1、2022-5-17離散數(shù)學(xué)1第二十一章環(huán)與域2022-5-17離散數(shù)學(xué)2目錄n群是只有一種二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)。本章介紹具有兩種二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)環(huán)與域：n21.1 環(huán)與子環(huán)n21.2 環(huán)同態(tài)n21.3 域的特征質(zhì)域n21.4 有限域n21.5 有限域的結(jié)構(gòu)2022-5-17離散數(shù)學(xué)321.1 環(huán)與子環(huán)2022-5-17離散數(shù)學(xué)4環(huán)的定義n定義21.1.1：設(shè)R是非空集合，其中定義了加法和乘法兩種封閉運(yùn)算。如果對a, b,cR，有n(1)a+b = b+a；n(2)a+(b+c)=(a+b)+c；n(3)0R使a+0=a，稱0為零元；n(4)對aR，aR，使a+(a)=0，稱a為a的負(fù)元； n(

2、5)a(bc)=(ab)cn(6)a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bcn則稱R是一個(gè)環(huán)。加法滿足交換律加法滿足結(jié)合律加法有單位元加法有逆元乘法滿足結(jié)合律乘法對加法滿足分配律2022-5-17離散數(shù)學(xué)5環(huán)的概念n環(huán)是具有兩個(gè)封閉運(yùn)算的非空集合；n其中加法具有結(jié)合律、單位元、逆元和交換律，因而是一個(gè)交換群；n而對乘法只具備封閉性和結(jié)合律。具有一種封閉且滿足結(jié)合律的運(yùn)算的非空集合稱為半群，于是環(huán)對乘法構(gòu)成半群。n兩種運(yùn)算的聯(lián)系是乘法對加法具有分配律，包括左右分配律。因乘法不一定滿足交換律。n可以說，環(huán)是同一集合上的交換群和半群的結(jié)合，結(jié)合的紐帶是半群的運(yùn)算對交換群的運(yùn)算具有分配律。2

3、022-5-17離散數(shù)學(xué)6環(huán)的舉例n例1：整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R和復(fù)數(shù)集C對于普通的加法和乘法作成環(huán)。其中Z稱為整數(shù)環(huán)。n例2：設(shè)S為集合，則冪集(S)對于集合的對稱差運(yùn)算和交運(yùn)算作成環(huán)，稱為S的子集環(huán)。n例3：所有實(shí)數(shù)n階方陣作成的集合，對矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)7環(huán)的幾個(gè)運(yùn)算性質(zhì)n定理21.1.1：設(shè)R是環(huán)，a, b, cR，有：n(1)0a = a0 = 0;n(2)a(b) = (a)b = (ab);n(3) (a)(b) = ab;n(4)a (bc) = abac;n(5) (bc)a = baca。2022-5-17離散數(shù)學(xué)8零元乘任何元為

4、零元n證明：因?yàn)?a = (0 + 0)a = 0a + 0a，所以由消去律得0a = 0。n 同理可得a0 = 0。n 由此可以看到，零元(加法的單位元)乘以任何元素或任何元素乘以零元都等于零元。n 這說明普通乘法中的零乘以任何數(shù)等于零的原則在所有的環(huán)中都成立。2022-5-17離散數(shù)學(xué)9乘積中負(fù)號(hào)可隨意挪動(dòng)n證明：a(b)+ab = a(b + b) = a0 = 0，a(b)與ab互為逆元，即a(b) = (ab)。n 同理可得(a)b = (ab)。n 這個(gè)性質(zhì)說明乘積中的負(fù)號(hào)(求加法的逆元)的位置可以隨意挪動(dòng)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)10負(fù)負(fù)得正n證明：因?yàn)橛煞峙渎傻茫簄 a(b)

5、+(a)(b) = a+(a)(b) = 0(b)=0n 且a(b)+ab = a(b) + b = a0 = 0n所以a(b)+(a)(b) = a(b) + ab。n再由消去律得(a)(b)= ab。n這個(gè)性質(zhì)說明在環(huán)中，兩個(gè)元素的乘積等于它們的負(fù)元的乘積，即負(fù)負(fù)得正。2022-5-17離散數(shù)學(xué)11乘法對減法的分配律n證明： a(b c) = ab + (c)n = ab + a(c)n = ab + (ac)n = ab ac。n 類似地可證明(a b)c = ac bc。n性質(zhì)(4)和性質(zhì)(5)說明環(huán)中乘法對減法的左右分配律都是成立的。 2022-5-17離散數(shù)學(xué)12分配律的推廣n用數(shù)

6、學(xué)歸納法，不難將分配律推廣如下：a(b1+b2+bn)=ab1+ab2+abn；(a1+a2+an)b=a1b+a2b+anb。n同時(shí)也不難得出如下的公式：(a1+a2+am)(b1+b2+bn) = aibj，n其中，1im，1jn。2022-5-17離散數(shù)學(xué)13倍運(yùn)算和冪運(yùn)算n設(shè)R是環(huán)，a, bR，對任意正整數(shù)m, n，有：n加法的冪運(yùn)算(又稱為倍運(yùn)算)：ma = a + +a = a，(一共有m個(gè)a)a(mb) = (ma)b = m(ab) = mab。n乘法的冪運(yùn)算：am+n = aman (第一指數(shù)律); (am)n = amn (第二指數(shù)律)。n由R中乘法的性質(zhì)，可分別定義一些特

7、殊的環(huán)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)14交換環(huán)n定義21.1.2：設(shè)R是環(huán)，若R的乘法也滿足交換律，即 ab = ba，a, bR，則稱R是個(gè)交換環(huán)。n顯然，對于交換環(huán)，還滿足第三指數(shù)律，即對a, bR，n1，有(ab)n = anbn (第三指數(shù)律)。n而且由數(shù)學(xué)歸納法可證明二項(xiàng)式定理：(a+b)n = an + Cn1an1b + Cn2an2b2 + + bn。n 前述的例1和例2中的環(huán)都是交換環(huán)，但例3即所有實(shí)數(shù)n階方陣作成的集合，對矩陣的加法和乘法構(gòu)成的環(huán)不是交換環(huán)。 . 2022-5-17離散數(shù)學(xué)15含幺環(huán)n定義21.1.3：設(shè)R是環(huán)，|R|1。若存在元素1R，使得對于任意aR，有1

