1、第四章 拉普拉斯變換4.1引言 本章分為兩部分。本章分為兩部分。 首先由傅里葉變換變換首先由傅里葉變換變換引出引出拉普拉斯變換，拉普拉斯變換，然后對拉普拉斯然后對拉普拉斯正變換正變換、逆變換逆變換及拉普拉及拉普拉斯變換的斯變換的性質(zhì)性質(zhì)進(jìn)行討論。進(jìn)行討論。 其次介紹系統(tǒng)函數(shù)其次介紹系統(tǒng)函數(shù)H(s)及其及其零極點零極點概念，概念，并根據(jù)它們的分布研究并根據(jù)它們的分布研究系統(tǒng)特性系統(tǒng)特性，頻率響頻率響應(yīng)應(yīng)，及，及系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。問題。 本章重點在于，以拉普拉斯變換為工具對本章重點在于，以拉普拉斯變換為工具對系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析。 在具體學(xué)習(xí)過程中要注意與傅里葉變換的在具體

2、學(xué)習(xí)過程中要注意與傅里葉變換的對比對比， 便于理解與記憶。便于理解與記憶。 傅里葉變換傅里葉變換 優(yōu)點優(yōu)點: 具有明確的物理意義具有明確的物理意義 缺點：缺點： 只能處理符合只能處理符合狄利赫力條件狄利赫力條件的信號，信號的分析受的信號，信號的分析受到限制；到限制； 逆變換對頻率進(jìn)行的無窮積分計算困難逆變換對頻率進(jìn)行的無窮積分計算困難 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 優(yōu)點：優(yōu)點： 擴大可變換的信號范圍擴大可變換的信號范圍 求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時，初始條件被自動計入，因此應(yīng)用更為普遍；時，初始條件被自動計入，因此應(yīng)用更為普遍； 缺點：

3、物理概念不如傅里葉變換那樣清楚。缺點：物理概念不如傅里葉變換那樣清楚。 4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 本節(jié)內(nèi)容主要包括本節(jié)內(nèi)容主要包括從傅里葉變換到拉普拉斯變換拉氏變換的收斂域一些常用函數(shù)的拉氏變換 重點：拉氏變換的定義及收斂域 拉氏變換的定義從傅氏變換到拉氏變換 有幾種情況不滿足狄里赫利條件：u(t)增長信號周期信號) 0( aeat 若乘一衰減因子 為任意實數(shù)，則 收斂，于是滿足狄里赫利條件tetetf).(tetu)()(.aeetattet1cost1cos一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換 1正變換正變換 對一般信號對一般信號 ，乘以衰減因子，乘以衰減因子 ，即，即 在在 的一定的

4、取值范圍內(nèi)，依據(jù)傅里葉變換的定義，的一定的取值范圍內(nèi)，依據(jù)傅里葉變換的定義，得得( )f tte( )tf tes具有頻率的量綱，故被稱為復(fù)頻率。 ds tF sf t et令s= +j拉普拉斯正變換2逆變換 1d2tjtf t eFje d21tjejFtfdjdssj其中所以 jj1d2js tf tF s es tf t eFjFT拉普拉斯反變換jjdsjd)(1)(3拉普拉斯變換對 j1jd1d2js ts tF sL f tf t etf tLf tF s es 記作 f tF s逆變換的積分沿著平行于逆變換的積分沿著平行于j軸的一條直線進(jìn)行軸的一條直線進(jìn)行 jjs:考慮到在實際問題

5、中遇到的總是因果信號，令信號的起始時刻考慮到在實際問題中遇到的總是因果信號，令信號的起始時刻為零，于是得到相應(yīng)的為零，于是得到相應(yīng)的單邊拉普拉斯變換：單邊拉普拉斯變換： j1j0d1d2js ts tF sL f tf t etf tLf tF s es 雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換 積分下限定義為積分下限定義為0 0- -，目的在于分析和計算時可以，目的在于分析和計算時可以直接利用給定的起始狀態(tài)（即直接利用給定的起始狀態(tài)（即0-0-狀態(tài)狀態(tài)) )。拉普拉斯變換與傅里葉變換的區(qū)別：拉普拉斯變換與傅里葉變換的區(qū)別：FT: 時域函數(shù)時域函數(shù)f(t)頻域函數(shù)頻域函數(shù))(jF變量變量 t變量變量

