1、5.1 自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo) 5.2 虛位移原理虛位移原理5.3 動(dòng)能和勢(shì)能動(dòng)能和勢(shì)能5.4 DAlembert原理原理 5.5 Lagrange方程方程5.6 哈密爾頓原理哈密爾頓原理自由度自由度 完全確定系統(tǒng)在任何瞬時(shí)位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱(chēng)為自由度。完全確定系統(tǒng)在任何瞬時(shí)位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱(chēng)為自由度。 5.1 自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo) 5.1 自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo) 分析力學(xué)分析力學(xué) 分析力學(xué)是利用分析方法研究質(zhì)點(diǎn)系平衡和運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的工具。分析力學(xué)是利用分析方法研究質(zhì)點(diǎn)系平衡和運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的工具。它從能量的觀點(diǎn)，統(tǒng)一建立起系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和功之間的標(biāo)量關(guān)它從能量的觀

2、點(diǎn)，統(tǒng)一建立起系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和功之間的標(biāo)量關(guān)系，是研究靜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一個(gè)普遍、簡(jiǎn)單又統(tǒng)一的方法系，是研究靜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一個(gè)普遍、簡(jiǎn)單又統(tǒng)一的方法。 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) 用某一組獨(dú)立坐標(biāo)（參數(shù)）就能完全確定系統(tǒng)在任何瞬時(shí)的用某一組獨(dú)立坐標(biāo)（參數(shù)）就能完全確定系統(tǒng)在任何瞬時(shí)的位置，則這組坐標(biāo)稱(chēng)為廣義坐標(biāo)。位置，則這組坐標(biāo)稱(chēng)為廣義坐標(biāo)。 一般地，建立振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)廣義坐標(biāo)的數(shù)目一般地，建立振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)廣義坐標(biāo)的數(shù)目與自由度相等。與自由度相等。約束約束 對(duì)質(zhì)點(diǎn)在空間的運(yùn)動(dòng)所加的限制稱(chēng)為約束。對(duì)質(zhì)點(diǎn)在空間的運(yùn)動(dòng)所加的限制稱(chēng)為約束。 質(zhì)點(diǎn)的自由度質(zhì)點(diǎn)的自由度 質(zhì)點(diǎn)在空間需要質(zhì)點(diǎn)在空間需要3個(gè)獨(dú)立坐

3、標(biāo)才能確定它在任何瞬時(shí)的位置，因此，個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定它在任何瞬時(shí)的位置，因此，它的自由度為它的自由度為3。n個(gè)毫不相干、無(wú)任何約束的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)系自由度為個(gè)毫不相干、無(wú)任何約束的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)系自由度為3n。5.1 自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo) 剛體的自由度剛體的自由度 一個(gè)剛體在空間需要一個(gè)剛體在空間需要6個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定其在任何瞬時(shí)的位置，因個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定其在任何瞬時(shí)的位置，因此它的自由度為此它的自由度為6。m個(gè)無(wú)約束剛體組成的系統(tǒng)自由度為個(gè)無(wú)約束剛體組成的系統(tǒng)自由度為6m。振動(dòng)系統(tǒng)的自由度振動(dòng)系統(tǒng)的自由度 振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型中若有振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)模型中若有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)和個(gè)質(zhì)點(diǎn)和m個(gè)剛體，

4、那么它的自由度個(gè)剛體，那么它的自由度DOF必定滿(mǎn)足下列方程：必定滿(mǎn)足下列方程：DOF = 3 n + 6 m -（約束方程數(shù)）（約束方程數(shù)） 例例 5.1 圖圖 (a)中，質(zhì)量用一中，質(zhì)量用一根彈簧懸掛。圖（根彈簧懸掛。圖（b）中質(zhì)）中質(zhì)量用一根長(zhǎng)度為量用一根長(zhǎng)度為l，變形可忽，變形可忽略的懸絲懸掛。分析系統(tǒng)的略的懸絲懸掛。分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)的廣義自由度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。坐標(biāo)。2.1 自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo) 這樣，坐標(biāo)這樣，坐標(biāo) x 、 y 和和 z 就再不獨(dú)立。若用球面坐標(biāo)就再不獨(dú)立。若用球面坐標(biāo)r 、y y 和和j j 來(lái)表示，來(lái)表示，必須滿(mǎn)足條件必須滿(mǎn)足條件 r