8、a = a1 = a，n則稱R為含幺環(huán)，其中1稱為幺元。n所謂含幺環(huán)就是乘法也具備單位元的環(huán)，乘法的單位元就稱為幺元。n例1中的環(huán)都是含幺環(huán)，其幺元為整數(shù)1；例2中S的子集環(huán)也是含幺環(huán)，其幺元為S；例3中的環(huán)也是含幺環(huán)，幺元為n階單位方陣。2022-5-17離散數(shù)學(xué)16無零因子環(huán)n定義21.1.4：設(shè)R是環(huán)，若對任意a, bR，由a0，b0必有ab0，則稱R為無零因子環(huán)。n所謂環(huán)的零因子就是滿足a0，b0但ab = 0的R中的元素a，b。n所有實(shí)數(shù)的n階方陣構(gòu)成的環(huán)中就存在著零因子。例如，令n=2，則因?yàn)?0 1 1 1 0 00 1 0 0 0 0n故 和 都是零因子。0 1 1 1 0 1

9、 0 0 2022-5-17離散數(shù)學(xué)17無零因子環(huán)就是消去環(huán)n命題21.1.1：環(huán)R無零因子，當(dāng)且僅當(dāng)R中的乘法滿足消去律。n證明：設(shè)R無零因子。若ab = ac且a0，則有a(bc) = 0。因R無零因子，而 a0，故必有 (b c) = 0，從而b=c。同理可證，若ac = bc且c0，則有a=b。因此消去律成立。n 反之，設(shè)消去律成立。設(shè)a0且b0，若ab=0，則有ab=a0。由a0和消去律即得b=0。矛盾。故ab0，從而R中無零因子。n環(huán)中的乘法只是一個(gè)半群，不作成群，因而環(huán)中的乘法一般都不滿足消去律。n乘法也滿足消去律的環(huán)稱為消去環(huán)。所以無零因子環(huán)又稱為消去環(huán)。n無零因子環(huán)對于乘法是

10、否也作成群呢？n不！滿足消去律不能保證能作成群。只有在集合是一個(gè)有限集合時(shí)，才能作成群。2022-5-17離散數(shù)學(xué)18整環(huán)n定義21.1.5：含幺且無零因子的交換環(huán)稱為整環(huán)。n整環(huán)是含幺環(huán)、交換環(huán)和無零因子環(huán)的綜合，因此，整環(huán)自然就n(1)乘法有單位元；n(2)乘法滿足交換律；n(3)無零因子；n(4)乘法滿足消去律。n例1中的環(huán)都是整環(huán)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)19 環(huán)R中的乘法只是一個(gè)半群，不作成群。那么R中全體元素是否能夠?qū)Τ朔ㄒ沧鞒梢粋€(gè)群呢？ R中全體元素不能夠?qū)Τ朔ㄗ鞒梢粋€(gè)群。 因?yàn)镽中有一個(gè)零元 0。零元乘以任何元素都等于零元，也就不可能有任何元素和零元相乘等于幺元(乘法的單位元

11、)，所以零元不可能有逆元。 但是R中除去零元后的元素卻能夠?qū)Τ朔ㄗ鞒梢粋€(gè)群。體和域n定義21.1.5：設(shè)R是環(huán)。如果R0對乘法作成一個(gè)群則稱R為體。如果體R對乘法可交換，則稱R為域。n例如，所有有理數(shù)、所有實(shí)數(shù)、所有復(fù)數(shù)分別作成的環(huán)都是域。n而所有整數(shù)作成的環(huán)不是域，因?yàn)閆 0不是群。這說明整環(huán)不一定是域。2022-5-17離散數(shù)學(xué)20域必是整環(huán)n定理21.1.2：域必是整環(huán)。n證明：因?yàn)橛蛑兴蟹橇阍脑貙Τ朔ㄒ沧鞒扇?，而群是滿足消去律的。故域滿足消去律。從而域必是整環(huán)。 具有封閉運(yùn)算且該運(yùn)算滿足結(jié)合律和消去律的集合并不一定能夠作成群。 具有封閉運(yùn)算且該運(yùn)算滿足結(jié)合律和消去律的有限集合一定

12、能夠作成群。n定理21.1.3：有限整環(huán)必是域。n證明：因?yàn)镽有限，R0也有限。又R滿足消去律， R0也滿足消去律。故R0作成群。所以有限整環(huán)R必是域。2022-5-17離散數(shù)學(xué)21子環(huán)n定義21.1.7：設(shè)R是環(huán)，S是R的非空子集。如果S對R中的加法和乘法也作成一個(gè)環(huán)，則S稱為R的子環(huán)，R稱為S的擴(kuò)環(huán)。n類似地，可以定義體的子體，域的子域。2022-5-17離散數(shù)學(xué)22子環(huán)的充要條件n定理21.1.4：S是環(huán)R的子環(huán)必要而且只要n(1)S是R的非空子集；n(2)若a, bS，則a bS；n(3)若a, bS，則abS。加法要成群n證明：必要性顯然成立，下證充分性。由(1)和(2)知S是R的加

13、法子群；由(3)和SR知S對乘法封閉且乘法的結(jié)合律和分配律在S中均成立。故S是R的子環(huán)。乘法要封閉2022-5-17離散數(shù)學(xué)23子環(huán)與擴(kuò)環(huán)在幺元上可能不同n設(shè)S是R的子環(huán)。nS的零元顯然就是R的零元。n若R是含幺環(huán)，而S不一定是含幺環(huán)。n若R是含幺環(huán)，即便S也是含幺環(huán)，但是R和S的幺元也不一定相同。n例如：任意域F上的n階方陣作成環(huán)，其幺元為單位方陣。又對任意i, j1，aij=0的所有n階方陣是它的子環(huán)，其幺元為僅a11=1的方陣。2022-5-17離散數(shù)學(xué)2421.2 環(huán)同態(tài)2022-5-17離散數(shù)學(xué)25理想n定義21.2.1：設(shè)R是環(huán)，N是R的非空子集，若：n(1)對任意a, bN，有a

14、 bN； n(2)對任意aN, xR, 有axN, xaN，n則稱N為R的理想。n顯然，理想是一種特殊的子環(huán)。所以理想必是子環(huán)，但是反之不然。n環(huán)R是自身的理想，稱為單位理想；0也是R的理想，稱為零理想。2022-5-17離散數(shù)學(xué)26主理想n例1：設(shè)R是含幺交換環(huán)，aR。令naR = ar | rRn則aR是R的理想，且aaR。這種理想被稱為由a生成的主理想，記為(a)。n顯然，(0) = 0，(1) = R，而(a) = aR可以說是包含a的所有“倍元素”的子環(huán)。在整數(shù)環(huán)Z中，由m生成的主理想(m) = mZ就是m的所有倍數(shù)作成的理想。2022-5-17離散數(shù)學(xué)27一個(gè)非主理想的理想n例2：

