1、4.2空間圖形的公理(公理4、定理)問(wèn)題問(wèn)題引航引航1.1.公理公理4 4的內(nèi)容是什么？其實(shí)質(zhì)是什么？的內(nèi)容是什么？其實(shí)質(zhì)是什么？2.2.定理的內(nèi)容是什么？有什么作用？定理的內(nèi)容是什么？有什么作用？3.3.異面直線所成的角的定義是什么？求角的方法是異面直線所成的角的定義是什么？求角的方法是什么？什么？1.1.公理公理4 4(1)(1)內(nèi)容：平行于內(nèi)容：平行于_的兩條直線平行的兩條直線平行. .(2)(2)符號(hào)表述：符號(hào)表述： _._.a bb c同一條直線同一條直線acac2.2.兩條直線的位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系（2 2）異面直線：特征：）異面直線：特征：_的兩條直線，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線

2、，沒(méi)有公共點(diǎn). .沒(méi)有公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)mnmn在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)mnmn=A=A不共面不共面3.3.定理定理?xiàng)l件：空間中，兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)條件：空間中，兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)_._.結(jié)論：這兩個(gè)角結(jié)論：這兩個(gè)角_._.平行平行相等或互補(bǔ)相等或互補(bǔ)4.4.異面直線所成的角異面直線所成的角定義定義前提前提兩條異面直線兩條異面直線a a，b b作法作法過(guò)空間任意一點(diǎn)過(guò)空間任意一點(diǎn)P P分別引兩條異面直線分別引兩條異面直線a a，b b的的平行線平行線l1 1，l2 2結(jié)論結(jié)論這兩條相交直線所成的這兩條相交直線所成的_即為異即為異面直線面直線a a，b b所成的角所

3、成的角范圍范圍記異面直線記異面直線a a與與b b所成的角為所成的角為，則，則_特殊特殊情況情況當(dāng)當(dāng)=_=_時(shí)，時(shí)，a a與與b b互相垂直，記作互相垂直，記作_銳角銳角( (或直角或直角) )0 090909090abab1.1.判一判判一判( (正確的打正確的打“”，錯(cuò)誤的打，錯(cuò)誤的打“”)”)(1)(1)空間中不相交的兩條直線是異面直線空間中不相交的兩條直線是異面直線.(.() )(2)(2)兩條異面直線所成的角一定是銳角兩條異面直線所成的角一定是銳角.(.() )(3)(3)若兩條相交直線和另外兩條直線分別平行，則相交直線所若兩條相交直線和另外兩條直線分別平行，則相交直線所成的銳角或直

4、角相等成的銳角或直角相等.(.() )【解析【解析】(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .空間中不相交的兩條直線是異面直線或平行空間中不相交的兩條直線是異面直線或平行直線直線. .(2)(2)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .兩條異面直線所成的角一定是銳角或直角兩條異面直線所成的角一定是銳角或直角. .(3)(3)正確正確. .根據(jù)定理可知根據(jù)定理可知. .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做( (請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) )(1)(1)若若abab，bcbc，則，則a a和和c c的關(guān)系為的關(guān)系為_(kāi)._.(2)(2)若若a a，b b，c c是空間三條直線，是空間三

5、條直線，abab，a a與與c c相交，則相交，則b b與與c c的位的位置關(guān)系是置關(guān)系是_._.(3)(3)一條直線與兩條平行線中的一條為異面直線，則它與另一一條直線與兩條平行線中的一條為異面直線，則它與另一條條_._.【解析【解析】(1)(1)若若abab，bcbc，則由公理，則由公理4 4可知可知acac. .答案：答案：acac(2)ab(2)ab，又，又a a與與c c相交，則相交，則b b與與c c的關(guān)系可能為相交或異面的關(guān)系可能為相交或異面. .答案：答案：相交或異面相交或異面(3)(3)一條直線與兩條平行線中的一條為異面直線，則它與另一一條直線與兩條平行線中的一條為異面直線，則