5、 = l ，只要用，只要用y y 和和j j 兩個(gè)坐標(biāo)就能完全確定質(zhì)量在任何瞬兩個(gè)坐標(biāo)就能完全確定質(zhì)量在任何瞬時(shí)的位置，即時(shí)的位置，即廣義坐標(biāo)數(shù)為廣義坐標(biāo)數(shù)為2，自由度為，自由度為2。解解 對(duì)圖（對(duì)圖（a）所示的系統(tǒng)，盡管質(zhì)量用彈簧懸掛，但彈簧能自由地伸長(zhǎng)，）所示的系統(tǒng)，盡管質(zhì)量用彈簧懸掛，但彈簧能自由地伸長(zhǎng)，因此它的約束方程為零，自由度為因此它的約束方程為零，自由度為3。 對(duì)圖（對(duì)圖（b）所示的系統(tǒng)，懸掛質(zhì)量的懸絲不可伸長(zhǎng)，）所示的系統(tǒng)，懸掛質(zhì)量的懸絲不可伸長(zhǎng)， 因此在空間的位置必因此在空間的位置必須滿(mǎn)足質(zhì)量離懸掛點(diǎn)的距離保持不變的條件，即滿(mǎn)足下列方程約束方程：須滿(mǎn)足質(zhì)量離懸掛點(diǎn)的距離保持不

6、變的條件，即滿(mǎn)足下列方程約束方程：2222lzyx(a) （b）例例 5.2 右圖表示由剛性桿右圖表示由剛性桿l 1和質(zhì)量和質(zhì)量m 1及剛性桿及剛性桿l 2和質(zhì)量和質(zhì)量m 2組成的兩個(gè)單擺在組成的兩個(gè)單擺在O 處用鉸鏈連接成處用鉸鏈連接成雙擺，并通過(guò)鉸鏈雙擺，并通過(guò)鉸鏈O與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)在平面內(nèi)擺動(dòng)，分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。的廣義坐標(biāo)。 設(shè)剛性桿設(shè)剛性桿l 1與與x軸的夾角為軸的夾角為q q 1 ，剛性桿，剛性桿l 2與與x軸的夾角為軸的夾角為q q 2 ，方向如，方向如圖所示，那么用和可以完全確定雙擺在

7、任何瞬時(shí)的位置，圖所示，那么用和可以完全確定雙擺在任何瞬時(shí)的位置， q q 1和和q q 2可以作可以作為雙擺的廣義坐標(biāo)。為雙擺的廣義坐標(biāo)。 5.1 自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo) 解解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，因此，由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，因此， z 1 = 0，z 2 = 0，而雙擺的長(zhǎng)度而雙擺的長(zhǎng)度l 1和和l 2不變，即不變，即 利用自由度利用自由度DOF計(jì)算的公式，可得到雙擺的自由度為計(jì)算的公式，可得到雙擺的自由度為 212121lyx22212212lyyxxDOF 5.1 自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo) 完整約束完整約束 當(dāng)約束方程本身或約束方程通過(guò)積分后可以用下式所示的

8、形式表示時(shí)，當(dāng)約束方程本身或約束方程通過(guò)積分后可以用下式所示的形式表示時(shí)，稱(chēng)為完整約束。顯然，例稱(chēng)為完整約束。顯然，例5.15.1和例和例5.25.2的約束都是完整約束。的約束都是完整約束。0)(tz,y,x,fi定常約束定常約束當(dāng)約束方程與時(shí)間當(dāng)約束方程與時(shí)間t 無(wú)關(guān)時(shí)，稱(chēng)為定常約束。例無(wú)關(guān)時(shí)，稱(chēng)為定常約束。例5.15.1和例和例5.25.2的約束都是定的約束都是定常約束。常約束。不完整約束不完整約束 當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)的約束稱(chēng)為不完整約束。具當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)的約束稱(chēng)為不完整約束。具有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣有不