15、在由整數(shù)系數(shù)的多項(xiàng)式構(gòu)成的環(huán)Zx中，令N是常數(shù)項(xiàng)為偶數(shù)的所有多項(xiàng)式的集合。于是N是Zx的一個(gè)理想，但不是主理想。n證明：顯然N是Zx的理想。下證N不是主理想：n假設(shè)N=(f(x), f(x)Zx。即N是由f(x) 生成的主理想。于是N=f(x)Zx。n2N，g(x)Zx，使2= f(x)g(x)。從而f(x)為零次多項(xiàng)式，不妨設(shè)f(x)=mZ。n又xN, h(x)Zx, 使x=mh(x)。且h(x) 必為一次多項(xiàng)式,不妨設(shè)h(x)=ax+b,于是 x=m(ax+b) 比較x的系數(shù)，得ma=1，m=1。但mN，n這樣N包含1或1。矛盾。故N不是主理想。2022-5-17離散數(shù)學(xué)28剩余類n由于環(huán)

16、R的理想N是R的加法的正規(guī)子群，因此可以將R分解為N的陪集。 N的陪集都應(yīng)該寫成a + N的形式，aR。nN的一個(gè)陪集叫做N的一個(gè)剩余類。n定義21.2.2：設(shè)N是環(huán)R的一個(gè)理想，a，bR。如果a b = nN，或a = b + n，則稱a與b模N同余，記為ab (mod N)。n顯然，同余關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。nN的一個(gè)剩余類中的元素實(shí)質(zhì)是同余關(guān)系。2022-5-17離散數(shù)學(xué)29理想的陪集分解就是同余劃分n命題21.2.1：設(shè)N是環(huán)R的理想， a, bR。a和b在N的同一個(gè)剩余類，當(dāng)且僅當(dāng)ab (mod N)。n證明：設(shè)a和b在N的一個(gè)形如c + N的剩余類中，則存在n1, n2N，使a =

17、c + n1, b = c + n2。于是a b = n1 n2N。因此ab (mod N)。n 反之，設(shè)ab (mod N)，則a b = n N。令ac + N，即有nN，使a = c + n。于是，有b = c + n n，顯然n nN，故a和b在N的同一個(gè)剩余類中。 2022-5-17離散數(shù)學(xué)30同余關(guān)系是保運(yùn)算的n定理21.2.1：設(shè)N是環(huán)R的理想，對任意a, b, c, dR，若ab，cd，則n(1) acbd；(保加法運(yùn)算)n(2) acbd。 (保乘法運(yùn)算)n證明：因?yàn)閍b，cd，所以存在n1，n2N，使得a = b +n1，c = d + n2。于是nac = (bd)+(n

18、1n2), 而n1n2N;nac = bd+bn2+dn1+n1n2 , 由于N是理想， bn2N, dn1N, n1n2N,故bn2+dn1+n1n2N。n所以acbd， acbd。 (加法同態(tài)性) (乘法同態(tài)性) 2022-5-17離散數(shù)學(xué)31環(huán)同態(tài)n定義21.2.3：設(shè)R是環(huán)，S是有加法和乘法的代數(shù)系統(tǒng)，是R到S的映射， 若對a, bR，有(a + b) = (a) + (b); (ab) = (a) (b), 則稱是從R到S的一個(gè)同態(tài)； (R)S稱為R的同態(tài)像。特別，若是滿射，則稱R與S同態(tài)，記為RS。若是雙射，則稱R與S同構(gòu)，記為R S。2022-5-17離散數(shù)學(xué)32環(huán)的同態(tài)像也是環(huán)

19、n定理21.2.2：設(shè)R是環(huán)，S是有加法和乘法的代數(shù)系統(tǒng)。若是R到S的同態(tài)映射，則R = (R)也是環(huán)，其中：(0)就是R的零元0；對aR，(a) = (a)；若R有幺元且|R|1，則R有幺元 1 = (1)；若aR有逆元，則(a)在R中有逆元(a)1=(a1)。n證明：類似于“群的同態(tài)像也是群”的證明。n由此可見，同態(tài)映射具有非常好的對應(yīng)性：環(huán)與其同態(tài)像(環(huán))的零元、負(fù)元、幺元和逆元都彼此相互對應(yīng)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)33環(huán)同態(tài)的核n如果忽略乘法，環(huán)的同態(tài)就是加法群的同態(tài)。顯然環(huán)同態(tài)的核就應(yīng)該取為這個(gè)加法群的同態(tài)核，即其零元的像源。n定義21.2.4：設(shè)環(huán)RR。于是同態(tài)的核N為R中零元

20、0的像源，即N = a R | (a) = 0 。2022-5-17離散數(shù)學(xué)34n我們知道，群同態(tài)的核Ker()是一個(gè)正規(guī)子群。n那么環(huán)同態(tài)的核K應(yīng)該是什么呢？環(huán)同態(tài)的核是理想n定理21.2.3：設(shè)環(huán)RR。于是的核N是R的一個(gè)理想。并且，對任意aR，a的像源I(a) = aR | (a) = a 對應(yīng)N的一個(gè)剩余類，且這種對應(yīng)是一一對應(yīng)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)35環(huán)同態(tài)的核是理想n定理21.2.3：設(shè)環(huán)RR。于是的核N是R的理想，且R中元素的像源與N的剩余類一一對應(yīng)。n證明：首先證明N是理想：任取a, bN, xR, n (1)由假設(shè)知核N非空。n (2)由(ab)=(a)(b)= 00

21、=0，故 abN。即N對加法成群。n (3)又(ax)=(a)(x)=0(x)=0，故axN。同理可證xaN。即R中任意元素x乘N還是N。n 總之，N是R的理想2022-5-17離散數(shù)學(xué)36環(huán)同態(tài)的核是理想n定理21.2.3：設(shè)RR。于是的核N是R的理想，且R中元素的像源與N的剩余類一一對應(yīng)。n證明：其次證明R的元素的像源與N的剩余類對應(yīng)。n任取aR，設(shè)(a)=a且包含a的剩余類為a+N。下證I(a)=a+N。n設(shè)ba+N，則有nN，b=a+n，于是 (b)= (a+n)=(a)+(n)=a+0=a，即a+NI(a)。n反之,設(shè)bI(a)，則(ba)=(b)(a)=aa=0。于是baN即ba(

22、mod N)。故 I(a)a+N。n總之I(a)=a+N。仿定理17.5.2的證明可知它們是一一對應(yīng)的。2022-5-17離散數(shù)學(xué)37問題的另一面：n對于環(huán)R的任意理想N，是否有一個(gè)環(huán)R，且有一個(gè)R與R的同態(tài)，使得N恰好就是的核呢？n群G的正規(guī)子群H的所有陪集作成G的同態(tài)像且H就是同態(tài)核。(第二同態(tài)定理)n對于環(huán)，這個(gè)回答也是肯定的。n環(huán)中的群是加群，理想的陪集是剩余類，它的同態(tài)環(huán)就應(yīng)該是剩余類作成的環(huán)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)38剩余類R/N作成環(huán)n設(shè)N是環(huán)R的理想：nR對N的商群R/N，即模N的所有剩余類的集合，定義剩余類的加法為： (a + N) (b + N) = (a + b) +

