1、ch5結(jié)構(gòu)可靠度計算的蒙特卡羅法n5.1蒙特卡羅法概述n5.2蒙特卡羅法的優(yōu)缺點n5.3抽樣模擬總數(shù)與蒙特卡羅法的精度n5.4隨機變量的抽樣n5.5蒙特卡羅法計算可靠指標(biāo)舉例n5.6蒙特卡羅的重要抽樣法5.1蒙特卡羅法概述n蒙特卡羅法是隨機模擬法的代名詞，用這種方法計算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的基本思想是：對于設(shè)計階段的結(jié)構(gòu)，其功能函數(shù)及所包含變量的統(tǒng)計特征都是已知的，通過某種方法,根據(jù)已知的概率特性(統(tǒng)計特征），產(chǎn)生大量設(shè)計變量的樣本值，將其代入功能函數(shù)，“計算”結(jié)構(gòu)的狀態(tài)，并對計算結(jié)果進行分析統(tǒng)計,直接計算其失效概率。5.1.1對蒙特卡羅法簡明的理解),(21nxxxgZ ;,;,2121nnxxxx

2、xxnxxx21,nZZZ21,1.已知2.用某種方法產(chǎn)生樣本3.計算結(jié)構(gòu)的狀態(tài)當(dāng)然，樣本的統(tǒng)計特征應(yīng)與已知值一致。失效極限狀態(tài)可靠000),(21nxxxgZ統(tǒng)計時以 為失效。5.1.1對蒙特卡羅法簡明的理解n一般地說，隨機地對每個隨機變量 進行抽樣，以得到一個樣本值 ，然后對是否出現(xiàn)功能函數(shù) 進行檢查，如果超過了極限狀態(tài)，則認為結(jié)構(gòu)或構(gòu)件已經(jīng)“失效”了。n 針對具體問題，首先選定所需試驗次數(shù)，然后進行隨機抽樣并記錄試驗結(jié)果，最后統(tǒng)計超越極限狀態(tài)的試驗次數(shù)。iXiX0)(iXZ5.1.2蒙特卡羅法的由來蒙特卡羅法的由來n蒙特卡羅原本是摩納哥國的一個城市，該市有賭城之蒙特卡羅原本是摩納哥國的一

3、個城市，該市有賭城之稱。賭是一種不確定性行為，具有概率的特性，本質(zhì)稱。賭是一種不確定性行為，具有概率的特性，本質(zhì)上是一種隨機實驗。上是一種隨機實驗。n1946年馮年馮.諾伊曼等人用諾伊曼等人用電子計算機模擬了裂變物質(zhì)電子計算機模擬了裂變物質(zhì)的中子連鎖反應(yīng)的中子連鎖反應(yīng)，由于研究涉及秘密工作（原子彈的，由于研究涉及秘密工作（原子彈的研制），將所使用的研制），將所使用的隨機模擬隨機模擬方法稱為方法稱為蒙特卡羅法蒙特卡羅法。5.1.3利用利用隨機模擬隨機模擬研究結(jié)構(gòu)安全問題的數(shù)學(xué)基研究結(jié)構(gòu)安全問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)礎(chǔ)n利用利用隨機模擬方法隨機模擬方法研究結(jié)構(gòu)安全問題是一種很自然的方研究結(jié)構(gòu)安全問題是一種很自

4、然的方法，因為結(jié)構(gòu)建造和使用本身就是一個隨機實驗。法，因為結(jié)構(gòu)建造和使用本身就是一個隨機實驗。n在結(jié)構(gòu)設(shè)計階段，由于設(shè)計變量存在著不確定性，其在結(jié)構(gòu)設(shè)計階段，由于設(shè)計變量存在著不確定性，其具體的量值是未知的，只能通過對以往實驗、實測和具體的量值是未知的，只能通過對以往實驗、實測和調(diào)查資料的統(tǒng)計分析，從概率角度來推斷結(jié)構(gòu)未來的調(diào)查資料的統(tǒng)計分析，從概率角度來推斷結(jié)構(gòu)未來的性狀；性狀；n在結(jié)構(gòu)建成并使用到設(shè)計規(guī)定期后，設(shè)計中所用的變在結(jié)構(gòu)建成并使用到設(shè)計規(guī)定期后，設(shè)計中所用的變量都成了規(guī)定值，結(jié)構(gòu)的最終狀態(tài)也完全得以確定量都成了規(guī)定值，結(jié)構(gòu)的最終狀態(tài)也完全得以確定（完好或失效）。（完好或失效）。n