9、完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù)。義坐標(biāo)數(shù)。5.1 自由度和廣義坐標(biāo)自由度和廣義坐標(biāo) 不完整約束不完整約束 當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)的約束稱(chēng)為不完整約束。具當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項(xiàng)時(shí)，系統(tǒng)的約束稱(chēng)為不完整約束。具有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣義坐標(biāo)數(shù)。義坐標(biāo)數(shù)。例例 5.3 剛體剛體A通過(guò)三個(gè)點(diǎn)放置通過(guò)三個(gè)點(diǎn)放置在在xoy 平面上，其中的兩個(gè)接平面上，其中的兩個(gè)接觸點(diǎn)可在平面上作無(wú)摩擦自由觸點(diǎn)可在平面上作無(wú)摩擦自由滑動(dòng)，而滑動(dòng)，而P點(diǎn)有一個(gè)刀

10、片，使點(diǎn)有一個(gè)刀片，使其只能沿刀片方向移動(dòng)，分析其只能沿刀片方向移動(dòng)，分析冰刀系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和自由度冰刀系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和自由度。解解 由于剛體由于剛體A在在xoy平面中移動(dòng)，因此需要三個(gè)廣義坐標(biāo)平面中移動(dòng)，因此需要三個(gè)廣義坐標(biāo)(x, y和和q q)描述其描述其在任意時(shí)刻的位置。在任意時(shí)刻的位置。 而剛體而剛體A只能只能沿刀片方向移動(dòng)，因沿刀片方向移動(dòng)，因此有約束方程：此有約束方程：自由度數(shù)為自由度數(shù)為2 2，小于廣義坐標(biāo)數(shù)。，小于廣義坐標(biāo)數(shù)。qtanxy5.2 虛位移原理虛位移原理 虛位移虛位移 所謂非自由質(zhì)點(diǎn)系的虛位移是指在某一固定時(shí)刻，所謂非自由質(zhì)點(diǎn)系的虛位移是指在某一固定時(shí)刻，約束所允許

11、約束所允許發(fā)生的發(fā)生的坐標(biāo)微小改變量。坐標(biāo)微小改變量。 虛位移只是約束允許的虛位移只是約束允許的可能位移可能位移 ，并，并不一定是不一定是系統(tǒng)的系統(tǒng)的真實(shí)位移真實(shí)位移。它。它與時(shí)間與時(shí)間t 的變化無(wú)關(guān)。的變化無(wú)關(guān)。 虛位移用虛位移用d d 表示，真實(shí)微小位移用表示，真實(shí)微小位移用d d表示。表示。虛功虛功 力在虛位移上的元功稱(chēng)為虛功。力在虛位移上的元功稱(chēng)為虛功。在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)或平衡中處于主導(dǎo)地位。在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)或平衡中處于主導(dǎo)地位。約束作用于系統(tǒng)的力。約束作用于系統(tǒng)的力。力的分類(lèi)力的分類(lèi)作用于系統(tǒng)的力可分為兩類(lèi)：作用于系統(tǒng)的力可分為兩類(lèi)：約束反力約束反力和和主動(dòng)力主動(dòng)力。理想約束理想約束 在虛位移上不

12、做功的約束稱(chēng)為理想約束。在虛位移上不做功的約束稱(chēng)為理想約束。虛位移原理虛位移原理 受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在某一位置平衡的必要與充分條件是：受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在某一位置平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系所有主動(dòng)力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。作用于質(zhì)點(diǎn)系所有主動(dòng)力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。5.2 虛位移原理虛位移原理 虛位移原理虛位移原理 受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在某一位置平衡的必要與充分條件是：受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在某一位置平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系所有主動(dòng)力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。作用于質(zhì)點(diǎn)系所有主動(dòng)力在該位置處的任何虛位移中的虛

13、功之和等于零。01piiiWrFdd其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其數(shù)學(xué)表達(dá)式為: :其中，其中，F(xiàn) Fi i為作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力，為作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力， dr ri i為虛位移。上式也稱(chēng)為為虛位移。上式也稱(chēng)為虛功方程虛功方程。虛位移原理的另一種表述虛位移原理的另一種表述 若系統(tǒng)有若系統(tǒng)有n個(gè)自由度，任意一點(diǎn)的坐標(biāo)矢量可以用個(gè)自由度，任意一點(diǎn)的坐標(biāo)矢量可以用n個(gè)廣義坐標(biāo)和時(shí)間個(gè)廣義坐標(biāo)和時(shí)間t來(lái)表示，即：來(lái)表示，即：)(21tqqqnii，rr由于虛位移與時(shí)間無(wú)關(guān)，則有：由于虛位移與時(shí)間無(wú)關(guān)，則有：nkkkiiqq1ddrr 代入虛功方程，得：代入虛功方程，得： pinkkkiiqqW11ddrF5.2

