1、 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 與積分變換與積分變換 主講：主講：-大學(xué)大學(xué)-學(xué)院學(xué)院 二零一五年三月二零一五年三月 大學(xué)數(shù)學(xué)多媒體課件大學(xué)數(shù)學(xué)多媒體課件2022-5-202參考用書參考用書2022-5-203 目目 錄錄2022-5-204 內(nèi)容提要：在微積分中，當(dāng)引入實變量函數(shù)的積分后，可以解決很多的重要的問題，在復(fù)變函數(shù)中也一樣，當(dāng)引入復(fù)變函數(shù)的積分后，也可以解決很多理論及實際問題如有了積分可以證明一個區(qū)域上有導(dǎo)數(shù)的函數(shù)就有無窮多階導(dǎo)數(shù)，可以將一般的解析函數(shù)分解成一些最簡單的函數(shù)的迭加，這就給研究解析函數(shù)的性質(zhì)提供了強有力的工具，今后還可以看出用復(fù)變函數(shù)的積分給計算某些定積分帶來很大的方便 本章內(nèi)容

2、與實變量二元函數(shù)有緊密關(guān)系，特別是二元函數(shù)的第二類曲線積分的概念、性質(zhì)和計算方法，全微分及積分與的問題，格林公式等 2022-5-2053.1 復(fù)積分的概念3.2 柯西積分定理3.3 柯西積分公式3.4 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)本章小結(jié)v 思考題2022-5-206一、積分的定義一、積分的定義 有向曲線有向曲線：設(shè)C為平面給定的一條光滑（或按段光滑）的曲線，如果選 定C的兩個可能方向的一個作為正方向（或正向），則我們就把C稱為有向曲線與曲線C反方向的曲線記為 定義1： 簡單閉曲線正向簡單閉曲線正向：當(dāng)曲線上的點P順此方向前進時，鄰近P點的曲線內(nèi)部始終位于P點的左方，這時曲線方向稱為正方向 ( )wf

3、 zD設(shè)函數(shù)定義在 內(nèi)，C為區(qū)域D內(nèi)起點為A終點為B的一條有向光滑的簡單曲線 (1)Cn把曲線 任意分成 個小弧段，設(shè)分點為：0121,kknAzz zzzzB(0,1,2, )kkkzxiy kn其中，分1C2022-5-2071(2)(1,2,)kkkkkzzkni粗：在每個弧段上，任取一點，1()()(),kkkkkfzfzz則1.kkkkkzzzxi y 其中111()()(),nnkkkkkkkfzzfz(3)和：0n(4)精：設(shè) 表示 個小弧段的最大長度，當(dāng)時，kC無論 怎樣分，怎樣取，( )f zCAB則稱此極限值為函數(shù)沿曲線 自 到 的復(fù)積分.01( )lim().nkkCkf

4、 z dzfz記作：().類似于微積分中的曲線積分如果和式的極限唯一存在，C0zA1z1kzkz1nznzBkOxy2022-5-208( ),CCf z dz(1)若 為閉曲線，則沿閉曲線積分為(2)( )Cf z dzCAB積分表示沿曲線 自 到 的復(fù)積分，( )Cf z dzCBA積分表示沿曲線 自 到 的復(fù)積分.二、積分存在條件及其計算方法二、積分存在條件及其計算方法 ();C的正方向是逆時針方向定理1：( )( , )( , )f zu x yiv x yC設(shè)函數(shù)在光滑曲線 上連續(xù)，( )Cf z dz則復(fù)積分存在，且有積分公式：( )( , )( , )( , )( . )CCCf

5、 z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy1( )( )( ).nCCCf z dzf z dzf z dz123,nCC C CC(3)若曲線 是由等光滑曲線段依次相互連接而成，則有2022-5-209證明：11() (,)(,)()nnkkkkkkkkkkfzuivxi y 11 (,)(,) (,)(,)nnkkkkkkkkkkkkkkuxvyivxuy ( )f zC由于函數(shù)在光滑曲線 上連續(xù)，( , ), ( , ),u x y v x yC在光滑曲線 上也連續(xù)0當(dāng)時，( )( , )( , )( , )( . ).CCCf z dzu x y dx

