1、高等數(shù)學(xué)第五節(jié)第五節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、基本概念一、基本概念二、概念的引入二、概念的引入三、定義和性質(zhì)三、定義和性質(zhì)四、計(jì)算方法四、計(jì)算方法五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系重點(diǎn)重點(diǎn)：坐標(biāo)積分：坐標(biāo)積分的計(jì)算的計(jì)算難點(diǎn)難點(diǎn)：理解坐標(biāo)積分及其與面積積分的關(guān)系理解坐標(biāo)積分及其與面積積分的關(guān)系高等數(shù)學(xué)一、基本概念一、基本概念觀察以下曲面的側(cè)觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的)曲面分曲面分上上側(cè)和側(cè)和下下側(cè)側(cè)曲面分曲面分內(nèi)內(nèi)側(cè)和側(cè)和外外側(cè)側(cè)（不封閉）（不封閉）（封閉）（封閉）高等數(shù)學(xué)n曲面的分類曲面的分類:1.1.雙側(cè)曲面雙側(cè)曲面; ;2.2.單側(cè)

2、曲面單側(cè)曲面. .典典型型雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面高等數(shù)學(xué)莫比烏斯帶莫比烏斯帶 (Mobius,A,F, 1790-1868, 德國(guó)德國(guó))典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:播放播放高等數(shù)學(xué)曲面曲面法向量的指向法向量的指向決定曲面的決定曲面的側(cè)側(cè). .決定了決定了側(cè)側(cè)的曲面稱為的曲面稱為有向曲面有向曲面. .曲面的曲面的投影投影問(wèn)題問(wèn)題: :面面在在xoyS ,在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小塊塊.0cos00cos)(0cos)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xyxyxyS.)(表表示示投投影影區(qū)區(qū)域域的的面面積積其其中中xy 為為上上的的投投影影xyS)( 曲曲面面 S 高等數(shù)學(xué)二、概念的引入二、概念的

3、引入實(shí)例實(shí)例: : 流向曲面流向曲面一側(cè)一側(cè)的流量的流量. .( (1 1) ) 流流速速場(chǎng)場(chǎng)為為常常向向量量 v, ,有有向向平平面面區(qū)區(qū)域域A A, ,求求單單位位時(shí)時(shí)間間流流過(guò)過(guò)A A的的流流體體的的質(zhì)質(zhì)量量 ( (假假定定密密度度為為 1 1) ). .Av0n AAvnvAvA 0cos 流量流量高等數(shù)學(xué)xyzo 高等數(shù)學(xué)xyzo iS ),(iii ivin1. 分割分割則該點(diǎn)流速為則該點(diǎn)流速為 .iv法向量為法向量為 .in高等數(shù)學(xué)該點(diǎn)處曲面的單位法向量該點(diǎn)處曲面的單位法向量kjiniiii coscoscos, ,)., 2 , 1(niSnviii ,),(),(),(),(

4、kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 2. 求和求和通通過(guò)過(guò)流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量 niiiiSnv1高等數(shù)學(xué)iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 3.3.取極限取極限0 .的的精精確確值值取取極極限限得得到到流流量量 高等數(shù)學(xué) nixyiiiiSR10)(,(lim 存存在在, ,則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(zyxR在在有有向向曲曲面面上上對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)yx,的的曲曲面面積積分分( (也也稱稱第第二二類類曲曲面面積積分分) )三、概念及性質(zhì)三、概念

5、及性質(zhì)高等數(shù)學(xué)記記作作 dxdyzyxR),(, ,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面類似可定義類似可定義 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( 高等數(shù)學(xué)存在條件存在條件:當(dāng)當(dāng)),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí), ,對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分存存在在. .組合形式組合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意義物理意義:dxdyzyxRdzdxzyx

6、QdydzzyxP),(),(),( 高等數(shù)學(xué)性質(zhì)性質(zhì): 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 2高等數(shù)學(xué)四、計(jì)算法四、計(jì)算法 設(shè)積分曲面是由設(shè)積分曲面是由方程方程),(yxzz 所給所給出的曲面上側(cè)出的曲面上側(cè), ,在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域?yàn)闉閤yD, ,函數(shù)函數(shù)),(yxzz 在在xyD上具上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,被積函數(shù)被積函數(shù)),(zyxR在在上連續(xù)上連

7、續(xù). . ),(yxfz xyDxyzoxys)( 高等數(shù)學(xué) nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取取上上側(cè)側(cè) nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即高等數(shù)學(xué),)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下側(cè)側(cè)若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(則有則有給出給出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(則有則有給出給出由由如果如果,),(xz

