1、2020年中考數(shù)學(xué)大題狂練之壓軸大題突破培優(yōu)練（江蘇專用）專題06幾何綜合探究變化型問題1. （2019年宿遷中考第28題）乙（2019年連云港中考第27題）3. （2019年無錫中考副卷第28g）4. （2019年鹽城中考第25題）5. （2019年揚(yáng)州中考第28題）幾何綜合探究變化型問題【專項(xiàng)突破】6. （2019年南京中考第26迎）【迤組一】4道【題組二】4道【題組三】4道【題組四】4道【題皿】4道【題組六】4道【真題再現(xiàn)】1 . （2019年宿遷中考第 28題）如圖，在鈍角 ABC中，/ ABC=30° , AC= 4,點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊BC中點(diǎn)，將 BDE繞點(diǎn)B逆時

2、針方向旋轉(zhuǎn) a度（0W a< 180）.（1）如圖 ，當(dāng) 0v “V 180 時，連接 AD、CE,求證： BDAA BEC;（2）如圖，直線CE、AD交于點(diǎn)G.在旋轉(zhuǎn)過程中，/ AGC的大小是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出這個角的度數(shù)；（3）將4BDE從圖位置繞點(diǎn)B逆時針方向旋轉(zhuǎn)180° ,求點(diǎn)G的運(yùn)動路程.【分析】（1）如圖利用三角形的中位線定理，推出?DE/AC,可得樂?=? ?在圖中，利用兩邊成比例夾角相等證明三角形細(xì)相似即可.（2）利用相似三角形的性質(zhì)證明即可.（3）點(diǎn)G的運(yùn)動路程，是圖-1中的?長的兩倍，求出圓心角，半徑，利用弧長公式計(jì)算即可.【解析

3、】(1)如圖中,圖由圖，.點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊BC中點(diǎn),DE /AC,? ?一 ? ? ?一?= ?. / DBE = Z ABC, ./ DBA = Z EBC,DBAA EBC.(2) / AGC的大小不發(fā)生變化，/ AGC = 30°理由：如圖中，設(shè)AB交CG于點(diǎn)O.圖。 DBAA EBC, ./ DAB = Z ECB,. /DAB+/AOG + /G=180° , / ECB + Z COB + Z ABC = 180° , Z AOG =/ COB,(3)如圖-1中.設(shè)AB的中點(diǎn)為K,連接DK,以AC為邊向左邊等邊4 ACO,連接OG, OB.以

4、O為圓心，OA為半徑作O O,. / AGC= 30° , / AOC= 60° ,，一 1 ， 一AGC= 了 AOC,.點(diǎn)G在。上運(yùn)動，以B為圓心，BD為半徑作。B,當(dāng)直線與 0B相切時，BDXAD, ./ADB=90° , BK= AK,DK = BK=AK, BD = BK,BD = DK= BK, .BDK是等邊三角形， ./ DBK = 60° , ./ DAB = 30 ° , ./ BOG = 2/DAB = 60° ,.? ?長=60?4 4? = 1803 '觀察圖象可知，點(diǎn) G的運(yùn)動路程是？?？長的兩倍=

5、學(xué)3點(diǎn)評：本題屬于相似形綜合題， 考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式，等邊三角形的判定和性質(zhì),圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，屬于中 考壓軸題.2. （2019年連云港中考第 27題）問題情境：如圖1,在正方形 ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn) B、C 重合)，垂直于 AE的一條直線 MN分別交AB、AE、CD于點(diǎn)M、P、N.判斷線段 DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.問題探究：在“問題情境”的基礎(chǔ)上.(1)如圖2,若垂足P恰好為AE的中點(diǎn)，連接BD,交MN于點(diǎn)Q,連接EQ,并延長交邊AD于點(diǎn)F .求/ AEF的度數(shù)；(2)

6、如圖3,當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對角線BD上時，連接 AN,將 APN沿著AN翻折，點(diǎn)P落 在點(diǎn)P'處，若正方形 ABCD的邊長為4, AD的中點(diǎn)為S,求P'S的最小值.問題拓展：如圖4,在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊AB、CD上的點(diǎn)，將正方形ABCD 沿著MN翻折，使得BC的對應(yīng)邊B'C恰好經(jīng)過點(diǎn) A, C'N交AD于點(diǎn)F.分別過點(diǎn) A、F作AGLMN,5FHXMN,垂足分別為 G、H.若AG=請直接與出FH的長.圖1圖2圖3B4【分析】問題情境：過點(diǎn) B作BF / MN分別交AE、CD于點(diǎn)G、F,證出四邊形 MBFN為平行四邊形， 得出NF

