1、三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了平面向量一章的基礎(chǔ)容之后，學(xué)生們通過(guò)課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有關(guān)三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要條件?，F(xiàn)歸納總結(jié)如下:.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2)O是ABC的重心OAOBOC0；若O是ABC的重心，則PG1（PAPBPC）SBOCO是ABC的垂心OAOB1SAOCSAOB二SABC,3故OAOBOC0;ABC的重心.OBOCOCOA;若O是ABC（非直角三角形）的垂心，則Sboc,Saoc,SaobtanA-tanB-tanC故tanAOAtanBOBtanCOC3)O是ABC的外心|OA|OB|222|0C|(或OAOBOC)若0是ABC的外心則

2、SBOC,SAOC,SAOBsinB0C-sinAOC：sinAOBsin2A:sin2B:sin2C故sin2AOAsin2BOBsin2COC04) O是心ABC的充要條件是OA(AB-AC)OB(|AB|ACaOC(空|BA|BC|CA|CB|CB-)0引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡(jiǎn)潔。如果記ifc*AB,BC,CA的單位向量為2島,則剛才ABC心的充要條件可以寫(xiě)成：0A（e1e3）OB(e1e2)OC(e20是ABC心的充要條件也可以是aOAbOB若0是ABC的心，則SBOC：SAOC:SAOBcOCa：b：故aOAbOBcOC0或sinAOA|AB|PC|BC|PA|CA|PB0Psi

3、nBOBABC的心;sinCOC0；向量（-AB-|AB|所在直線）；&H（0）所在直線過(guò)|AC|ABC的心（是BAC的角平分線二.例（一）.將平面向量與三角形心結(jié)合考查例1.O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Pe3)0滿(mǎn)足OPOA/ABAC、憫網(wǎng)0,則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)ABC的（(A)外心(B)心(C)重心(D)垂心解析：因?yàn)榻M是向量AB的單位向量設(shè)而與AC方向上的單位向量分別為e1和為,又ABOPOAAP,則原式可化為AP(ee),由菱形的基本性質(zhì)知AP平分BAC,那么在ABC中，AP平分BAC,則知選B.點(diǎn)評(píng)：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”，首先_AB是什么

4、？沒(méi)見(jiàn)過(guò)！想想，一個(gè)非零AB向量除以它的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡(jiǎn)單的基本知識(shí)，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點(diǎn)問(wèn)題也沒(méi)有。(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2.H是4ABC所在平面任一點(diǎn)，hAhbhbhChchA點(diǎn)H是AABC的垂心.由HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC,同理HCAB,hAbC.故h是AABC的垂心.(反之亦然(證略)例3.()P是4ABC所在平面上一點(diǎn)，若PAPBPBPCPCPA,則P是AABC的(D)A.外心B.心C.重心D.垂心解析:由PA

5、PBPBPC得PAPBPBPC0.即而(PAPC)0,即而Ca0貝UPBCA,同理PABC,PCAB所以P為ABC的垂心.故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí).將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。變式：若H為ABCT在平面一點(diǎn)，且HA2BC2HB2CA,HCAB2則點(diǎn)H是ABC的垂心證明:(HAHB)?BA(CACB)?BA得(HAHBCACB)?BA0即(HCHC)?BA0點(diǎn)G是ABC的重心.ABHC同理ACHB,BCHA故H是ABC勺垂心(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合

6、考查“重心定理”例4.G是4ABC所在平面一點(diǎn)，gAgBgC=0證明作圖如右，圖中g(shù)BgCGEWord資料上的中線.將GB得GA例5.證明PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC).G是ABC的重心GAGBGC=0AG由此可得PG1(PAPB例6若O為A.心解析：由Oa3ABC一點(diǎn)，B.外心BGCG=0,即3PGPAPBPCPC）.（反之亦然（證略）OAOBOCC.垂心ObOc0得OBOCOBocod,由平行四邊形性質(zhì)知OE0,則。是D.重心Oa,如圖以1-2OD，lOAABC的（OBOC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則2OE,同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì),所以是重心，選D