6、它與另一條相交或異面條相交或異面. .答案：答案：相交或異面相交或異面【要點(diǎn)探究【要點(diǎn)探究】知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1 1 公理公理4 4及定理及定理對(duì)定理的四點(diǎn)認(rèn)識(shí)對(duì)定理的四點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)(1)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且其中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ). .(2)(2)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個(gè)角相等都相反，那么這兩個(gè)角相等. .(3)(3)定理的逆向說(shuō)法：定理的逆向說(shuō)法：“如果空間

7、中的兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，那如果空間中的兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行么這兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行”，顯然是不成立的，這兩個(gè)，顯然是不成立的，這兩個(gè)角的兩邊可能平行，相交或異面角的兩邊可能平行，相交或異面. .(4)(4)此定理一般稱為等角定理此定理一般稱為等角定理. .【微思考【微思考】(1)(1)定理的作用是什么？定理的作用是什么？提示：提示：此定理的主要作用是說(shuō)明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)此定理的主要作用是說(shuō)明兩個(gè)角相等或互補(bǔ). .(2)(2)公理公理4 4的實(shí)質(zhì)是什么？的實(shí)質(zhì)是什么？提示：提示：公理公理4 4揭示了空間平行線的傳遞性揭示了空間平行線的傳遞性. .【即時(shí)練【即時(shí)練】若

8、兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么若兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三角形這兩個(gè)三角形( () )A.A.全等全等B.B.相似相似C.C.僅有一個(gè)角相等僅有一個(gè)角相等D.D.全等或相似全等或相似【解析【解析】選選D.D.由定理知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，由定理知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，所以選所以選D.D.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2 2 異面直線的定義及所成的角異面直線的定義及所成的角1.1.對(duì)異面直線所成角的兩點(diǎn)說(shuō)明對(duì)異面直線所成角的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)(1)兩條異面直線所成的角，是借用平面幾何中的角的概念定兩條異面直線所成的角，是借用平面幾何中

9、的角的概念定義的，是研究空間兩條直線位置關(guān)系的基礎(chǔ)義的，是研究空間兩條直線位置關(guān)系的基礎(chǔ). .(2)(2)定理為兩條異面直線所成的角的定義提供了可能性與唯一定理為兩條異面直線所成的角的定義提供了可能性與唯一性，即過(guò)空間任一點(diǎn)，引兩條直線分別平行于兩條異面直線，性，即過(guò)空間任一點(diǎn)，引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角它們所成的銳角( (或直角或直角) )都是相等的，而與所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)都是相等的，而與所取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān). . 2.2.求兩異面直線所成的角需注意的問(wèn)題求兩異面直線所成的角需注意的問(wèn)題(1)a(1)a與與b b所成角的大小與點(diǎn)所成角的大小與點(diǎn)P P無(wú)關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)無(wú)關(guān)，為

10、了簡(jiǎn)便，點(diǎn)P P常取在兩條常取在兩條異面直線中的一條上，例如，取在直線異面直線中的一條上，例如，取在直線b b上，然后過(guò)點(diǎn)上，然后過(guò)點(diǎn)P P作直線作直線aaaa，aa與與b b所成的角即為異面直線所成的角即為異面直線a a與與b b所成的角所成的角. .特別地，特別地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或表示直線可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或表示直線的線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)的線段的端點(diǎn)或中點(diǎn). .(2)(2)將兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面上的相交直線的夾角，將兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面上的相交直線的夾角，實(shí)現(xiàn)了空間問(wèn)題向平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使平面幾何與立體幾何建實(shí)現(xiàn)了空間

