1、平面向量數(shù)量積用平面向量數(shù)量積用第1頁/共25頁第2頁/共25頁已知兩個(gè)非零向量a和b，作OA=a， OB=b，則AOB= （0 180）叫做向量a與b的夾角。OBA當(dāng)0時(shí)，a與b同向；OAB當(dāng)180時(shí)，a與b反向；OABB當(dāng)90時(shí)，稱a與b垂直， 記為ab.OAab注意:同起點(diǎn)夾角的范圍：(0180 )第3頁/共25頁FS力F所做的功W可用下式計(jì)算 W=|F| |S|cos 其中是F與S的夾角 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。第4頁/共25頁a b |co s|ab a b | co sabab 規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即 0 0a 注: 1、兩向量的數(shù)量積是一個(gè)

2、數(shù)量，而不是向量，符號(hào)由夾角決定2、 a b不能寫成ab ，ab 表示向量的另一種運(yùn)算符號(hào)“”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，不能省略.a b |co s|ab a b 第5頁/共25頁| co sabab 當(dāng)0 90時(shí) 為正；a b 當(dāng)90 180時(shí) 為負(fù)。a b 當(dāng) =90時(shí) 為零。a b 第6頁/共25頁OO|cos0b O|cos0b |cos0b 2、向量數(shù)量積的幾何意義,OAa OBb 如圖 ，過點(diǎn)B作 垂直于直線OA，垂足為 ，則1B1cosOBb1BBa b OAB1Ba b OAB1Ba b OAB1Bcos.bba定義：叫做向量 在向量 方向上的投影第7頁/共25頁|cosabba

3、數(shù)量積等于與投影的乘積。數(shù)量積等于與投影的乘積。|cosbab 在 上的投影：在 上的投影：|cosaba 在 上的投影：在 上的投影：注：第8頁/共25頁| co sabab cos|) 1 (aeaae0)2(baba|;|)3(bababa 同向時(shí)，同向時(shí)，與與當(dāng)當(dāng)|;|bababa 反向時(shí)，反向時(shí)，與與當(dāng)當(dāng)特別地，2|aaa aaa |或或|cos)4(baba | )5(baba 設(shè)ba、是非零向量，be是與方向相同的單位向量，ea與是的夾角，則第9頁/共25頁(1)a bb a （交換律）（數(shù)乘結(jié)合律）（分配律）(2)()()()aba bab (3)()abca cb c 第10

4、頁/共25頁4、數(shù)量積運(yùn)算律說明： 1 a bcab cabbc 一般地原因： 與 夾角的余弦值不一定等于 與 夾角的余弦值 20 a cb c cabacbc 一般情況下不能得到原因： 與 夾角的余弦值不一定等于 與 夾角的余弦值第11頁/共25頁222(1)()2abaa bb 22(2)() ()ababab 第12頁/共25頁 1100 2 0=03 0 = 4= 50, 0 6 =0 0 7aaBABAaba babababa ba 例 、判斷正誤，并簡要說明理由若則對(duì)任一非零向量 有若，則， 中至少有一個(gè)為 對(duì)任意向量 22 8 b cabcabca bab ，都有若 ，是兩個(gè)單位

5、向量，則第13頁/共25頁 22 1 23 4,005 67a b cacb caba ba bababa bababa ba bababb cacabc 例 、寫出下列正確命題的序號(hào)：已知 ，為非零不共線向量，則若=0,則 若=0 則或若 ,則若,則-不與 垂直、 、 第14頁/共25頁babababa求求：已知例,43)2(;,/) 1 (2, 13，分兩種情況：）由解：（ba/1;2,baba 同向，當(dāng)。反向，當(dāng)2,baba143cos212ba）（第15頁/共25頁8,7,60abCBC CA 解：ABC8760 | 8BC | 7CA 120 120 | |cos120BC CABC

6、CA 18 7 ()282 第16頁/共25頁222| 6,| 4,b60,(2 ) (3 ),() ,|abaa bababababab 已知與 的夾角為，求已知與 的夾角為，求，|cos12a bab 解:解:22|36aa22|16bb(2 ) (3 )abab 226aa bb 22| | | |cos6| |aa bb 72 2()a b 222aa b b 22| |2| | |cos| |aa bb 28 2|a b 2()28a b |a b 282 7 第17頁/共25頁(1)|2,|7,30aba b ，(2)| 10,| 15,45aba b ，(3)|8,|2,135a

7、ba b ，7 375 28 2 第18頁/共25頁4,9,30abCBC CA 解：ABC4930 | 4BC | 9CA 150 150 | |cos150BC CABCCA 34 9 ()18 32 第19頁/共25頁課堂小結(jié)：1、向量的數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量 與 ，它們的夾角為，我們把數(shù)量 叫做 與 的數(shù)量（或內(nèi)積,點(diǎn)乘），即abcosa b abcosa ba b 規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即 0 0a2、向量數(shù)量積的幾何意義| cosabba 數(shù)數(shù) 量量 積積等等 于于與與 投投 影影的的 乘乘 積積 。第20頁/共25頁3、向量數(shù)量積的性質(zhì)a b 設(shè), 都 是 非 零 向 量 ,則1)0aba b 222,|,|a ba baba ba babaaaaa ）當(dāng)當(dāng)同同向向時(shí)時(shí)； 當(dāng)當(dāng)反反向向時(shí)時(shí)； 特特別別的的或或3 |a bab ） 4|a ba bab ）c co os s= =為為 ， 的的夾夾角角第21頁/共25頁4、數(shù)量積運(yùn)算律課堂小結(jié)：(1)