1、第六章、概率與概率分布：基礎(chǔ)知識 概率 概率（probability）反映隨機(jī)現(xiàn)象不同結(jié)果的可能性大小，它可以從不同的方面或不同的途徑得到評估，這樣就有了主觀概率（subjective probability）、經(jīng)典概率(classical approach to probability)和經(jīng)驗(yàn)概率(empirical definition of probability)等概率。第六章、概率與概率分布：基礎(chǔ)知識 概率主觀概率是基于個人的經(jīng)驗(yàn)、智慧和對事物的愿望而估計出的概率。例如，我問同學(xué)們中學(xué)生考取一本的概率是多大，一位來自農(nóng)村普通中學(xué)的學(xué)生可能會報告出一個相當(dāng)?shù)偷母怕剩硪晃粊碜猿鞘兄攸c(diǎn)

2、中學(xué)的同學(xué)可能會報告出相當(dāng)大的概率。在不知道具體情況和所有可能的情況下，我們報告的概率只能依賴于個人的經(jīng)驗(yàn)、智慧和愿望，得到的結(jié)果往往不同。 第六章、概率與概率分布：基礎(chǔ)知識 概率經(jīng)典概率，又稱古典概率、先驗(yàn)概率或者數(shù)學(xué)概率，它是某一特殊事件相對所有其他事件出現(xiàn)可能性的數(shù)學(xué)指標(biāo)，是所有可能性或者情況已知的時候通過數(shù)學(xué)知識計算出來的概率。設(shè)p(A)為事件A的概率，f(A)為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，f(非A)為非A事件出現(xiàn)的頻數(shù)，p（A）=f（A）f（A）+f(非A)。例如，從54張牌中隨機(jī)挑選一張，它是K的概率為p（K）=454 。第六章、概率與概率分布：基礎(chǔ)知識 概率經(jīng)驗(yàn)概率是由有限容量的樣本計算出

3、的概率，又稱概率估計值。經(jīng)驗(yàn)概率與經(jīng)典概率的區(qū)別在于，經(jīng)典概率的計算需要知道總體參數(shù)，而經(jīng)驗(yàn)概率只用樣本情況估算。當(dāng)問到拋硬幣正面朝上的概率是多大時，答案50%就是經(jīng)典概率，它反映出無限的情況下，正面朝上的概率是50%。但是，這否意味著我們拋100次硬幣一定有50次正面朝上呢？答案是不能完全肯定的，拋100次硬幣可能不是50次正面朝上，但這個數(shù)應(yīng)該接近50次。 第六章、概率與概率分布：基礎(chǔ)知識 經(jīng)驗(yàn)概率的基礎(chǔ)知識1.樣本空間（sample space）樣本空間是指數(shù)據(jù)收集或?qū)嶒?yàn)過程中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。數(shù)據(jù)收集或?qū)嶒?yàn)過程中，有些現(xiàn)象的數(shù)據(jù)表現(xiàn)為連續(xù)的，還有些現(xiàn)象的數(shù)據(jù)表現(xiàn)為離散的，無論是反映分

4、類的離散數(shù)據(jù)還是反映測量的連續(xù)數(shù)據(jù)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為樣本空間。第六章、概率與概率分布：基礎(chǔ)知識 經(jīng)驗(yàn)概率的基礎(chǔ)知識2.2.隨機(jī)性與立獨(dú)性（隨機(jī)性與立獨(dú)性（random and independentrandom and independent）隨機(jī)性隨機(jī)性意味著一事件出現(xiàn)是不被知曉的，我們最多可以估計意味著一事件出現(xiàn)是不被知曉的，我們最多可以估計它出現(xiàn)的概率，隨機(jī)事件的出現(xiàn)沒有特定模式和穩(wěn)定特它出現(xiàn)的概率，隨機(jī)事件的出現(xiàn)沒有特定模式和穩(wěn)定特征。例如，在拋硬幣過程中，正面朝上事件是不知的，征。例如，在拋硬幣過程中，正面朝上事件是不知的，我們可以估計它的概率是我們可以估計它的概率是50%50

5、%，這樣的事件就具有隨機(jī)，這樣的事件就具有隨機(jī)性。性。立獨(dú)性立獨(dú)性反映兩個事件之間的關(guān)系，立獨(dú)意味著一個事件不影反映兩個事件之間的關(guān)系，立獨(dú)意味著一個事件不影響另一個事件。例如，響另一個事件。例如，2020歲的大學(xué)生的身高就具有隨機(jī)歲的大學(xué)生的身高就具有隨機(jī)性，并且不同人的身高之間也沒有必然的聯(lián)系。性，并且不同人的身高之間也沒有必然的聯(lián)系。第六章、概率與概率分布：基礎(chǔ)知識 經(jīng)驗(yàn)概率的基礎(chǔ)知識3.3.相互排除與相互包含事件相互排除與相互包含事件 （ mutually exclusive events mutually exclusive events vs. mutually inclusive