23、 Nn定義剩余類的乘法 為： (a + N) (b + N) = ab + Nn由定理21.2.1易知和 均與剩余類中元素的選取無關(guān)。n不難證明R/N作成一個(gè)環(huán)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)39證明R/N是一個(gè)環(huán)nR對N的商群R/N對運(yùn)算和 作成環(huán)。n證明：易知對剩余類的加法作成一個(gè)加法群，并且滿足交換律，因?yàn)榉忾]性和結(jié)合律成立， (a + N) (0 + N) = (a + 0) + N= (a + N) (a + N) (a + N) = (a + (a) + N= 0+N=Nn 易知對剩余類的乘法 封閉，且(a+N) (b+N)(c+N)=(ab+ac)+N =(ab+N)(ac+N) =

24、 (a+N) (b+N) (a+N) (c+N) 乘法 對加法的分配律成立。即R/N是環(huán)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)40環(huán)對其理想的商是其同態(tài)像n定理21.2.4：按剩余類的加法和乘法 ，環(huán)R對于理想N的所有剩余類的集合R/N是一個(gè)環(huán)。若規(guī)定(a)=a+N，aR，則RR/N，而的核就是N。n證明：顯然是R到R/N的滿射。對a, bR：(a+b)= (a+b)+N= (a+N)(b+N)=(a)(b)(ab)=ab+N=(a+N) (b+N)= (a) (b)n所以是同態(tài)，故由定理21.2.2知R/N是一個(gè)環(huán)。n又R/N的零元顯然是N， 而aN當(dāng)且僅當(dāng)a+N=N當(dāng)且僅當(dāng)(a)=N，故 N是的核。

25、nR/N稱為R對N的剩余環(huán)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)41整數(shù)環(huán)的一個(gè)剩余環(huán)n例3：若取整數(shù)環(huán)Z的主理想(4)，求剩余環(huán)Z/(4)。n (4)=4Z=,-8,-4,0,4,8,= 04n于是，剩余環(huán)Z/(4)由以下4個(gè)元素組成： 0 + (4) = 041 + (4) = 142 + (4) = 243 + (4) = 342022-5-17離散數(shù)學(xué)42同態(tài)環(huán)與剩余環(huán)同構(gòu)n我們知道，群的任何一個(gè)同態(tài)像，必然同構(gòu)于該群對它的某個(gè)正規(guī)子群的商群；并且這個(gè)正規(guī)子群就是此同態(tài)映射的核。(群的第三同態(tài)定理)n對于環(huán)來說，也有與此相類似的結(jié)論。n定理21.2.5：設(shè)環(huán)RR，核為N，則R R/N。n證明：設(shè)

26、R到R的同態(tài)為。任取aR，定義R到R/N的映射如下:(a)=a+N,(a) = a。n 由定理21.2.3知是雙射。下證的同態(tài)性：n 任取a, bR。設(shè)(a) = a+N, (b) = b+N，(a)=a, (b)=b。 (a+b)=a+b, (ab) = ab,n(a+b)=(a+b)+N=(a+N)(b+N)= (a)(b)n (ab)=(ab)+N=(a+N) (b+N)= (a) (b) n故R R/N。n此定理說明：若把環(huán)R的同態(tài)環(huán)看作R的縮影，則只需要取R的所有理想N而作R/N，便可以找到R的所有可能的縮影(同態(tài)環(huán))。n與之相平行的是：若把G的同態(tài)群看作G的縮影，則只需要取G的所有

27、正規(guī)子群H而作G/H，便可以找到G的所有可能的縮影(同態(tài)群)。n我們知道同態(tài)群之間的子群是一一對應(yīng)的。n而與之平行的，對于環(huán)也有完全相同的結(jié)論。2022-5-17離散數(shù)學(xué)43同態(tài)環(huán)間的子環(huán)相對應(yīng)n定理21.2.6：設(shè)環(huán)RR，其核為N。于是R與N之間的子環(huán)與R的子環(huán)一一對應(yīng)，大環(huán)對應(yīng)大環(huán)，小環(huán)對應(yīng)小環(huán)，理想對應(yīng)理想。R0RN2022-5-17離散數(shù)學(xué)44整數(shù)環(huán)的同態(tài)環(huán)n例4：令Z為整數(shù)環(huán)，mZ，m0。定義Zm= 0m, 1m, , m1m中的加法與乘法為： xm ym = x+ymxm ym = xymn易知Zm是環(huán)。定義Z到Zm的映射：(x) = xm。n不難驗(yàn)證是同態(tài)，ZZm，其核為N=mZ

28、。于是Z與Zm對應(yīng)，N與0m對應(yīng)。而Zm的任何子環(huán)a0m, a1m, arm對應(yīng)于Z與N之間的那個(gè)子環(huán)為a0ma1marm2022-5-17離散數(shù)學(xué)45單純環(huán)和極大理想n定義21.2.5：環(huán)R稱為單純環(huán)，若R除自己和(0)外沒有別的理想。環(huán)R的一個(gè)理想N說是極大理想，如果NR，且N與R之間沒有別的理想。n例5：設(shè)p為質(zhì)數(shù)，則(p)是整數(shù)環(huán)的極大理想。n證明：設(shè)K是Z的理想，(p)K，則存在qK且q(p)，從而q與p互質(zhì)。于是有s和t，sp + tq = 1。n p, qK，sp+tq=1K。對任意xZ，有x1K，故K=Z。這說明(p)與Z之間沒有別的理想。所以(p)是極大理想。2022-5-1

29、7離散數(shù)學(xué)46極大理想的剩余環(huán)是單純環(huán)n定理21.2.7：設(shè)N是環(huán)R的理想，且NR。于是N是R的極大理想，當(dāng)且僅當(dāng)R/N是單純環(huán)。n證明：由定理21.2.4知，RR/N。n 又由定理21.2.6， R與N之間無理想當(dāng)且僅當(dāng)R/N與0之間無理想，即當(dāng)且僅當(dāng)R/N是單純環(huán)。這里0是N的同態(tài)像。2022-5-17離散數(shù)學(xué)47含幺交換單純環(huán)必是域n定理21.2.8：任意含幺交換單純環(huán)R必是域。n證明：只需證明R中任意非零元有逆。n 設(shè)aR，a0?？紤](a) = aR。n 因?yàn)閍0且aaR，所以aR(0)。又因?yàn)镽是單純環(huán)，因此aR = R。n 又由1R知，有bR，使得ab = 1。即a在R中有逆元b。