7、。點(diǎn)評(píng)：本題需要扎實(shí)的平面幾何知識(shí),角形中線的分點(diǎn)，所分這比為2平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)：重心是三1對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)本題在解題的過(guò)程中將平面向量的有關(guān)運(yùn)算與平行四邊形的知識(shí)巧妙結(jié)合。連結(jié)BE和CE,WJCE=GB,BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊GCgE代入gAGBGC=0,EG=0GAGE2GD,故G是ABC的重心.（反之亦然（證略）P是4ABC所在平面任一點(diǎn).G是ABC的重心pg-（PAPBPC）.3變式：已知D,E,F分別為4ABC的邊BC,AC,AB的中點(diǎn).貝UADBECF0.證明：3一ADGA2一3BEGB23CF-GC

8、2ADBeCF|(GagbGc)GAGBGC0ADBECF10.變式引中：如圖4,平行四邊形ABCD的中心為O,P為該平面上任意一點(diǎn),1貝1PO（PAPBPCPD）.411證明：PO1（PAPC）,PO1（PBPD）,1PO-（PAPBPCPD）.點(diǎn)評(píng)：（1）證法運(yùn)用了向量加法的三角形法則，證法2運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則.（2）若P與O重合，則上式變OAOBOCOD0.（四）.將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若O為ABC一點(diǎn)，OA；QB；QC,則O是ABC的（A.心B.外心C.垂心D.重心解析：由向量模的定義知O到ABC的三頂點(diǎn)距離相等。故O是ABC的外心，選B。點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量模

9、的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。（五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8.已知向量函，OP；,O可滿(mǎn)足條件函+OP；+OP；=0,|oP1|=|oP2|=|oP3|=i,求證PiP2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）證明由已知OPi+OP2=-OP3,兩邊平萬(wàn)得OPiOP2=-,2-E-1同理OP2-OP3=OP3OPi=一，2.I而2|=1辰|二|百可|=V3,從而pip2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)。是正三角形PiP2P3的中心，則顯然有OP；+op2+op3=0且|op；|二|op2|二|op3|.即O是ABC所在平面一點(diǎn)，OP1+Op2+OP3

10、=0且|OPi|=|op2|=|Op3I點(diǎn)。是正PiP2P3的中心.例9.在AABC中，已知QGH分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：QGH三點(diǎn)共線，且QG:GH=i:2【證明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A（0,0）、B（xi,0）、C（x2,y2）,CE、F分別為ABBCAC的中點(diǎn),則有：D(工0)、e(3、瑪、F(巧22222由題設(shè)可設(shè)Q(%)、H(x2,y4),G(包盧4)233C(x2,y2)AH(x2,y4),QFBC(x2xl)VAHBCAT?BCx2(x2x；)y2y40D；B(xi,0y，x2(x2x；)y2,-QFACx2QF?ACx2

11、(，27)y3x2(x2xi)y22QH/xi(x2金,y4丫3)3x2(x2x；)qg(x2x13(2x2X16/yj3x2(x2x1)2x26Xiy2x2(x2Xi)y22y26y23x2(x2x1)y22y2著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心心、垂心的位置關(guān)系：(1)三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線(2)三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一-離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉線”外心、重垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距1=1QH3即QH=3QG,故QGH三點(diǎn)共線，且QGGH=1：【注】：本例如果用平面幾何知識(shí)、向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算處理，都相當(dāng)麻煩，而借用向量的坐標(biāo)形式，將

12、向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起，從而，很多對(duì)稱(chēng)、共線、共點(diǎn)、垂直等問(wèn)題的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。例10.若O、H分別是ABC的外心和垂心.求證OHOAOBOC.證明若4ABC的垂心為H,外心為O,如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于D,連結(jié)AD,CD.ADAB,CDBC.又垂心為H,AHBC,CHAB,.AH/CD,CH/AD,一四邊形AHCD為平行四邊形，.AHDCDOOC,故OH*OAAHOAOBoC.“歐拉定理”的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單，可簡(jiǎn)化成如下的向量問(wèn)題例11.求證設(shè)O、G、H分別是銳角ABC的外心、重心、垂心.證明1OG-OH3按重心定理G

13、是ABC的重心OG1.(OAOBOC)3按垂心定理OHOAOBOC由此可得OG10H.3、與三角形的“四心”有關(guān)的高考連接題及其應(yīng)用例1:(2003年全國(guó)高考題)O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OPOAABAC(|Ab|AC),0,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的()(A)外心(C)重心(B)心(D)垂心事實(shí)上如圖設(shè)AEABab,AFAC+都是單位向重AC易知四邊形AETF是菱形故選答案B例2:(2005年市東城區(qū)高三模擬題)O為ABC所在平面一點(diǎn)，如果oAoBoBOCOCOA,則O必為ABC的()(A)外心(B)心(C)重心(D)垂心事實(shí)上OAOBOBOC(OAOC

