1、返回目錄返回目錄 1.拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線和一條定直線l(l不經(jīng)過點不經(jīng)過點F)距距離離 點的軌跡叫做拋物線點的軌跡叫做拋物線.點點F叫做拋物線叫做拋物線的的 ,直線直線l叫做拋物線的叫做拋物線的 .相等相等 焦點焦點 準線準線 返回目錄返回目錄 2.拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)(如表所示) 標準方程標準方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)圖形圖形性性質(zhì)質(zhì)范圍范圍x x0 x x0準線方程準線方程x xx x焦點焦點( )( )對稱軸對稱軸關(guān)于關(guān)于 對稱對稱頂點頂點（0 0，0 0）離心率離心率e

2、=p,02p,02-p2p2x軸軸 1 1 返回目錄返回目錄 標準方程標準方程x x2 2=2py(p0)=2py(p0)x x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)圖形圖形性性質(zhì)質(zhì)范圍范圍y0y0準線方程準線方程x xx x焦點焦點( )( )對稱軸對稱軸關(guān)于關(guān)于 對稱對稱頂點頂點（0 0，0 0）離心率離心率e=p0,2p2-p0,2y軸軸 -p2返回目錄返回目錄 已知拋物線已知拋物線y2=2x的焦點是的焦點是F,點點P是拋物線上的動點是拋物線上的動點,又又有點有點A(3,2),求求|PA|+|PF|的最小值的最小值,并求出取最小值時并求出取最小值時P點的坐標點的坐標.由定義知由定義知

3、,拋物線上點拋物線上點P到焦點到焦點F的距離等的距離等于于P到準線到準線l的距離的距離d,求求|PA|+|PF|的問題可轉(zhuǎn)化為的問題可轉(zhuǎn)化為|PA|+d的問題的問題.返回目錄返回目錄 將將x=3代入拋物線方程代入拋物線方程y2=2x,得得y= . 2,A在拋物線內(nèi)部在拋物線內(nèi)部. 如圖，設(shè)拋物線上點如圖，設(shè)拋物線上點P到準線到準線l:x=- 的距離為的距離為d,由定義知由定義知|PA|+|PF|=|PA|+d, 當當PAl時時,|PA|+d最小最小, 最小值為最小值為 ,即即|PA|+|PF|的最小值為的最小值為 ,此時此時P點縱坐標點縱坐標為為2,代入代入y2=2x,得得x=2, 點點P坐標

4、為坐標為(2,2).66127272重視定義在解題中的應(yīng)用重視定義在解題中的應(yīng)用,靈活地進行拋靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離到準線距離的等價轉(zhuǎn)化物線上的點到焦點的距離到準線距離的等價轉(zhuǎn)化,是解是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑?jīng)Q拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑.返回目錄返回目錄 已知點已知點P在拋物線在拋物線y2=4x上上,那么當點那么當點P到點到點Q(2,-1)的距的距離與點離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點點P的坐的坐標為（標為（ ）A.( ,-1) B.( ,1)C.(1,2) D.(1,-2)A(1)點點P到焦點距離等于點到焦點距離等于點P

5、到準線距離到準線距離,即求點即求點P到點到點Q與點與點P到準線距離之和最小時到準線距離之和最小時P點坐標點坐標,當當QP垂直準線垂直準線時時,所求距離之和最小所求距離之和最小,P點縱坐標點縱坐標y0=-1,x0= ,P( ,-1).故應(yīng)選故應(yīng)選A.)1414返回目錄返回目錄 1414返回目錄返回目錄 試分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程試分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程,并求對應(yīng)并求對應(yīng)拋物線的準線方程拋物線的準線方程:(1)過點過點(-3,2);(2)焦點在直線焦點在直線x-2y-4=0上上.按先定位按先定位,再定量的原則求拋物線方程再定量的原則求拋物線方程. (1)設(shè)所求的拋物線為設(shè)

6、所求的拋物線為y2=-2px(p0)或或x2=2py(p0), 過點過點(-3,2),4=-2p(-3)或或9=2p2， p= 或或p= . 所求的拋物線方程為所求的拋物線方程為y2=- x或或x2= y,前者的前者的準線方程是準線方程是x= ,后者的準線方程是后者的準線方程是y=- .返回目錄返回目錄 239443981392返回目錄返回目錄 (2)令令x=0得得y=-2,令令y=0得得x=4,即拋物線的焦點為即拋物線的焦點為(4,0)或或(0,-2). 當焦點為當焦點為(4,0)時時, =4,p=8. 此時拋物線方程為此時拋物線方程為y2=16x. 當焦點為（當焦點為（0，-2）時，）時，

