1、球面感應(yīng)電荷分布 電象法概念、適用情況電象法概念、適用情況電象法：電象法：用假想點(diǎn)電荷來(lái)等效地用假想點(diǎn)電荷來(lái)等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間電荷分布，然后用空間點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷迭點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷迭加給出空間電勢(shì)分布。加給出空間電勢(shì)分布。適用情況：適用情況： 所求區(qū)域有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷，所求區(qū)域有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點(diǎn)電荷代替。用假想點(diǎn)電荷代替。b)b)導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具有一定對(duì)稱性。有一定對(duì)稱性。 c) c) 給定邊界條件給定邊界條件注意注意：a a）做替代時(shí)，所研究空間的泊

2、松方程不能被改變（即自由）做替代時(shí)，所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由 點(diǎn)電荷位置、點(diǎn)電荷位置、Q Q 大小不能變）。所以假想電荷必須放在大小不能變）。所以假想電荷必須放在 所求區(qū)域之外。所求區(qū)域之外。b b）不能改變?cè)羞吔鐥l件（實(shí)際是通過(guò)邊界條件來(lái)確定假）不能改變?cè)羞吔鐥l件（實(shí)際是通過(guò)邊界條件來(lái)確定假 想電荷的大小和位置）。想電荷的大小和位置）。c c）一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來(lái)的電荷分布。）一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來(lái)的電荷分布。d d）坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來(lái)定。）坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來(lái)定。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、應(yīng)用舉例 接地?zé)o限

3、大平面導(dǎo)體板附近接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷，求空間電勢(shì)。有一點(diǎn)電荷，求空間電勢(shì)。QQ/Pzrra0解：根據(jù)唯一性定理左半空間解：根據(jù)唯一性定理左半空間右半空間，右半空間，Q Q在（在（0 0，0 0，a a）點(diǎn)，）點(diǎn)，電勢(shì)滿足泊松方程。電勢(shì)滿足泊松方程。邊界上邊界上00z從物理問(wèn)題的對(duì)稱性和邊界條件考慮，假想電荷應(yīng)在左從物理問(wèn)題的對(duì)稱性和邊界條件考慮，假想電荷應(yīng)在左半空間半空間 z z 軸上。軸上。Q設(shè)電量為設(shè)電量為a，位置為（位置為（0 0，0 0，） )()(412222220azyxQazyxQ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 22222200ayxQayxQz由邊界條件確定由

4、邊界條件確定Qa和和、唯一解是唯一解是 因?yàn)橄箅姾稍谧蟀肟找驗(yàn)橄箅姾稍谧蟀肟臻g，所以舍去正號(hào)解間，所以舍去正號(hào)解aaQQ,)(1)(142222220azyxazyxQ討論：討論：（a a）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布）導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷分布2/322200)(2ayxQazz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 02/322)(22QQarrdrQadSQ（b b）電荷）電荷Q Q 產(chǎn)生的電場(chǎng)的電力線全部終止在導(dǎo)體面上產(chǎn)生的電場(chǎng)的電力線全部終止在導(dǎo)體面上 它與無(wú)導(dǎo)體時(shí)，兩個(gè)等量異號(hào)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在右半空它與無(wú)導(dǎo)體時(shí)，兩個(gè)等量異號(hào)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在右半空間完全相同。間完全相同。 （c） 與與 位置對(duì)于導(dǎo)體板

5、鏡象對(duì)稱，故這種方法稱位置對(duì)于導(dǎo)體板鏡象對(duì)稱，故這種方法稱 為鏡象法（又稱電象法）為鏡象法（又稱電象法）QQ（d d）導(dǎo)體對(duì)電荷）導(dǎo)體對(duì)電荷Q Q 的作用力相當(dāng)兩點(diǎn)電荷間的作用力的作用力相當(dāng)兩點(diǎn)電荷間的作用力zzzeaQeaQerQF202020216)2(144機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解：（解：（1 1）分析：）分析：因?qū)w球接地故球的電因?qū)w球接地故球的電勢(shì)為零。根據(jù)鏡象法原勢(shì)為零。根據(jù)鏡象法原則假想電荷應(yīng)在球內(nèi)。則假想電荷應(yīng)在球內(nèi)。因空間只有兩個(gè)點(diǎn)電荷，因空間只有兩個(gè)點(diǎn)電荷，場(chǎng)應(yīng)具有軸對(duì)稱，故假場(chǎng)應(yīng)具有軸對(duì)稱，故假想電荷應(yīng)在線上，即極想電荷應(yīng)在線上，即極軸上。軸上。 真空中有