5、所以結(jié)構(gòu)從建造到使用期內(nèi)的表現(xiàn)，就是對所設(shè)計結(jié)構(gòu)所以結(jié)構(gòu)從建造到使用期內(nèi)的表現(xiàn)，就是對所設(shè)計結(jié)構(gòu)的一次隨機實驗結(jié)果。的一次隨機實驗結(jié)果。5.1.4蒙特卡羅法分析蒙特卡羅法分析可靠度的步驟可靠度的步驟n從數(shù)學(xué)的角度描述為：n1.利用隨機抽樣以獲得每一個變量的樣本值： ， ， ，n2.根據(jù)上述抽樣值，計算功能函數(shù)的值Z：n3.進行了N次這樣的試驗（抽樣），則失效概率可由下式近似給出： 1X2XnX ),(21nXXXgZ NZnPf)0(顯而易見，在蒙特卡羅法中，失效概率就是結(jié)構(gòu)失效次數(shù)占總試驗次數(shù)的比例，這就是該方法的基本出發(fā)點。 5.1.5蒙特卡羅法表示結(jié)構(gòu)可靠度的表示方法蒙特卡羅法表示結(jié)構(gòu)可

6、靠度的表示方法n用蒙特卡羅法表示的失效概率也可用一個示性函數(shù)表示：NiifxZINp1)(10)(00)(1)(XZXZXZIi關(guān)于(0-1)分布:如果隨機變量x只能取兩個值0和1，它的分布律（離散型隨機變量）是：) 10( 1 , 0,)1 (1pkppkXPkk則稱x服從（0-1）分布。5.2蒙特卡羅法研究結(jié)構(gòu)可靠度的優(yōu)缺點蒙特卡羅法研究結(jié)構(gòu)可靠度的優(yōu)缺點n優(yōu)點：回避了結(jié)構(gòu)可靠度分析中的數(shù)學(xué)困難，不需要考慮極限狀態(tài)曲面的復(fù)雜性。n缺點：計算工作量大（借助于計算機）n現(xiàn)狀：不作為一種常規(guī)的結(jié)構(gòu)可靠度分析方法來使用，只是用于一些復(fù)雜情況的可靠度分析（國防、航天領(lǐng)域）。如何隨機抽樣？如何保證樣本

7、與實際情況大體相符合？抽樣模擬多少次？5.3抽樣模擬總數(shù)與蒙特卡羅法蒙特卡羅法精度)1 (12ffppNNppzppffff)1 (96. 12/當(dāng)選取95的置信度來保證蒙特卡羅法的抽樣誤差時，有以相對誤差 來表示，有fffffpNpppp12則上式可以近似表示為： fpN224fpN2 . 0fpN/100工程結(jié)構(gòu)的失效概率是一個小量，可見， N足夠大時才能給出正確的估計。 估計失效概率的方差：22)(ffppEpEf對于正態(tài)分布而言，具有95置信度的96. 12/Z估計失效概率的方差22)(ffppEpEf依據(jù)（1）方差的定義： （2）示性函數(shù)的性質(zhì) )1 (12ffppNNiifxZIN

8、p1)(1經(jīng)過一系列推演得到失效概率估計值的方差：5.3抽樣模擬總數(shù)與蒙特卡羅法蒙特卡羅法精度n結(jié)論：精度與抽樣模擬總數(shù)有關(guān)。換句話說，要想提高精度，必須將抽樣模擬總數(shù)提高24fpN5.4隨機變量的抽樣n要求：n（1）樣本足夠多n（2）樣本統(tǒng)計特性應(yīng)符合隨機變量已知的統(tǒng)計特性。n思路：n首先產(chǎn)生在開區(qū)間（0，1）上的均勻樣本值（隨機數(shù)） ，在此基礎(chǔ)上通過一定的計算再變換成給定分布變量的隨機數(shù)。5.4.1隨機數(shù)的產(chǎn)生隨機數(shù)的產(chǎn)生n產(chǎn)生隨機數(shù)的方法n隨機數(shù)表：將利用某種方法（高速轉(zhuǎn)盤、電子裝置）產(chǎn)生的隨機數(shù)記錄于磁盤中，使用時輸入計算機即可（一些數(shù)學(xué)手冊中還附有隨機數(shù)表）。n物理方法：由物理隨機數(shù)