30、故R是一個(gè)域。2022-5-17離散數(shù)學(xué)48域是含幺交換單純環(huán)n定理21.2.9：任意域F必是含幺交換單純環(huán)。n證明：本章習(xí)題11。n于是，由定理21.2.8和定理21.2.9可知，任意代數(shù)結(jié)構(gòu)是域當(dāng)且僅當(dāng)它是含幺交換單純環(huán)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)49質(zhì)數(shù)模的剩余環(huán)作成域n例6：Zp=0p, 1p, , p1p，p為質(zhì)數(shù)。則Zp是一個(gè)域。n證明：Z是含幺交換環(huán)，ZZp，故Zp也是含幺交換環(huán)。n 又(p)是Z的極大理想，由定理21.2.7知Z/(p)是單純環(huán)。而Z/(p)=Zp，故Zp是含幺交換單純環(huán)。由定理21.2.8知Zp是域。n可證明，若Zm是域，則m必為質(zhì)數(shù)。2022-5-17離散數(shù)

31、學(xué)5021.3 域的特征 質(zhì)域2022-5-17離散數(shù)學(xué)51域的特征n在域中：n將ab1寫成a/b，b0；n用e表示域中的幺元。 n定義21.3.1：設(shè)F是一個(gè)域。若存在正整數(shù)n，使得ne = 0，且對任何m(0mn), me 0，則稱域F的特征為n；若不存在這樣的n，則稱域F的特征為0。n例1：有理數(shù)域, 實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域的特征為0。 因?yàn)檫@些域的幺元均為正整數(shù)1，顯然不存在正整數(shù)n，使得n1=0。n例2：設(shè)p為質(zhì)數(shù)，則Zp=0p, , p1p是一個(gè)域，其特征為p。 因?yàn)?，按照Zp中元素的乘法規(guī)定，其幺元為1p，p1p = pp = 0p，而對任何m (0mp)，m1p = mp 0p。202

32、2-5-17離散數(shù)學(xué)52域的特征或?yàn)?或?yàn)橘|(zhì)數(shù)n定理21.3.1：任何域的特征或者為0，或者為質(zhì)數(shù)。n證明：設(shè)域F的特征為p0。若p0且p非質(zhì)數(shù)，則有p=mn，1m, np。于是(me)(ne) = mene = mnee =(mn)e = pe = 0。 但域中無零因子，所以必有me=0或ne=0。這與p是F的特征相矛盾。故定理得證。n下面討論任何域所包含的最小子域是什么。2022-5-17離散數(shù)學(xué)53整數(shù)環(huán)到域的同態(tài)n設(shè)F是域，定義整數(shù)環(huán)Z到F的映射為：(n) = ne，nZ。 n于是，對任意的m, nZ，有(m+n)=(m+n)e=me+ne=(m)+(n)(mn)=(mn)e=(me)

33、(ne)=(m)(n)n所以是Z到F的同態(tài)。n那么，Z在F中的同態(tài)像是什么樣的呢？2022-5-17離散數(shù)學(xué)54整數(shù)環(huán)在域中的同態(tài)像n設(shè) 是Z到F的同態(tài)，N是的同態(tài)核，即N = mZ | (m) = me = 0。n又設(shè)域F的特征為p，則N = pZ。？因?yàn)閜是使得me=0的最小的正整數(shù)，所以N中的m一定p的倍數(shù)，即N = pZ。n易知，同態(tài)像Z = (Z)為Z = ne | nZ F。n于是ZZ。又同態(tài)核N=pZ，由定理21.2.5知Z Z/pZ。n在同構(gòu)的意義下可以認(rèn)為，整數(shù)環(huán)在域中的同態(tài)像是pZ的剩余環(huán)，其中p是域的特征。2022-5-17離散數(shù)學(xué)55Z/pZ是子域嗎？n現(xiàn)在我們來討論整

34、數(shù)環(huán)Z在域F中的同態(tài)像Z = ne | nZ 是否是域F的子域。n因?yàn)閆 Z/pZ，顯然Z是否為域取決于域F的特征p。而p的取值有兩種：n(1)p是一個(gè)質(zhì)數(shù)；n(2)p = 0。則Z/pZ =Rp是一個(gè)域。則Z/pZ不是一個(gè)域。2022-5-17離散數(shù)學(xué)56特征為質(zhì)數(shù)的域n若p為質(zhì)數(shù)，則剩余環(huán)Z/pZ是一個(gè)含幺交換單純環(huán)，因而是一個(gè)域(21.2節(jié)例6)。n又因?yàn)閆 Z/pZ，所以Z也是域，即Z是F的子域。n但F的任意子域必包含幺元e，從而也必包含e的倍元ne，nZ。即F的任意子域必包含Z。n所以Z是F的最小子域。n在同構(gòu)的意義下，可以說非0特征域的最小子域是Z/pZ。令Rp= Z/pZ。非零特

35、征域的最小子域是Z/pZ2022-5-17離散數(shù)學(xué)57n若p = 0，則pZ = 0，于是Z Z。但整數(shù)環(huán)Z不是域，故Z也不是域。n如果要使Z成為域，就需要把Z擴(kuò)大為域。特征為零的域nZ不成域的原因是Z中的元素?zé)o逆元。n為此需要將Z擴(kuò)大到有理數(shù)域Q。n現(xiàn)在把擴(kuò)大到有理數(shù)域Q到F的同態(tài)，需要補(bǔ)充定義： (m/n) = me/ne，其中n0。易知：(m/n + h/k) = (m/n) + (h/k)(m/n)(h/k) = (m/n) (h/k)n(m/n+h/k) =(mk+hn)/nk) = (mk + hn)e/nke = mke/nke + hne/nke = me/ne + he/ke

36、 = (m/n) + (h/k)n類似地可驗(yàn)證(m/n)(h/k) = (m/n) (h/k)。n是Q到F的同態(tài)映射。令Q在下的映像(Q)為：R0 = (me)/(ne) | m, nZ, n0。n因(n)= (n/1)=(ne)/e=(ne)e1=ne，可知是原來所規(guī)定的Z到F的同態(tài)映射的擴(kuò)大，ZR0。 n若(h/k)= (m/n)，則(he)/(ke)=(me)/(ne)，因此(he)(ne)=(ke)(me)，于是hn=km，從而h/k=m/n。這說明是單射。又顯然是Q到R0的滿射。所以是Q到R0的雙射，即是Q到R0的同構(gòu)映射。n是Q到R0的同構(gòu)映射，Q R0。R0是域。n又因?yàn)镕的任何

