1、習(xí)題課1. 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用幾何方面幾何方面 : 面積、體積、 弧長(zhǎng)、 表面積 .物理方面物理方面 : 質(zhì)量、作功、 側(cè)壓力、引力、2. 基本方法基本方法 : 微元分析法微元形狀 : 條、段、 帶、 片、扇、環(huán)、殼 等.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定積分的應(yīng)用 第六章 例例1. 求拋物線求拋物線21xy在(0,1) 內(nèi)的一條切線, 使它與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解: 設(shè)拋物線上切點(diǎn)為設(shè)拋物線上切點(diǎn)為)1 ,(2xxM則該點(diǎn)處的切線方程為)(2)1 (2xXxxY它與 x , y 軸的交點(diǎn)分別為, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面積)(xSx

2、x2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS且為最小點(diǎn) . 故所求切線為34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一駐點(diǎn)33x11MBAyx, 1 , 0)(33上的唯一極小點(diǎn)在是因此xSx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例2. 設(shè)非負(fù)函數(shù)設(shè)非負(fù)函數(shù)上滿足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲線)(xfy 與直線1x及坐標(biāo)軸所圍圖形(1) 求函數(shù); )(xf(2) a 為何值時(shí), 所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解解: (1)時(shí)

3、，當(dāng)0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面積為 2 ,體積最小 ? 即xCxaxf223)(故得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋轉(zhuǎn)體體積Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a為唯一極小點(diǎn),因此5a時(shí) V 取最小值 .xoy1xoy1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例3. 證明曲邊扇形證明曲邊扇形),(0,0rr 繞極軸.dsin)(323rVox)(rr xdrd證證: 先求先求d,上微曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成

4、的體積.doxV體積微元rrddrsin2 roxVddsin2rrrd)(02dsin)(323r故dsin)(323rVox旋轉(zhuǎn)而成的體積為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xy224xxyo)d5(dxu 故所求旋轉(zhuǎn)體體積為xxxd5)2(225157516xxxVd5)2(222051uVdd2APxd2ud例例4. 求由求由xy2與24xxy所圍區(qū)域繞xy2旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.解解: 曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為),4,2(A曲線上任一點(diǎn))4,(2xxxP到直線xy2的距離為xx2251),(2如圖為數(shù)軸以u(píng)xy u那么機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例5.

5、半徑為半徑為 R , 密度為密度為的球沉入深為H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度多少功 ? 解解: 建立坐標(biāo)系如圖 .則對(duì)應(yīng)d,xxx上球的薄片提到水面上的微功為1dWxy d2提出水面后的微功為2dW)(dg2xRxyxxRxRd)(g22,0 xxRHxRd)(g)(220H),(yxxyxo現(xiàn)將其從水池中取出, 需做微元體積所受重力上升高度g)(0)(xRH機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 因此微功元素為21dddWWWxxRd)( g22球從水中提出所做的功為WxxRxRHRRd)()()( 2200g“偶倍奇零偶倍奇零”xxRRd)(220g)(34003RHR)( g2

6、00RHH)(0)(0 xR Hxoyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例6. 設(shè)有半徑為設(shè)有半徑為 R 的半球形容器如圖的半球形容器如圖.(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深為為h (0 h R ) 時(shí)水面上升的速度 .(2) 設(shè)容器中已注滿水 , 求將其全部抽出所做的功最少應(yīng)為多少 ? 解解: 過球心的縱截面建立坐標(biāo)系如圖過球心的縱截面建立坐標(biāo)系如圖.oxy則半圓方程為2x22yyR hR設(shè)經(jīng)過 t 秒容器內(nèi)水深為h ,. )(thh 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 oxyhR(1) 求thdd由題設(shè), 經(jīng)過 t 秒后容器內(nèi)的水量為而高為 h 的球缺的體積為半球可看作半圓繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成體積元素:yx d2222yyRx)(hVyyRyhd)2(20故有t ayyRyhd)2(20兩邊對(duì) t 求導(dǎo), 得)2(2hRhthddathdd)2(2hRhaat (升) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 (2) 將滿池水全部抽出所做的最少功 為將全部水提對(duì)應(yīng)于d,yyyyx d2微元體積:微元的重力 :yx dg2薄層所需的功元素oxRyWdyx dg2)(yRyyRyRyd