1、函數(shù)的對(duì)稱性函數(shù)的對(duì)稱性有些函數(shù)有些函數(shù) 其圖像有著優(yōu)美的對(duì)稱性，其圖像有著優(yōu)美的對(duì)稱性，同時(shí)又有著優(yōu)美的對(duì)稱關(guān)系式同時(shí)又有著優(yōu)美的對(duì)稱關(guān)系式1-3-1-265432-xx( 1)(1)ff( 2)(2)ff()( )fxf x780 x （偶函數(shù)）（偶函數(shù)）Y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱對(duì)稱知識(shí)回顧知識(shí)回顧l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看，f(-x)=f(x)XY1-3-1-265432782x ( )f x f(x)= f(4-x) f(1)= f(0)= f(-2)= f(310)= f(6)f(4-310)0 x4-xY=f(x)圖像關(guān)

2、于直線圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱對(duì)稱f(3)f(4)l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看，xy f(1+x)= f(3-x) f(2+x)= f(2-x) f(x)= f(4-x) 對(duì)于任意的對(duì)于任意的x你還能得到怎樣的等式？你還能得到怎樣的等式？l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看，Y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱對(duì)稱1-3-1-26543272x ( )f x0 x4-xYx-2-x1-3-1-26543278x=-1 f(x)= f(-2-x)x思考思考?若若y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=-1對(duì)稱對(duì)稱Yx-1

3、+x-1-x1-3-1-26543278x=-1 f(-1+x)= f(-1-x)思考思考?若若y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=-1對(duì)稱對(duì)稱 f(x)= f(-2-x)Yx若若y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱 f(x)=f(2a-x)xa f(a-x)=f(a+x)xa在在y=f(x)圖像上任取一點(diǎn)圖像上任取一點(diǎn)P點(diǎn)點(diǎn)P關(guān)于直線關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P則有則有P的坐標(biāo)應(yīng)滿足的坐標(biāo)應(yīng)滿足y=f(x)也在也在f(x)圖像上圖像上P(x0,f(x0)PP(2a-x0,f(x0) f(x0)=f(2a-x0)即：即： f(x)=f(2a-x)x02a-x0 y=f(x

4、)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱（代數(shù)證明）（代數(shù)證明） ()求證求證已知已知 y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱 f(x)=f(2a-x)xa在在y=f(x)圖像上任取一點(diǎn)圖像上任取一點(diǎn)P若點(diǎn)若點(diǎn)P關(guān)于直線關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P也在也在f(x)圖像上圖像上P(x0,f(x0)PP(2a-x0,f(x0) f(x0)=f(2a-x0) f(x)=f(2a-x)x02a-x0 y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱（代數(shù)證明）（代數(shù)證明） ()已知已知求證求證 y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱 則則y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直

5、線x=a對(duì)稱對(duì)稱? f(x)=f(2a-x)P在在f(x)的圖像上的圖像上ly=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱 f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)ly=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱對(duì)稱 f(x)=f(-x)特例：特例：a=0軸對(duì)稱性軸對(duì)稱性思考？思考？ 若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)=f(b+x),則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱 a+b2x= 直線直線xa-xxxyof(-x)=-f(x) y=f(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱中心對(duì)稱中心對(duì)稱性中心對(duì)稱性類比探究類比探究 al從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的

6、角度看，的角度看，f(x)=-f(2a-x)xyo a y=f(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱中心對(duì)稱l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看，中心對(duì)稱性中心對(duì)稱性類比探究類比探究x2a-xf(x)=-f(2a-x)f(a-x)=-f(a+x)xyo al從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看，中心對(duì)稱性中心對(duì)稱性類比探究類比探究 a+x a-x y=f(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱中心對(duì)稱baf(a+x)=2b-f(a-x)f(2a-x)=2b-f(x)b中心對(duì)稱性中心對(duì)稱性 y=f(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于(a,b)中心對(duì)稱

7、中心對(duì)稱類比探究類比探究xyo思考？思考？(1)若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)=-f(b+x), (2)若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)=2c-f(b+x),則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱 a+b2( ,0 )點(diǎn)點(diǎn)則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱 a+b2( ,C )點(diǎn)點(diǎn)-x x 函數(shù)圖像關(guān)于直線函數(shù)圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱對(duì)稱f(-x)=f(x) 函數(shù)圖像關(guān)于直線函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱f(a-x)=f(a+x) x=af(x)=f(2a-x)函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱中心對(duì)稱函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱中心對(duì)稱f(-x)=-f(x)