6、 events vs. mutually inclusive events ）相互排除事件相互排除事件是指在樣本空間中不會同時出現(xiàn)的事件，例如在是指在樣本空間中不會同時出現(xiàn)的事件，例如在美國的民意調(diào)查中，一個被調(diào)查對象不可能既是民主黨又美國的民意調(diào)查中，一個被調(diào)查對象不可能既是民主黨又是共和黨，民主黨和共和黨是兩個相互排除事件。是共和黨，民主黨和共和黨是兩個相互排除事件。相互包含事件相互包含事件是指可以在樣本空間中同時出現(xiàn)的事件，例如在是指可以在樣本空間中同時出現(xiàn)的事件，例如在美國的民調(diào)中，某人既可以是民主黨又可以對某個決定表美國的民調(diào)中，某人既可以是民主黨又可以對某個決定表示同意意見，民主黨

7、與同意意見兩種情況可以在樣本空間示同意意見，民主黨與同意意見兩種情況可以在樣本空間同時發(fā)生，它們就是兩個相互包含事件。同時發(fā)生，它們就是兩個相互包含事件。第六章、概率與概率分布：概率計算規(guī)則 概率的公理概率的公理系統(tǒng)包括以下內(nèi)容：概率不能為負(fù)數(shù)，取值在01之間；必然事件出現(xiàn)的概率為1；不可能事件出現(xiàn)的概率為0。第六章、概率與概率分布：概率計算規(guī)則 概率的加法定理當(dāng)當(dāng)A A和和B B是相互排除事件時，他們同時出現(xiàn)的概率是是相互排除事件時，他們同時出現(xiàn)的概率是0 0，即，即p p（A and BA and B）=0=0，這時，這時A A或或B B出現(xiàn)的概率為：出現(xiàn)的概率為：p(A+B)=pp(A+

8、B)=p（A A）+p+p（B B）。當(dāng)有）。當(dāng)有n n個相互排除事件時，個相互排除事件時，P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+ +P(An)P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+ +P(An)。當(dāng)當(dāng)P(A and P(A and B) 0B) 0時，即時，即A A和和B B 相互包含時，相互包含時，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A+B)=P(A)+P(B) P(A and B)P(A and B)。例如，民調(diào)中，同意為例如，民調(diào)中，同意為40%40%，不同意為，不同意為35%35%，不確定為，不確定為25%25%，由于每個被調(diào)查者只能給出一種意見，同意、反對和不

9、由于每個被調(diào)查者只能給出一種意見，同意、反對和不確定三個事件之間是相互排除，那么，同意和不確定概確定三個事件之間是相互排除，那么，同意和不確定概率為率為0.4+0.25=0.65 0.4+0.25=0.65 。 第六章、概率與概率分布：概率計算規(guī)則 乘法定理當(dāng)當(dāng)A A和和B B 是兩個相互獨(dú)立事件時，它們同時出現(xiàn)的概率等于是兩個相互獨(dú)立事件時，它們同時出現(xiàn)的概率等于兩個事件單獨(dú)出現(xiàn)概率的乘積。兩個事件單獨(dú)出現(xiàn)概率的乘積。即即P(A and B)=P(A)P(A and B)=P(A)P(B) P(B) 。當(dāng)有。當(dāng)有n n個相互獨(dú)立的事件時，個相互獨(dú)立的事件時，P(A1 and A2 and A

10、n)=P(A1) P(A1 and A2 and An)=P(A1) P(A2)P(A2)P(An) P(An) 。例如，有道四選一的單選考試題，靠隨機(jī)指出正確答案的概例如，有道四選一的單選考試題，靠隨機(jī)指出正確答案的概率為率為P(Qi)=1P(Qi)=14=0.25,4=0.25,指對三道題的正確答案的概率就為指對三道題的正確答案的概率就為P(Q1 and Q2 and Q3)=0.25P(Q1 and Q2 and Q3)=0.250.250.250.25=0.01560.25=0.0156第六章、概率與概率分布：概率分布 概率分布的類型1.離散分布與連續(xù)分布 用概率大小來說明變量不同水平