37、子域都要包含e，e的倍元ne及商(me)/(ne)，n0，即必定要包含R0。所以R0是F的最小子域。因此n零特征域的最小子域同構(gòu)于有理數(shù)域Q。零特征域的最小子域是Q2022-5-17離散數(shù)學(xué)58最小域和質(zhì)域n定理21.3.2：特征為p的任意域F包含Rp為其最小子域，稱Rp為最小域或質(zhì)域。n設(shè)K是F的子域，則K的幺元就是F的幺元。因此K的特征與F的特征一致。即任意域的特征與其子域的特征是一致的。n若F的特征為0，則F包含的質(zhì)域同構(gòu)于有理數(shù)域Q；n若F的特征為質(zhì)數(shù)p，用模p同余的整數(shù)來表示F的同一個(gè)元素，于是Rp的p個(gè)元素便可以簡單地寫成0,1,p-1。則F包含的質(zhì)域同構(gòu)于Rp， Rp = 0,

38、1, , p1 。2022-5-17離散數(shù)學(xué)59域中非零元的周期一致n定理21.3.3：設(shè)F是特征為p的域，| F |1。于是，對任意aF，a0，nZ，有： (1)若p = 0，則na = 0當(dāng)且僅當(dāng)n = 0； (2)若p為質(zhì)數(shù)，則na = 0當(dāng)且僅當(dāng)n0 (mod p)。n證明：(1)設(shè)na = 0，則ne = n(aa1) = (na)a1 = 0，因此n = 0。反之，若n = 0，則na = 0。n (2)首先pa = pea = (pe)a =0。令n = qp + r，0rp。若na = 0，則qpa + ra = 0。而pa=0,于是ra = 0，即r = 0。故n0 (mod

39、 p)。反之若n0 (mod p)，則n=qp+r, r=0，于是na=(qp)a=q(pa)=q0=0。即na=0n此定理說明，域F中的任意非零元在加法群中的周期與幺元在加法群中的周期是一致的。這也說明域中所有非零元的周期都是一致的。2022-5-17離散數(shù)學(xué)60非零特征域中的二項(xiàng)式n零特征域中的運(yùn)算與普通代數(shù)中的運(yùn)算是一致的，而值得注意的是，非零特征域中的運(yùn)算就與普通的不同。n定理21.3.4：設(shè)域F的特征是質(zhì)數(shù)p，a, bF, 則(a b)p = ap bp。n證明：由二項(xiàng)式定理，(a+b)p = ap + Cp1ap1b + + Cpp1abp1 + bp 其中Cpi = p(p1)(

40、pi+1) / i!，1ip1。 n但是Cpi是整數(shù)，而其中的p又不能消去，所以Cpi0 (mod p)。由定理21.3.3知Cpiapibi=0。 故(a + b)p = ap + bpn 令c=ab, 則ap=(c+b)p=cp+bp=(ab)p+bp, 故 (ab)p = ap bp2022-5-17離散數(shù)學(xué)61非零特征域中的運(yùn)算n因?yàn)樘卣鳛橘|(zhì)數(shù)p的域Rp Z/pZ，所以Rp=0,1,p-1中的運(yùn)算類似于模p下的同余運(yùn)算。n例1：在R17中2/3等于什么？n解：361 (mod 17), 由3 31=1 (mod 17) 31 = 6， 故2/3 =26=12。2022-5-17離散數(shù)學(xué)

41、62非零特征域中的運(yùn)算n例2：在R13中，求方程X2 1 = 0的所有根。n解：這等價(jià)于在R13中求解方程X2 1 (mod 13) (1)2 1 (mod 13) ， 解得：1; 112(mod 13) 又 (12)2 =144 1 (mod 13) 解得：12; 12 1 (mod 13) 全部根為：1，12n例3：在R5中， 等于什么？n解：因?yàn)樵赗5中，1 = 4，又22 = 32 = 4，所以， = 2或3112022-5-17離散數(shù)學(xué)6321.4 有限域2022-5-17離散數(shù)學(xué)64有限域n若一個(gè)域的元素個(gè)數(shù)是有限的，就稱該域?yàn)橛邢抻蚧蛘逩alois(伽羅瓦)域。否則稱為無限域。n

42、例如，當(dāng)p為質(zhì)數(shù)時(shí)，Rp=0, 1, , p1對模p的加法和乘法運(yùn)算就作成一個(gè)有限域，記為GF(p)。n顯然，有限域F的特征不能為0，否則，F(xiàn)將包含有理數(shù)域Q為其最小子域。n本節(jié)主要討論有限域的構(gòu)造。2022-5-17離散數(shù)學(xué)65多項(xiàng)式n定義21.4.1 設(shè)F是一個(gè)域，形如a0 + a1x + +anxn (21.1) 的表達(dá)式稱為F上關(guān)于x的多項(xiàng)式，其中元素x是一個(gè)抽象符號(hào)，n是任意非負(fù)整數(shù)，a0, a1, , anF。若an0，則分別稱n和an為多項(xiàng)式(21.1)的次和首項(xiàng)系數(shù)，an = 1的多項(xiàng)式稱為首1多項(xiàng)式。特別，0稱為次多項(xiàng)式，其中0和1分別是域F的零元和幺元。2022-5-17離

43、散數(shù)學(xué)66多項(xiàng)式的相等n兩個(gè)多項(xiàng)式naixi和mbixi稱為相等，當(dāng)且僅當(dāng)m = n，且ai = bi，i = 0, 1, , n。n用Fx表示域F上x的全體多項(xiàng)式的集合，即:Fx=naixi |aiF,n0,i = 0,1,n。n有時(shí)，用f(x), g(x)等表示任何一個(gè)x的多項(xiàng)式。多項(xiàng)式f(x)的次記為(f(x)。 nn通常將多項(xiàng)式記為aixi，簡記為n aixi。 i=02022-5-17離散數(shù)學(xué)67多項(xiàng)式環(huán)n定義21.4.2：設(shè)F是域，在Fx上定義多項(xiàng)式的加法和乘法 如下：對于任意的f(x) =n aixi，g(x) =m bixiFx，f(x)g(x) = M (ai + bi)xi

44、f(x) g(x) = m+n (i aj bij )xi 其中M=max(m, n)，in時(shí)ai=0；im時(shí)bi=0。n不難驗(yàn)證，F(xiàn)x對于加法和乘法 作成一個(gè)環(huán)，稱為多項(xiàng)式環(huán)。有時(shí)也將多項(xiàng)式環(huán)中的運(yùn)算和 用+和表示。2022-5-17離散數(shù)學(xué)68多項(xiàng)式的商式和余式n定理21.4.1：設(shè)f(x), g(x)Fx，g(x)0。于是存在唯一的q(x), r(x)Fx，使得f(x) = q(x)g(x) + r(x) (21.4) 其中(r(x)(g(x)，q(x)和r(x)分別稱為商式和余式。n證明：存在性： 若(f(x)(g(x)，則令q(x)=0，r(x)=f(x)，(21.4)式成立。 若(