7、 = MB,證明 ABE0BCF得出BE = CF,即可得出結(jié)論；問題探究：(1)連接AQ,過點(diǎn)Q作HI / AB,分別交AD、BC于點(diǎn)H、I,證出 DHQ是等腰直角三角 形，HD = HQ, AH = QI,證明RtA AHQ RtA QIE得出/ AQH = / QEI ,得出 AQE是等腰直角三角形， 得出/ EAQ = ZAEQ = 45° ,即可得出結(jié)論；(2)連接AC交BD于點(diǎn)O,則 APN的直角頂點(diǎn)P在OB上運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，則點(diǎn) P'與 點(diǎn)D重合；設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時，則點(diǎn)P'的落點(diǎn)為O',由等腰直角三角形的性質(zhì)得出/ODA = / AD

8、O'= 45° ,當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動時，過點(diǎn) P作PGLCD于點(diǎn)G,過點(diǎn)P'作P' HL CD交CD延長線 于點(diǎn) H,連接 PC,證明 APBCPB 得出 / BAP = /BCP,證明 RtPGN RtNHP'得出 PG=NH, GN=P'H,由正方形的性質(zhì)得出/ PDG=45° ,易得出PG = GD,得出GN=DH, DH = P'H,得出/ P'DH = 45° ,故/ P'DA=45° ,點(diǎn)P'在線段DO'上運(yùn)動；過點(diǎn)S作SKL DO',垂足為K,即可得

9、出結(jié)果； 問題拓展：延長AG交BC于E,交DC的延長線于 Q,延長FH交CD于P,則EG=AG= I，PH = FH,得出AE=5,由勾股定理得出 BE=，？ ？?2?=3,得出CE=BC-BE=1,證明 ABEAQCE,得出 QE= 1AE= 5-, AQ = AE+QE= 20,證明 AGMAABE,得出 AM=等，由折疊的性質(zhì)得： AB'= EB 3338=3, /B'=/B=90° , / C'=/ BCD = 90° ,求出 B'M= ?- ? = 7, AC'=1,證明 AFC'A 825253515MAB'

10、;,得出 AF= 25-, DF = 4- 25 =鼻,證明 DFPA DAQ,得出 FP= 7,得出 FH= ：FP=導(dǎo).【解答】問題情境：解：線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系為：DN + MB=EC;理由如下：四邊形ABCD是正方形， .Z ABE = Z BCD=90° , AB = BC=CD, AB / CD,過點(diǎn)B作BF/MN分別交AE、CD于點(diǎn)G、F,如圖1所示：BAn四邊形MBFN為平行四邊形,NF= MB,BF± AE, ./ BGE= 90° , ./ CBF + Z AEB=90° . / BAE+Z AEB=90° .

11、/ CBF = Z BAE,/ ? / ?= ?/ ?/ ?90 °在 ABE和 BCF中，ABEA BCF (ASA), BE= CF, DN+NF+CF =BE+EC, .DN+MB = EC;問題探究:解：（1）連接AQ,過點(diǎn)Q作HI /AB,分別交AD、BC于點(diǎn)H、I,如圖2所示:3 E J C圖2四邊形ABCD是正方形，四邊形ABIH為矩形， HIXAD, HI ±BC, HI =AB=AD, BD是正方形 ABCD的對角線， ./ BDA=45° ,HD = HQ , AHQI,.DHQ是等腰直角三角形， MN是AE的垂直平分線， AQ = QE,?

12、? ? ?在 RtAAHQ 和 RtAQIE 中， RtAAHQRtAQIE (HL) ./ AQH =/ QEI , ./ AQH+/EQI =90° , ，/AQE=90° , .AQE是等腰直角三角形， ./EAQ = / AEQ=45° ,即/ AEF = 45° (2)連接AC交BD于點(diǎn)O,如圖3所示:則 APN的直角頂點(diǎn)P在OB上運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，則點(diǎn)P'與點(diǎn)D重合；設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，則點(diǎn)P'的落點(diǎn)為O', AO = OD, / AOD = 90° , ./ ODA = /ADO' =45&

13、#176; ,當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動時，過點(diǎn) P作PGXCD于點(diǎn)G,過點(diǎn)P'作P' H LCD交CD延長線于點(diǎn) H,連接PC, 點(diǎn)P在BD上，AP= PC,?= ?在 APB 和 CPB 中，?= ? ?= ?APBA CPB (SSS, ./ BAP = Z BCP, . / BCD = Z MPA=90° , ./ PCN = Z AMP,1. AB/ CD, ./ AMP =/ PNC, ./ PCN = Z PNC,PC= PN,AP= PN, .Z PNA=45° , ./ PNP' = 90° ,. P' NH+PNG