11、問(wèn)題向平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使平面幾何與立體幾何建立了聯(lián)系，促進(jìn)了知識(shí)的滲透立了聯(lián)系，促進(jìn)了知識(shí)的滲透. .(3)(3)兩條直線的垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直兩條直線的垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直. .【知識(shí)拓展【知識(shí)拓展】對(duì)異面直線的三點(diǎn)說(shuō)明對(duì)異面直線的三點(diǎn)說(shuō)明(1)(1)若直線若直線a a，b b是異面直線，則在空間中找不到一個(gè)平面，使是異面直線，則在空間中找不到一個(gè)平面，使其同時(shí)經(jīng)過(guò)其同時(shí)經(jīng)過(guò)a a，b b兩條直線兩條直線. .(2)(2)異面直線和平行直線都沒(méi)有公共點(diǎn)；區(qū)別是平行直線可以異面直線和平行直線都沒(méi)有公共點(diǎn)；區(qū)別是平行直線可以確定一個(gè)平面，而異面直線不同在任何一個(gè)平

12、面內(nèi)確定一個(gè)平面，而異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi). .(3)(3)不能把異面直線誤解為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為不能把異面直線誤解為：分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線異面直線. .如圖，雖然有如圖，雖然有a a ，b b ，即，即a a，b b分別在兩個(gè)分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，但是由于不同的平面內(nèi)，但是由于abab=O=O，所以，所以a a與與b b不是異面直線不是異面直線. .(4)(4)異面直線的畫法異面直線的畫法一個(gè)平面襯托畫法一個(gè)平面襯托畫法( (如圖如圖1)1)圖圖1 1兩個(gè)平面襯托畫法兩個(gè)平面襯托畫法( (如圖如圖2)2)圖圖2 2【微思考【微思考】求兩條異面直線所成角的關(guān)

13、鍵是什么？求兩條異面直線所成角的關(guān)鍵是什么？提示：提示：求兩條異面直線所成角的關(guān)鍵是找到兩異面直線所成的求兩條異面直線所成角的關(guān)鍵是找到兩異面直線所成的角角. .【即時(shí)練【即時(shí)練】1.(20141.(2014杭州高二檢測(cè)杭州高二檢測(cè)) )如圖的正方體如圖的正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，異面中，異面直線直線AAAA1 1與與BCBC所成的角是所成的角是( () )A.30A.30 B.45 B.45 C.60C.60 D.90D.902.2.正方體正方體ABCDABCDABCDABCD中，中，E E，F(xiàn) F分別為平面分別為平面ABCDABCD與與

14、AADDAADD的中心，則的中心，則EFEF與與CDCD所成角的度數(shù)是所成角的度數(shù)是_._.【解析【解析】1.1.選選D.D.由于由于ADBCADBC，所以，所以AAAA1 1與與ADAD所成的角即為異面所成的角即為異面直線直線AAAA1 1與與BCBC所成的角，由于所成的角，由于AAAA1 1與與ADAD所成的角為所成的角為9090，故異面，故異面直線直線AAAA1 1與與BCBC所成的角為所成的角為9090. .2.2.連接連接BDBD，則則E E為為BDBD的中點(diǎn)，連接的中點(diǎn)，連接ABAB，則則EFABEFAB，又，又CDABCDAB，所以所以BABBAB為異面直線為異面直線EFEF與與

15、CDCD所成的角，所成的角，BAB=45BAB=45. .答案：答案：4545【題型示范【題型示范】類型一類型一 公理公理4 4的應(yīng)用的應(yīng)用【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014佛山高二檢測(cè)佛山高二檢測(cè)) )如圖，空間四邊形如圖，空間四邊形ABCDABCD的對(duì)角線的對(duì)角線ACAC，BDBD相等，順次連接各邊中點(diǎn)相等，順次連接各邊中點(diǎn)E E，F(xiàn) F，G G，H H，則四邊形，則四邊形EFGHEFGH一定是一定是( () )A.A.矩形矩形 B.B.正方形正方形C.C.菱形菱形 D.D.空間四邊形空間四邊形(2)(2)如圖，如圖，E E，F(xiàn) F分別是長(zhǎng)方體分別是長(zhǎng)方體ABCDABCD