45、f(x)(g(x)0，對(f(x)作歸納證明。設(shè)f(x) =n aixi，g(x) =m bixi。2022-5-17離散數(shù)學(xué)69多項(xiàng)式的商式和余式n證明： （f(x) = q(x)g(x) + r(x) (21.4)）n 當(dāng)(f(x)=0, 即f(x)=a0，g(x)=b0，令q(x)=a0b01， r(x)=0，則(21.4)式成立。n 設(shè)(f(x)=n10時(shí)(21.4)式成立。 n 當(dāng)(f(x)=n1時(shí)，令f1(x) = f(x) anbm1xnmg(x) 則(f1(x)n1。由歸納假設(shè)，有q1(x)和r1(x)使f1(x)=q1(x)g(x)+r1(x), 其中(r1(x)(g(x),

46、 于是 f(x)=f1(x)+anbm1xnmg(x)=(anbm1xnm +q1(x)g(x) + r1(x)n由歸納法可知(21.4)式成立。2022-5-17離散數(shù)學(xué)70多項(xiàng)式的商式和余式n證明：下證（f(x) = q(x)g(x) + r(x) (21.4)）式的唯一性：n 設(shè)f(x) = q(x)g(x) + r(x) = q(x)g(x) + r(x)，其中， (r(x)(g(x), (r(x)(g(x), 于是(q(x) q(x)g(x) = r(x) r(x) 而(r(x)r(x)(g(x)，故必有q(x)q(x)=0，即q(x) = q(x)。從而也有r(x) = r(x)。

47、 所以，任給f(x)和g(x)，存在唯一的q(x)和r(x)，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)且(r(x)(g(x)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)71一個(gè)多項(xiàng)式的商式和余式n例1：考慮域R3=0, 1, 2上的多項(xiàng)式f(x) = 1 + 2x + 2x2 + x4 + 2x5 g(x) = 1 + x2n求f(x)被g(x)除的商式和余式n解：我們采用多項(xiàng)式的豎式除法來進(jìn)行計(jì)算，n求得其商式和余式分別為：q(x) = 2x3 + x2 + x + 1 r(x) = x2022-5-17離散數(shù)學(xué)72多項(xiàng)式的豎式除法2x5 + x4 + 2x2 + 2x + 1x2 + 12x32x5 +

48、2x3 x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1+ x2 + x + 1在域R3上 2 1 (mod 3)x4 + x2 x3 + x2 + 2x + 1x3 x x2 + x + 1x2 + 1x2022-5-17離散數(shù)學(xué)73多項(xiàng)式的整除和可約多項(xiàng)式n定義21.4.3 設(shè)f(x), g(x)Fx。(1)若存在q(x)Fx，使f(x) = q(x)g(x)，則稱g(x)是f(x)的因式，f(x)是g(x)倍式，并稱g(x)整除f(x)，記為g(x)|f(x)，否則記為g(x) | f(x)(2)若f(x) = h(x)g(x)，其中(h(x)1且(g(x)1， 則稱f(x)為可約多項(xiàng)式，否

49、則稱為不可約多項(xiàng)式。n一次多項(xiàng)式均不可約。又設(shè)f(x) = x2+1Fx。 F是實(shí)數(shù)域時(shí)f(x)不可約；而F是復(fù)數(shù)域時(shí)f(x)可約，因f(x) =(x+i)(x-i)。因此多項(xiàng)式的可約性與所在的域相關(guān)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)74最高公因式和最低公倍式n定義21.4.3 設(shè)f(x), g(x)Fx。(3)設(shè)f(x)和g(x)不全為0，若h(x)是滿足h(x)|f(x)和h(x)|g(x)的次數(shù)最高的首1多項(xiàng)式，則稱h(x)為f(x)和g(x)的最高公因式，記為(f(x), g(x)。若(f(x), g(x) = 1，則稱f(x)和g(x)互質(zhì)。(4)設(shè)f(x)0，g(x)0。若h(x)是滿足

50、f(x)|h(x)和g(x)|h(x)的次數(shù)最低的首1多項(xiàng)式，則稱h(x)為f(x)和g(x)的最低公倍式，記為f(x), g(x)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)75多項(xiàng)式的根n定義21.4.4：設(shè)E是F的擴(kuò)域，f(x)Fx，aE。f(x)在a上的值定義為用a代替f(x)中所有x而得到的E中的元素，記為f(a)。若f(a) = 0，則稱a為f(x)在E中的根。n例如，f(x) = x2 + 1是有理數(shù)域Q上的多項(xiàng)式，它在Q上無根，在(Q的擴(kuò)域)實(shí)數(shù)域上R也無根，但是在(R的擴(kuò)域)復(fù)數(shù)域中的根為i和i。 n由定理21.4.1，我們有：n定理21.4.2：設(shè)E是F的擴(kuò)域，f(x)Fx，aE。于是a是

51、f(x)在E中的根，當(dāng)且僅當(dāng)(xa)|f(x)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)76用多項(xiàng)式作成一個(gè)域n類似于質(zhì)域Rp = 0，1，p1，我們可以對Fx中的不可約多項(xiàng)式p(x)，構(gòu)造一個(gè)域Fxp(x)。n定義21.4.5：設(shè)p(x)Fx是n次不可約多項(xiàng)式，令Fxp(x) = n1aixi | aiF, i = 0, 1, , n1 n在Fxp(x)上定義二元運(yùn)算和如下：f(x) g(x) = f(x) + g(x) f(x) g(x) = (f(x)g(x)p(x)n其中(f(x)g(x)p(x)表示(f(x)g(x)除以p(x)的余式。n定理21.4.3：設(shè)F是有限域，則Fxp(x)對運(yùn)算和作成一

52、個(gè)域，當(dāng)且僅當(dāng)p(x)是F上的不可約多項(xiàng)式。2022-5-17離散數(shù)學(xué)77有限域上不可約多項(xiàng)式作成域n證明：有限域F上Fxp(x)成域p(x)不可約。n顯然Fxp(x)是有限可交換環(huán)。我們知道，有限整環(huán)必是域，因而Fxp(x)是有限整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Fxp(x)中無零因子。故我們只需證明Fxp(x)中無零因子當(dāng)且僅當(dāng)p(x)是F上的不可約多項(xiàng)式。n 下證Fxp(x)中無零因子當(dāng)且僅當(dāng)p(x)是F上的不可約多項(xiàng)式：n 設(shè)Fxp(x)中無零因子。若p(x)是F上的可約多項(xiàng)式，則存在非零多項(xiàng)式f(x)和g(x)，使得p(x) = f(x)g(x)，于是f(x) g(x) = (f(x)g(x)p(x) =