14、= 90° ,. /P' NH + /NP' H = 90° , / PNG+/NPG=90° ,./NPG = /P' NH, /PNG = /NP' H,由翻折性質(zhì)得：PN=P' N,? / ? ?在 PGN 和 NHP'中，? ?' ?/ ?/ ? ' ?PGNA NHP' (ASA)PG = NH, GN=P'H, BD是正方形 ABCD的對角線, .Z PDG =45° ,易得PG = GD,GN = DH ,DH = P'H,P'DH =45

15、76; ,故/ P'DA=45° , 點(diǎn)P'在線段DO'上運(yùn)動；過點(diǎn)S作SKL DO',垂足為 K, 點(diǎn)S為AD的中點(diǎn)， .DS=2,則P'S的最小值為v2;問題拓展：解：延長 AG交BC于E,交DC的延長線于 Q,延長FH交CD于P,如圖4:5則 EG = AG= |, PH = FH ,AE= 5,在 RtAABE 中，BE=，？ ？為=3,CE= BC - BE=1, . /B=/ ECQ= 90° , /AEB = /QEC,ABEA QCE,? ?= ?= 3，15qeTae= 5，AQ = AE+QE=蛋, AGXMN,

16、./AGM =90° =/ B, / MAG =/ EAB, . AGMABE,券募即登解得：AM= 25,8由折疊的性質(zhì)得： AB'=EB=3, /B'=/B=90° , / C'=/BCD=90° ,B'M=，？?？?- ? = 7, AC'=1, 8. / BAD = 90° , . B'AM = Z C'FA,AFC'A MAB',? ?_ 1_? 8解得：AF= 27-,DF" 2537' AGXMN, FHXMN,AG / FH ,AQ / FP ,DF

17、PA DAQ ,? ? 口丘?二 ,艮P 20 :? ?3解得：FP= 7,-FH= 2fp=譽(yù).點(diǎn)評：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度,證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵.3. (2019年無錫中考副卷第 28題)如圖，在 RtABC中，AC=BC=4, /ACB=90° ,正方形 BDEF的邊長為2,將正方形BDEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，連接 AE、BE、CD.(1)請找出圖中與 ABE相似的三角形，并說明理由;(2)求當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直

18、線上時 CD的長;(3)設(shè)AE的中點(diǎn)為M,連接FM，試求FM長的取值范圍.【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB= J2BC=4v2,根據(jù)勾股定理得到AF="？2 ? =V(4 v2) 2 - 22 =2v7,如圖1,當(dāng)AE在AB左上方時，如圖 2,當(dāng)AE在AB右下方時，即可得到結(jié)論;(3)如圖3,延長EF到G使FG=EF,連接AG, BG,求得 BFG是等腰直角三角形， 得到BG= v2BF= 2v2,設(shè)M為AE的中點(diǎn)，連接 MF,根據(jù)三角形中位線的定理得到AG = 2FM,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論.【解析】

19、(1) ABEsCBD,.在 Rt ABC 中，AC=BC=4, /ACB = 90° , ./ ABC = / EBD = 45° , ./ ABE = / CBD,? 上?/樂?=驍，荷麗? ? =? ?ABEA CBD;(2) ABEACBD ,? ?/?= ?=覺'-v2CD=苗AE, AC= BC=4, / ACB = 90 ° ,AB= aJbC=4v2當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時,. /AFB = 90° , AF=，？ ？?？= V(4 v5) 2 - 22 =2v7,如圖1,當(dāng) AE在AB左上方時，AE = AF - EF =

20、2v7 - 2,CD= v14- v2；如圖2,當(dāng)AE在AB右下方時,同理，AE = AF+EF = 2v7+2,CD=1+ V2;綜上所述，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時，CD的長為 /4-(3)如圖3,延長EF到G使FG = EF,連接AG, BG,v2 或 vl4 + v2 ;則4BFG是等腰直角三角形,BG=或BF= 2v2,設(shè)M為AE的中點(diǎn)，連接MF, MF是AAGE的中位線, . AG = 2FM在ABG 中， AB BGW AGW AB+BG,2v2 WAGW6V2,v2 <FM<3v2.點(diǎn)評：本題考查了相似形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直

21、角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.4. (2019年鹽城中考第25題)如圖是一張矩形紙片，按以下步驟進(jìn)行操作：(I )將矩形紙片沿 DF折疊，使點(diǎn)A落在CD邊上點(diǎn)E處，如圖；(II)在第一次折疊的基礎(chǔ)上，過點(diǎn) C再次折疊，使得點(diǎn) B落在邊CD上點(diǎn)B'處，如圖，兩次折痕 交于點(diǎn)O;(出)展開紙片，分別連接 OB、OE、OC、FD,如圖.【探究】(1)證明： OBCOED;(2)若AB=8,設(shè)BC為x, OB2為y,求y關(guān)于x的關(guān)系式.【分析】(1)利用折疊性質(zhì)，由邊角邊證明OBCAOED ;(2)過點(diǎn) O 作 OHLCD 于點(diǎn) H.由(1) OBCOED,

