dǎo)致速度變化；回旋加速器加速帶電粒子等。磁場(chǎng)變化導(dǎo)致半徑變化。如通電導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)，不同區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)不同；磁場(chǎng)隨時(shí)間變化。動(dòng)量變化導(dǎo)致半徑變化。如粒子裂變，或者與別的粒子碰撞；電量變化導(dǎo)致半徑變化。如吸收電mvr=荷等?？傊?，由燈月看m、v、q、B中某個(gè)量或某兩個(gè)量的乘積或比值的變化就

34、會(huì)導(dǎo)致帶電粒子的軌道半徑變化。X西XX:X（06年全國(guó)2）如圖所示，在xVO與x>0的區(qū)域中，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B與B2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，且B1>B2o一個(gè)帶負(fù)電的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)0以速度v沿x軸負(fù)方向射出，要使該粒子經(jīng)過一段時(shí)間后又經(jīng)過。點(diǎn)，BB2的比值應(yīng)滿足什么條件？12解析：粒子在整個(gè)過程中的速度大小恒為v,交替地在xy平面內(nèi)2與B2磁場(chǎng)區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡都是半個(gè)圓周。設(shè)粒子的質(zhì)量和電荷量的大小分別為m和q,圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為和5，有r=r=鷗分析粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡。如圖所示，在xy平面內(nèi)，粒子先沿半徑為ri的半圓q運(yùn)動(dòng)至y軸上離0點(diǎn)距離為2屮勺A

35、點(diǎn)，接著沿半徑為2r2的半圓D1運(yùn)動(dòng)至y軸的點(diǎn)，0$距離d=2（rr）21此后，粒子每經(jīng)歷一次“回旋”（即從y軸出發(fā)沿半徑ri的半圓和半徑為r2的半圓回到原點(diǎn)下方y(tǒng)軸），粒子y坐標(biāo)就減小do設(shè)粒子經(jīng)過n次回旋后與y軸交于0點(diǎn)。若00即nd滿足nd=2rnn1則粒子再經(jīng)過半圓Cg就能夠經(jīng)過原點(diǎn)，式中n=l,2,3，為回旋次數(shù)。r+i由式解得4£丹+1由式可得BB2應(yīng)滿足的條件n=l,2,3,三、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題和帶電粒子在多磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題的原因有：粒子運(yùn)動(dòng)范圍的空間臨界問題；磁場(chǎng)所占據(jù)范圍的空間臨界問題，運(yùn)動(dòng)電荷相遇的時(shí)空臨界問題等。審題時(shí)應(yīng)

36、注意恰好，最大、最多、至少等關(guān)鍵字（07全國(guó)1）兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點(diǎn)0為原點(diǎn)，如圖所示。在y0,0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),在y0,x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。在0點(diǎn)處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q0）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場(chǎng)，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值.已知速度最大的粒子在0xa的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與在x>a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2：5,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為7T/12，其中T為

37、該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的周期。試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍（不計(jì)重力的影響）yXX:-XX:*4XX1*hXXi-VXX1r*r=解析：粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為:磚速度小的粒子將在x<a的區(qū)域走完半圓，射到豎直屏上。半圓的直徑在y軸上，半徑的范圍從0到a,屏上發(fā)亮的范圍從0到2a。軌道半徑大于a的粒子開始進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與X軸在D點(diǎn)相切（虛線），OD=2a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界。速度最大的粒子的軌跡如圖中實(shí)線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為c和°r,C在y軸上，有對(duì)稱性可知U在x=2a直線

38、上。設(shè)七1為粒子在°<x<a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，q為在x>a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由題意可知_2+島二1T12由此解得：T5T右二212由式和對(duì)稱性可得ZOCM=60BZMC(N=60aZJkfC=360QxJ-=50n12所以騎-眇二舸即弧長(zhǎng)AP為1/4圓周。因此，圓心在X軸上。設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為R,有直角可得衛(wèi)_2辰2Rsin60"=2a孑由圖可知0P=2a+R,因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo)x=21+a3'四、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的極值問題尋找產(chǎn)生極值的條件：直徑是圓的最大弦；同一圓中大弦對(duì)應(yīng)大的圓心角；由軌跡確定半徑的極值。

39、有一粒子源置于一平面直角坐標(biāo)原點(diǎn)0處,如圖所示相同的速率V。向第一象限平面內(nèi)的不同方向發(fā)射電子，已知電子質(zhì)量為m,電量為e。欲使這些電子穿過垂直于紙面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，都能平行于x軸沿+x方向運(yùn)動(dòng)，求該磁場(chǎng)方向和磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積s。解析：由于電子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=mv0/Be是確定的，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動(dòng)軌道如圖所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，所以電子運(yùn)動(dòng)的最上面一條軌跡必為圓q,它就是磁場(chǎng)的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)0為圓心，以R為半徑的圓弧000。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，12n故由幾何知識(shí)有電子的飛出點(diǎn)

40、必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)。如對(duì)圖中任一軌跡圓02而言，要使電子能平行于x軸向右飛出磁場(chǎng)，過02作弦的垂線02A,貝y電子必將從點(diǎn)A飛出:相當(dāng)于將此軌跡的圓心02沿y方向平移了半徑R2即為此電子的出場(chǎng)位置。由此可見我們將軌跡的圓心組成的圓弧0。0沿y方向向上平移了半徑R后所在的位置即為磁場(chǎng)的下邊界，圖中圓弧12n0AP示。綜上所述，要求的磁場(chǎng)的最小區(qū)域?yàn)榛?AP與弧0BP所圍。利用正方形00C的面積減去扇形00的面積即為0BPC的面積；即R2-nR2/4。根據(jù)幾何關(guān)系有最小磁場(chǎng)區(qū)域的面積為S=2(R2-nR2/4)=(n/2T)(mv/Be)2。0五、帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題復(fù)合場(chǎng)包括：磁場(chǎng)和

41、電場(chǎng)，磁場(chǎng)和重力場(chǎng)，或重力場(chǎng)、電場(chǎng)和磁場(chǎng)。有帶電粒子的平衡問題，勻變速運(yùn)動(dòng)問題，非勻變速運(yùn)動(dòng)問題，在解題過程中始終抓住洛倫茲力不做功這一特點(diǎn)。粒子動(dòng)能的變化是電場(chǎng)力或重力做功的結(jié)果。(07四川)如圖所示，在坐標(biāo)系0xy的第一象限中存在沿y軸正方形的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E。在其它象限中存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里。A是y軸上的一點(diǎn)，它到座標(biāo)原點(diǎn)O的距離為h；C是x軸上的一點(diǎn)，到O點(diǎn)的距離為l,一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，繼而通過C點(diǎn)進(jìn)入大磁場(chǎng)區(qū)域，并再次通過A點(diǎn)。此時(shí)速度方向與y軸正方向成銳角。不計(jì)重力作用。試求：XXXXX1XXX?XXXXXXXXXXXXXL1LXXXXXXXXXXXX(1) 粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度的大小合方向;(2) 磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B。解析：(1)以a表示粒子在電場(chǎng)作用下的加速度，有qE=ma加速度沿y軸負(fù)方向。設(shè)粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度為v°,由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為t,則有2'卯由式得吠渥設(shè)粒子從點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v,v垂直于x軸的分量由式得設(shè)粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度方向與X軸的夾角