11、或者不同情況出現(xiàn)可能性大小，形成概率分布。根據(jù)所要說明變量是連續(xù)變量還是離散變量，概率分布可以分為離散分布和連續(xù)分布。例如二項(xiàng)分布為離散型概率分布，而正態(tài)分布為連續(xù)型概率分布。第六章、概率與概率分布：概率分布 概率分布的類型2.2.經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布理論分布是基于變量或事件的經(jīng)典概率而形成，或者是指數(shù)學(xué)家構(gòu)想出來的用以解釋統(tǒng)計概念和樣本情況的統(tǒng)計模。經(jīng)驗(yàn)分布是基于有限樣本抽查情況統(tǒng)計出的概率分布。例如，上拋硬幣，正反面朝上的概率各位50%，正反面朝上的概率分別為50%的分布就一個理論分布。如果，我們拋硬幣100次，結(jié)果不一定就是正反面朝上各50次，假設(shè)朝上52次，朝下48次，

12、朝上和朝下的概率分別為52%和48%，這種基于事件經(jīng)驗(yàn)概率形成的分布為經(jīng)驗(yàn)分布。第六章、概率與概率分布：概率分布 概率分布的類型3.3.隨機(jī)變量分布與樣本分布隨機(jī)變量分布與樣本分布隨機(jī)變量分布是指變量各種取值其概率大小分布；樣本分布是指代表性樣本統(tǒng)計指標(biāo)，如平均數(shù)等，其概率大小分布。假設(shè)要研究20歲大學(xué)生的身高情況，我們可以從這個總體中隨機(jī)抽出200人樣本，求出一個平均值。通過抽取200人的樣本來計算平均值的過程，可以不斷反復(fù)，這樣就可以得到無數(shù)個平均值，這無數(shù)個平均值的分布就為樣本分布。第六章、概率與概率分布：正態(tài)分布模型 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布是一個用來描述各種統(tǒng)計概念和經(jīng)驗(yàn)分布的理論概正

13、態(tài)分布是一個用來描述各種統(tǒng)計概念和經(jīng)驗(yàn)分布的理論概率分布，它的分布形狀由下列公式定義：率分布，它的分布形狀由下列公式定義：式中，式中，f f（x x）是某特定值）是某特定值x x的相對概率，的相對概率，x x為觀測值，為觀測值，e e為自為自然對數(shù)的底，然對數(shù)的底，e2.7183e2.7183，是圓周率，是圓周率，3.14163.1416，為為總體平均數(shù)，總體平均數(shù)， 為總體的標(biāo)準(zhǔn)差為總體的標(biāo)準(zhǔn)差第六章、概率與概率分布：正態(tài)分布模型 正態(tài)分布的特征 1.分布圖：正態(tài)分布圖形狀是對稱正態(tài)分布圖形狀是對稱的，取值范圍是：的，取值范圍是：，平均數(shù)、中，平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)相等，數(shù)和眾數(shù)相等，s s3

14、3=0.0 , =0.0 , s s4 4=3.0 =3.0 321.5()(xNxN422()xNxns3=s4=第六章、概率與概率分布：正態(tài)分布模型 正態(tài)分布的特征2.正態(tài)分布是一系列的。其具體形態(tài)由和決定，值的大小決定曲線最高點(diǎn)在橫軸上位置，值決定諸x值圍繞值的分散情況。在一系列的正態(tài)分布中，有一個分布=0，=1（z分?jǐn)?shù)具有=0，=1的特征），該分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其函數(shù)式為：1222zeY= 第六章、概率與概率分布：正態(tài)分布模型 正態(tài)分布的特征.所有正態(tài)分布函數(shù)求積分所得到的正態(tài)分布曲線下的面積為1 ；并且，對所有正態(tài)分布來講，平均數(shù)到距離平均數(shù)相同標(biāo)準(zhǔn)差單位點(diǎn)值圍成的正態(tài)分布曲線下面

15、積相等。例如，1之間的面積約為68%；1.96之間的面積約為95%；3之間的面積約為99.7%。 第六章、概率與概率分布：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表及應(yīng)用 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表結(jié)構(gòu)第一列z為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)或z分?jǐn)?shù)；第二列Y為相應(yīng)z分值處縱坐標(biāo)高度，即得到相應(yīng)z分值的相對概率；陰影部分p為不同z分點(diǎn)到平均值（即0值）之間的面積，表示總體概率分布中0到某z分值之間概率大小。第六章、概率與概率分布：標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)分布表及應(yīng)用 標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)分布表應(yīng)用1.查表求正態(tài)曲線下各部分所包括的面積例：設(shè)一門課程的考試成績符合正態(tài)分布，其：設(shè)一門課程的考試成績符合正態(tài)分布，其 =12=12分，分， =4=4分，問成績在分，問成績在8 8分到分到1