6、v x y dyiv x y dxu x y dy上式右端極限存在，且有注意：(1)( )( , )( , )f zu x yiv x yC當(dāng)函數(shù)在光滑曲線 上連續(xù)，(2)( )Cf z dz可以通過兩個二元實變函數(shù)的曲線積分來計算.( )Cf z dz則復(fù)積分存在；2022-5-2010( )Cf z dz( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )( )Cf z dzu x ty tiv x ty tx tiy tdt( ) ( ) ( ).Cf z dzf z t z t dt( ),( )xx tCtyy t 光滑曲線 參數(shù)方程：( )( )( ),Czz tx tiy tt 復(fù)

7、數(shù)形式的曲線 參數(shù)方程：( )( , )( , )( , )( . )CCCf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy這種計算復(fù)積分方法在已知曲線C方程的條件下適合( ),( )()().CCf zuiv dzdxidyf z dzuiv dxidy令則2022-5-2011 例1解：320iz dz沿下列路線計算積分，其中(1)3i自原點至的直線段；(2)33. i自原點沿實軸至 ，再由鉛直向上直線至3i(1)連接原點至的直線的參數(shù)方程為：(3) ,01zi tt 312200(3) (3)iz dzi ti dt13 20(3) i t dt3 3 13

8、011(3)|(3) .33i ti(2):,03:3,01OA zxxAB ziyy曲線方程為：，32220iOAABz dzz dzz dz312200(3)(3)x dxiy diy3 33 10011(3) 33xiy333311113(3)3(3)3333ii注意：沿不同的路徑積分的結(jié)果是相同的，即積分與路徑無關(guān)， 33 i2022-5-2012 例2010.()nCdzCzrnzz計算，其中 為以 為中心， 為半徑的正向圓周， 為整數(shù)解：22200()()xxyyr圓周的參數(shù)方程為：00cos,02sinxxryyr00(cos )(sin ),02zxri yr復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程

9、為：000()(cossin ),02izxiyrizre10()nCdzzz2221(1)000iinni nninnire diidedrer er0n 當(dāng)時，21002;()nCdzidizz0n 當(dāng)時，2100(cossin)0.()nnCdziindzzr102,00,0()nCindznzz綜上所述：這個積分結(jié)果以后常用，它的特點是與積分路線圓周的中心和半徑無關(guān) 2022-5-2013 例3CzdzC計算的值，其中 為01(1)1(1) ,01ziCzi tt 沿從原點到點的直線段 ：12(2)1,01zCztt 沿從原點到點的直線段：1031,01zzCzitt 與從 到 的直線

10、段：所接成的直線.01zi 11z 解：1100(1)()(1)21;Czdztiti dttdt23(2)CCCzdzzdzzdz1100(1)tdtit idt11()122ii 由此題可以看出，盡管起點、終點都一樣，但由于沿不同的曲線積分，所以積分值也是不同的2022-5-2014三、復(fù)積分的性質(zhì)三、復(fù)積分的性質(zhì) 因為復(fù)積分的實部和虛部都是曲線積分，因此，曲線積分的一些基本性質(zhì)對復(fù)積分也成立 (1)( )( );CCf z dzf z dz (2)( )( ),();CCkf z dzkf z dz k為常數(shù)(3) ( )( )( )( );CCCf zg z dzf z dzg z d

11、z1212(4)( )( )( );CCCf z dzf z dzf z dzCCC，(其中(5)( )( ).CCf z dzf z ds2022-5-2015證明性質(zhì)（5）： 1|()|nkkkfz1|()|nkkkfz1|()|,nkkkfs1kkkszz其中是小弧段的長，22|kkkkzxys 22| |dzdxidydxdyds注意：，因此01lim|()|nkkkfz01lim|()|nkkkfz01lim|()|nkkkfs( )( )CCf z dzf z ds( )( )CLf zCf zM特別地，若曲線 的長度為 ，函數(shù)在 上有界，即：( )( )CCf z dzf z d

