1、第二節(jié) 線性變換與矩陣運(yùn)算三年三年6 6考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.了解矩陣與矩陣的乘法的意義，了解矩陣乘法不滿足交換律、了解矩陣與矩陣的乘法的意義，了解矩陣乘法不滿足交換律、消去律，會(huì)驗(yàn)證消去律，會(huì)驗(yàn)證2 2矩陣乘法滿足結(jié)合律矩陣乘法滿足結(jié)合律. .2.2.了解逆矩陣的意義，懂得逆矩陣能夠不存在了解逆矩陣的意義，懂得逆矩陣能夠不存在. .3.3.了解逆矩陣的獨(dú)一性和了解逆矩陣的獨(dú)一性和(AB)-1=B-1A-1(AB)-1=B-1A-1等簡(jiǎn)單性質(zhì)，了解其在等簡(jiǎn)單性質(zhì)，了解其在變換中的意義變換中的意義. .4.4.了解行列式的定義，會(huì)用行列式求逆矩陣了解行列式的定義，會(huì)用行列式求逆矩陣

2、. .5.5.能用變換與映射的觀念認(rèn)識(shí)解線性方程組的意義，會(huì)用系數(shù)能用變換與映射的觀念認(rèn)識(shí)解線性方程組的意義，會(huì)用系數(shù)矩陣的逆矩陣解線性方程組，了解線性方程組解的存在性、獨(dú)矩陣的逆矩陣解線性方程組，了解線性方程組解的存在性、獨(dú)一性一性. .1.1.計(jì)算計(jì)算2 22 2矩陣的乘法，求矩陣的乘法，求2 22 2矩陣的逆矩陣、逆矩陣與線性矩陣的逆矩陣、逆矩陣與線性變換及利用逆矩陣解線性方程組是高考熱點(diǎn)變換及利用逆矩陣解線性方程組是高考熱點(diǎn). .2.2.以解答題方式出現(xiàn)以解答題方式出現(xiàn). . 1.1.線性變換的根本性質(zhì)線性變換的根本性質(zhì)(1)(1)定理定理1:1:設(shè)設(shè) t,k t,k是實(shí)數(shù)，那么是實(shí)數(shù)

3、，那么A(tX1)=_A(tX1)=_；AX1+AX2= _AX1+AX2= _；A(tX1+kX2)=_.A(tX1+kX2)=_.121212xxabA,X,X,cdyyt(AX1)t(AX1)A(X1+X2)A(X1+X2)tAX1+kAX2tAX1+kAX2(2)(2)定理定理2 2：可逆的線性變換具有如下性質(zhì)：可逆的線性變換具有如下性質(zhì)將直線變成將直線變成_；將線段變成將線段變成_；將平行四邊形變成將平行四邊形變成_._.直線直線線段線段平行四邊形平行四邊形2.2.復(fù)合變換與矩陣乘法復(fù)合變換與矩陣乘法(1)(1)復(fù)合變換：普通地，設(shè)復(fù)合變換：普通地，設(shè)A A，B B是平面上的兩個(gè)變換

4、，將平面是平面上的兩個(gè)變換，將平面上每個(gè)點(diǎn)上每個(gè)點(diǎn)P P先用變換先用變換A A變到變到PP，再用變換，再用變換B B將將PP變到變到PP，那么，那么從從P P到到PP也是平面上的一個(gè)變換，稱為也是平面上的一個(gè)變換，稱為A A，B B的復(fù)合變換，也稱的復(fù)合變換，也稱為為B B與與A A的乘積，記作的乘積，記作_._.BABA(2)(2)矩陣乘法法那么：對(duì)恣意兩個(gè)矩陣乘法法那么：對(duì)恣意兩個(gè)2 22 2矩陣矩陣A=A=和和B= B= ，規(guī)定它們的乘積，規(guī)定它們的乘積BA=BA=矩陣的乘法不滿足矩陣的乘法不滿足_律與律與_律，滿足律，滿足_律律. .(3)(3)變換的乘法與矩陣的乘法都不滿足變換的乘法

5、與矩陣的乘法都不滿足_._.1111abcd2222abcd212 12121212 12121a ab ca bb d.c ad cc bd d交換交換消去消去結(jié)合結(jié)合交換律交換律 純量矩陣純量矩陣零矩陣零矩陣單位方陣單位方陣對(duì)角陣對(duì)角陣_k00k00001001a00b(4)(4)特殊矩陣特殊矩陣【即時(shí)運(yùn)用】【即時(shí)運(yùn)用】 (1) (1)思索：矩陣的乘法與實(shí)數(shù)的乘法能否完全一樣？思索：矩陣的乘法與實(shí)數(shù)的乘法能否完全一樣？提示：不完全一樣提示：不完全一樣. .矩陣的乘法與實(shí)數(shù)的乘法相比較，最重要矩陣的乘法與實(shí)數(shù)的乘法相比較，最重要的差別是，矩陣的乘法不滿足交換律和消去律的差別是，矩陣的乘法不滿