16、616分之間的人數(shù)占全部人數(shù)的百分分之間的人數(shù)占全部人數(shù)的百分之幾？即分值處于該分?jǐn)?shù)段的概率有多大？之幾？即分值處于該分?jǐn)?shù)段的概率有多大？解：將原始分轉(zhuǎn)化為z分?jǐn)?shù)，z8=（812）4=1，z16=（1612）4=1；查正態(tài)分布表，z=1.00時，p=0.3413，由于正態(tài)分布對稱，8到12分之間的概率也為0.3413，故本題答案為68.26%，即8到16分之間人數(shù)占全部人數(shù)的68.26%。第六章、概率與概率分布：標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)分布表及應(yīng)用 標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)分布表應(yīng)用2.2.設(shè)定概率查表求原始分設(shè)定概率查表求原始分 例：用智力測驗(yàn)選擇人才，例：用智力測驗(yàn)選擇人才，IQIQ的均值的均值=100=100，標(biāo)準(zhǔn)差，

17、標(biāo)準(zhǔn)差 =16=16，設(shè)總體設(shè)總體IQIQ分值分布符合正態(tài)，問截處分值分布符合正態(tài)，問截處IQIQ分值在高分端占分值在高分端占5%5%的最低值。的最低值。解：已知高于某點(diǎn)概率為解：已知高于某點(diǎn)概率為0.050.05，那么該點(diǎn)值到均值的概率為，那么該點(diǎn)值到均值的概率為0.450.45；由；由p=0.45p=0.45，查表得到，查表得到z=1.65z=1.65；根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分值定義可；根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分值定義可知，知，z=1.65z=1.65時，原始值時，原始值x=zx=z =1.65=1.651616100=126.4100=126.4第六章、概率與概率分布：t分布模型 中心限制定理中心限制定理（centr

18、al limit theorem ）從任何一個總體（無論正態(tài)還是非正態(tài)）隨機(jī)抽取容量為n的樣本，當(dāng)n足夠大時（n30），樣本平均數(shù)的分布正態(tài)或接近正態(tài)，其分布的平均數(shù)為總體參數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差（平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差常稱為標(biāo)準(zhǔn)誤）為 n第六章、概率與概率分布：t分布模型 t分布提出上世紀(jì)二十年代，年輕的生物學(xué)家 William Gossett以“student”為筆名，發(fā)表關(guān)于小樣本分布的研究成果，解決了有關(guān)小樣本平均數(shù)分布的問題。后來，研究者將他所描述的分布稱為t分布或?qū)W生分布（students distributions ）。t分布理論模型常被用來解釋小樣本分布以及總體參數(shù)不知情況下的樣本分布。 第六

19、章、概率與概率分布：t分布模型 t分布的定義定義：t分布由Gossett提出的密度函數(shù)來定義，它是一組分布，分布形態(tài)由自由度決定。自由度v=n1，即樣本容量減1為自由度。自由度的含義是：當(dāng)容量為n的樣本，其平均數(shù)確定后，如果n1個數(shù)據(jù)確定下來，那么剩下的一個數(shù)據(jù)也就確定下來而不能自由變化，也就是說只有n1個數(shù)據(jù)可以自由變動。第六章、概率與概率分布：t分布模型 t分布的特征由t分布函數(shù)描述的t分布有以下幾個特點(diǎn)：t分布的平均值為0；t分布以平均值0對稱，左側(cè)t為負(fù)，右側(cè)為正；t的取值在之間；當(dāng)n趨向時，t分布為正態(tài)分布，其方差為1；當(dāng)n130時，t分布接近正態(tài)分布，方差大于1；當(dāng)n130時，t分

20、布與正態(tài)分布相差較大。由此，正態(tài)分布可以看成是t分布的極限狀態(tài)或理想狀態(tài)，當(dāng)樣本容量足夠大時，t分布趨向正態(tài)分布，下圖反映這種關(guān)系。第六章、概率與概率分布：t分布模型 t分布形態(tài)圖正態(tài)分布自由度為10的t分布自由度為1的t分布第六章、概率與概率分布：t分布模型 t 統(tǒng)計量當(dāng)總體正態(tài)，樣本代表的總體方差不知時，樣本平均數(shù)的分布符合t分布；另外，當(dāng)總體為非正態(tài)，其方差也不知時，若n30時，樣本平均數(shù)的分布近似為t分布。在總體方差不知時，Gossett指出可用樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差代替總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差，即Sn-1= 是的無偏估計量 當(dāng)n 趨向時，Sn-1等于（而不是S等于）。由此，平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤 =

21、，t= （為總體平均數(shù)），這個樣本統(tǒng)計量t值符合自由度為n-1的t分布。21()1niiXXn1nSnXSxxS第六章、概率與概率分布：t分布模型 t分布表t分布表類似正態(tài)分布表，是統(tǒng)計學(xué)家根據(jù)不同的自由度的t分布函數(shù)計算出來的，它方便實(shí)際研究的應(yīng)用。t分布表具體結(jié)構(gòu)見附表，表的左列為各種自由度；最上一行是指不同自由度下t分布兩側(cè)的概率，分別列出了0.5,0.4，0.3，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01，0.001等；最下一行標(biāo)明的是單側(cè)概率；表中間所列的值是t值，它反映在不同自由度下，t分布兩側(cè)或單側(cè)概率達(dá)到某個水平的t絕對值的最小限度。第六章、概率與概率分布：t分布模型 t分布

22、表應(yīng)用應(yīng)用一：由df（自由度）和p（單或者雙側(cè)概率）查t已知已知df=20，設(shè)定雙側(cè)概率為，設(shè)定雙側(cè)概率為0.05，單側(cè)概率也為，單側(cè)概率也為0.05，查表，查表求求t。通過查表可知， =2.086 ， =1.725。運(yùn)用t分布理論函數(shù)計算的t分布表，我們是這樣解釋樣本分布的：假設(shè)抽樣符合t分布，從總體隨機(jī)抽取容量為21的樣本，通過上述講到的方法計算出樣本的t值，能得到t值大于2.086或者小于負(fù)的2.086的可能性小于5%，能得到大于1.725的 t值的可能性也小于5%。0.052t0.05t第六章、概率與概率分布：t分布模型 t分布表的應(yīng)用 應(yīng)用二：由df和t值查p已知df=17，計算出t

23、=2.567，查表求p。查表可知t=2.567對應(yīng)的雙側(cè)概率為0.02，單側(cè)概率為0.01，在實(shí)際應(yīng)用中，表中可能沒有我們計算出的t值，這時可以用線性內(nèi)插方法或接近原則得到一個p值。一般情況下，我們只需要將t值與0.05或0.01概率水平的t值進(jìn)行比較就行了。第六章、概率與概率分布：卡方分布模型 卡方分布及其特征正態(tài)分布和t分布理論模型主要用來解釋樣本平均數(shù)，并做推論分析的。樣本方差的解釋和推論分析是否也有可以運(yùn)用的分布模型？答案是肯定的?？ǚ椒植季统１挥脕斫忉寴颖镜姆讲?，并做出相關(guān)推論分析的。概率論研究發(fā)現(xiàn)，從正態(tài)總體中隨機(jī)抽取容量為n的樣本的n / 符合自由度為n-1的卡方分布。2s2第六

24、章、概率與概率分布：卡方分布模型 卡方分布及其特征卡方分布的特點(diǎn)卡方分布是由概率論提出的分布函數(shù)定義，它是一族分布，分布的具體形態(tài)由自由度決定；卡方分布是正偏態(tài)分布，隨自由度變化，df很大時它接近正態(tài)分布，當(dāng)df 時， 卡方分布為正態(tài)；卡方值不會是負(fù)，卡方分布取值范圍為0+ ；一些離散型的數(shù)據(jù)統(tǒng)計量的分布近似卡方分布，在離散變量的卡方分析中會具體講解。第六章、概率與概率分布：卡方分布模型 卡方分布表的應(yīng)用 卡方分布表是根據(jù)卡方分布函數(shù)計算出來的（見附表）。表的左列為自由度；最上面一行是概率值，表示某自由度下某卡方值以上的概率；中間部分為卡方值。df=n, 表示自由度為n時，比該值大的卡方值出現(xiàn)概率小于5%。例題例題1、查卡方表、查卡方表df=30, =?， =?查表可知，查表可知， =43.8， =50.9。例題例題2、已知正態(tài)總體的、已知正態(tài)總體的 =10，隨機(jī)抽取樣本，隨機(jī)抽取樣本n=16，樣本方差，樣本方差 = 。問其卡方值是多少？大于該值的概率有多大？問其卡方值是多少？大于該值的概率有多大？x2=n / =16 10=11.010=11.0。查。查df=15df=15的卡方的卡方表，表，2=11.0時，時，P=0.750。因此，隨機(jī)抽樣得到的因此，隨機(jī)抽樣得到的2值大于值大于11.0的概率是的概率是75%。20.0520.0120.0520.0122s11016