12、sML（估計不等式） 2022-5-2016 例434,Ci設(shè)曲線 為從原點到點的直線段解：(34 ) ,01Czi tt 的參數(shù)方程為：11CCdzdszizi由估計不等式：221111(34 )3(41)9(41)zii tittittC因為在 上，所以21534925()2525t155255.333CCdzdszi從而有：1.Cdzzi試求積分絕對值的一個上界2022-5-2017 例532| |0lim0.1zrrzdzz試證：證明：0,1rr這里討論故不妨設(shè)，334222| |2|2111zrzrrdzrzrr0r 上式右端當(dāng)時的極限為0，故左端極限也為0,32| |0lim0.1

13、zrrzdzz即：有估計不等式得：| zr因為在上，33332222,1111zzzrzrzz2022-5-2018從上一節(jié)所舉的例子來看: 2( )f zz例1中的被積函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的，它沿連接起點及終點的任何路線積分值都相同，換句話說，積分是與路徑無關(guān)的 ( ),f zzuxvyCR 例3中的被積函數(shù)，它的實部虛部不滿足方程，.Czdz所以在平面上處處不解析，且積分與路徑有關(guān)0010()nzCzz例2中的被積函數(shù)當(dāng)時為，它在以 為中心的圓周 內(nèi)部00zz不是處處解析的，因為它在 沒有定義，當(dāng)然在 處不解析，而此時積分：020.Cdzizz 由此可猜想：積分的值與路徑無關(guān)或沿閉曲線

14、積分值為零的條件與被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān)究竟關(guān)系如何，下面我們討論此問題 00zzC如果把 除去，雖然在除去 的 的內(nèi)部，函數(shù)處處解析，但是這個區(qū)域已經(jīng)不是單連通區(qū)域.2022-5-2019一、柯西積分定理一、柯西積分定理 ( )f zD設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域 內(nèi)定理2：（柯西古薩基本積分定理） ( )f zDC那么函數(shù)在 內(nèi)沿任何一條封閉曲線 的積分為零，( )0.Cf z dz D(1)單連通區(qū)域C(3)閉曲線(2) ( )f zD在區(qū)域 內(nèi)處處解析( )0.Cf z dz 則柯西積分定理表明，函數(shù)滿足一定的條件，則積分與路徑無關(guān) 處處解析，即：2022-5-2020證明：( )

15、( )( )f zDfzfz因為函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)解析，故存在,(下面在連續(xù)的假設(shè)下證明uv因為 與 的一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，故應(yīng)用格林公式得：( )()()( , )( , )( , )( . )CCCCf z dzuiv dxidyu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy()()GGvuuvdxdyidxdyxyxy ( ),GCf zCR其中 為簡單閉曲線 所圍區(qū)域，由于函數(shù)解析，方程成立( )0.Cf z dz( , ),( , )LP x y Q x y格林公式：（1）曲線 封閉、正向；（2）具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；().LDQPPdxQdydxdyxy則( )(

16、).f zfz以后我們會證明只要函數(shù)解析，必連續(xù)2022-5-2021說明：(1)( )CGf zGC若曲線 是 的邊界，如果函數(shù)在 內(nèi)和 上解析，那么仍有：( )0.Cf z dz D(1)單連通區(qū)域C(2)閉曲線(3) ( )f zGC在 內(nèi)和 上解析( )0.Cf z dz 則(2)( )f zGGGC若函數(shù)在 內(nèi)解析，在閉區(qū)域上連續(xù)，仍有：( )0.Cf z dz D(1)單連通區(qū)域C(2)閉曲線(3) ( )f zGGGC在 內(nèi)解析，在上連續(xù)( )0.Cf z dz 則2022-5-2022定理3：01( )f zDzzD設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域 內(nèi)解析， 與 為 內(nèi)任意兩點，120112

17、CCzzCCD與為連接 與 的積分路線，與都含于 內(nèi)，則12( )( )CCf z dzf z dz1C2C0z1zD12( )( )CCf z dzf z dz1212( )( )( )0CCCCf z dzf z dzf z dz證明：依柯西-古薩基本定理12( )( ).CCf z dzf z dz2022-5-2023 例6sin|1| 102.CzdzCz計算積分，其中 是圓周的上半周，從 到解：sin z因為函數(shù)是全平面的解析函數(shù)，由柯西-古薩基本定理:1,C它的積分與路徑無關(guān)，于是可以換一條路線沿實軸從0到2積分得：1sinsinCCzdzzdzoxyC1C220sin1 cos