7、 =2，p=4， 此時拋物線方程為此時拋物線方程為x2=-8y. 故所求的拋物線方程為故所求的拋物線方程為y2=16x或或x2=-8y，對應(yīng)的，對應(yīng)的準線方程分別是準線方程分別是x=-4或或y=2.p2p2返回目錄返回目錄 求拋物線方程的基本方法仍然是待定系數(shù)求拋物線方程的基本方法仍然是待定系數(shù)法，需要注意的是：（法，需要注意的是：（1）當坐標系已建立時，應(yīng)根據(jù)條）當坐標系已建立時，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型的哪一種；（件確定拋物線方程屬于四種類型的哪一種；（2）要注意）要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應(yīng)關(guān)系；（應(yīng)

8、關(guān)系；（3）要注意焦參數(shù)）要注意焦參數(shù)p的幾何意義，并利用它的的幾何意義，并利用它的幾何意義來解決問題，特別是當頂點不在原點時，更要幾何意義來解決問題，特別是當頂點不在原點時，更要注意利用參數(shù)注意利用參數(shù)p的幾何意義，以及焦點到頂點的距離和的幾何意義，以及焦點到頂點的距離和頂點到準線的距離均為頂點到準線的距離均為 來求其方程來求其方程.這里易犯的錯誤就這里易犯的錯誤就是缺少對開口方向的討論，設(shè)定一種形式的標準方程后是缺少對開口方向的討論，設(shè)定一種形式的標準方程后求解，以致失去一解求解，以致失去一解. 反過來，也要注意由拋物線方程讀有關(guān)信息，如參反過來，也要注意由拋物線方程讀有關(guān)信息，如參數(shù)數(shù)p

9、及頂點坐標，進而求出有關(guān)幾何性質(zhì)及頂點坐標，進而求出有關(guān)幾何性質(zhì).p2返回目錄返回目錄 根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程：根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程：（1）拋物線的焦點是雙曲線）拋物線的焦點是雙曲線16x2-9y2=144的左頂點；的左頂點；（2）過點）過點P(2,-4);（3）拋物線焦點）拋物線焦點F在在x軸上，直線軸上，直線y=-3與拋物線交于點與拋物線交于點 A，|AF|=5.返回目錄返回目錄 （1）雙曲線方程化為）雙曲線方程化為 ，左頂點為，左頂點為(-3,0)， 由題意設(shè)拋物線方程為由題意設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p0)且且- =-3,p=6, 方程為方程為y2=-12x. （

10、2）由于）由于P(2，-4)在第四象限且對稱軸為坐標軸，在第四象限且對稱軸為坐標軸，可設(shè)方程為可設(shè)方程為y2=mx或或x2=ny，代入，代入P點坐標求得點坐標求得m=8,n=-1,所求拋物線方程為所求拋物線方程為y2=8x或或x2=-y. （3）設(shè)所求焦點在）設(shè)所求焦點在x軸上的拋物線方程為軸上的拋物線方程為y2=2px(p0)，A(m,-3)，由拋物線定義得，由拋物線定義得5=|AF|=|m+ |，又又(-3)2=2pm,p=1或或p=9. 故所求拋物線方程為故所求拋物線方程為y2=2x或或y2=18x. 22xy-=1916p2p2已知拋物線頂點在原點，焦點在坐標軸上，又知此拋已知拋物線頂

11、點在原點，焦點在坐標軸上，又知此拋物線上的一點物線上的一點A（m，-3）到焦點）到焦點F的距離為的距離為5，求，求m的的值，并寫出此拋物線的方程值，并寫出此拋物線的方程.因點因點A（m，-3）在直線）在直線y=-3上，所以拋上，所以拋物線的開口方向存在向左、向右、向下三種情況，必物線的開口方向存在向左、向右、向下三種情況，必須分類討論須分類討論.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 若拋物線開口方向向下，設(shè)拋物線方若拋物線開口方向向下，設(shè)拋物線方程為程為x2=-2py（p0），這時準線方程為），這時準線方程為y= ， 由拋物線定義知由拋物線定義知 -（-3）=5，解得，解得p=4， 拋物線方程為

12、拋物線方程為x2=-8y， 這時將點這時將點A（m，-3）代入方程，得）代入方程，得m=2 . 若拋物線開口方向向左或向右，可設(shè)拋物線方若拋物線開口方向向左或向右，可設(shè)拋物線方程為程為y2=2ax（a0）,從從p=|a|知準線方程可統(tǒng)一成知準線方程可統(tǒng)一成x= - 的形式，于是從題設(shè)有的形式，于是從題設(shè)有 +m=5 2am=9p2p26a2a2解此方程組可得四組解解此方程組可得四組解: a1=1 a2=-1 a3=9 a4=-9 m1= ， m2=- ， m3= ， m4=- .y2=2x,m= ;y2=-2x,m=- ;y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .返回目錄返回目錄 121