6、足交換律和消去律. .(2)(2)知梯形知梯形ABCD, ABCD, 其中其中A(0 , 0), B(3 , 0), C(1 , 2), D(2 , A(0 , 0), B(3 , 0), C(1 , 2), D(2 , 2), 2), 先將梯形作關(guān)于先將梯形作關(guān)于x x軸的反射變換軸的反射變換, , 再將所得圖形繞原點(diǎn)逆再將所得圖形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)針旋轉(zhuǎn)9090, ,那么延續(xù)兩次變換所對(duì)應(yīng)的變換矩陣那么延續(xù)兩次變換所對(duì)應(yīng)的變換矩陣M=_,M=_,它的幾何意義是它的幾何意義是_._.【解析】由條件得【解析】由條件得 這個(gè)復(fù)合變換的幾何意這個(gè)復(fù)合變換的幾何意義表示將原圖形沿直線義表示將原圖形沿

7、直線y=xy=x翻折變換翻折變換. .答案：答案： 表示將原圖形沿直線表示將原圖形沿直線y=xy=x翻折變換翻折變換cos90sin901001M,sin90cos9001100110(3) =_.(3) =_.【解析】【解析】 答案：答案：1243342112431 42 21 32 185.34213 44 23 34 12013 852013(4)(4)設(shè)設(shè) 假設(shè)假設(shè)ABABBABA，那么，那么k k的值為的值為_._.【解析】【解析】 由由ABABBABA，得，得k k3.3.答案：答案：3 31242AB34k7， ，4 2k161016ABBA12 4k34k212k28，3.3.

8、逆變換與逆矩陣逆變換與逆矩陣(1)(1)假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣A A，B B滿足滿足_,_,那么稱那么稱A A，B B是可逆矩陣，是可逆矩陣，B B是是A A的的逆，記為逆，記為B=_B=_，反過來，反過來A=_.A=_.(2)(2)定理定理1 1：設(shè)：設(shè)A= ,A= ,記記=ad-bc,=ad-bc,那么那么A A可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是_；AB=BA=EAB=BA=EA-1A-1B-1B-1abcd00當(dāng)當(dāng)00時(shí)，時(shí)，A-1= =ad-bcA-1= =ad-bc稱為矩陣稱為矩陣A A的行列式，的行列式，記作記作 , ,且且 =_. =_.矩陣矩陣A A的行列式記作的行列式記作|A

9、|A|，也記，也記作作detA.detA.(3)(3)定理定理2:2:假設(shè)假設(shè)_，那么，那么ABAB可逆，且可逆，且(AB)-1=_.(AB)-1=_.4.4.逆矩陣與二元一次方程組逆矩陣與二元一次方程組記記 假設(shè)假設(shè)A A可逆，那么方程可逆，那么方程AX=BAX=B的解的解X=_.X=_.abcdabcdad-bcad-bcA,BA,B都可逆都可逆abxeA,X,B,cdyf A-1BA-1BB-1A-1B-1A-1db.ca【即時(shí)運(yùn)用】【即時(shí)運(yùn)用】根據(jù)變換的幾何意義，矩陣根據(jù)變換的幾何意義，矩陣A= A= 的逆矩陣為的逆矩陣為_._.【解析】矩陣【解析】矩陣A A表示的變換是繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋

10、轉(zhuǎn)表示的變換是繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，其逆變換，其逆變換是繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)是繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)- - ，它的矩陣就是所求的逆矩陣，即，它的矩陣就是所求的逆矩陣，即132231223311322A.3122答案：答案：13223122 矩陣乘法及其運(yùn)用矩陣乘法及其運(yùn)用【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】關(guān)于矩陣的乘法運(yùn)算留意的問題關(guān)于矩陣的乘法運(yùn)算留意的問題(1)(1)矩陣的乘法要嚴(yán)厲按照乘法法那么進(jìn)展，特別留意位置的對(duì)矩陣的乘法要嚴(yán)厲按照乘法法那么進(jìn)展，特別留意位置的對(duì)應(yīng)要準(zhǔn)確應(yīng)要準(zhǔn)確. .(2)(2)對(duì)于某一向量進(jìn)展多次矩陣變換時(shí)，通常先進(jìn)展矩陣乘法運(yùn)對(duì)于某一向量進(jìn)展多次矩陣變換時(shí)，通常先進(jìn)展矩陣乘法運(yùn)算，使