18、2.xdx 2022-5-2024二、復(fù)合閉路定理二、復(fù)合閉路定理 定理4：（閉路變形定理） 1212CCCC設(shè)與是兩條簡單閉曲線，在內(nèi)部，1212( )f zCCDDDCC函數(shù)在與所圍成的二連通區(qū)域 內(nèi)解析，而在上連續(xù)，12( )( ).CCf z dzf z dz1C12CABCD1,LAB BC CD DA設(shè)2,LBA AD DC CB由柯西 古薩基本定理得：12( )0,( )0LLf z dzf z dz12( )( )LLf z dzf z dz證明：112( )( )0,CCf z dzf z dz12( )( ).CCf z dzf z dz 一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不會因

19、閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)的變形而改變它值這事實稱閉路變形定理閉路變形定理 則2022-5-2025推論：（復(fù)合閉路定理） CD設(shè) 為多連通區(qū)域 的一條簡單閉曲線，12,nC CCC 是在 內(nèi)部的簡單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以12,( )nC C CCDf zD為邊界的區(qū)域全包含于 ，如果函數(shù)在 內(nèi)解析，則1( )( ),knCCkf z dzf z dz1C2CnCCD( )0f z dzkCC其中 及均取正方向.(1,2, )kCCkn這里 為 及，C是 按逆時針進行，所圍成的復(fù)合閉路,其方向kC按順時針進行.2022-5-2026002CdzCzizz在本章第一節(jié)的例2知：當(dāng) 為

20、為中心的正向圓周時，002.PdzzPizz根據(jù)閉路變形原理，對包含 的任何一條正向簡單閉曲線 ，都有 例121.CdzCzzz計算積分的值，其中 為包含圓周在內(nèi)任何正向簡單閉曲線1C2CC1z 解：21( )f zzz因為函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)0,1Czz所以在 內(nèi)以為圓心分別作2(1)CCdzdzzzz z11()1Cdzzz0,1zz除兩個奇點外是處處解析的，兩個互不包含也互不相交的正向圓周12CC與，根據(jù)復(fù)合閉路定理，得：121111()()11CCdzdzzzzz02200ii2022-5-2027三、原函數(shù)與不定積分三、原函數(shù)與不定積分 定理5：( )( )Cf zDf z dz設(shè)函數(shù)在單

21、連通區(qū)域 內(nèi)處處解析，則積分與連接.C起點及終點的路線 無關(guān)015zz由定理 知：解析函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)積分只與曲線的起點 及終點 有關(guān)，10( )( ),zCzf z dzf z dz即：表示與積分路徑無關(guān).1積分上限函數(shù) 01zzz若固定 ，讓上限變動，則積分0( )zzf z dzz稱為積分上限 的函數(shù)，記作：00( )( )( ).zzzzF zf z dzfd2022-5-2028定理6：( )( )f zDF zD設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域 內(nèi)解析，則函數(shù)必為 內(nèi)的一個解析函數(shù)，0( )( )( )zzF zfdf z證明：,zzkD以 為中心作一含于的小圓zzzk取充分小，使在 內(nèi)，于是

22、00()( )( )( )zzzzzF zzF zfdfd00( )zzzfdzz由于積分與路徑無關(guān)，因此的積分路線可取先從 到 ，zzz然后再從 沿直線段到，00( )zzzzfd而從 到 的積分路線取得與積分的積分路線相同，于是有( )( )zDf zDf zD設(shè) 為 內(nèi)任意一點，因為函數(shù)在 內(nèi)解析，所以在 內(nèi)連續(xù)，00zD 因此對，總可以找到一個，使得對于滿足( )( ).ff z的一切 ，都有且2022-5-2029根據(jù)積分估值性質(zhì)：()( )1( )| ( )( )|zzzF zzF zf zff z dzz11( )( )zzzff z dszzz0()( )lim( )0zF z

23、zF zf zz 也就是說，( )( ).F zf z即：0zzzzk小圓半徑為 的圓周()( )1( )( )( )zzzF zzF zf zfdzf zzz從而1( )( )zzzzzzfdf z dz1 ( )( )zzzff z dzD2022-5-20302原函數(shù)的概念 ( )( )( )( )F zDf zF zf z定義：如果函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于，即，( )( ).F zf zD則稱函數(shù)為在區(qū)域 內(nèi)的原函數(shù)0( )( )( )zzF zfdf z(1)積分上限函數(shù)是的一個原函數(shù)；( )f z(2)函數(shù)的任意兩個原函數(shù)之差為一常數(shù)；( )( )f zDF z(3)如果函數(shù)在區(qū)域