14、虛位移原理虛位移原理 對(duì)換求和的次序，得：對(duì)換求和的次序，得： nkkpikiiqqW11ddrF其中，其中， 為與廣義坐標(biāo)為與廣義坐標(biāo)q qk k 對(duì)應(yīng)的廣對(duì)應(yīng)的廣義力。義力。 ), 2, 1(1nkqQpikiikrF這樣，虛功方程可以寫(xiě)成：這樣，虛功方程可以寫(xiě)成：01nkkkqQWdd 由于虛位移是約束所允許的任意可能位移，因此可任意選擇，當(dāng)上式成由于虛位移是約束所允許的任意可能位移，因此可任意選擇，當(dāng)上式成立時(shí)，有：立時(shí)，有：), 2, 1(0nkQk 虛位移原理虛位移原理可表述為：在理想約束情況下，可表述為：在理想約束情況下，n 個(gè)自由度的系統(tǒng)達(dá)到平衡個(gè)自由度的系統(tǒng)達(dá)到平衡的充要條件

15、是的充要條件是n 個(gè)廣義力都等于零。個(gè)廣義力都等于零。5.3 動(dòng)能和勢(shì)能動(dòng)能和勢(shì)能 動(dòng)能動(dòng)能 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m i的質(zhì)點(diǎn)在某位置時(shí)的速度是的質(zhì)點(diǎn)在某位置時(shí)的速度是 ，則質(zhì)點(diǎn)在此位置的動(dòng)能為，則質(zhì)點(diǎn)在此位置的動(dòng)能為 ir iiimVrr 21其中其中,nkikkiitqq1rrr若振動(dòng)系統(tǒng)由若振動(dòng)系統(tǒng)由p個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，則系統(tǒng)的動(dòng)能為個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，則系統(tǒng)的動(dòng)能為 ipiiimVrr 121 當(dāng)系統(tǒng)具有定常約束時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)只是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，而不顯當(dāng)系統(tǒng)具有定常約束時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)只是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，而不顯含時(shí)間含時(shí)間 t 。系統(tǒng)的動(dòng)能可寫(xiě)成：。系統(tǒng)的動(dòng)能可寫(xiě)成：pinlllinkkkiiqqqq

16、mV11121rr改變求和的次序，得：改變求和的次序，得： nknllkpilikiiqqqqmV11121rr5.3 動(dòng)能和勢(shì)能動(dòng)能和勢(shì)能 nknllklkqqmV1121或：或：其中，其中， 和和 為廣義速度，為廣義速度， 為廣義質(zhì)量系數(shù)，為廣義質(zhì)量系數(shù)， 。kq lq lkmpilikiilkqqmm1rr 引入廣義質(zhì)量矩陣引入廣義質(zhì)量矩陣 M ，并引入廣義速度列陣，并引入廣義速度列陣 ，則動(dòng)能可表示為，則動(dòng)能可表示為q 顯然顯然 有有m k l = m l k。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近作小振動(dòng)時(shí)可近似地取其在。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近作小振動(dòng)時(shí)可近似地取其在平衡位置附近臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)的第一項(xiàng)，即

17、將平衡位置附近臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)的第一項(xiàng)，即將m k l取為與廣義坐標(biāo)無(wú)關(guān)的常數(shù)。取為與廣義坐標(biāo)無(wú)關(guān)的常數(shù)。21TqMqV顯然，動(dòng)能是正定的，廣義質(zhì)量矩陣也是正定的。顯然，動(dòng)能是正定的，廣義質(zhì)量矩陣也是正定的。勢(shì)力場(chǎng)和勢(shì)力場(chǎng)和勢(shì)力勢(shì)力 質(zhì)點(diǎn)從力場(chǎng)中某一位置運(yùn)動(dòng)到另一位置時(shí)，作用力的功與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷的路徑質(zhì)點(diǎn)從力場(chǎng)中某一位置運(yùn)動(dòng)到另一位置時(shí)，作用力的功與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷的路徑無(wú)關(guān)，而只與其起點(diǎn)及終點(diǎn)位置有關(guān)，這就是所謂的勢(shì)力場(chǎng)。重力場(chǎng)、萬(wàn)有無(wú)關(guān)，而只與其起點(diǎn)及終點(diǎn)位置有關(guān)，這就是所謂的勢(shì)力場(chǎng)。重力場(chǎng)、萬(wàn)有引力場(chǎng)和彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。引力場(chǎng)和彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。在勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)所受的力稱(chēng)為勢(shì)力在勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)所受的力稱(chēng)