6、LT: 時域函數(shù)時域函數(shù)f(t)復(fù)頻域函數(shù)復(fù)頻域函數(shù))(sF（變量（變量 t、 都是實數(shù)）都是實數(shù)）變量變量 t變量變量s (復(fù)頻率）復(fù)頻率） t（實數(shù)）（實數(shù)）(復(fù)數(shù)）復(fù)數(shù)） js即：即：傅里葉變換建立了時域與頻域之間的聯(lián)系；傅里葉變換建立了時域與頻域之間的聯(lián)系；拉普拉斯變換建立了時域與復(fù)頻域之間的聯(lián)系。拉普拉斯變換建立了時域與復(fù)頻域之間的聯(lián)系。(實頻率實頻率)控制衰減速度控制衰減速度二、拉普拉斯變換的收斂域lim( )e0ttf t收斂軸收斂坐標(biāo)收斂區(qū)收斂區(qū)收斂域：收斂域：使信號的拉普拉斯變換存在的使信號的拉普拉斯變換存在的S區(qū)域。記為區(qū)域。記為 ROC (region of conver

7、gence)。收斂域?qū)嶋H上就是信號存在拉普拉斯變換的條件。收斂域?qū)嶋H上就是信號存在拉普拉斯變換的條件。對任意信號對任意信號f(t) ，若滿足，若滿足(0)0稱收斂條件0稱絕對收斂坐標(biāo)0S平面左半平面右半平面0( )etf t則函數(shù)在的全部范圍內(nèi)是收斂的，其積分存在，可以進(jìn)行拉氏變換。1雙邊拉氏變換的收斂域信號 從時域看，只要 乘以收斂因子后，在 時，乘積函數(shù)皆為零即可，也就是為實數(shù)）,(00teteetttpptet 0limtttee0:則 0limtttee0:則顯然 雙邊拉氏變換不存在雙邊拉氏變換存在若則收斂帶為因為js為一復(fù)平面（s Plane），則收斂域為 sRe2. 單邊拉氏變換的

8、收斂域 例1： 02tetft解答： ttetflimttttteee22limlim00202收斂坐標(biāo):0lim( )e0ttf t求收斂域即找出滿足的取值范圍。-22. 單邊拉氏變換的收斂域 例2： tutf解答：tte1lim0000 ttetu )(lim2. 單邊拉氏變換的收斂域 例3： 0)(tuetft000limlimttttteee2. 單邊拉氏變換的收斂域 例4： 2)(tetf0limlim22ttttteee拉氏變換不存在拉氏變換不存在 01e( )e edttstLu ttsstuLt1)(e0jj1)(e0stuLt)j(1)(e00)j(00stuLt同理：00)

9、(2ee)(cos00jj0tututtt20200)j1j1(21ssssL)(j2ee)(sin00jj0tututtt202000)j1j1(j21sssL00stuLtuLt1)(e lim)(00)Re(0s或) 0(1)(00ssedtetustst0 ( )( )edstLttt1)Re(s0( )( )edstLttt0)e (ddtstss( )( )0( )( )ednnstLttt0)e (dd) 1(tstnnnsns)(0limsFsettt收斂域內(nèi)全可取任意值，令00000 ()()(0)ststtttt edtet)0() 1()()()()(kkkdttt注：1

10、000( )( )ed(e)ednnnststnsttnL t u tttttss 10ednstntts)(1tutLsnn根據(jù)以上推理,可得)(1)()(21tutLsnsntutLsntutLnnn)(12210tutLsssnsnsn0)Re(,!)(1ssntutnLn)Re(1 )(esstuLt)Re( 1)(esstuLt0)Re( j1 )(e0 j0sstuLt0)Re( j1 )(e0 j0sstuLt0)Re( )( cos202 0ssstutLRe(s) 1 )(Lt0)Re( )( sin20200sstutLRe(s) )()(nLnst0)Re( 1 )(ss

11、tuL0Re(s) 1 )(2 sttuL0Re(s) ! )(1 nLnsntutRe(s) )(1 )(e2stutLt0202000Re(s) )( )( cose0sstutLt0202000Re(s) )(s )(sine0Ltttu0Re(s) )( )(cos22022020ssttutL0Re(s) )(2 )(sin220200ssttutL常用信號的拉氏變換S1)(tuetas 1nt1!nsn)(t1)(0tt 0ste)(tu拉氏變換的幾點說明考慮到信號f(t)有起因，引出單邊拉氏變換。有起因，起因點卻不一定非要在t=0處，這是兩個不同的概念。單邊拉氏變換和信號有起因也

