1、問題問題1:1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問題問題2:2:變速直線運(yùn)動的路程變速直線運(yùn)動的路程存在定理存在定理廣義積分廣義積分定積分定積分定積分定積分的性質(zhì)的性質(zhì)定積分的定積分的計算法計算法牛頓牛頓- -萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、問題的提出、問題的提出實(shí)例實(shí)例1 （求曲邊梯形的面積（求曲邊梯形的面積A）iniixfA )(lim10 曲曲邊邊梯梯形形 由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy )0)( xf、x軸與兩條直線軸與兩條直線ax 、bx 所所圍圍成成.實(shí)例實(shí)例2 （求變速直線運(yùn)動的路程）（求變速直線運(yùn)動的路程）iniitvs )

2、(lim10 設(shè)某物體作直線運(yùn)動，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動，已知速度)(tvv 是時間是時間間隔間隔,21TT上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程 S.方法方法:分割、近似、求和、取極限分割、近似、求和、取極限. baIdxxf)(iinixf )(lim10 .記記,max21nxxx ， 2 2、定積分的定義、定積分的定義可積的兩個可積的兩個條件：條件： 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1定理定理2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間

3、間,ba上上可可積積.且只有有限個間斷點(diǎn)，則且只有有限個間斷點(diǎn)，則)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上可積上可積.3 3、存在定理、存在定理4 4、定積分的性質(zhì)、定積分的性質(zhì) badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性質(zhì)性質(zhì)1 babadxxfkdxxkf)()( (k為常數(shù)為常數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假設(shè)設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 則則0)( dxxfba )(ba 性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上0)( xf，推論：推論：則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上)()(xgxf ，（1）d

4、xxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)4如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點(diǎn)點(diǎn) ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 (定積分中值定理定積分中值定理)設(shè)設(shè)M及及m分別是函數(shù)分別是函數(shù) 則則 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba性質(zhì)性質(zhì)6上上的的最最大大值值及及最最小小值值，積分中值公式積分中值公式5 5、牛頓、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)上連續(xù)，則積分上限的

5、函數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù).定理定理 3（微積分基本公式）（微積分基本公式） 如果如果)(xF是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的一個原函數(shù)，則上的一個原函數(shù)，則 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式

6、萊布尼茨公式6 6、定積分的計算法、定積分的計算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式（1）換元法）換元法（2）分部積分法）分部積分法分部積分公式分部積分公式 bababavduuvudv、廣義積分、廣義積分(1)無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)極限存在時，稱廣義積分當(dāng)極限存在時，稱廣義積分收斂收斂；當(dāng)極限不存在；當(dāng)極限不存在時，稱廣義積分時，稱廣義積分發(fā)散發(fā)散. bdxxf)( baadxxf)(lim(2)無界函數(shù)的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分 badxxf)( badxxf )(lim0當(dāng)極限存在時，稱廣義積分當(dāng)極限存在時，稱廣

7、義積分收斂收斂；當(dāng)極限不存在；當(dāng)極限不存在時，稱廣義積分時，稱廣義積分發(fā)散發(fā)散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0例例1 1解解.2sin120 dxx求求 20cossindxxx原式原式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 222 二、典型例題二、典型例題例例2 2解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin20 dxxxxI由由,cossincos20 dxxxxJ設(shè)設(shè),220 dxJI則則 20cossincossindxxx

8、xxJI 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 I故得故得.4 I即即例例3 3解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 則則 62)sincos(cosdtttt原式原式 262sincosdttt 2626sinsintdttdt.23)32ln( 例例4 4解解.2sinln40 xdx求求,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdx 402sinlnxdxI 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20s

9、inln2ln4xdxI22ln4 . 2ln4 I例例5 5. )1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 例例6 6.)()1(,)(102022 dxxfxdyexfxyy求求設(shè)設(shè)解解 10022)1(2dxdyexxyy原式原式 10231002322)1(31)1(31dxexdyexxxxyy 1021)1(2)1()1(612xdexxux 2)1(令令 016duueeu).2(61 e例例7 7.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba

10、 證明證明上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù),)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf0)2)()()()()( dtxftftfxfxFxa即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(單調(diào)增加單調(diào)增加xF, 0)( aF又又, 0)()( aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即例例8 8 942xxdx:求廣義積分求廣義積分解解 02029494xxdxxxdx原式原式 02025)2

11、(5)2(xdxxdx 0052arctan5152arctan51xx.5 例例9 9).7(,)()(103fxdttfxfx求求連續(xù)，且連續(xù)，且設(shè)設(shè) 解解13)1(23 xxf121)7( f例例1010.)()()()(, 0)(,)(, )( babadxxgfdxxgxfbaxgbaxgxf 使得使得證明存在證明存在上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在設(shè)設(shè)例例1111.)()(),(, 0)(,)( abdxxfdxxfbaxfbaxf使得使得證明存在證明存在上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在設(shè)設(shè)例例1212. 0)(),1 , 0(, )0()(3)1 , 0(1 , 0)(132 ffdxxfxf使

12、得使得證明存在證明存在且且內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)設(shè)例例1313 babababababadxxgdxxfdxxgxfdxxgdxxfdxxgxfbaxgxf)()()()()2()()()()()(1(,)(, )(222222上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明在在設(shè)設(shè)例例14 14 .)(,1111000)( xdttfxxxxxxxf求求設(shè)設(shè) xdttfx0)(, 0 xxdttfx2)(, 102dttttdtdttfxxx 10111)(, 11arctan221 x一、一、 選擇題：選擇題： 1 1、 2222221limnnnnnnnn ( ( ) ) （A A）0； （

13、B B）21； （C C）4 ； （D D）2 . . 2 2、 xdttdxd02)1ln(= =（ ） （A A）)1ln(2 x； （B B）)1ln(2 t； （C C）)1ln(22 xx； （D D）)1ln(22 tt . .練習(xí)題練習(xí)題3 3、下列積分中，值為零的是（、下列積分中，值為零的是（ ） （A A） 1131dxx； ( (B B） 213dxx； （C C） 11dx； （D D） 112sin xdxx . . 4 4、廣義積分、廣義積分 222xxdx= =（ ） （A A）4ln ； （B B）0； （C C）4ln31； （D D）發(fā)散）發(fā)散. . 5 5、廣義積分、廣義積分 20234xxdx（ ） （A A）3ln1 ； （B B）32ln21； （C C）3ln； （D D）發(fā)散）發(fā)散. . 二、證明不等式二、證明不等式: : )2(,6121210 nxdxn . .三、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：三、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 1 1、 3241)(xxtdtxF; ; 2. 2.、由方程、由方程1sin2200 xytdtttdte，的的為為確定確定xy 函