6、一半徑真空中有一半徑R R0 0的接地導(dǎo)體球，距球心的接地導(dǎo)體球，距球心 a Ra R0 0 處有一點(diǎn)電荷處有一點(diǎn)電荷 Q Q，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。410rQrQ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 r r球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系PROZ ZQQcos222RaaRrcos222RbbRr0000222200RRRRRRRrQrQrQrQ（2 2）由邊界條件確定）由邊界條件確定Qr和和bQO設(shè)設(shè) 222200()2cosQRbQ R b222200()2cosQRaQ R a因因 任意的任意的aQbQ22)()(22022202aRQbRQ解得解得 aQRQaRb020 QQabaQRQa

7、Rb020機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(0)(/cos2/cos214002024020220RRRRaRRaRRaRRaaRQ ，因此因此Q Q發(fā)出的電力線一部分會(huì)聚到導(dǎo)體發(fā)出的電力線一部分會(huì)聚到導(dǎo)體球面上，剩余傳到無(wú)窮遠(yuǎn)。球面上，剩余傳到無(wú)窮遠(yuǎn)。 球面感應(yīng)電荷分布球面感應(yīng)電荷分布 QQ （3 3）討論）討論： 2/3020202020)cos2(40aRRaRRaQRRRaQRdSQRR00導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，可認(rèn)為電荷導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零，可認(rèn)為電荷 移到地中去了。移到地中去了。aQRQQ0 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 cos2)/(12020

8、RaRRRa（3 3）若導(dǎo)體不接地，可視為）若導(dǎo)體不接地，可視為 分布在導(dǎo)體面上。不接分布在導(dǎo)體面上。不接地導(dǎo)體亦為等勢(shì)體，加上地導(dǎo)體亦為等勢(shì)體，加上 還要使導(dǎo)體為等勢(shì)體，還要使導(dǎo)體為等勢(shì)體， 必必須均勻分布在球面上。這時(shí)導(dǎo)體球上總電量須均勻分布在球面上。這時(shí)導(dǎo)體球上總電量（因?yàn)榫鶆蚍植记蛎嫔峡墒箤?dǎo)體產(chǎn)生的電勢(shì)等效于在球（因?yàn)榫鶆蚍植记蛎嫔峡墒箤?dǎo)體產(chǎn)生的電勢(shì)等效于在球心的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)）。心的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)）。Q 0 QQQ Q RQ014 （4 4）若導(dǎo)體球不接地，且?guī)献杂呻姾桑┤魧?dǎo)體球不接地，且?guī)献杂呻姾?，導(dǎo)體上總電，導(dǎo)體上總電荷為荷為 ，此時(shí)要保持導(dǎo)體為等勢(shì)體，此時(shí)要保持導(dǎo)體為

9、等勢(shì)體， 也應(yīng)均勻分布在也應(yīng)均勻分布在球面上。球面上。 0Q0Q0QRQRQ000244 等效電荷一般是一個(gè)點(diǎn)電荷組或等效電荷一般是一個(gè)點(diǎn)電荷組或一個(gè)帶電體系，而不一定就是一一個(gè)帶電體系，而不一定就是一個(gè)點(diǎn)電荷。個(gè)點(diǎn)電荷。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （5 5）導(dǎo)體球不接地而帶自由電荷）導(dǎo)體球不接地而帶自由電荷 時(shí)時(shí) 所受到的所受到的作用力可以看作作用力可以看作 與與 及位于球心處的等效電荷及位于球心處的等效電荷 的作用力之和。的作用力之和。0QQQQ 0Q)()2(414)()(42202320230220020020RaaRaRQaQQaQQQbaQQF 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

10、 結(jié)束 3 3有一點(diǎn)電荷有一點(diǎn)電荷 位于兩個(gè)互相垂直的半無(wú)限大接位于兩個(gè)互相垂直的半無(wú)限大接地導(dǎo)體板所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的地導(dǎo)體板所圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為距離為 a a 和和 b b，求空間的電勢(shì)。，求空間的電勢(shì)。Q 假想電荷應(yīng)在假想電荷應(yīng)在第第I I象限之外。象限之外。 要保證互相垂要保證互相垂直的兩個(gè)接地導(dǎo)體直的兩個(gè)接地導(dǎo)體板的電勢(shì)同時(shí)為零，板的電勢(shì)同時(shí)為零，應(yīng)當(dāng)放幾個(gè)電荷？應(yīng)當(dāng)放幾個(gè)電荷？解：（解：（1 1）分析：）分析：Q（-a, -b, 0）-Q（a, -b, 0）xyOQ（a, b, 0）-Q （-a, b, 0）機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 S2S1Q0（2 2）電勢(shì)分布）電勢(shì)分布2222220222222114()()()()0110()()()()Qx ay bzx ay bzxyx ay bzx ay