16、-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱AAAA1 1，C C1 1C C的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求證：四邊形求證：四邊形B B1 1EDFEDF是平行四邊形是平行四邊形. .【解題探究【解題探究】1.1.題題(1)(1)中中E E，F(xiàn) F，G G，H H為中點(diǎn)，其作用是什么？為中點(diǎn)，其作用是什么？對(duì)角線對(duì)角線ACAC，BDBD相等的作用是什么？相等的作用是什么？2.2.題題(2)(2)中四邊形中四邊形B B1 1EDFEDF的四個(gè)頂點(diǎn)有何特點(diǎn)，怎樣說(shuō)明的四個(gè)頂點(diǎn)有何特點(diǎn)，怎樣說(shuō)明B B1 1EDFEDF為為平行四邊形？平行四邊形？【探究提示【探究提示】1.1.利用利用E E，F(xiàn) F

17、，G G，H H分別為各邊的中點(diǎn)，可得該四分別為各邊的中點(diǎn)，可得該四邊形為平行四邊形，結(jié)合邊形為平行四邊形，結(jié)合ACAC，BDBD相等可進(jìn)一步判斷相等可進(jìn)一步判斷EFGHEFGH的形狀的形狀. .2.2.四個(gè)頂點(diǎn)中有兩個(gè)為長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，有兩個(gè)為棱的中點(diǎn)，可四個(gè)頂點(diǎn)中有兩個(gè)為長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，有兩個(gè)為棱的中點(diǎn)，可借助中點(diǎn)作一輔助線，說(shuō)明一組對(duì)邊平行且相等借助中點(diǎn)作一輔助線，說(shuō)明一組對(duì)邊平行且相等. .【自主解答【自主解答】(1)(1)選選C.C.由由E E，F(xiàn) F，G G，H H分別為各邊的中點(diǎn)得分別為各邊的中點(diǎn)得EFACEFAC，GHACGHAC，EHBDEHBD，F(xiàn)GBD.FGBD.EF=GH=

18、 ACEF=GH= AC，EH=FG= BD.EH=FG= BD.所以四邊形所以四邊形EFGHEFGH是平行四邊形是平行四邊形. .因?yàn)橐驗(yàn)锳C=BDAC=BD，所以，所以EF=EH.EF=EH.所以四邊形所以四邊形EFGHEFGH是菱形是菱形. .1212(2)(2)取取DDDD1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn)Q Q，連接，連接EQEQ，QCQC1 1. .因?yàn)橐驗(yàn)镋 E是是AAAA1 1的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以EQ AEQ A1 1D D1 1. .又在矩形又在矩形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，A A1 1D D1 1 B B1 1C C1 1，所以所以EQ BEQ B1 1C

19、 C1 1，所以四邊形所以四邊形EQCEQC1 1B B1 1為平行四邊形，為平行四邊形，所以所以B B1 1E CE C1 1Q.Q.又因?yàn)橛忠驗(yàn)镼 Q，F(xiàn) F是矩形是矩形DDDD1 1C C1 1C C的兩邊中點(diǎn)，的兩邊中點(diǎn)，所以所以QD CQD C1 1F F，所以四邊形所以四邊形DQCDQC1 1F F為平行四邊形，為平行四邊形，所以所以C C1 1Q Q DFDF，又因?yàn)?，又因?yàn)锽 B1 1E CE C1 1Q Q，所以，所以B B1 1E E DFDF，所以四邊形所以四邊形B B1 1EDFEDF是平行四邊形是平行四邊形. .【延伸探究【延伸探究】將本例將本例(1)(1)中中“AC