11、多次變換轉(zhuǎn)化為一次變換，再利用矩陣與向量的乘法運(yùn)算，使多次變換轉(zhuǎn)化為一次變換，再利用矩陣與向量的乘法運(yùn)算求向量算求向量. . 【例【例1 1】(2021(2021江蘇高考江蘇高考) )知矩陣知矩陣A= A= ，向量，向量求向量求向量 ，使得，使得【解題指南】此題是知向量【解題指南】此題是知向量進(jìn)展兩次矩陣變換進(jìn)展兩次矩陣變換A A后后, ,變?yōu)橄蜃優(yōu)橄蛄苛?, ,故先進(jìn)展矩陣的乘法故先進(jìn)展矩陣的乘法, ,得得A2,A2,再利用待定系數(shù)法求向量再利用待定系數(shù)法求向量 . .112112 ，2A.【規(guī)范解答】因【規(guī)范解答】因 故設(shè)故設(shè) = =由由 得：得：2111132A,212143xy，32x

12、143y2 ，3x2y1x11,.4x3y2y22 2A.【反思【反思感悟】感悟】1.1.解答此題的關(guān)鍵是計(jì)算解答此題的關(guān)鍵是計(jì)算A2.A2.2.2.矩陣的乘法是矩陣的根本運(yùn)算，在解題中作為根底工具廣泛矩陣的乘法是矩陣的根本運(yùn)算，在解題中作為根底工具廣泛運(yùn)用于矩陣相關(guān)知識(shí)中運(yùn)用于矩陣相關(guān)知識(shí)中. .【變式訓(xùn)練】假設(shè)【變式訓(xùn)練】假設(shè) 試求試求x x的值的值. .【解析】【解析】3x=1,3x=1,31x110101，31x1x1x1x0101010112x1x13x11,010101011x.3【變式備選】設(shè)數(shù)列【變式備選】設(shè)數(shù)列anan、bnbn滿足滿足anan1 12an2an3bn3bn，

13、bnbn1 12bn2bn，且滿足，且滿足 求二階矩陣求二階矩陣M.M.【解析】依題設(shè)有【解析】依題設(shè)有令令A(yù) A ，那么，那么M MA4A4，n4nn4naaMbb，n1nn1naa23b02b，230222422323412A.MAA0202044124121696.0404016 矩陣的乘法與線性變換矩陣的乘法與線性變換【方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】1.1.矩陣乘法與復(fù)合變換矩陣乘法與復(fù)合變換矩陣矩陣MNMN對(duì)應(yīng)的變換是一個(gè)復(fù)合變換，變換的順序是先進(jìn)展右邊對(duì)應(yīng)的變換是一個(gè)復(fù)合變換，變換的順序是先進(jìn)展右邊的矩陣的矩陣N N對(duì)應(yīng)的變換，再進(jìn)展左邊的矩陣對(duì)應(yīng)的變換，再進(jìn)展左邊的矩陣M M對(duì)應(yīng)的變換，

14、留意變對(duì)應(yīng)的變換，留意變換順序不能顛倒換順序不能顛倒. .2.2.矩陣的乘法在線性變換中的運(yùn)用矩陣的乘法在線性變換中的運(yùn)用當(dāng)對(duì)曲線延續(xù)進(jìn)展變換時(shí)，可以先進(jìn)展矩陣的乘法運(yùn)算，從而當(dāng)對(duì)曲線延續(xù)進(jìn)展變換時(shí)，可以先進(jìn)展矩陣的乘法運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化變換過程簡(jiǎn)化變換過程. . 【例【例2 2】(2021(2021莆田模擬莆田模擬) )直線直線l1:x=-4l1:x=-4先經(jīng)過矩陣先經(jīng)過矩陣A= A= 作作用，再經(jīng)過矩陣用，再經(jīng)過矩陣B= B= 作用，變?yōu)橹本€作用，變?yōu)橹本€l2:2x-y=4l2:2x-y=4，求矩陣，求矩陣A.A.【解題指南】此題知變換前后的直線【解題指南】此題知變換前后的直線l1l1、l2l

15、2，矩陣，矩陣B B，故可先表，故可先表示出示出BABA，再利用待定系數(shù)法列方程組求，再利用待定系數(shù)法列方程組求m m，n.n.4mn41101【規(guī)范解答】設(shè)【規(guī)范解答】設(shè)C=BA= C=BA= 那么直線那么直線l1l1上的點(diǎn)上的點(diǎn)(x,y)(x,y)經(jīng)矩經(jīng)矩陣陣C C變換為直線變換為直線l2l2上的點(diǎn)上的點(diǎn)(x,y)(x,y)，那么，那么x=(n+4)x+(m-4)y,x=(n+4)x+(m-4)y,y=-nx+4yy=-nx+4y，代入，代入2x-y=42x-y=4，得，得(3n+8)x+(2m-12)y=4(3n+8)x+(2m-12)y=4與與l1:x=-4l1:x=-4比較系數(shù)得，比