14、)OB0CAOB0OBLCA故選答案D例3:已知O為三角形ABC所在平面一點(diǎn)，且滿(mǎn)足OABCOBOC22|AB,則點(diǎn)O是三角形ABC的()(A)外心(B)心(C)重心(D)垂心事實(shí)上由條件可推出OAOBOBOCOCOA故選答案D例4:設(shè)O是平面上一定點(diǎn),C是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OPOA(ABAC),0,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的()(A)外心(B)事實(shí)上AB(ABcosBOHABcosBACcosC(C)重心(D)垂心ACACcosC)?BC(BCBC)故選答案D2005年全國(guó)(I)卷第m(OAOBOC),則實(shí)數(shù)先解決該題:作直經(jīng)BD,連DA,DC,有OB15題ABC的外接圓的圓

15、心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,AHBC,CHAB,故CH/DA,AH/DC故AHCD是平行四邊形，進(jìn)而AHDC,又AOD,DAAB,D*DCBCO*二.HDCOCODOCOBOHOAAHOADC故OHOAOBOC,所以m1評(píng)注：外心的向量表示可以完善為:若O為ABC的外心，H為垂心，則OHOAOBOC。其逆命題也成立。例6.已知向量OP1,OP2,OP3滿(mǎn)足條件0Pl+OP2+OP3=0,10Pl|=|OP2|=|OP3|=1,求證：APiP2P3是正三角形.(數(shù)學(xué)第一冊(cè)(下)，復(fù)習(xí)參考題五B組第6題)1證明：由已知OPi+OP2=-OP3,兩邊平方得OPi-OP2=-,21同理0P2-0P

16、3=OP3,OP1=-,|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=J3,從而PiP2P3是正二角形.反之，若點(diǎn)。是正三角形pp2P3的中心，則顯然有O商+OK+OE=0且|O百|(zhì)=|O記|=|O瓦|,即oabc所在平面一點(diǎn)，OK+OP7+OK=0且曲|=|限|=|0P3|點(diǎn)o是正P1P2P3的中心.四、練習(xí)11_1.已知A、RC是平面上不共線的二點(diǎn)，0是二角形ABC勺重心，動(dòng)點(diǎn)PW足0P=(30A+10B+2oc),322則點(diǎn)P一定為三角形ABCMB)AAB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C重心D.AB邊的中點(diǎn)分析：取AB邊的中點(diǎn)M則OAOB20M,11-1由OP、(OA+-OB

17、+20C)可得30P30M2MC,322.MP2MC,即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過(guò)重心。32 .在同一個(gè)平面上有abc及一點(diǎn)o滿(mǎn)足關(guān)系式：oA2+BC2=0B2+CA2=oc2+ab2,則。為ABC的(D)A.外心B.心C.重心D.垂心3 .已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面一點(diǎn)P滿(mǎn)足：PAPBPC0,則P為ABC(C)A.外心B.心C.重心D.垂心4 .已知0是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：OPOA(ABAC),則P的軌跡一定通過(guò)ABC(C)A.外心B.心C.重心D.垂心5 .已知ABCP為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足：PA?PC

18、PA?PBPB7PC0,則P點(diǎn)為三角形的(D)A.外心B.心C.重心D.垂心6 .已知ABCP為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿(mǎn)足：aPAbPBc?PC0,則P點(diǎn)為三角形的(B)A.外心B.心C.重心D.垂心7 .在三角形ABCf,動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：CA2CB22AB?CP,則P點(diǎn)一定通過(guò)ABC的(B)A.外心B.心C.重心D.垂心8 .非零向量AB與而滿(mǎn)足(金+鳥(niǎo))BC=0且q=L則4ABC為(D)|AB|AC|AB|AC|2A三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形解析：非零向量與滿(mǎn)足(空/J)BC=0,即角A的平分線垂直于BC|AB|AC|.AB=AC又cosAa=1,ZA=_,所以ABC為等邊三角形.|AB|AC|239 .4ABC的外接圓白圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,OHm(oAOBo