20、AC與與BDBD相等相等”改為改為ACAC與與BDBD垂直，垂直，則則EFGHEFGH的形狀為的形狀為_(kāi)._.【解析【解析】由由E E，F(xiàn) F，G G，H H分別為各邊的中點(diǎn)，分別為各邊的中點(diǎn)，得得EF EF ACAC，GH GH ACAC，所以所以EF EF GHGH，即四邊形，即四邊形EFGHEFGH是平行四邊形，是平行四邊形，又又ACBDACBD，所以，所以FGHGFGHG，即，即EFGHEFGH為矩形為矩形. .答案：答案：矩形矩形1212【方法技巧【方法技巧】公理公理4 4的作用及應(yīng)用的關(guān)鍵的作用及應(yīng)用的關(guān)鍵(1)(1)作用：公理作用：公理4 4給出了空間兩條直線平行的一種證明方法，

21、它給出了空間兩條直線平行的一種證明方法，它是論證平行問(wèn)題的主要依據(jù)，也是研究空間兩直線的位置關(guān)系、是論證平行問(wèn)題的主要依據(jù)，也是研究空間兩直線的位置關(guān)系、直線與平面位置關(guān)系的基礎(chǔ)直線與平面位置關(guān)系的基礎(chǔ). .(2)(2)應(yīng)用的關(guān)鍵：尋找與所證直線平行的應(yīng)用的關(guān)鍵：尋找與所證直線平行的“中間直線中間直線”，利用，利用平行的傳遞性即可證得平行的傳遞性即可證得. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】如圖所示，在空間四邊形如圖所示，在空間四邊形ABCDABCD中，中，M M，N N，P P，Q Q分分別是四邊形邊上的點(diǎn)，且滿足別是四邊形邊上的點(diǎn)，且滿足求證：求證：M M，N N，P P，Q Q四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共面且

22、MNPQMNPQ為平行四邊形為平行四邊形. .AMCNAQCPk.MBNBQDPD【解題指南【解題指南】應(yīng)用公理應(yīng)用公理4 4證明證明. .【證明【證明】因?yàn)橐驗(yàn)樗运訫QBDMQBD且且所以所以即即又又所以所以PNBDPNBD且且AMAQkMBQD ，AMk.AMMBk1MQAMkBDABk1，kMQBD.k1CNCPkNBPD ，CNk.CNNBk1所以所以即即所以所以MQNPMQNP且且MQ=NP.MQ=NP.所以所以M M，N N，P P，Q Q四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共面且MNPQMNPQ為平行四邊形為平行四邊形. .NPCNkBDCBk1，kNPBD.k1【補(bǔ)償訓(xùn)練【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知棱長(zhǎng)為已

23、知棱長(zhǎng)為a a的正方體的正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M，N N分分別是棱別是棱CDCD，ADAD的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證：四邊形求證：四邊形MNAMNA1 1C C1 1是梯形是梯形. .【證明【證明】連接連接ACAC，在，在ACDACD中，中，因?yàn)橐驗(yàn)镸 M，N N分別是分別是CDCD，ADAD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以MNMN是三角形的中位線，所以是三角形的中位線，所以MNACMNAC，MN= AC.MN= AC.由正方體的性質(zhì)得：由正方體的性質(zhì)得：ACAACA1 1C C1 1，AC=AAC=A1 1C C1 1. .所以所以MNA

24、MNA1 1C C1 1，且，且MN= AMN= A1 1C C1 1，即即MNAMNA1 1C C1 1，所以四邊形，所以四邊形MNAMNA1 1C C1 1是梯形是梯形. .1212類型二類型二 等角定理的應(yīng)用等角定理的應(yīng)用【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014南通高二檢測(cè)南通高二檢測(cè)) )已知已知ABPQABPQ，BCQRBCQR，ABC=ABC=3030，則，則PQRPQR等于等于_._.(2)(2)如圖在正方體如圖在正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F(xiàn) F，E E1 1，F(xiàn) F1 1分別為棱分別為棱ADAD，AB