24、 內(nèi)有一個原，那么它( ),F zC C就有無窮多個原函數(shù)( 為任意常數(shù)).結(jié)論： 2022-5-2031定理7：( )( )( )f zDG zf z設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域 內(nèi)解析，函數(shù)為的一個原函數(shù)，則1010( )( )()zzf z dzG zG z01,.zzD,其中為區(qū)域 內(nèi)的兩點證明：0( )( )( )zzF zf z dzf z因為是函數(shù)的一個原函數(shù)，0( )( )zzf z dzG zC所以，0000( )()0zzzzf z dzG zC當(dāng)時，0(),CG z 00( )( )()zzf z dzG zG z于是，1010( )( )().zzf z dzG zG z類似于微

25、積分學(xué)中的基本定理和牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式 有了定理7，復(fù)變函數(shù)的積分就可用跟實變量函數(shù)微積分學(xué)中類似的方法計算，分部積分法分部積分法，換元積分法換元積分法均可用在復(fù)變函數(shù)積分中 2022-5-2032 例21ln(1)Im( )0,Re( )011izzzzdzz試沿區(qū)域內(nèi)的圓弧，計算積分的值.解：ln(1)( )1zf zz因為函數(shù)在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析，2111ln(1)1ln(1) ln(1)ln (1)|12iiizdzzdzzz221ln (1)ln 22i2211( ln2)ln 2224i23ln 2ln2.3288i 例311izze dz求積分的值.解：( )zf zz

26、e函數(shù)在全復(fù)平面內(nèi)解析，111111|iizzizze dzzee dz111(1)|izii eee 111(1)iiii eeie(cos1sin1)ieieeii( sin1cos1).ei2022-5-2033一、柯西積分公式一、柯西積分公式 0( )( )0.CDzDf zDf z dz 設(shè) 為一單連通區(qū)域， 為 中一點，如果在 內(nèi)解析，則000( )f zzDzCzz但函數(shù)在 處不解析，所以在 內(nèi)沿圍繞 的一條封閉曲線 的積分0( )Cf zdzzz一般不為零，那它又為多少呢？0z根據(jù)閉路變形定理，這個積分沿著任何一條圍繞 的簡單閉曲線都是相同的，00zzz我們?nèi)∫?為中心，半徑為

27、 的很小的圓周（取其正向）作為積分( )( )Cf zCf z曲線 ，由于函數(shù)的連續(xù)性，在 上函數(shù)的值將隨 的縮小00( )Cf zzdzzz而逐漸接近于它的圓心 的值，從而可以猜想：積分的值也將隨 的縮小而逐漸接近于0000( )1()2()CCf zdzf zdzif zzzzz2022-5-20340zC00( )f zzzz在 處不解析100( )( )CCf zf zdzdzzzzz由閉路變形定理：1C2C3CnC200( )( )nCCf zf zdzdzzzzz( )f z由于函數(shù)的連續(xù)性,0( )(),f zf z0000()( )2().CCf zf zdzdzif zzzz

28、z猜想：2022-5-2035定理8：(柯西積分公式） ( )f zC設(shè)函數(shù)在簡單閉曲線 所圍成的區(qū)域0DDDCzD內(nèi)解析，在上連續(xù)，為 內(nèi)任意一點，則001( )().2Cf zf zdzizz證明：00( )f zzz由于函數(shù)在 解析，當(dāng)然在 點連續(xù)，000,( )0,( )().zzf zf z 當(dāng)時，都有00zk zzC作以 為中心， 為半徑的圓周 ：，使其全部在 的內(nèi)部，且，則00( )( )Ckf zf zdzdzzzzz0000()( )()kkf zf zf zdzdzzzzz000( )()2()kf zf zif zdzzz0000( )()( )()2kkCf zf zf