12、是兩個不同的概念。t0t00t)()()(tueLtfLtft拉氏變換實際上只對正邊信號做換，但它可以做單邊拉氏變本身是雙邊信號，t0 tf( )teu t()te utssF1)(10tf1(t)( )teu tf2(t)10tte10tf3(t)( )teu t()te ut0拉氏變換的幾點說明拉氏變換的幾點說明單邊拉氏變換是從零點開始積分的，因此t 0利用線性性矩形周期信號拉氏變換矩形周期信號拉氏變換10( )()nf tf tnT)2()()(1Ttututf)1(11)()(21STSTSTeSeesFsF)1 (1)(21STeSsF抽樣信號的拉氏變換0)()(nTnTttSTnS

13、nTTees11)(00( )( )( )() ()sTnf tf ttf nTtnT0)()(nSnTsenTfsF抽樣序列抽樣序列的拉氏變換時域抽樣信號抽樣信號的拉氏變換222d( )( )(0 )(0 )dLx ts X ssxxt )(2sXsss2ee2122ee21)(ssXssRe( )0s 試求如圖所示信號的單邊試求如圖所示信號的單邊Laplace變換。變換。利用拉氏變換的微分特性,可得(-2)試求如圖所示信號的單邊試求如圖所示信號的單邊Laplace變換。變換。)()()(11txtxtx211)e1()()()(ssXsXsXsRe( )0s 對x(t)表達(dá)為) 1()()

14、(1tututxssXse1)(1Re( )0s 利用拉氏變換的卷積特性,可得stuL/1)(拉氏變換位移特性拉氏變換位移特性已知求x(t)的初值和終值。1,1)(sssX1(0 )lim( )1sxsX s 0)(lim)(0ssXxsX(s)不是真分式，x(t)在t=0包含沖激，不能直接應(yīng)用初值定理X(s)的極點位于S平面的左半開平面，直接應(yīng)用終值定理可得1111)(ssssX對X1(s) 應(yīng)用初值定理可得將X(s) 改寫為X1(s)4.4 拉普拉斯逆變換(11.14) 主要方法: (1)部分分式法 (2)留數(shù)法回線積分法 (3)數(shù)值計算方法利用計算機 著重介紹部分分式法求拉氏逆變換的過程

15、以及一種特殊情況的處理 重點 部分分式法求拉氏逆變換的過程 難點 部分分式展開法情況之三：高階極點 jjde )(j21)(ssFtfst一、 拉普拉斯逆變換的一般過程1. F(s)的一般形式的一般形式 a,b為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm當(dāng) sFnm , 為有理真分式當(dāng)拉普拉斯變換為有理函數(shù)時，可以利用當(dāng)拉普拉斯變換為有理函數(shù)時，可以利用部分分式部分分式將其展開。將其展開。)()()()()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsFmzzzz321, 0sA sF是的根，稱為的零點0)(0)

16、(sFsAnpppp321, 0sB sF是的根，稱為的極點)(0)(sFsB sF將將 分子分母分別進(jìn)行因式分解：分子分母分別進(jìn)行因式分解：01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm2拉氏逆變換的過程拉氏逆變換的過程找到找到 的極點的極點將將 展成部分分式展成部分分式查拉氏變換求查拉氏變換求 sF sF tf1 tes 采用部分分式展開法求X(s)的反變換。0)Re(342)(23ssssssXX(s)為有理真分式，極點為一階極點。) 3)(1(2)(sssssX31321sksksk31) 3)(1(2)(321ssksskksssssX將上式兩端

17、同時乘以s可得32) 3)(1(2)(001sssssssXk令s=0，上式右端只有k1項不等于零，所以采用部分分式展開法求X(s)的反變換。0)Re(342)(23ssssssX同理可求出) 3)(1(2)(sssssX36/112/13/2sss21) 3(2)() 1(112ssssssXsk61) 1(2)() 3(333ssssssXsk)(e61)(e21)(32)(3tutututxtt由此可得對上式進(jìn)行拉氏反變換可得采用部分分式展開法求X(s)的反變換。1)1()1()(423321sksksksksX2) 1(2)(0301ssssssXk32)() 1(1132sssssX

18、sk0)Re() 1(2)(3sssssXX(s)有1個3階重極點將式兩端同時乘以(s+1)3可得令s= 1， 式右端只有k2項不等于零，所以2432313)1()1()1()()1(skskkssksXs采用部分分式展開法求X(s)的反變換。3311d(1)( )2()2dsssX sskss2341121 d (1)( )12()22d2sssX sskss)()e2e2e232()()(21tuttsXLtxttt0)Re() 1(2)(3sssssX對式求一階導(dǎo)數(shù)，再令s= 1可得2432313)1()1()1()()1(skskkssksXs對式求二階導(dǎo)數(shù)，再令s= 1可得12) 1