25、AB，B B1 1C C1 1，C C1 1D D1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證：求證：EAEA1 1F=EF=E1 1CFCF1 1. .【解題探究【解題探究】1.1.題題(1)(1)中的兩組平行關(guān)系的實(shí)質(zhì)是什么？中的兩組平行關(guān)系的實(shí)質(zhì)是什么？ABC=30ABC=30的作用是什么？的作用是什么？2.2.題題(2)(2)中中A A1 1F F與與F F1 1C C及及EFEF與與E E1 1F F1 1有何關(guān)系，證明有何關(guān)系，證明EAEA1 1F=EF=E1 1CFCF1 1的方法是什么？的方法是什么？【探究提示【探究提示】1.1.兩組平行關(guān)系的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)角的兩邊分別平行，兩組平行關(guān)系的實(shí)質(zhì)是兩

26、個(gè)角的兩邊分別平行，由由ABC=30ABC=30結(jié)合等角定理可求結(jié)合等角定理可求PQR.PQR.2.A2.A1 1F F與與F F1 1C C及及EFEF與與E E1 1F F1 1分別平行分別平行. .證明證明EAEA1 1F=EF=E1 1CFCF1 1可考慮利可考慮利用等角定理證明用等角定理證明. .【自主解答【自主解答】(1)(1)由題意知由題意知ABPQABPQ，BCQRBCQR，ABC=30ABC=30. .根據(jù)根據(jù)定理知，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等或定理知，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，所以互補(bǔ)，所以PQR=30PQR=30或或150150

27、. .答案：答案：3030或或150150(2)(2)如圖所示，在正方體如圖所示，在正方體ACAC1 1中，中，取取A A1 1B B1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M，連接，連接BMBM，MFMF1 1，則則BF=ABF=A1 1M= AB.M= AB.又又BFABFA1 1M M，所以四邊形所以四邊形A A1 1FBMFBM為平行四邊形為平行四邊形. .所以所以A A1 1FBM.FBM.12而而F F1 1，M M分別為分別為C C1 1D D1 1，A A1 1B B1 1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則則F F1 1M CM C1 1B B1 1，而而C C1 1B B1 1 BCBC，所以，所以F F1

28、1MBCMBC，且，且F F1 1M=BC.M=BC.所以四邊形所以四邊形F F1 1MBCMBC為平行四邊形，為平行四邊形，所以所以BMFBMF1 1C.C.又又BMABMA1 1F F，所以所以A A1 1FCFFCF1 1. .同理取同理取A A1 1D D1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn)N N，連接連接DNDN，E E1 1N N，則，則A A1 1N N DEDE，所以四邊形所以四邊形A A1 1NDENDE為平行四邊形，為平行四邊形，所以所以A A1 1EDN.EDN.又又E E1 1NCDNCD，且，且E E1 1N=CDN=CD，所以四邊形所以四邊形E E1 1NDCNDC為平行四邊形，為平

29、行四邊形，所以所以DNCEDNCE1 1，所以所以A A1 1ECEECE1 1. .所以所以EAEA1 1F F與與E E1 1CFCF1 1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行. .即即A A1 1ECEECE1 1，A A1 1FCFFCF1 1，又又EAEA1 1F F與與E E1 1CFCF1 1對(duì)應(yīng)邊方向相同，對(duì)應(yīng)邊方向相同，所以所以EAEA1 1F=EF=E1 1CFCF1 1. .【方法技巧【方法技巧】證明角相等的技巧證明角相等的技巧(1)(1)利用題設(shè)中的條件，將要證明的兩個(gè)角放在兩個(gè)三角形中，利用題設(shè)中的條件，將要證明的兩個(gè)角放在兩個(gè)三角形中，利用三角形全等或三角形相似證明