22、OE=OB, BC= x,貝U AD=DE = x,貝U CE= 8-x, OH= 1-CD=4,則 EH=CH CE = 4 ( 8x) =x4 在 RtAOHE 中，由勾股定理得 OE2=OH2+EH2,即 OB2=42+ (x4) 2,所以 y關(guān)于 x 的關(guān)系式：y=x28x+32.【解析】(1)證明：由折疊可知，AD = ED, Z BCO=Z DCO = Z ADO = Z CDO =45° .BC=DE, / COD = 90° , OC = OD,在OBCA OED 中，? ?/ ?/ ? ?.OBCQOED (SAS);(2)過點(diǎn)。作OH LCD于點(diǎn)H.a&

23、#174;由（1） OBCA OED,OE= OB, . BC=x,貝U AD=DE = x,.CE=8-x,. OC = OD, / COD = 90°1_1 _ _1. CH= CD = 2AB= 2*8 = 4)OH= 21CD = 4,EH = CH - CE = 4- (8 - x) = x- 4在RtAOHE中，由勾股定理得oe2=oh2+eh2,即 OB2= 42+ (x - 4) 2, 1- y關(guān)于x的關(guān)系式：y= x2 - 8x+32 .點(diǎn)評：本題是四邊形綜合題，熟練運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)和全等三角形的判定以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.5.(2019?揚(yáng)州)如圖，已知等邊 A

24、BC的邊長為8,點(diǎn)P是AB邊上的一個動點(diǎn)(與點(diǎn) A、B不重合).直線1是經(jīng)過點(diǎn)P的一條直線，把 ABC沿直線1折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B'.(1)如圖1,當(dāng)PB=4時，若點(diǎn)B'恰好在AC邊上，則AB'的長度為 4或0 ;(2)如圖2,當(dāng)PB=5時，若直線1/AC,則BB'的長度為 _5v3(3)如圖3,點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動過程中，若直線1始終垂直于AC, ACB'的面積是否變化？若變化，說明理由；若不變化，求出面積；(4)當(dāng)PB=6時，在直線1變化過程中，求 ACB'面積的最大值.A,52幺'（圖1）、（S3）【分析】（1）證明 APB

25、9;是等邊三角形即可解決問題.（2）如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)E.連接BB'交PE于O. 可解決問題.（3）如圖3中，結(jié)論：面積不變.證明 BB' /AC即可.（4）如圖4中，當(dāng)B' PLAC時，AACB'的面積最大，設(shè)直線 問題.【解析】（1）如圖1中，.ABC是等邊三角形，./A=60° , AB=BC=AC=8, PB= 4,PB' = PB=PA=4, /A=60° , .APB'是等邊三角形，.AB，= AP=4.當(dāng)直線l經(jīng)過C時，點(diǎn)B'與A重合，此時AB' = 0故答案為4或0.A（苗用圄）證明

26、PEB是等邊三角形，求出 OB即PB'交AC于E,求出B' E即可解決工（2）如圖2中，設(shè)直線l交BC于點(diǎn)E.連接BB'交PE于O. PE/ AC,，/BPE = /A= 60° , /BEP=/C=60.PEB是等邊三角形，PB= 5,. B, B'關(guān)于 PE 對稱，BB' ± PE, BB ' = 2OB一 一 。5V3.OB = PB?sin60 =二, 2BB' = 5V3.故答案為5V3.(3)如圖3中，結(jié)論：面積不變.圖3. B, B'關(guān)于直線l對稱， .BB'，直線 1, 直線 UAC,

27、.AC/ BB',.-133一 SACB = SAACB= 2 X8X X8=16v3.(4)如圖4中，當(dāng)B' PL AC時， ACB'的面積最大,設(shè)直線PB'交AC于E,在 RtAAPE 中， PA=2, / PAE = 60° ,PE= PA?sin60 ° = v3,B E = 6+ v3,1 SACB'的最大值=萬 X8 X ( 6+ v3) = 4 v3 + 24.解法二：如圖5中，過點(diǎn)P作PH垂直于AC,圖5由題意可得：B'在以P為圓心半徑長為6的圓上運(yùn)動，當(dāng)PH的延長線交圓P于點(diǎn)B'時面積最大，1 一此時