53、 (p(x)p(x) = 0n這說明f(x)和g(x)是Fxp(x)的零因子。矛盾。2022-5-17離散數(shù)學(xué)78有限域上不可約多項(xiàng)式作成域n證明：若Fxp(x)無零因子，則p(x)不可約。n 另一方面，設(shè)p(x)是F上的n次不可約多項(xiàng)式。若Fxp(x)有零因子f(x), g(x)0，使得f(x) g(x) = 0n則存在h(x)Fx，使得f(x)g(x) = h(x)p(x) (21.5)n顯然(h(x)1，否則與p(x)不可約矛盾。2022-5-17離散數(shù)學(xué)79有限域上不可約多項(xiàng)式作成域n證明： f(x)g(x) = h(x)p(x) (21.5)n 設(shè)(f(x), h(x)=q1(x),

54、 (g(x), h(x)=q2(x)。n于是(q1(x)(f(x)，(q2(x)(g(x)。若(q1(x)=(f(x)且(q2(x)=(g(x)，則必有(h(x)(f(x)，(h(x)(g(x)，從而 (h(x)p(x) = (h(x) + (p(x) (f(x) + n (f(x)g(x) g(x)Fxp(x) , (g(x) n-1 ?n此與(21.5)式矛盾。不妨設(shè)(f(x), h(x)=q(x)，且(q(x)(f(x)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)80有限域上不可約多項(xiàng)式作成域n證明：設(shè)(f(x), h(x)=q(x)，且(q(x)(f(x)。n于是，有f(x), h(x)Fx, 使得f

55、(x) = f(x)q(x) (21.6)h(x) = h(x)q(x) (21.7)n其中(f(x) 1。n 因?yàn)閝(x)是f(x)和h(x)的最高公因式，所以有a(x), b(x)Fx, 使得a(x)f(x) + b(x)h(x) = q(x) (21.8)n由(21.6), (21.7)和(21.8)得a(x)f(x)+b(x)h(x)=1，這說明f(x)和h(x)互質(zhì)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)81有限域上不可約多項(xiàng)式作成域n證明： 已證f(x)和h(x)互質(zhì)。n 又由(21.5), (21.6)和(21.7)得g(x)f(x) = h(x)p(x)n從而f(x) | h(x)p(x)

56、，但是f(x)和h(x)互質(zhì)，故f(x) | p(x)n而且(f(x) 1。這說明p(x)是可約的。矛盾。此矛盾說明Fxp(x)無零因子。n 總之，若F是有限域，則Fxp(x)對運(yùn)算和作成域，當(dāng)且僅當(dāng)p(x)是F上的不可約多項(xiàng)式。2022-5-17離散數(shù)學(xué)82FXp(x)是F添加p(x)的根的域n由FXp(x)= n1aixi | aiF, i = 0, 1, , n1，n容易驗(yàn)證 F是FXp(x)的子域。n此外，若p(x)是一次多項(xiàng)式，則FXp(x) = F。n若p(x) = p0 + p1x + + pnxn是Fx上n次不可約多項(xiàng)式，則 0 = (p(x)p(x)= (p0 + p1x +

57、 + pnxn)p(x)= p0 p1 x pnx x x xn這說明x是F上不可約多項(xiàng)式p(x)在Fxp(x)中的根。因此，nFxp(x)稱為是添加p(x)的根到F上所得到的域2022-5-17離散數(shù)學(xué)83有限多項(xiàng)式域的例子n例2：給定域F = 0, 1上的多項(xiàng)式p(x)=x2+x+1。np(0) = p(1) = 1，p(x)是F上不可約的。n(p(x)p(x) = 0，x是p(x)在Fxp(x)上的根。np(x+1) =(x+1)2 +(x+1) +1 n = x2 +12 + x +1 + 1n = x2 + x + 1 = p(x)n x+1也是p(x)在Fxp(x)上的根。n因此F

58、xp(x) = 0, 1, x, x+1。 Fxp(x)是F的擴(kuò)域。在p特征的域上，(a + b)p = ap+bp2022-5-17離散數(shù)學(xué)84有限多項(xiàng)式域的例子n讓我們驗(yàn)證一下Fxp(x) = 0, 1, x, x+1是域：n因?yàn)镕xp(x)是Fx的子集，又Fxp(x)是有限的，因此我們只需要驗(yàn)證它對于加法和乘法都封閉非零元素對乘法有逆元。n容易驗(yàn)證加法的封閉性，只需注意到： x+x=0，(x+1)+(x+1)=0n也容易驗(yàn)證乘法的封閉性及有逆元，注意到：xx=x2=x+1, x(x+1)=x2+x=1, (x+1)2=x2+1=x p(x)=x2+x+1 xx=x2= (x2 )p(x)

59、 1x2+x+1 x2 x2+x+1 x+1（在F上20(mod 2)）2022-5-17離散數(shù)學(xué)85判斷多項(xiàng)式不可約n判斷域F上的p(x)不可約的方法類似于判斷質(zhì)數(shù)的方法：n若p(x)是n次可約多項(xiàng)式，則有p(x) = f(x)g(x) 其中(f(x)n/2，(g(x) n/2。n因此，如果所有次數(shù)不高于 n/2的不可約多項(xiàng)式都不是p(x)的因式，則p(x)就是一個(gè)不可約多項(xiàng)式。2022-5-17離散數(shù)學(xué)86判斷不可約多項(xiàng)式的例子n例3：設(shè)域F = 0，1，則n(1)F上的一次不可約多項(xiàng)式有：x，x+1。n(2)F上的二次可約多項(xiàng)式有：x2，x(x+1)=x2+x，(x + 1)2 = x2

60、 + 1, 從而二次不可約多項(xiàng)式為 x2 + x + 1。n依次可以求出更高次數(shù)的不可約多項(xiàng)式。n由21.3節(jié)知，有限域的特征均為質(zhì)數(shù)p。下面證明有限域的元素個(gè)數(shù)也與特征p有關(guān)。2022-5-17離散數(shù)學(xué)87有限域的階必為質(zhì)數(shù)冪n定理21.4.4：每個(gè)有限域F的階(元素個(gè)數(shù))必為質(zhì)數(shù)冪。n證明：設(shè)F的特征為p，則F必包含p階質(zhì)域F1。n 若F = F1，則定理得證，否則有x1F F1。令F2=a1+a2x1 |a1, a2F1。由|F1| = p有|F2| = p2。？n顯然|F2|p2。若|F2|p2，則有a1, a2, b1, b2F1， a1b1或a2 b2，使得a1+a2x1 = b1