18、為勢(shì)力。勢(shì)能勢(shì)能所謂勢(shì)能是把質(zhì)點(diǎn)從當(dāng)前位置移至勢(shì)能零點(diǎn)的過(guò)程中勢(shì)力所作的功。根據(jù)勢(shì)所謂勢(shì)能是把質(zhì)點(diǎn)從當(dāng)前位置移至勢(shì)能零點(diǎn)的過(guò)程中勢(shì)力所作的功。根據(jù)勢(shì)能的定義，特別需要強(qiáng)調(diào)的是：能的定義，特別需要強(qiáng)調(diào)的是：勢(shì)能大小與規(guī)定的勢(shì)能零點(diǎn)位置有關(guān)勢(shì)能大小與規(guī)定的勢(shì)能零點(diǎn)位置有關(guān)。5.3 動(dòng)能和勢(shì)能動(dòng)能和勢(shì)能 勢(shì)能勢(shì)能在線性系統(tǒng)中，勢(shì)能是廣義坐標(biāo)的二次函數(shù)?？捎镁仃囆问奖硎境桑涸诰€性系統(tǒng)中，勢(shì)能是廣義坐標(biāo)的二次函數(shù)。可用矩陣形式表示成：21TqKqU 例例 5.4 右圖表示由剛性桿右圖表示由剛性桿l 1和質(zhì)量和質(zhì)量m 1及剛性桿及剛性桿l 2和質(zhì)量和質(zhì)量m 2組成的兩個(gè)單擺在組成的兩個(gè)單擺在O 處用鉸鏈連

19、接成雙擺，并通過(guò)鉸鏈處用鉸鏈連接成雙擺，并通過(guò)鉸鏈O與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)。求系統(tǒng)作微振與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)。求系統(tǒng)作微振動(dòng)時(shí)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。動(dòng)時(shí)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。 解解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，可取由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，可取q q 1和和q q 2為廣義坐為廣義坐標(biāo)。并以平衡位置標(biāo)。并以平衡位置 q q 1q q 2 0 作為作為勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn)。則系統(tǒng)的勢(shì)能為則系統(tǒng)的勢(shì)能為)cos1()cos1()cos1(22112111qqqllgmlgmU 其中，其中， K 為剛度矩陣。一般地，剛度矩陣是對(duì)稱(chēng)、半正定矩陣。為剛度矩陣。一般地，剛度矩陣是對(duì)

20、稱(chēng)、半正定矩陣。微振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能在平衡位置附近展開(kāi)并保留廣義坐標(biāo)的二次項(xiàng)：微振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能在平衡位置附近展開(kāi)并保留廣義坐標(biāo)的二次項(xiàng)：21)(21222221121qqlgmlgmmU5.3 動(dòng)能和勢(shì)能動(dòng)能和勢(shì)能 系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為)(cos2212112212122222121221211qqqqqqqllllmlmV22222122121221212121)(cos)(21qqqqqqlmllmlmm通常，系數(shù)通常，系數(shù) m i j 一般不是常數(shù)，這里一般不是常數(shù)，這里m 1 2和和m 21是廣義坐標(biāo)的函數(shù)是廣義坐標(biāo)的函數(shù))(cos21122121221qqllmmm當(dāng)系統(tǒng)在平

21、衡位置附近作小運(yùn)動(dòng)時(shí)，系數(shù)當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置附近作小運(yùn)動(dòng)時(shí)，系數(shù) m i j 取其在平衡位置附近臺(tái)勞級(jí)取其在平衡位置附近臺(tái)勞級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)：數(shù)的第一項(xiàng)：212122121llmmm則系統(tǒng)的動(dòng)能可寫(xiě)成則系統(tǒng)的動(dòng)能可寫(xiě)成222222121221212121)(21qqqqlmllmlmmV5.3 動(dòng)能和勢(shì)能動(dòng)能和勢(shì)能 將動(dòng)能和勢(shì)能寫(xiě)成矩陣形式可以得到剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：將動(dòng)能和勢(shì)能寫(xiě)成矩陣形式可以得到剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：21)(21222221121qqlgmlgmmU222222121221212121)(21qqqqlmllmlmmV2212100)(lgmlgmmK2222122122111)(