28、 BH = 6+ v3, S”CB，的最大值=2 X8X ( 6+ v3) = 4V3 + 24.點(diǎn)評：本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱變換，解直角三角形，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題.6. (2019年南京中考第 26題)如圖 ，在RtABC中，/ C=90° , AC=3, BC = 4.求作菱形 DEFG ,使點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E、F在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上.小明的作法1 .如圖，在邊AC上取一點(diǎn) D,過點(diǎn)D作DG / AB交BC于點(diǎn)G .2 .以點(diǎn)D為圓心，DG長為半徑畫弧，交 AB于點(diǎn)

29、E.3 .在EB上截取EF=ED,連接FG ,則四邊形 DEFG為所求作的菱形.(1)證明小明所作的四邊形 DEFG是菱形.(2)小明進(jìn)一步探索，發(fā)現(xiàn)可作出的菱形的個數(shù)隨著點(diǎn)D的位置變化而變化請你繼續(xù)探索，直接寫出菱形的個數(shù)及對應(yīng)的 CD的長的取值范圍.【分析】(1)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.(2)求出幾種特殊位置的 CD的值判斷即可.【解答】(1)證明：: DE = DG, EF=DE,DG = EF, DG / EF, 四邊形DEFG是平行四邊形， DG = DE, 四邊形DEFG是菱形.(2)如圖1中，當(dāng)四邊形 DEFG是正方形時，設(shè)正方形的邊長為x.圖1在 RtABC 中

30、，. / C=90° , AC = 3, BC = 4, . AB=，乎 + 42 = 5,則 CD= 3x, AD= 5x,5 '4 ，AD+CD=AC,6037 '3 _ 36- CD= 5x= 37觀察圖象可知：0W CD v 36時，菱形的個數(shù)為 0.3 7如圖2中，當(dāng)四邊形 DAEG是菱形時，設(shè)菱形的邊長為m. DG / AB,?3-?5c CD = 3-15 = 9 H= 8,如圖3中，當(dāng)四邊形 DEBG是菱形時，設(shè)菱形的邊長為 DG / AB,? ? =? ?4-?=一，45一 n=209，.CG = 4-20169=9,. CD（290）2-（196）

31、2 = 4,觀察圖象可知：當(dāng)0WCDV36或4VCDW3時，菱形的個數(shù)為0,當(dāng)CD= 36或9 VCDW4時，菱形的個 37 337 83數(shù)為1,當(dāng)36VCDW9時，菱形的個數(shù)為2. 378點(diǎn)評：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，作圖-復(fù)雜作圖等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會尋找特殊位置解決問題，屬于中考?？碱}型，題目有一定難度.【專項(xiàng)突破【題組一】(2020?海門市校級模擬)已知正方形 ABCD, P為射線AB上的一點(diǎn)，以BP為邊作正方形BPEF ,使點(diǎn) F在線段CB的延長線上，連接 EA、EC.(1)如圖1,若點(diǎn)P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC;(2)若點(diǎn)P在線段AB上，如

32、圖2,當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時，判斷 ACE的形狀，并說明理由；(3)在(1)的條件下，將正方形 ABCD固定，正方形 BPEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，設(shè) AB=4, BP=a,若 在旋轉(zhuǎn)過程中 ACE面積的最小值為 4,請直接寫出a的值.【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)證明APEA CFE,可得結(jié)論;(2)分別證明/ PAE=45°和/ BAC=45° ,則/ CAE = 90° ,即 ACE是直角三角形；(3)如圖3中，連接BD交AC于O.因?yàn)辄c(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以 B為圓心，技a為半徑的圓，推出當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時， ACE的面積最小，構(gòu)建方程即可解決問題(注意一題多解)【解

33、答】證明：(1)如圖1中，四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形,，AB=BC, BP=BF, . AP= CF,在 APE和 CFE中，?= ?, Z ? / ?,?= ?APEA CFE,EA= EC;(2) ACE是直角三角形,理由是：如圖2中，D AB F圖2 . P為AB的中點(diǎn)，PA= PB, PB= PE,PA= PE, .Z PAE=45° ,又. / BAC=45° , .Z CAE =90 ° ,即 ACE是直角三角形;(3)如圖3中，連接BD交AC于O. 點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以 B為圓心，v2a為半徑的圓, 當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時， ACE的面積最小

34、，1- - XACXOE = 4, .OE= 2, BE= 22- <2 = 2 a = 1,.滿足條件的a的值為1.【題組二】2. (2019秋？青龍縣期末)在等邊三角形 ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC (含線段 AB、AC的端點(diǎn))上的動點(diǎn)，且/ EDF = 120° ,小明和小慧對這個圖形展開如下研究： 問題初探：(1)如圖1,小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)/ DEB = 90°時，BE+CF=nAB,則n的值為 g ;問題再探：(2)如圖2,在點(diǎn)E、F的運(yùn)動過程中，小慧發(fā)現(xiàn)兩個有趣的結(jié)論：DE始終等于DF;BE與CF的和始終不變；請你選擇其中一個結(jié)論加以證