16、較系數(shù)得，m=6,n=-3,A=m=6,n=-3,A=n4m4n4，46.34【互動(dòng)探求】此題假設(shè)先經(jīng)過矩陣【互動(dòng)探求】此題假設(shè)先經(jīng)過矩陣B B作用，再經(jīng)過矩陣作用，再經(jīng)過矩陣A A作用，作用，其他條件不變，試求矩陣其他條件不變，試求矩陣A.A.【解析】設(shè)【解析】設(shè)C=AB=C=AB=那么直線那么直線l1l1上的點(diǎn)上的點(diǎn)(x,y)(x,y)經(jīng)過矩陣經(jīng)過矩陣C C變換，變?yōu)橹本€變換，變?yōu)橹本€l2l2上的點(diǎn)上的點(diǎn)(x,y)(x,y)，那么那么4m1144mn401nn4，x44mxynn4y，x4x4m yynxn4 y ，代入代入2x-y=42x-y=4，得，得2 24x+(4-m)y4x+(4

17、-m)y- -nx+(n+4)ynx+(n+4)y=4=4，即即(8-n)x+(4-2m-n)y=4(8-n)x+(4-2m-n)y=4，與與l1l1：x=-4x=-4比較系數(shù)得：比較系數(shù)得：解得解得:n=9:n=9，8n142mn0 ，5m,2 54A.294【反思【反思感悟】感悟】1.1.矩陣的乘法不滿足交換律即矩陣的乘法不滿足交換律即ABBA.ABBA.2.2.假設(shè)知變換前后的曲線方程，求變換矩陣，普通求出變換前假設(shè)知變換前后的曲線方程，求變換矩陣，普通求出變換前或后的曲線方程，再比較系數(shù)列方程組求解或后的曲線方程，再比較系數(shù)列方程組求解. . 逆矩陣的求法及其運(yùn)用逆矩陣的求法及其運(yùn)用【

18、方法點(diǎn)睛】【方法點(diǎn)睛】1.1.逆矩陣的求法逆矩陣的求法(1)(1)定義法：利用定義法：利用AA-1=E,AA-1=E,待定系數(shù)法求待定系數(shù)法求A-1A-1；(2)(2)行列式法：利用公式行列式法：利用公式A-1=A-1=dbca；(3)(3)逆變換法：找出矩陣逆變換法：找出矩陣A A對(duì)應(yīng)的變換的逆變換，從變換的角度對(duì)應(yīng)的變換的逆變換，從變換的角度求求A-1.A-1.2.2.逆矩陣在線性變換中的運(yùn)用逆矩陣在線性變換中的運(yùn)用逆矩陣作為矩陣在線性變換中可以對(duì)曲線進(jìn)展變換，而逆矩陣逆矩陣作為矩陣在線性變換中可以對(duì)曲線進(jìn)展變換，而逆矩陣又對(duì)應(yīng)特殊的變換又對(duì)應(yīng)特殊的變換逆變換，因此留意逆變換在解題中的運(yùn)逆

19、變換，因此留意逆變換在解題中的運(yùn)用用. . 【例【例3 3】 知知A= A= 求圓求圓x2+y2=1x2+y2=1在在(AB)-1(AB)-1變換作用下的圖形變換作用下的圖形. .【解題指南】此題可利用幾何變換的方法來求【解題指南】此題可利用幾何變換的方法來求(AB)-1(AB)-1，再求知，再求知曲線經(jīng)其變換后的方程，從而判別其外形曲線經(jīng)其變換后的方程，從而判別其外形. .132022,B,013122【規(guī)范解答】根據(jù)題意可知，矩陣【規(guī)范解答】根據(jù)題意可知，矩陣A A表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6060的旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，矩陣變換，矩陣B B表示沿表示沿x x軸方向伸長(zhǎng)軸方向伸長(zhǎng)2 2倍的伸縮

20、變換，從而倍的伸縮變換，從而于是于是11131cos60sin( 60 )022A,B,2sin60cos( 60 )3101221111313102244ABB A,23131012222 設(shè)設(shè)(x,y)(x,y)為為x2+y2=1x2+y2=1上恣意一點(diǎn)上恣意一點(diǎn),(x,y),(x,y)為變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn), ,坐坐標(biāo)變換公式為標(biāo)變換公式為解得解得 ，代入方程，代入方程x2+y2=1,x2+y2=1,化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得4x2+y2=1,4x2+y2=1,即即 ，它是一個(gè)焦點(diǎn)在，它是一個(gè)焦點(diǎn)在y y軸上的橢圓軸上的橢圓. .13xxy4431yxy22 ，3xxy21y3xy2 22xy114【反思【反思感悟】從此題可知感悟】從此題可知(AB)-1=B-1A-1(AB)-1=B-1A-1變換是第一步實(shí)施變換是第一步實(shí)施A-A-1 1變換，此為旋轉(zhuǎn)變換，