22、lmllmllmlmmM5.4 DAlembert原理原理 質(zhì)系質(zhì)系DAlembert原理原理 作用在質(zhì)系上的外力（主動(dòng)力和約束反力）和慣性力構(gòu)成平衡力系。作用在質(zhì)系上的外力（主動(dòng)力和約束反力）和慣性力構(gòu)成平衡力系。), 2, 1(0pimiii rR其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其數(shù)學(xué)表達(dá)式為: :其中，其中，R i 為主動(dòng)力為主動(dòng)力F i和約束反力和約束反力f i的向量和。的向量和。應(yīng)用應(yīng)用DAlembert原理可將虛位移原理推廣到動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。上式左邊可看成質(zhì)原理可將虛位移原理推廣到動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。上式左邊可看成質(zhì)點(diǎn)上的合力，計(jì)算整個(gè)質(zhì)系的虛功，有點(diǎn)上的合力，計(jì)算整個(gè)質(zhì)系的虛功，有0)(1piiiiiimWr

23、rfFdd 在理想約束下，約束反力在理想約束下，約束反力虛功之和為零，因此有虛功之和為零，因此有0)(1piiiiimWrrFdd 動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程作用在理想約束質(zhì)系上所有的主動(dòng)力和慣性力任意瞬時(shí)在虛位移上的虛功之作用在理想約束質(zhì)系上所有的主動(dòng)力和慣性力任意瞬時(shí)在虛位移上的虛功之和等于零。和等于零。 5.5 Lagrange方程方程 Lagrange方程方程 拉格朗日方程利用廣義坐標(biāo)來(lái)描述非自由質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，這組方程以系統(tǒng)拉格朗日方程利用廣義坐標(biāo)來(lái)描述非自由質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，這組方程以系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、耗散函數(shù)和廣義力的形式出現(xiàn)，具有以下形式：的動(dòng)能、勢(shì)能、耗散函數(shù)和廣義力的形式出現(xiàn)，

24、具有以下形式：)., 2, 1(ddniQqDqLqLtiiii Lagrange方程為非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提供了一個(gè)方程為非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提供了一個(gè)普遍、簡(jiǎn)單又普遍、簡(jiǎn)單又統(tǒng)一統(tǒng)一的方法。的方法。式中：式中：L 為為L(zhǎng)agrange 函數(shù)，它是系統(tǒng)動(dòng)能函數(shù)，它是系統(tǒng)動(dòng)能V和勢(shì)能和勢(shì)能U之差，之差， L = V - U 。 而而 和和 ( i = 1, 2, , n) 是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度；是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度；是耗散函數(shù)，其中是耗散函數(shù)，其中c i j為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)q j方向有單位廣義速度時(shí)，在廣義方向有單位廣義速度時(shí)，在廣義坐標(biāo)坐標(biāo)q i方向產(chǎn)生的

25、阻尼力；方向產(chǎn)生的阻尼力； Q i 是在廣義坐標(biāo)方向是在廣義坐標(biāo)方向q i的廣義力，的廣義力， ，其中其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。 和和 分別是對(duì)廣義分別是對(duì)廣義坐標(biāo)和對(duì)廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)，坐標(biāo)和對(duì)廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)， 是對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)。是對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)。ninjjij iqqcD1121iiqWQiqiq tddiqiq5.5 Lagrange方程方程 例例 5.5 右圖表示由剛性桿右圖表示由剛性桿l 1和質(zhì)量和質(zhì)量m 1及剛性桿及剛性桿l 2和質(zhì)量和質(zhì)量m 2組成的兩個(gè)單擺在組成的兩個(gè)單擺在O 處用鉸鏈連接成雙擺，并通過(guò)鉸鏈處用鉸鏈連接成雙