35、明.成果運(yùn)用(3)若邊長AB=4,在點(diǎn)E、F的運(yùn)動過程中，記四邊形 DEAF的周長為L, L= DE+EA+AF + FD ,則周 長L的變化范圍是 2V3 + 6W LW 10 .圖1圖211【分析】(1)先利用等邊二角形判斷出 BD = CD= AB,進(jìn)而判斷出BE= BD,再判斷出/ DFC = 90° ,得出CF= 1CD,即可得出結(jié)論；(2)構(gòu)造出 EDGAFDH (ASA),得出DE = DF ,即可得出結(jié)論；1由(1)知，BG+CH= 2AB,由知， EDGA FDH (ASA),得出EG=FH,即可得出結(jié)論；(3)由(1) (2)判斷出L=2DE+6,再判斷出DELA

36、B時，L最小，點(diǎn)F和點(diǎn)C重合時，DE最大，即可得出結(jié)論.【解答】解：（1） . ABC是等邊三角形,.Z B=Z C=60° , AB=BC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，1 1 BD = CD= BC= AB , 22'. / DEB = 90° , ./ BDE= 90° - / B = 30° ,.1在 RtABDE 中，BE= ；BD, . / EDF = 120° , / BDE=30° , ./CDF = 180° - / BDE- Z EDF = 30° , . / C=60° , ./ DFC

37、 = 90° , ,一 1在 RtACFD 中，CF= 1CD, 1111 .BE+CF= 2BD+ 2?= 2BC= 2AB, BE+CF = nAB,一 n=12'一，一，1故答案為一；2(2)如圖2,過點(diǎn)D作DG，AB于G, DH XAC于H,B D C 圖2/ DGB = / AGD = / CFD = / AHF = 90° ,.ABC是等邊三角形，/GDH=360° / AGD / AHD / A= 120° , . / EDF = 120° , ./ EDG =/ FDH , ABC是等邊三角形，且 D是BC的中點(diǎn), ./

38、 BAD = Z CAD, DGXAB, DH ±AC,DG = DH ,在 EDG和 FDH中,/ ? / ? 90 ° ? ?，/ ?/ ?.,.EDGAFDH (ASA),DE = DF,即：DE始終等于DF ;1同(1)的萬法得，BG+CH= 'AB,由知， EDGA FDH (ASA),EG = FH, _ 1BE+CF = BG- EG+CH + FH = BG + CH= 1AB, BE與CF的和始終不變,，1(3)由(2)知，DE = DF, BE+CF=1AB, AB= 4,BE+CF = 2,四邊形 DEAF的周長為 L= DE + EA+AF+

39、FD=DE +AB - BE+AC - CF + DF= DE+AB- BE+AB+DE= 2DE+2AB- (BE+CF)= 2DE+2X4 - 2= 2DE+6, DE最大時，L最大，DE最小時，L最小，當(dāng)DEAB時，DE最小,，1由(1)知，BG= 2BD=1,DE 最小=v3BG= V3,L 最小=2V3 + 6,當(dāng)點(diǎn)F和點(diǎn)C重合時，DE最大，此時，/ BDE = 180° -乙EDF = 120° = 60° ,. / B=60° ,. B=/ BDE=/ BED=60° ,.BDE是等邊三角形， 1 DE = BD= 2AB= 2,

40、即：L 最大=2X2+6 = 10,周長L的變化范圍是 2V3 + 6W LW10,故答案為2V3 + 6WLW10.3.(2019秋？張家港市期末)在長方形紙片 ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，將 AED沿AE所在的直線 折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處.(1)如圖1,若點(diǎn)F落在對角線 AC上，且/ BAC=54° ,則/ DAE的度數(shù)為 18 ° .(2)如圖2,若點(diǎn)F落在邊BC上，且AB=6, AD=10,求CE的長.(3)如圖3,若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF的沿長線交 BC于點(diǎn)G,且AB=6, AD=10,求CG的長.【分析】(1)由矩形的性質(zhì)和已知得出/DAC = 90

41、76; -54° =36° ,由折疊的性質(zhì)得/ DAE = /FAE,得出/ DAE= -Z DAC =18° 即可； 2(2)由矩形的性質(zhì)得出/ B=/C=90° , BC=AD=10, CD=AB=6,由折疊的性質(zhì)得 AF = AD = 10,EF=ED,由勾股定理得出 BF=，？?？ ？?？=8,得出 CF= BC - BF = 2,設(shè) CE= x，貝U EF= ED= 6 - x, 在RtACEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可;(3)連接 EG,證明 RtACEGA FEG (HL),得出 CG= FG,設(shè) CG = FG = y,則 AG=

