1、1.1.11.1.1變化率問(wèn)題變化率問(wèn)題 問(wèn)題問(wèn)題1 氣球膨脹率氣球膨脹率 我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢如何描述這種現(xiàn)象呢?v氣球的體積氣球的體積V與半徑與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系是之間的函數(shù)關(guān)系是34( )3V rrv將半徑將半徑r表示為體積表示為體積V的函數(shù)的函數(shù)33( )4Vr Vv當(dāng)當(dāng)V從從0增加到增加到1時(shí)時(shí),氣球半徑增加了氣球半徑增加了氣球的平均氣球的平均膨脹率膨脹率為為v當(dāng)當(dāng)V從從1增加到增

2、加到2時(shí)時(shí),氣球半徑增加了氣球半徑增加了氣球的平均氣球的平均膨脹率膨脹率為為(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/ )1 00.62rrdm L(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/ )2 10.16rrdm L顯然顯然0.620.1633( )4Vr V 隨著氣球體積逐漸隨著氣球體積逐漸變大變大,它的平均膨脹率逐它的平均膨脹率逐漸變小。漸變小。思考思考? 當(dāng)空氣容量從當(dāng)空氣容量從V1增加到增加到V2時(shí)時(shí),氣球的平氣球的平均膨脹率是多少均膨脹率是多少?2121()()r Vr VVV問(wèn)題問(wèn)題2 高臺(tái)跳水高臺(tái)跳水 在在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于

3、水面的高度的高度h(h(單位：米單位：米) )與起跳后的時(shí)間與起跳后的時(shí)間t t（單（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系位：秒）存在函數(shù)關(guān)系 h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. hto請(qǐng)計(jì)算00.52:ttv 和1時(shí)的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10(0.5)(0)00.54.05( / )0.5 0(2)(1)28.2( / )2 1hhtvm shhtvm s 在這段時(shí)間里，在1這段時(shí)間里， 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在 這段時(shí)間里的平均速度這段時(shí)間里的平均速度,并思考下面的問(wèn)題并思考下面的問(wèn)題:65049t 探究探究:(1) 運(yùn)動(dòng)員在這

4、段時(shí)間里是靜止的嗎運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?(2) 你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎?65()(0)1049hh0hvt 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能準(zhǔn)確反映平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài)他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài).平均變化率定義平均變化率定義:設(shè)設(shè)x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1)121)()f xxx2f(xl上述問(wèn)題中的變化率可用式子上述問(wèn)題中的變化率可用式子 表示表示稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)從從x1到到x2的的平均變化率平均變化率思考思考? 觀察函數(shù)觀察函數(shù)f(x)的圖象的圖象平均變

5、化率平均變化率表示什么表示什么?121)( )f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直線直線AB的斜率的斜率1 、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)及臨近一點(diǎn)B(-1+x,-2+y),則則y/x=( ) A 、3 B、 3x-(x)2 C、 3-(x)2 D 、3-x 2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均速度附近的平均速度. 2x0+x 練習(xí)1.1.2導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在 這段時(shí)間里的平均速度這段時(shí)間里的平均速度,并思考下面的問(wèn)題并思考下面的問(wèn)題

6、:65049t 探究探究:(1) 運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?(2) 你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎?65()(0)1049hh0hvt 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能準(zhǔn)確反映平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài)他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài).我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度. 如何求如何求瞬時(shí)速度呢瞬時(shí)速度呢?如何求（比如如何求（比如t t=2=2時(shí)）瞬時(shí)速度？時(shí)）瞬時(shí)速度？通過(guò)列表看出平均速度的變化趨勢(shì)通過(guò)列表看出平均速度的變化趨勢(shì) ：當(dāng)