13、2929292921212返回目錄返回目錄 拋物線的標準方程有四種拋物線的標準方程有四種,在求解過程中在求解過程中,首先要根據(jù)題目描述的幾何性質(zhì)判斷方程形式首先要根據(jù)題目描述的幾何性質(zhì)判斷方程形式,若只能若只能判斷對稱軸判斷對稱軸,而不能判斷開口方向而不能判斷開口方向,可設(shè)為可設(shè)為x2=ay(a0)或或y2=ax(a0)，然后利用待定系數(shù)法和已知條件求解，然后利用待定系數(shù)法和已知條件求解.返回目錄返回目錄 設(shè)設(shè)P是拋物線是拋物線y2=4x上的一個動點上的一個動點.(1)求點求點P到點到點A（-1，1）的距離與點）的距離與點P到直線到直線x=-1的距的距離之和的最小值離之和的最小值;(2)若若B

14、（3,2），求），求|PB|+|PF|的最小值的最小值.如圖所示，（如圖所示，（1）拋物線焦點為）拋物線焦點為F(1,0)，準線方程為，準線方程為x=-1.P點到準線點到準線x=-1的距離等于的距離等于P點到點到F(1,0)的距離的距離,問題轉(zhuǎn)化為問題轉(zhuǎn)化為:在曲線在曲線上求一點上求一點P，使點，使點P到到A（-1,1）的距離與）的距離與P到到F（1，0）的距離）的距離之和最小之和最小.顯然顯然P是是AF的連線與拋物線的交的連線與拋物線的交點點,最小值為最小值為|AF|= .返回目錄返回目錄 5(2)同理同理|PF|與與P點到準線的距離相等點到準線的距離相等,如圖如圖:|P1Q|=|P1F|,

15、|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.|PB|+|PF|的最小值為的最小值為4.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 如圖如圖,有一塊拋物線形鋼板有一塊拋物線形鋼板,其垂其垂直于對稱軸的邊界線直于對稱軸的邊界線AB長為長為2r,高為高為4r,計劃將此鋼板切割成等計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀腰梯形的形狀 ,以以 AB為下底為下底 ,上底上底CD的端點在拋物線上的端點在拋物線上 , 記記CD=2x,梯形面積為梯形面積為S.(1) 求面積求面積S,使其為以使其為以x為自變量的為自變量的函數(shù)式函數(shù)式,并寫出其定義域并寫出其定義域; (2)求面積求面積S的最大值的最大值.根據(jù)題意先建立

16、坐標系根據(jù)題意先建立坐標系,利用利用CD的長求出梯形的長求出梯形AB CD的高的高,進而表示梯形面積進而表示梯形面積;然后利用導(dǎo)數(shù)求面積然后利用導(dǎo)數(shù)求面積S的最大值的最大值.返回目錄返回目錄 (1)建立如圖所示的平面直角坐標系建立如圖所示的平面直角坐標系xOy,則則B(r,-4r). 設(shè)拋物線方程為設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p0). 點點B(r,-4r)在拋物線上在拋物線上, r2=8pr,即即p= . 拋物線方程為拋物線方程為x2=- y. 又點又點C的橫坐標為的橫坐標為x,則則 點點C的縱坐標為的縱坐標為y= . 梯形梯形ABCD的高的高h=4r- . S= (2r+2x)(4r- )

17、= (x+r)(r2-x2),其定義域為其定義域為x|0 xr.r8r4-24xr24xr1224xr4r返回目錄返回目錄 (2)記記f(x)=(x+r)(r2-x2),0 xr,則則f(x)=r2-x2+(r+x)(-2x)=(r+x)(r-3x).令令f(x)=0得得x= .因為當因為當0 x0;當當 xr時時,f(x)0,所以所以f( )是是f(x)的最大值的最大值.因此因此,當當x= 時時,S也取得最大值也取得最大值,最大值為最大值為 = .即梯形面積即梯形面積S的最大值為的最大值為 .r3r3r3r3r34r4r328r92128r272128r27返回目錄返回目錄 “用料用料”問題

18、為應(yīng)用題的基本類型之一問題為應(yīng)用題的基本類型之一,其主要特點為其主要特點為:首先首先,要依據(jù)題目條件建立函數(shù)關(guān)系式要依據(jù)題目條件建立函數(shù)關(guān)系式,然后求解目標函數(shù)的最大值或最小值然后求解目標函數(shù)的最大值或最小值,最后將其還原為最后將其還原為實際問題來解決實際問題來解決.在本題的求解過程中合理建系在本題的求解過程中合理建系,求解拋求解拋物線的方程是解題的關(guān)鍵物線的方程是解題的關(guān)鍵,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值為利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值為基本的解題方法基本的解題方法.某大橋在漲水時有最大跨度的某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔如圖所示中央橋孔如圖所示,已知上部呈已知上部呈拋物線形拋物線形,跨度為跨度為20米米 , 拱頂距拱頂距水面水面6米米 , 橋墩高出水面橋墩高出水面4圖米圖米.現(xiàn)有一貨船欲過此孔現(xiàn)有一貨船欲過此孔,該貨船水下寬