8、f(a-x)=-f(a+x)f(x)=-f(2a-x)軸對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)稱性中心對(duì)稱性a練習(xí)練習(xí):(1)若若y=f(x)滿足滿足f(-2-x)=f(-2+x),則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱(2)若若y=f(x)滿足滿足f(3-x)=f(4+x)(4)若若y=f(x)滿足滿足f(3-x)=-f(4+x)(3)若若y=f(x)滿足滿足f(-2-x)=-f(-2+x),(5)若若y=f(x)滿足滿足f(3-x)=3-f(4+x) 函數(shù)圖象是研究函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具函數(shù)的重要工具,它能它能為所研究函數(shù)的數(shù)量為所研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系及其圖象特征提關(guān)系及其圖象特征提供一種供一種”形形”的直

9、觀的直觀體現(xiàn)體現(xiàn),是利用是利用”數(shù)形結(jié)數(shù)形結(jié)合合”解題的重要基礎(chǔ)解題的重要基礎(chǔ).描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法:描點(diǎn)法描點(diǎn)法;(通過(guò)列表通過(guò)列表描點(diǎn)描點(diǎn)連線三個(gè)步驟完成連線三個(gè)步驟完成)圖象變換圖象變換;(即一個(gè)圖象經(jīng)過(guò)變換得到另一個(gè)與即一個(gè)圖象經(jīng)過(guò)變換得到另一個(gè)與之相關(guān)的函數(shù)圖象的方法之相關(guān)的函數(shù)圖象的方法) 函數(shù)圖象的三大變換函數(shù)圖象的三大變換平移對(duì)稱對(duì)稱伸縮伸縮問(wèn)題問(wèn)題1：如何由：如何由f(x)=x2的圖象得到下列各函的圖象得到下列各函數(shù)的圖象？數(shù)的圖象？（1）f(x-1)=(x-1)2（2）f(x+1)=(x+1)2（3）f(x)+1=x2+1（4）f(x) -1

10、=x2-1Oyxy=f(x-1)y=f(x+1)y=f(x)-1y=f(x)+1函數(shù)圖象的平移變換：函數(shù)圖象的平移變換：左右平移左右平移y=f(xy=f(x) )y=f(x+ay=f(x+a) )a0,向左平移a個(gè)單位a0,向右平移|a|個(gè)單位上下平移y=f(xy=f(x) )y=f(x)+ky=f(x)+kk0,向上平移k個(gè)單位11-1-1同步練習(xí)同步練習(xí):若函數(shù)若函數(shù)f(x)恒過(guò)定點(diǎn)恒過(guò)定點(diǎn)(1,1),則函數(shù)則函數(shù)f(x-4)-2恒過(guò)恒過(guò)定點(diǎn)定點(diǎn) .若函數(shù)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x=1對(duì)稱對(duì)稱,則函數(shù)則函數(shù)f(x-4)-2關(guān)于直線關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱.(5,-1)x=5問(wèn)題問(wèn)題2. 設(shè)

11、f(x)= (x0)，求函數(shù)y=-f(x)、y=f(-x)、y=-f(-x)的解析式及其定義域，并分別作出它們的圖象。x1x xyo1y=f(x)x xyo1y=f(x)x xyo1y=f(x)y=-f(x)y=f(-x)y=-f(-x)對(duì)稱變換對(duì)稱變換（1）y=f(x)與與y=f(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對(duì)稱；對(duì)稱； （2）y=f(x)與與y=-f(x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對(duì)稱；對(duì)稱； （3）y=f(x)與與y=-f(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對(duì)稱；對(duì)稱； x 軸y 軸原 點(diǎn) 練習(xí)：說(shuō)出下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)練習(xí)：說(shuō)出下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)y=2y=2x x的的圖象的關(guān)系，并畫出

12、它們的示意圖圖象的關(guān)系，并畫出它們的示意圖. .(1)y=2-x(2)y=-2x(3)y=-2-xOyOyOy11-11-1xxx1.函數(shù)函數(shù)y=f(-x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱2.函數(shù)函數(shù)y=-f(x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱3.函數(shù)函數(shù)y=-f(-x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱4.函數(shù)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱函數(shù)圖象對(duì)稱變換的規(guī)律函數(shù)圖象對(duì)稱變換的規(guī)律:思考思考:“函數(shù)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(2a-x)的圖像關(guān)于直線

13、的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱”與與“函數(shù)函數(shù)y=f(x)滿足滿足f(x)= f(2a-x),則函數(shù)則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱”兩者間有何區(qū)別兩者間有何區(qū)別? 對(duì)稱變換是指對(duì)稱變換是指兩個(gè)兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系函數(shù)圖象之間的對(duì)稱關(guān)系,而而”滿足滿足f(x)= f(2a-x)或或f(a+x)= f(a-x)有有y=f(x)關(guān)于直線關(guān)于直線x=a對(duì)稱對(duì)稱”是指是指一個(gè)一個(gè)函數(shù)自身的性質(zhì)屬性函數(shù)自身的性質(zhì)屬性,兩者不可混為一談兩者不可混為一談.x=a問(wèn)題問(wèn)題3：分別在同一坐標(biāo)系中作出下列各組函：分別在同一坐標(biāo)系中作出下列各組函數(shù)的圖象，并說(shuō)明它們之間有什么關(guān)系？數(shù)的圖象，并說(shuō)