9、發(fā)生器（安裝在計算機上）將具有隨機性質(zhì)的物理過程變換為隨機數(shù)。是真正的隨機數(shù)，不會出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，但不便于對結(jié)果復(fù)查，也不便于對不同方法進行對比，且發(fā)生器的穩(wěn)定性檢查和維護是一項繁瑣的工作，該法不常用。n數(shù)學(xué)方法：根據(jù)數(shù)論方法通過數(shù)學(xué)遞推公式運算來實現(xiàn)。速度快，即產(chǎn)即用，可重復(fù)生產(chǎn)。會出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象且隨機數(shù)之間存在一定的相關(guān)性，被稱謂偽隨機數(shù)。數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生隨機數(shù)數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生隨機數(shù)n用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的“隨機數(shù)”，由于是按確定的算法計算出來的，所以并不是真正的隨機數(shù)，但如果計算方法選擇得當(dāng)，它們就近似地是相互獨立和均勻分布的，經(jīng)得起數(shù)理統(tǒng)計中的獨立性檢驗和均勻分布檢驗。鑒于此，人們把這種數(shù)叫作偽隨機數(shù)偽

10、隨機數(shù)。n用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的“隨機數(shù)”，常用的方法是同余法，包括加同余法、乘同余法乘同余法和混合同余法。1.乘同余法乘同余法 n“同余同余”的概念 n（1）舉例說明余數(shù)的意義：已知2011年4月16日是星期六，問2012年4月16日是星期幾？n2012年為潤年，從2011年4月16日至2012年4月16日共366天，365/752.2，2012年4月16日是星期六加2天等于星期一。1.乘同余法乘同余法n“同余同余”的概念n（2）關(guān)于同余的概念n兩個正整數(shù)被一個正整數(shù)除有相同的余數(shù)，謂之同余。n有同余的兩個數(shù)之差，一定能夠被那個固定的正整數(shù)整除。n如果a和b都是整數(shù)，而m是一個固定的正整數(shù)，則當(dāng)

11、（即m能夠整除(a-b)）時，則稱a,b對模m同余，記作 。)(bam)(modmba 舉例：65和33對模16同余（0.0625）。65-333232/162所以)16(mod3365 Ki是比值 的整數(shù)部分，即 1.乘同余法 n乘同余法產(chǎn)生均勻分布隨機序列的遞推計算公式如下：axnimxxii 01, ), 2 , 1()(modmxi1)(1mxIntKiiiiimKxx11mxrii設(shè) 、m、a是選定的正整數(shù)，a為奇數(shù)。 則相應(yīng)模m 的余數(shù)為 以模除上式得： 此即第i個均勻分布的隨機數(shù)，反復(fù)迭代可以產(chǎn)生一個隨機數(shù)序列r1、r2、r3例例5.1 取 有 乘同余法：產(chǎn)生區(qū)間(0,1)內(nèi)均勻

12、分布的隨機數(shù)的遞推公式是：一些文獻報道如下的參數(shù)可供使用時參考。 Ki是比值 的整數(shù)部分，即 2.混合同余法 n混合同余法產(chǎn)生均勻分布隨機序列的遞推計算公式如下：axnimxxii 01, ), 2 , 1()(modmcxi1)(1mcxIntKiiiiimKcxx11mxrii設(shè) 、m、c是選定的正整數(shù)。 則相應(yīng)的模m 的余數(shù)為 以模除上式得： 此即第i個均勻分布的隨機數(shù)，反復(fù)迭代可以產(chǎn)生一個隨機數(shù)序列r1、r2、r3混合同余法產(chǎn)生隨機數(shù)舉例8 . 05/41r32)6 . 2()5143(1IntIntKc=1,m=5初值x0=1，則4051131x例1：設(shè)0)8 . 0()5113(0