7、當(dāng)t趨近于趨近于0時(shí)時(shí),平均平均速度有什么變化趨勢(shì)速度有什么變化趨勢(shì)?1 .13 )2()2(lim0ththt 從物理的角度看從物理的角度看, 時(shí)間間隔時(shí)間間隔 |t |無(wú)限變小時(shí)無(wú)限變小時(shí), 平均速度平均速度 就無(wú)限趨近于就無(wú)限趨近于 t = 2時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)的瞬時(shí)速度. 因此因此, 運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)員在 t = 2 時(shí)的時(shí)的瞬時(shí)速度是瞬時(shí)速度是 13.1.v表示表示“當(dāng)當(dāng)t =2, t趨近于趨近于0時(shí)時(shí), 平均速度平均速度 趨近于確定值趨近于確定值 13.1”.v從從2s到到(2+t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度這段時(shí)間內(nèi)平均速度tthv9 . 41 .13定義定義:函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在

8、在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率是處的瞬時(shí)變化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 記作記作f(x0). )()(lim)(0000 xxfxxfxfx或或 y|x=x0, 即即（1）f(x0)與與x0 的的值有關(guān)值有關(guān), 不同的不同的x0其導(dǎo)數(shù)值一般也不同；其導(dǎo)數(shù)值一般也不同；f(x0)與與x的具體的具體值無(wú)關(guān)。值無(wú)關(guān)。（2）瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同一概念的兩個(gè)名稱。）瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同一概念的兩個(gè)名稱。由導(dǎo)數(shù)的定義可知由導(dǎo)數(shù)的定義可知, 求函數(shù)求函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法的導(dǎo)數(shù)的一

9、般方法:1. 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量2. 求平均變化率求平均變化率3. 求值求值);()(00 xfxxff.lim)(00 xfxfx;)()(00 xxfxxfxf一差、二化、三極限一差、二化、三極限例例1:(1)求函數(shù)求函數(shù)y=x2在在x=1處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù); (2)求函數(shù)求函數(shù)y=x+1/x在在x=2處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).,)2( 2)212(21)2() 2(xxxxxy ,)2( 211)2( 2xxxxxxy .43|,43411)2( 211 limlim200 xxxyxxy.,21| ,:2000的的值值求求且且處處附附近近有有定定義義在在已已知知函函數(shù)數(shù)例例xyxxxy

10、xx ,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211limlim00000 xxxxxyxx . 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由 例例3 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱. 如果第如果第 x h時(shí)時(shí), 原油的溫度原油的溫度(單單位位: )為為 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 計(jì)算第計(jì)算第2h和第和第6h, 原油溫度的瞬時(shí)變化率原油溫度的瞬時(shí)變化率, 并說(shuō)明它們的意義并說(shuō)明它們的意義.C解解:

11、 在第在第2h和第和第6h時(shí)時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率就是原油溫度的瞬時(shí)變化率就是)2(f ).6(f 和和xfxf)2()2(根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,37)(42xxxxx所以所以,. 3)3(limlim)2(00 xxffxx同理可得同理可得. 5)6( f 在第在第2h和第和第6h時(shí)時(shí), 原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為3和和5. 它說(shuō)它說(shuō)明在第明在第2h附近附近, 原油溫度大約以原油溫度大約以3 / h的速率下降的速率下降; 在第在第6h附近附近,原油溫度大約以原油溫度大約以5 / h的速率上升的速率上升.CC 例例3 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同

12、產(chǎn)品將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱. 如果第如果第 x h時(shí)時(shí), 原油的溫度原油的溫度(單單位位: )為為 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 計(jì)算第計(jì)算第2h和第和第6h, 原油溫度的瞬時(shí)變化率原油溫度的瞬時(shí)變化率, 并說(shuō)明它們的意義并說(shuō)明它們的意義.C 練習(xí)練習(xí): : 計(jì)算第計(jì)算第3h和第和第5h時(shí)原油的瞬時(shí)變化率時(shí)原油的瞬時(shí)變化率, 并說(shuō)并說(shuō)明它們的意義明它們的意義.課堂練習(xí)課堂練習(xí):如果質(zhì)點(diǎn)如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律按規(guī)律s=2t3則在則在t=3s時(shí)的時(shí)的瞬時(shí)速度為瞬時(shí)速度為A.6 B.18 C.54 D.81小