29、 zf zdzdsdszzzz而00( )2()2,kf zdzif zzz00( )2().Cf zdzif zzz于是0zL2022-5-2036說明：(1)( )f zCC如果在 所圍區(qū)域內(nèi)及 上解析，則上式仍成立；(2)C這個公式把一個函數(shù)在 內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的積分值表示，這是解析函數(shù)的又一特征.推論1：（平均值公式） 00( )|f zzzRzzR設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則20001()(Re ).2if zf zd這表明解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.推論2：12( ),f zC CD設(shè)函數(shù)在簡單閉曲線所圍成的二連通域 ，12,C C并在210CCzD上連續(xù)

30、，在 的內(nèi)部， 為 內(nèi)一點，則120001( )1( )().22CCf zf zf zdzdzizzizz2022-5-2037 例1計算下列積分| | 41sin(1),2zzdziz412(2)().13zdzzz解：41sin(1)2zzdziz0sin|0.zz412(2)()13zdzzz441213zzdzdzzz2226.iii 例2( )( )f zg zDCD設(shè)函數(shù)與在區(qū)域 內(nèi)解析， 為 內(nèi)任意一條簡單( )( )Df zg zC閉曲線，它的內(nèi)部完全屬于 ，如果在 上所有的點( )( ).Cf zg z都成立，試證明在 內(nèi)所有的點處也成立2022-5-2038000()()

31、.Czf zg z在 內(nèi)部任意取一點 ，只需證明即可( )( )( )F zf zg z設(shè)，( )( )( )0Cf zg zF z因為在 上有，則，( )F zD而又是 內(nèi)的解析函數(shù)，由柯西積分公式，得：0001( )1( )( )()022CCF zf zg zF zdzdzizzizz0()0,F z00()().f zg z從而0( )( ).zCf zg z由于 的任意性知：在 內(nèi)部有成立證明：( )( )CDCf zg z因為 為 內(nèi)任意一條簡單閉曲線，在 上，( )( ).Cf zg z現(xiàn)在證明在 內(nèi)部2022-5-2039 例3計算下列積分 2,(1)Cdzz z 3.2C z

32、i其中 ：的正向解：210(1)Czziz z因為函數(shù)在 內(nèi)有兩個奇點，及，12104zziCC所以分別以及為圓心，以為半徑作圓周及，由復(fù)合閉路定理，得：12222(1)(1)(1)CCCdzdzdzz zz zz z12211(1)()()CCzz zidzdzzzi122(0)2( )ifif i122().2iii2022-5-2040二、最大模原理二、最大模原理 由平均值公式還可以推出解析函數(shù)的一個重要性質(zhì)，即解析函數(shù)的最大模原理.定理9：（最大模原理） ( )( )f zDf z設(shè)函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)解析，又函數(shù)不是常數(shù)，|( )|Df z則在 內(nèi)沒有最大值. 這個定理表明一個解析函數(shù)的模

33、，在區(qū)域內(nèi)部的任何一點都達不到最大值，除非這個函數(shù)恒等于常數(shù)這是解析函數(shù)一個非常重要的原解析函數(shù)一個非常重要的原理理 推論1：DD區(qū)域 內(nèi)解析的函數(shù)，若其模在 的內(nèi)點達到最大值，則此函數(shù)必恒為常數(shù).推論2：( )f zDD若函數(shù)在有界區(qū)域 內(nèi)解析，在 上連續(xù)，|( )|f zD則必在 的邊界上達到最大值.說明：最大模原理不僅是復(fù)變函數(shù)論一個很重要的原理，而且在實際上也是很有用的原理，它在流體力學(xué)上反映了平面穩(wěn)定流動在無源無旋的區(qū)域內(nèi)流體的最大值不能在區(qū)域內(nèi)達到，而只能在邊界上達到，除非它是等速流體 2022-5-2041 例3| |( )0( )max |( )|zrf zrM rf z設(shè)在全

34、平面為解析函數(shù)，又對任意，令，( ).M rr求證是 的單調(diào)上升證明：0( )|rf zzr因為對于任意的，函數(shù)在上解析，( )|f zzrzr所以由最大值原理及其推論2知，函數(shù)在上的最大值必在上取得，| | |( )max |( )| max |( )|zrzrM rf zf z即：，12rr因此，當(dāng)時，有：1212| | |( )max|( )| max|( )|( )zrzrM rf zf zM r( ).M rr即是 的單調(diào)上升函數(shù)2022-5-2042一、解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式一、解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式 一個解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各高階導(dǎo)數(shù)，它的值也可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分