26、擺，并通過(guò)鉸鏈O與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)。求系統(tǒng)作微振與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)。求系統(tǒng)作微振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)微分方程。動(dòng)時(shí)的振動(dòng)微分方程。 解解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，可取由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動(dòng)，可取q q 1和和q q 2為廣義坐為廣義坐標(biāo)。并以平衡位置標(biāo)。并以平衡位置 q q 1q q 2 0 作為作為勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn)。由例由例5.4，系統(tǒng)的勢(shì)能與動(dòng)能分別為：，系統(tǒng)的勢(shì)能與動(dòng)能分別為：22222122121221212121)(cos)(21qqqqqqlmllmlmmV)cos1()cos1()(2221121qqlgmlgmmU 112112212121sin)

27、()(sinqqqqqqlgmmllmL22221212122sin)(sinqqqqqqlgmllmL5.5 Lagrange方程方程 例例 5.522222122121221212121)(cos)(21qqqqqqlmllmlmmV)cos1()cos1()(2221121qqlgmlgmmU )(cos)(122212121211qqqqqllmlmmL22221212122)(cosqqqqqlmllmL)(sin)()(cos)(dd12221212122212121211qqqqqqqqqq llmllmlmmLt)(sin)()(cosdd1212121222221212122

28、qqqqqqqqqq llmlmllmLt5.5 Lagrange方程方程 例例 5.5由于系統(tǒng)無(wú)阻尼、無(wú)外力，因此只要把前面得到的項(xiàng)代入方程相由于系統(tǒng)無(wú)阻尼、無(wú)外力，因此只要把前面得到的項(xiàng)代入方程相應(yīng)的位置就可以得到系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程應(yīng)的位置就可以得到系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程0dd11qqLLt0dd22qqLLt)(sin)()(cos)(dd12221212122212121211qqqqqqqqqq llmllmlmmLt112112122121sin)()(sinqqqqqqlgmmllmL0sin)()(sin)(cos)(1121122221212221212121qqqqqqqqlg

29、mmllmllmlmm 5.5 Lagrange方程方程 例例 5.50dd22qqLLt)(sin)()(cosdd1212121222221212122qqqqqqqqqq llmlmllmLt0sin)(sin)(cos222122122222121212qqqqqqqqlgmllmlmllm 一般情況下，雙擺的振動(dòng)方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動(dòng)時(shí)，一般情況下，雙擺的振動(dòng)方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動(dòng)時(shí)，將將 ， 代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項(xiàng)時(shí)代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項(xiàng)時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程才是線性的。系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程才是線性的。qqsin1cosq

30、22221212122sin)(sinqqqqqqlgmllmL5.5 Lagrange方程方程 例例 5.50)()(1121221212121qqqlgmmllmlmm 022222221212qqqlgmlmllm 寫(xiě)成矩陣的形式寫(xiě)成矩陣的形式0000)(2122121212222122122121qqqqlgmlgmmlmllmllmlmm（ 0sin)()(sin)(cos)(1121122221212221212121qqqqqqqqlgmmllmllmlmm 0sin)(sin)(cos222122122222121212qqqqqqqqlgmllmlmllm 一般情況下，雙擺的

31、振動(dòng)方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動(dòng)一般情況下，雙擺的振動(dòng)方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作微振動(dòng)時(shí)，將時(shí)，將 ， 代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項(xiàng)時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程才是線性的。項(xiàng)時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程才是線性的。qqsin1cosq5.5 Lagrange方程方程 例例 5.6 圖示系統(tǒng)中質(zhì)量圖示系統(tǒng)中質(zhì)量M只能沿水平只能沿水平方向移動(dòng)，一擺長(zhǎng)為質(zhì)量為方向移動(dòng)，一擺長(zhǎng)為質(zhì)量為l 的單擺在的單擺在O點(diǎn)與質(zhì)量點(diǎn)與質(zhì)量M 鉸接，其他參數(shù)如圖。鉸接，其他參數(shù)如圖。試列出系統(tǒng)作微振動(dòng)的方程。試列出系統(tǒng)作微振動(dòng)的方程。 質(zhì)量質(zhì)量 M 的速度：的速度：質(zhì)量質(zhì)量m的速度：的速度： x 系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能)cos2(21212222qqqlxlxmxMV22)sin()cos(qqqqllx系統(tǒng)的勢(shì)能系統(tǒng)的勢(shì)能221)cos1(xklgmUqLagrange函數(shù)函數(shù) UVL耗散函數(shù)耗散函數(shù) 221xcD其他非保守力所做的功其他非保守力所