13、IntIntK3251432x6 . 05/32r10.820.63040.250.860.67080.2這是一組很不好的偽隨機數(shù)，原因是常數(shù)m選得太小iiimKcxx1)(1mcxIntKii1mxrii例例5.2 選 得遞推公式： 取定種子x0=71 。 其余類推，接下來的隨機數(shù)是0.113，0.964，0.511，0.570，0.293，0.424，0.131，L計算機存放一個整數(shù)值的二進制位數(shù)?；旌贤喾?參數(shù)取值經(jīng)驗1211324865. 02256482mcmmL為任意正整數(shù),12142cmLn使隨機數(shù)周期達到最大值的參數(shù)取值：n具有較好統(tǒng)計性質(zhì)的隨機數(shù)（經(jīng)驗）iiimKcxx1混

14、合同余法法 參數(shù)取值經(jīng)驗)2)(mod15(35115iixx352/iixr )2)(mod45806245314159269(311iixx兩個較好的隨機數(shù)遞推公式：312/iixr 據(jù)遞推公式，用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)是非常方便的。35L31L參閱統(tǒng)計計算)2)(mod45806245314159269(311iixx312/iixr 混合同余法產(chǎn)生隨機數(shù)例 參數(shù)取值經(jīng)驗取遞推公式：13870 x1993015452)2)(mod458062451387314159269(311x9280701. 02/1993015452311r)2)(mod458062451993015452314159

15、269(312x5.4.2對偽隨機數(shù)的檢驗n用這種方法產(chǎn)生的偽隨機數(shù)能否作為（0-1）均勻分布的隨機數(shù)，需要進行檢驗?？上冗x定一組參數(shù)后，在計算機上產(chǎn)生序列，然后用統(tǒng)計檢驗方法檢驗其獨立性和均勻性。應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計的知識5.4.3隨機變量的抽樣n實際工程中，所涉及的隨機變量并不服從均勻分布，因此需要研究其它分布類型的隨機變量樣本值的產(chǎn)生方法。n可通過均勻分布的適當(dāng)變換得到，下面介紹幾種常用的方法反函數(shù)法、隨機變量函數(shù)法、指定子區(qū)間內(nèi)隨機數(shù)產(chǎn)生法。（1）用反函數(shù)方法產(chǎn)生任意分布隨機變量的抽樣n基本思想：如果隨機變量X的概率分布函數(shù)為FX( x), 則對于給定的分布函數(shù)值FX(x)=r,x的值為x=F

16、X-1(r)（1）用反函數(shù)方法產(chǎn)生任意分布隨機變量的抽樣n這就意味著,如果（r1,r2,rn) 是R的一組值，則相應(yīng)得到一組值x=FX-1(r)（i=1,2,n),服從分布FX( x)。 反函數(shù)方法產(chǎn)生隨機變量的抽樣的實例n例5-3產(chǎn)生具有指數(shù)分布概率密度 的一個抽樣)0()(xexfxiixxxiedxer01)1ln(1iirxrxF)(設(shè)反函數(shù)方法產(chǎn)生隨機變量的抽樣的實例n例5-4產(chǎn)生極值I型漸進分布的一個抽樣)(expexp)(uxxFrxF)()1ln(ln1rux設(shè)同樣可以得到：（2）隨機變量函數(shù)法產(chǎn)生隨機數(shù)n基本思想：設(shè)隨機變量X是其它隨機變量Y1,Y2,Yn的函數(shù)，即X=g(Y