42、 AF + FG = 10+y,BG= BC- CG = 10- y,在RtABG中，由勾股定理得出方程，解方程即可.【解答】解：(1)二.四邊形ABCD是矩形,. / BAC = 54 ° , ./ DAC = 90° 54° =36° ,由折疊的性質(zhì)得：/ DAE = Z FAE, ./ DAE= 1/ DAC = 18° ; 2故答案為：18;(2)二.四邊形ABCD是矩形, ，/B=/C=90° , BC = AD=10, CD = AB=6,由折疊的性質(zhì)得： AF=AD=10, EF=ED,BF=，？ ？?=，10 - 62

43、 =8,CF= BC - BF = 10- 8=2,設(shè) CE = x,貝U EF=ED=6 x,在RtACEF中，由勾股定理得：22+x2= (6-x) 2,解得：x= 8,3即CE的長吟(3)連接EG,如圖3所示:點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),DE = CE由折疊的性質(zhì)得:AF=AD=10, /AFE = /D = 90° , FE=DE, ./ EFG = 90° =Z C,在以cegfegG ?=? ? RtACEGA FEG (HL),.CG = FG,設(shè) CG = FG = y,則 AG = AF + FG =10+y, BG = BC - CG = 10 - y,在 RtA

44、ABG 中，由勾股定理得：62+ (10-y) 2= ( 10+y) 2, 解得：y=2，即CG的長為.104. (2020?興化市模擬)如圖，現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD, AB=4, BC= 8,點(diǎn)M, N分別在矩形的邊 AD,BC上，將矩形紙片沿直線 MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊 AD上，記為點(diǎn)P,點(diǎn)D落在G處，連接PC, 交MN 丁點(diǎn)Q,連接CM .(1)求證：PM=PN;(2)當(dāng)P, A重合時，求MN的值；(3)若 PQM的面積為S,求S的取值范圍.備用圖【分析】(1)想辦法證明/ PMN = Z PNM即可解決問題.(2)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，設(shè)BN = x,表示出AN=NC=8-x,利用

45、勾股定理列出方程求解得 x的值，進(jìn) 而用勾股定理求得 MN .(3)當(dāng)MN過D點(diǎn)時，求得四邊形 CMPN的最小面積，進(jìn)而得 S的最小值，當(dāng)P與A重合時，S的值 最大，求得最大值即可.【解答】(1)證明：如圖1中,G£1四邊形ABCD是矩形,PM / CN, ./ PMN =/ MNC,. / MNC = Z PNM, ./ PMN =Z PNM,PM= PN.(2)解：點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，如圖2中,設(shè) BN = x,貝U AN= NC=8- x,在 RtMBN 中，AB2+BN2 = AN2,即 42+x2= ( 8 - x) 2,解得x= 3,.CN = 8-3=5, AC=，？+

46、?= a/42 + 82 = 4v5,1CQ= 2AC = 2v5,QN=，?- ?= v52 - (2 v5)2 = v5,MN = 2QN = 2V§.（3）解：當(dāng)MN過點(diǎn)D時，如圖3所示，此時，CN最短，四邊形CMPN的面積最小，則S最小為S=為菱 1形 CMPN= 4X4X4= 4,當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時，CN最長，四邊形 CMPN的面積最大，則 S最大為S= 4 X5X4=5,-4<S< 5,【題組二】5. （2019秋？婁星區(qū)期末）在 ABC中，AB=AC,點(diǎn)D為射線CB上一個動點(diǎn)（不與 B、C重合），以AD 為一邊在 AD的右側(cè)作 ADE ,使AD = AE,

47、/ DAE = / BAC,過點(diǎn)E作EF / BC,交直線 AC于點(diǎn)F, 連接CE.（1）如圖，若/ BAC = 60° ,則按邊分類： CEF是 等邊 三角形;（2）若/ BAC<60° .如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上移動時，判斷 CEF的形狀并證明；當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上移動時，4CEF是什么三角形？請?jiān)趫D 中畫出相應(yīng)的圖形并直接寫出 結(jié)論（不必證明）.【分析】（1）根據(jù)題意推出/ ACB = ZABC=60° ,然后通過求證 EACA DAB,結(jié)合平行線的性質(zhì), 即可推出 EFC為等邊三角形；（2）根據(jù)（1）的推理方法，即可推出 EFC為等腰三角形；根