19、(2) 1(32)(23sssssX采用部分分式展開法求下列X(s)的反變換。X(s)為有理假分式，將其化為有理真分式0)Re(3421113)(2324ssssssssXssssssX3424)(23)(4)( )(tttx)(e61)(e21)(323tutututt利用例1計算結(jié)果，以及1)(,)( LLtst可得11101110( )( )( )mmmmnnnna sasa saA sF sB sb sbsbsb F(s)為( m n)，極點為)()()()()()(21npspspssAsBsAsFnnpskpskpsk2211nisFpskipsii, 2 , 1)()()()ee

20、e()(2121tukkktftpntptpn特殊：包含共軛復(fù)數(shù)極點特殊：包含共軛復(fù)數(shù)極點)()()(22ssDsAsF設(shè)：設(shè)： )()()(21mpspspssD其中：其中： mmpsKpsKpsKsBAssF221122)()(則則 其中：其中：()( ),iiispKsp F s1,2,im,A B 由待定系數(shù)法求出。由待定系數(shù)法求出。00220sin()tets 22)(cosasasteat同理： F(s)為( m n)，且存在)()()()()()()(11nrrpspspssAsBsAsFnnrrrrrpskpskpskpskpsk11111211)()(risFpssikpsr

21、iii,2, 1)()(dd)!1(11111111( )e ( )e( )()!irnp tp tr iiiii rkf ttu tku tri 01110111)()()(bsbsbsasasasasBsAsFnnnmmmm F(s)為( m n)()()()()(110sBsNsBsBBsBsAsFnmnm)()(1sBsN為，根據(jù)極點情況按或展開。)(00tBBL)(11tBsBL()( )Ln mn mm nm nBsBt 01110111)()()(bsbsbsasasasasBsAsFnnnmmmm例例4-8：求下列函數(shù)的逆變換求下列函數(shù)的逆變換)3)(1()5)(2(10)(s

22、sssssF解：解：將將F(s)展開成展開成部分分式形式部分分式形式312( )13KKKF ssss分別求分別求K1,K2,K33100)(01sssFK21(1) ( )20sKsF s 3310(3) ( )3sKsF s ) 3( 3101203100)(ssssF)()310203100()(3tueetftt32597( )(1)(2)sssF sss例：212)2)(1(32)(21sKsKssssssF1, 221KK)()2()(2)()(2tueetttftt對于對于m n的情況的情況21122)(,ssssF所以例4-9 sF tf t注意注意：為非真分式時，含及其導(dǎo)數(shù)項

23、。 例例4-10：求函數(shù)的逆變換求函數(shù)的逆變換)2)(52(3)(22sssssF解解：4) 1(24) 1)(2(3)(2122sBAssKssssF57)()2(21ssFsK4) 1)(2()(2()52(574) 1(257)(222ssBAsssssBAsssF4) 1)(2(27)2514()57()(22ssBsABsAsF4) 1)(2(27)2514()57()(22ssBsABsAsF)2)(52(3)(22sssssF上兩式的分子應(yīng)相等，即上兩式的分子應(yīng)相等，即22714()(2 )72355A sBA sBs71514205723ABAB2,52BA解之得：解之得：)(

24、)2sin542cos5257)(2tuteteetfttt4) 1(2522574) 1(257)(22ssssBAsssF4) 1(254) 1(522572sssF(s)特殊情況含 的非有理式 項不參加部分分式運算，求解時利用時移性質(zhì)SesFsF21)()(令sese【例】 已知 ssesFssse2122)(52，求其逆變換。解解： 4) 1(14) 1(14) 1()(2221ssssssF)(2sin212cos)()(111tutetesFLtftt)(2sin2cos221tuttet )2()2(2sin)2(2cos221)2(tuttetft)2()(1tftf則方法二(

25、適于計算機求解）nnpskpskpsksBsAsF2211)()()(ips ips sB當(dāng)時，及均為零， 的不定式將成為00)()()(sBsApsi)()()(limsBsApskipsii由羅必塔法則，得iipsipsisBsAsBsAsApsk)()()()()()(limipsnistjjstesFdsesFjtf1)(Res)(21)(iipsstkikkpsstesFpsdsdkesF)()()!1(1)(Res11若 為 k 階極點，則ip若 為 一 階極點，則ipiipsstipsstesFpsesF)()()(Res方法三：留數(shù)法信號的復(fù)頻域分析實質(zhì)是將信號分解為。信號的復(fù)