14、明它們之間有什么關(guān)系？（1）y=2x與與y=2|x|Oxy由由y=f(x)的圖象作的圖象作y=f(|x|)的圖象：的圖象：y=2x 保留保留y=f(x)中中y軸右側(cè)部分，軸右側(cè)部分，再加上再加上y軸右側(cè)部分軸右側(cè)部分關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱的圖形的圖形.1y=2|x|22(2)23|23|yxxyxx與Oyx-414-1由由y=f(x)的圖象作的圖象作y=|f(x)|的圖象：的圖象： 保留保留y = = f( (x) )在在 x 軸上方部分，再加上軸上方部分，再加上x軸軸下方部分關(guān)于下方部分關(guān)于x軸軸對(duì)稱到上方的圖形對(duì)稱到上方的圖形函數(shù)圖象的對(duì)稱變換規(guī)律：函數(shù)圖象的對(duì)稱變換規(guī)律：（1）y=f(x

15、)y=f(x+a)a0,a0,向左平移向左平移a a個(gè)單位個(gè)單位a0,a0,k0,向上平移向上平移k k個(gè)單位個(gè)單位k0,k0,向下平移向下平移|k|k|個(gè)單位個(gè)單位（1）y=f(x)與與y=-f(x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對(duì)稱；對(duì)稱； （2）y=f(x)與與y=f(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對(duì)稱；對(duì)稱； （3）y=f(x)與與y=-f(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 對(duì)稱；對(duì)稱； 函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律：函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律：(4)(4)由由y=f(xy=f(x) )的圖象作的圖象作y=f(|xy=f(|x|)|)的圖象：保留的圖象：保留y=f(xy=f(x) )中中 部分，再加上這部分關(guān)于

16、部分，再加上這部分關(guān)于 對(duì)稱的圖對(duì)稱的圖形形. .(6)(6)由由y=f(xy=f(x) )的圖象作的圖象作y=|f(xy=|f(x)|)|的圖象：保留的圖象：保留y=f(xy=f(x) )中中 部分，再加上部分，再加上x x軸下方部分關(guān)于軸下方部分關(guān)于 對(duì)對(duì)稱的圖形稱的圖形. .x軸軸y軸軸原點(diǎn)原點(diǎn)y y軸右側(cè)軸右側(cè)y y軸軸x x軸上方軸上方x x軸軸左右平移 練習(xí)：已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所，分別畫出下列函數(shù)的圖象：yox1-1-212-0.5(1) y = f(-x); (2) y = - f(x).yox1-1-212-0.5 y = f(-x)yox-1-1-2120.5 y

17、 = - f(x)(3) y = f(|x|); (4) y = |f(x)|. 練習(xí)：已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所，分別畫出下列函數(shù)的圖象：yox1-1-212-0.5(1) y = f(-x); (2) y = - f(x).(3) y = f(|x|); (4) y = |f(x)|.yox1-1-212-0.5yox1-1-212-0.5例例1.將函數(shù)將函數(shù)y=2-2x的圖象向左平移的圖象向左平移1個(gè)單位，再作關(guān)于個(gè)單位，再作關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形后原點(diǎn)對(duì)稱的圖形后.求所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式求所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.y=2-2xy=2-2(x+1)-y=2-2(-x+1)y=-22

18、x-2向左平移向左平移1個(gè)單位個(gè)單位關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱x換成換成-xy換成換成-yx 換成換成 x+1例例2.已知函數(shù)已知函數(shù)y=|2x-2| （1）作出函數(shù)的圖象；）作出函數(shù)的圖象；（2）指出函數(shù)）指出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；（3）指出）指出x取何值時(shí)，函數(shù)有最值。取何值時(shí)，函數(shù)有最值。 Oxy3211-1y=2x y=2x-2 y=|2x-2| y=|2x-2|例例2.已知函數(shù)已知函數(shù)y=|2x-2| （1）作出函數(shù)的圖象；）作出函數(shù)的圖象；（2）指出函數(shù)）指出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；（3）指出）指出x取何值時(shí)，函數(shù)有最值。取何值時(shí)，函數(shù)有最值。 Oxy3211-1y=|2x-2|0 xxa 變式:1.討論關(guān)于 的方程|2