30、兩個(gè)角相等利用三角形全等或三角形相似證明兩個(gè)角相等. .(2)(2)在題目中若不好構(gòu)造三角形或不能利用三角形全等或相似在題目中若不好構(gòu)造三角形或不能利用三角形全等或相似來(lái)證明角相等，可考慮兩個(gè)角的兩邊，可利用定理證明這兩個(gè)來(lái)證明角相等，可考慮兩個(gè)角的兩邊，可利用定理證明這兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且角的方向相同或相反，從而達(dá)到目的角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且角的方向相同或相反，從而達(dá)到目的. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】如圖，空間四邊形如圖，空間四邊形ABCDABCD中，中，E E，F(xiàn) F，G G，M M，N N分別分別為為ABAB，ADAD，BCBC，ACAC，BDBD的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證：求證：(1

31、)EFM=BDC.(1)EFM=BDC.(2)EFM+DNG=180(2)EFM+DNG=180. .【證明【證明】(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)镋 E，F(xiàn) F分別是分別是ABAB，ADAD的中點(diǎn)的中點(diǎn). .所以所以EFBDEFBD，同理，同理FMCD.FMCD.因?yàn)橐驗(yàn)镋FMEFM和和BDCBDC的兩邊分別平行且方向相同，的兩邊分別平行且方向相同，所以所以EFM=BDC.EFM=BDC.(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)镹GCDNGCD，F(xiàn)MCD.FMCD.所以所以NGFM.NGFM.所以所以EFMEFM和和DNGDNG的兩邊分別平行，其中的兩邊分別平行，其中NGNG，F(xiàn)MFM方向相同，而方向相同，而FEFE與與N

32、DND方向相反方向相反. .所以所以EFM+DNG=180EFM+DNG=180. .【補(bǔ)償訓(xùn)練【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知已知E E，E E1 1分別是正方體分別是正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱ADAD，A A1 1D D1 1的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證：求證：BEC=BBEC=B1 1E E1 1C C1 1. .【證明【證明】如圖所示，連接如圖所示，連接EEEE1 1，因?yàn)橐驗(yàn)镋 E1 1，E E分別為分別為A A1 1D D1 1，ADAD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以A A1 1E E1 1 AE. AE.所以四邊形所以四邊形A A1 1E E1 1EAE

33、A為平行四邊形，為平行四邊形，所以所以A A1 1A EA E1 1E.E.又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳 A1 1A BA B1 1B B，所以所以E E1 1E BE B1 1B B，所以四邊形所以四邊形E E1 1EBBEBB1 1是平行四邊形，是平行四邊形，所以所以E E1 1B B1 1EB.EB.同理同理E E1 1C C1 1ECEC，又又BECBEC與與B B1 1E E1 1C C1 1對(duì)應(yīng)邊方向相同，對(duì)應(yīng)邊方向相同，所以所以BEC=BBEC=B1 1E E1 1C C1 1. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】求異面直線所成的角求異面直線所成的角【典例【典例】(12(12分分)(2014)(2014

34、亳州高一檢測(cè)亳州高一檢測(cè)) )已知三棱錐已知三棱錐A A-BCDBCD中，中，AB=CDAB=CD，且直線，且直線ABAB與與CDCD成成6060角，點(diǎn)角，點(diǎn)M M，N N分別是分別是BCBC，ADAD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求直線求直線ABAB與與MNMN所成的角所成的角. .【審題【審題】抓信息，找思路抓信息，找思路【解題【解題】明步驟，得高分明步驟，得高分【點(diǎn)題【點(diǎn)題】警誤區(qū)，促提升警誤區(qū)，促提升失分點(diǎn)失分點(diǎn)1 1：解題時(shí)未正確利用條件，即忽視：解題時(shí)未正確利用條件，即忽視處的線段之間的處的線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系和位置關(guān)系，而導(dǎo)致無(wú)法找到長(zhǎng)度關(guān)系和位置關(guān)系，而導(dǎo)致無(wú)法找到ABAB與與MNMN所成的角，考試所成的角，考試時(shí)最多得時(shí)最多得2 2分分. .失分點(diǎn)失分點(diǎn)2 2：解題時(shí)若漏掉：解題時(shí)若漏掉處的