8、yy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分, ,必須注意必須注意曲面所取的側(cè)曲面所取的側(cè). .高等數(shù)學(xué)解解兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 _1 例例1 1 高等數(shù)學(xué) 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin2401022 rdrdrrxyz高等數(shù)學(xué)例例 2 2 dxdyazaxdydzaI)(12化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)得得解解).0(,()(222222212) ay

9、xazzyxdxdyazaxdydzI的的上上側(cè)側(cè)半半球球面面為為其其中中求求,11 axdydzaI記記 dxdyaIaz)(221高等數(shù)學(xué) xdydzaxdydzaI11 Dyzdydzzya2222drrarda 02222 a332 dxdyazaI)(122 adrrraada022220)(1 a36 aI32 Dxydxdyyxaaa)(12222yz高等數(shù)學(xué)五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系 設(shè)設(shè)有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 給給出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閤yD, , 函函數(shù)數(shù)),(yxzz 在在xyD上上具具有有一

10、一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , ),(zyxR在在上上連連續(xù)續(xù). .對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分為為 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(xyD),(yxfz xyzodSn高等數(shù)學(xué)曲面的法向量的方向余弦為曲面的法向量的方向余弦為 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 高等數(shù)學(xué)對(duì)對(duì)面面積積的的曲曲面面積積分分為為 xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),( 所所以以dSzyxRdxdyzyxR cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的兩兩側(cè)側(cè)均均成成立立) )dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)c

11、oscoscos( 兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系高等數(shù)學(xué)向量形式向量形式 dSAsdAdSnASdAn或或其其 中中cos,cos,cos, nRQPA為為有有 向向 曲曲 面面 上上 點(diǎn)點(diǎn)),(zyx處處 的的 單單 位位 法法 向向 量量 , ,dxdydzdxdydzdSnSd 稱稱 為為 有有 向向 曲曲 面面元元, ,nA為為向向量量A在在n上上的的投投影影. .高等數(shù)學(xué)例例 3 3 計(jì)計(jì)算算zdxdydydzxz )(2, ,其其中中是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面)(2122yxz 介介于于平平面面0 z及及2 z之之間間的的部部分分的的下下側(cè)側(cè). .解解 dydzxz)

12、(2有有上上在曲面在曲面, dSxzcos)(2 dxdyxz coscos)(2.11cos,1cos2222yxyxx 高等數(shù)學(xué) dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.8 高等數(shù)學(xué)六、小結(jié)六、小結(jié)1 1、物理意義、物理意義2 2、計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)、計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)曲面的側(cè)曲面的側(cè)“一投一投, ,二代二代, ,三定號(hào)三定號(hào)”高等數(shù)學(xué)思考題思考題 利用兩類曲面積分間的聯(lián)系再解例利用兩類曲面積分間的聯(lián)系再解例2:).0(,)()(222222

13、212 ayxazzyxdxdyazaxdydzI的的上上側(cè)側(cè)半半球球面面為為其其中中求求高等數(shù)學(xué)例例 dxdyazaxdydzaI)(12化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)得得解解2 2).0(,()(222222212) ayxazzyxdxdyazaxdydzI的的上上側(cè)側(cè)半半球球面面為為其其中中求求 dxdyazaxaI)(coscos12則則 dxdyazyxaxaxa)(12222 xyDdxdyyxaayxaaxa)(122222222高等數(shù)學(xué) dxdyazaxaI)(coscos12則則 dxdyazyxaxaxa)(12222 xyDdxdyyxaayxaaxa)(122222222.2)3423(3

14、213444aaaaa yxyxyxzzzznzzn coscos,coscos) 1 ,() 1,(或或注注記記： 高等數(shù)學(xué)作作 業(yè)業(yè) P165：1(2)(4), 3, 4, 5.高等數(shù)學(xué)莫比烏斯帶莫比烏斯帶典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏

15、斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué)典型典型單側(cè)曲面單側(cè)曲面:莫比烏斯帶莫比烏斯帶高等數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)一一. 填空填空._,)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(. 4._)(,2:. 3._),(. 2._,),(. 12222220102 cDxxxydsCdxdyRyDdyyxfdxyxzyxxyfzyxyx則則的的三三邊邊為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形為為以以設(shè)設(shè)則則設(shè)設(shè)交交換換積積分分順順序序則