26、頻域分析使用的數(shù)學(xué)工具是。利用基本信號的復(fù)頻譜和拉普拉斯變換的性質(zhì)可對任意信號進(jìn)行復(fù)頻域分析。復(fù)頻域分析主要用于的分析。求下列X(s)的反變換。)4(e1)()3(22sssXs)4(31)()2(22sssX22)4(8)()1 (sssX)(e24)(e8)()(44tututttxtt(1)X(s)不是真分式，且有1個2階重極點(2)X(s) 有1個2階重極點和一對共軛極點，為計算簡便令s2=q, )4(31)(qqsX則)4(3121qkqk)4(4141(3122ss)()2sin21(121)(tutttx(3)X(s)不是有理分式，將其表示為)4(e)4(1)(222sssssX

27、s)()2cos1 (41)(1tuttx)2()2(2cos1 41)(2tuttx4.5用拉普拉斯變換法分析電路步驟步驟l 列列s域方程域方程（可以從兩方面入手可以從兩方面入手）；）； 列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換； 直接按電路的直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程；域模型建立代數(shù)方程；l 求解求解s域方程域方程 得到時域解答。得到時域解答。兩種方法兩種方法 微分方程的拉氏變換微分方程的拉氏變換 元件的元件的 s 域模型域模型 ( )( )F sf t一、微分方程的拉氏變換時域微分方程時域微分方程時域響應(yīng)時域響應(yīng)y(t)s域響應(yīng)域響應(yīng)Y(s)單

28、邊拉氏變單邊拉氏變換換拉氏反變換拉氏反變換解微分方程解微分方程解代數(shù)方程解代數(shù)方程s域代數(shù)方程域代數(shù)方程例：例：已知已知22( )( )( )56 ( )28 ( )d y tdy tdx ty tx tdtdtdt( )( ),tx te u t起始條件為：起始條件為：(0 )3,(0 )2,yy求求 y(t)解：解： 對微分方程兩邊取拉氏變換：對微分方程兩邊取拉氏變換：2( )(0 )(0 )5( )(0 )6 ( )(28)( )s Y ssyysY syY ssX s22( )( )(5) (0 )(0 )28( )( )5656zsziYsYssyysY sX sssss 22( )

29、( )(5) (0 )(0 )28( )( )5656zsziYsYssyysY sX sssss 116582)(6582)(22sssssXssssYzs28341(1)(2)(3)123sssssss)()43()(32tueeetytttzs22(5) (0 )(0 )317118( )235656zisyysYsssssss118( )23ziYsss23( )118ttziytee)0( t23( )( )( )(377)tttzsziy tytyteee)0( t例例4-13：下圖所示電路，當(dāng)下圖所示電路，當(dāng)t0時，開關(guān)時，開關(guān)S位于位于“1”端，電路的狀態(tài)端，電路的狀態(tài)已穩(wěn)定，

30、已穩(wěn)定，t = 0時時S從從“1”端打到端打到“2”端，分別求端，分別求vC(t)與與vR(t)。2+- E+-E1v1(t)+-+-Cvc(t)R+-vR(t)S解：解：(0 )(0 )CCvvE (0 )0Rv(0 )2RvE一、求一、求vC(t)（1）列寫微分方程）列寫微分方程( )( )( )CCdvtRCvtEu tdt（2）取拉氏變換）取拉氏變換( )(0 )( )CCCERC sVsvVss（3）求）求VC(s)的逆變換的逆變換)121()1()1()(RCssERCsssRCEsVC)()21 ()(tueEtvRCtCvc(t)+- E+-E1v1(t)+-+-CR+-vR(t)S2(0 )(0 )CCvvE 二、求二、求vR(t)1( )2( )2( )dv tdE u tEtdtdttv1(t)E-Evc(t)+- E+-E1v1(t)+-+-CR+-vR(t)S2(0 )0Rv(0 )2RvE（1）11( )( )( )tRRvdvtvtRCdttdvtvRCdttdvRR)()(1)(1EEEtv2)()(001發(fā)生了跳變，跳變量為，到從( ):00u t表示到相對跳變函數(shù)（2）1( )(0 )( )2RRRsVsvVsERCRCsEsVR12)(（3）)(2)(tuEetvRCtRdttdvtvR