48、據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)平行線 的性質(zhì)，通過求證4 EACA DAB ,推出等量關(guān)系，即可推出 EFC為等腰三角形.【解答】解：（1）如圖 1, ,. AB = AC, AD = AE, Z BAC=Z DAE =60° , ./ACB = / ABC=60° , /EAC = /DAB,DABA EAC, ./ ECA=Z B= 60° , EF / BC, ./ EFC = / ACB=60.在 EFC 中，Z EFC = Z ECF = 60° =/ CEF , .EFC為等邊三角形，故答案為：等邊；(2)4CEF為等腰三角形，證明：如圖 2, A

49、B= AC, AD= AE, Z BAC=Z DAE, .Z ACB = Z ABC, Z EAC = Z DAB,EACA DAB, ./ ECA=Z B, .Z ACE = Z ACB, EF / BC, ./ EFC = Z ACB, .Z EFC = Z ACE,，CE= FE,.EFC為等腰三角形；如圖，4EFC為等腰三角形.當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上時，以 AD為一邊在 AD的左側(cè)作 ADE,使AD = AE, Z DAE = Z BAC,過點(diǎn)E 作BC的平行線EF,交直線AC的延長線于點(diǎn)F,連接DE.證明：: AB = AC, AD = AE, Z BAC = Z DAE, .Z AC

50、B = Z ABC, Z EAC = Z DAB,EACA DAB, ./ ECA=Z DBA, ./ ECF = Z ABC, EF / BC, .Z AFE = Z ACB,又. / ABC = Z ACB, .Z AFE = Z ECF,EC= EF,6. .EFC為等腰三角形.國(2019秋？東?？h期末)已知BC=5, AB=1, ABXBC,射線CMXBC,動點(diǎn)P在線段BC上(不與點(diǎn)B,C重合)，過點(diǎn)P作DPLAP交射線CM于點(diǎn)D,連接AD.(1)如圖1,若BP=4,判斷 ADP的形狀，并加以證明.(2)如圖2,若BP=1,作點(diǎn)C關(guān)于直線DP的對稱點(diǎn)C',連接AC'請

51、直接寫出線段AC'的長度.依題意補(bǔ)全圖2;【分析】(1)先判斷出PC = AB,再用同角的余角相等判斷出/ APB = / PDC,得出 ABPPCD (AAS),即可得出結(jié)論；(2)利用對稱的性質(zhì)畫出圖形；先求出 CP=4, AB = AP, /CPD=45° ,進(jìn)而得出 C'P=CP=4, / C'PD = / CPD = 45° ,再判斷出 四邊形BQC'P是矩形，進(jìn)而求出 AQ=BQ-AB=3,最后用勾股定理即可得出結(jié)論.【解答】(1) ADP是等腰直角三角形.證明：BC=5, BP=4,PC= 1, AB= 1, PC= AB.AB

52、± BC, CMXBC, DPXAP,.Z B=Z C=90° ,/ APB+/DPC = 90° , / PDC + /DPC = 90° , ./ APB = / PDC, /?= /?在ABP 和 PCD 中，/ ?/ ? ?= ?ABPA PCD (AAS)AP= PD, . /APD=90° ,.ADP是等腰直角三角形.(2)依題意補(bǔ)全圖2; BP= 1, AB=1 , BC= 5,CP= 4, AB=AP, . /ABP=90° ,APB = 45 . /APD=90° , .Z CPD = 45° ,

53、連接C'P, 點(diǎn)C與C'關(guān)于DP對稱，.C'P = CP = 4, Z C'PD = Z CPD= 45° , .Z CPC'= 90° , ./ BPC'=90° ,過點(diǎn)C作C'QBA交BA的延長線于 Q,，/Q = 90。=/ ABP = /BPC', 四邊形BQC'P是矩形，,.C'Q=BP=1, BQ=C'P=4,.AQ = BQ-AB=3,在 RtAAC'Q 中，AC' = a407. (2019秋？江都區(qū)期末)在 RtABC中，Z ACB = 90&

54、#176; , AC=15, AB=25,點(diǎn)D為斜邊 AB上動點(diǎn).(1)如圖1 ,當(dāng)CD LAB時，求CD的長度；(2)如圖2,當(dāng)AD = AC時，過點(diǎn) D作DELAB交BC于點(diǎn)E,求CE的長度；(3)如圖3,在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，連接 CD,當(dāng) ACD為等腰三角形時，直接寫出AD的長度.【分析】(1)求出BC=20,由AB?CD=BC?AC可求出答案；(2)根據(jù) HL 證明 RtAACERtA ADE,推出 CE=DE, AC = AD=15,設(shè) CE=x,貝 U BE=20- x, BD= 25-15= 10,在RtA BED中根據(jù)勾股定理即可解決問題；(3)分兩種情形分別求解即可解決問題.【解答】解：(1)