17、1,Y2,Yn),如果能容易的產(chǎn)生Y1,Y2,Yn的隨機數(shù)y1,y2,yn,則可得X的隨機數(shù)x=g(y1,y2,yn)隨機變量函數(shù)法產(chǎn)生隨機數(shù)舉例n例4-4 X1,X2是兩個相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的隨機變量；R1,R2是兩個相互獨立的（0，1）均勻分布隨機變量，試產(chǎn)生N(,)的隨機數(shù)。)2sin(ln2)2cos(ln2212211RRXRRXiixy)2sin(ln2)2cos(ln2212211RRyRRy可以證明右式成立由此可根據(jù)（0-1）均勻分布隨機數(shù)，產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機數(shù)，再由下式得到正態(tài)分布隨機數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與均勻分布隨機變量之間的關(guān)系。正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的關(guān)

18、系。指定子區(qū)間內(nèi)隨機數(shù)的產(chǎn)生方法（以極值I型為例）xeexfuxux,exp)()()(6x57722. 0 xuexp)()(uxexFx=FX-1(r)事實上是反函數(shù)法在子區(qū)間上的應(yīng)用在子區(qū)間（0，+）上的隨機數(shù)可由下列關(guān)系式產(chǎn)生：reuxexp)()lnln(7797. 045. 0rxxxx蒙特卡羅法求解失效概率實例n例4-5設(shè)某構(gòu)件正截面承載力計算的極限狀態(tài)方程為Zg(R,S)=R-S=0，R、S分別為正態(tài)和極值I型分布的隨機變量，其統(tǒng)計參數(shù)為R（100，20），S（80，24）。試用蒙特卡羅法求解其失效概率。蒙特卡羅法求解失效概率實例)2sin(ln2)2cos(ln2212211

19、rrRrrRRRRRir)lnln(7797. 045. 0rxxxx2.產(chǎn)生R的隨機數(shù)（R為正態(tài)分布）n1.產(chǎn)生（0-1）均勻分布的隨機數(shù)3.產(chǎn)生S的隨機數(shù)（S為極值I型分布）)lnln(7797. 045. 0rSSSS4.將變量的隨機值代入功能函數(shù)計算gR-S5.重復(fù)14，記錄下g0的次數(shù)L和總次數(shù)N 由均勻分布隨機數(shù)產(chǎn)生正態(tài)分布隨機數(shù)蒙特卡羅法求解失效概率實例fpN/100當(dāng)停止 N 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 L 26 47 72 95 117 138 157 177 201 224 失效概率 0.26 0.235 0.24 0.

20、2375 0.234 0.23 0.2243 0.2213 0.2233 0.224評述n對于小概率事件的結(jié)構(gòu)失效問題，用蒙特卡羅法導(dǎo)致很大的計算量，因此（直接的）蒙特卡羅法對于結(jié)構(gòu)可靠度不高即失效概率較大的情況，有較高的效率。n如何提高蒙特卡羅法的抽樣效率，成為該方法要解決的主要問題。24fpN1.引言（1）同心圓表示聯(lián)合概率密度函數(shù)的等值線，黑點為聯(lián)合概率密度函數(shù)的最大值點，即最大似然點，該點一般在隨機變量的平均值附近。（2）當(dāng)按一般抽樣方法進行隨機抽樣時，樣本點落在最大似然點處的概率最大，所以抽樣的樣本點大部分落在該點附近。（3）按照結(jié)構(gòu)安全設(shè)計的要求，結(jié)構(gòu)失效為小概率事件，也就是設(shè)計結(jié)構(gòu)時，要使最大似然點在可靠域內(nèi)，且遠離失效邊界。蒙特卡羅的重要抽樣法蒙特卡羅的重要抽樣法n1.引言n（4）在這種情況下，模擬中只有少數(shù)或極少數(shù)（取決于失效概率的大?。┑臉颖韭淙胧в颍淙胧в虻臉颖军c越少，失效概率估計值的不確定性越大，從而精度越低。例如當(dāng)進行了一定次數(shù)的模擬后仍然沒有一個樣本點落入失效域，則失效概率的估計值為0，顯然不能反映結(jié)構(gòu)失效概率的真實結(jié)果。n（5）提高抽樣效率的途徑是縮減失效概率估計值的方差，為此發(fā)展了多種高效抽樣方法，其中重要抽樣法應(yīng)用最廣。蒙特卡羅的重要抽樣法n2.基本概念n所謂重要抽樣法，就是通過改變抽樣中心的位置或是用新