13、結(jié)：求函數(shù)小結(jié)：求函數(shù) y = f (x)的導(dǎo)數(shù)的定義方法的導(dǎo)數(shù)的定義方法:1. 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量2. 求平均變化率求平均變化率3. 求值求值);()(00 xfxxff.lim)(00 xfxfx;)()(00 xxfxxfxf一差、二化、三極限一差、二化、三極限:)(40處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)、xxfy 00)()(lim0 xxxfxfxx.)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 例例4:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)處可導(dǎo),求下列各極限值求下列各極限值:.2)()(lim)2(;)()(lim) 1 (000000hhxfhxfxxfxxfhx );()

14、()(lim)()()(lim)1(0000000 xfxxfxxfxxfxxfxx 原原式式解解：).( )( )( 21)()(lim)()(lim212)()()()(lim)2(00000000000000 xfxfxfhxfhxfhxfhxfhxfhxfxfhxfhhh 原原式式練習(xí)練習(xí)1:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)處可導(dǎo),求下列各極限值求下列各極限值:xxftxxfxxfxmxfxx )()(lim)2( ;)()(lim) 1 (000000).(1)2();()1(00 xftxfm 答答案案：導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 一般地，已知函數(shù)一般地，已知函數(shù)y= =f

15、( (x) )的圖象是如圖所示的曲線的圖象是如圖所示的曲線C C，P ( (xo, yo），），Q( (xo ox, , yo ox) )是曲線上的兩點(diǎn)是曲線上的兩點(diǎn), ,當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)Q沿沿著曲線無(wú)限接近于點(diǎn)著曲線無(wú)限接近于點(diǎn)P，即，即x 0 0時(shí)，如果割線時(shí)，如果割線PQ無(wú)限無(wú)限趨近于一個(gè)極限位置趨近于一個(gè)極限位置PT，那么直線那么直線PT叫做曲線在點(diǎn)叫做曲線在點(diǎn)P處的切處的切線線. .此時(shí)，割線此時(shí)，割線PQ的斜率的斜率 無(wú)限趨近于切線無(wú)限趨近于切線PT的斜率的斜率k，也就是說(shuō)，當(dāng)也就是說(shuō)，當(dāng)x 0 0時(shí)，時(shí)，割線割線PQ的斜率的斜率 的的極限為極限為k. .xykPQxykPQ 切線切線導(dǎo)數(shù)

16、的幾何意義: 函數(shù)在函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)f1(x)的幾何意義的幾何意義, 是曲線是曲線y=f(x)在在(x0,f(x0) )點(diǎn)處的點(diǎn)處的斜斜 率率,即即:00000()( )( ) limlimxxf xxf xykf xxx 切 線）的切線方程過(guò)點(diǎn)（，求雙曲線例1. 141)2(4121.4121241221lim121lim22lim000 xyxyxxxxxfxfxxx，即即故故所所求求切切線線方方程程為為）的的切切線線斜斜率率為為，（所所以以，這這條條雙雙曲曲線線過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)，）（）（）（解解：因因?yàn)闉?例題例題.12與與切切點(diǎn)點(diǎn)無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)所所圍圍成成的的三三角角形形的的面面積積與與坐

17、坐標(biāo)標(biāo)軸軸圖圖象象的的一一條條切切線線，證證明明是是設(shè)設(shè)例例lxyl ).(2|1|12|212010)(1:1. 110000000002000020020000000與切點(diǎn)無(wú)關(guān)與切點(diǎn)無(wú)關(guān)）（形的面積形的面積與坐標(biāo)軸所圍成的三角與坐標(biāo)軸所圍成的三角則則，得，得令令，得，得令令，為為，所以，所以）（的斜率的斜率由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知?jiǎng)t則圖象上任一點(diǎn)，圖象上任一點(diǎn)，）是）是）（）（，（分析：設(shè)分析：設(shè) yxyxxSlxxyxxyyxyxxxxyylxxfklyxxyxyxP3 3、判斷曲線、判斷曲線y=2=2x2 2在點(diǎn)在點(diǎn)P(1,2)(1,2)處是否有切線，如果有，求處是否有切線，如果有，求出切線的方程出切線的