35、來表示這一點跟實變函數(shù)完全不同，一個實變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo)，它的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間上是否連續(xù)也不一定 ，更不要說有高階導(dǎo)數(shù)存在了下面我們討論解析函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)的解析問題 1( )( )2Cff zdziz我們將柯西公式：形式在積分號下對 求導(dǎo)得：21( )( ),2()Cffzdiz再繼續(xù)又可得： 32!( )( ),2()Cffzdiz( )( )nnfz依次類推， 階導(dǎo)數(shù)的可能形式是：( )1!( )( ).2()nnCnffzdiz 這是求導(dǎo)與積分兩種運算允許交換的條件下推出的，這樣作是否可行呢？我們對此加以討論 2022-5-2043定理10：( )f zCDDDC設(shè)函數(shù)在簡單閉曲線 所

36、圍成的區(qū)域 內(nèi)解析，而且在( )f zDDz上解析，則函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)均在 內(nèi)解析，對 內(nèi)任一點 ，有( )1!( )( ),(1,2,).2()nnCnffzdniz證明：1zDn 設(shè) 為 內(nèi)的任意一點，先證明的情況，即21( )( ).2()Cffzdiz0()( )( )limzf zzf zfzz 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義：，由柯西積分公式得：1( )( ),2Cff zdiz1( )()2Cff zzdizz0111( )lim( )2Czfzfdi zzzz 01( )lim2()()Czfdizzz 2022-5-204421( )()2() ()Cfzzzdizzz 221( )1( )2(

37、)2() ()CCfzfddizizzz設(shè)后一個積分為 ，那么21( )2() ()Czfdzzz 2( )12()()Cz fdszzz( ),f zCCC因為在 上解析，所以 上連續(xù)，故在 上有界0( ).Mf zM因此一定存在一個，使12dzCzzd設(shè) 為從 到曲線 各點的最短距離，并且取適當(dāng)小，使?jié)M足，11,zdzd那么有，| |,2dzzzz 于是12|zzd3,()MLzLCd 所以為 之長2022-5-204500z 當(dāng)時，從而有21( )( ),2()Cffzdiz.這證明了解析函數(shù)仍是解析函數(shù)nk要完成定理的證明，只需應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，設(shè)時公式成立，1nk證明時也成立，即證明下

38、式：( )( )()( )kkfzzfzz 221(1)!( )(1)!( )2()2()kkCCkfkfddzizziz102(1)!( )0().2()kkCkfzfzdiz 當(dāng)時，有說明：（1）此公式可理解為把柯西公式 1( )( )2Cff zdizzn兩邊對 求 階導(dǎo)，右邊在積分號內(nèi)求導(dǎo)，即( )1!( )( )2()nnCnffzdiz（2）高階導(dǎo)數(shù)公式的作用不在于通過積分來求導(dǎo)，而在于通過求導(dǎo)來積分，即 ( )010( )2().()!nnCf zidzfzzzn2022-5-2046 例11.Czr求下列積分的值，其中 為正向圓周：5cos(1),(1)Czdzz22(2).(

39、1)zCedzz 解：5cos1cos(1)zCzzCz(1)函數(shù)在 內(nèi)除外處處解析，而在 內(nèi)處處解析，因此有：5cos(1)Czdzz(4)41122(cos)|cos |(5 1)!4!zziizz5.12i 22(2)(1)zeCziz 函數(shù)在 內(nèi)的處不解析，12CiCiC我們在 內(nèi)作以 為中心的正向圓周 ，以為中心的正向圓周，1222(1)zeCCCz 那么函數(shù)在由 ，和 所圍成的區(qū)域內(nèi)是解析的，根據(jù)復(fù)合閉路定理：12222222(1)(1)(1)zzzCCCeeedzdzdzzzz2022-5-2047122222()()()()zzCCeezizidzdzzizi2222(2 1)! ()(2 1)! ()zzz iziieiezizi2244()2()()2()22()()zzzzz iziezieziezieziiizizi( 44 )( 44 )2()2()1616iieieiii (1)(1)2222iiiiiii e