1、第六章, 排隊網(wǎng)絡系統(tǒng)簡介在排隊論中,一個排隊模型是一個實際排隊系統(tǒng)的數(shù)學近似模擬. 排隊網(wǎng)絡系統(tǒng)是由任意多個,通常是由有限個,單個排隊系統(tǒng)構成的. 來自不同類型或系統(tǒng)的顧客們已不同的方式或線路訪問并通過網(wǎng)絡,并被服務于訪問的服務站(節(jié)點),各個服務站提供的服務不同,這種服務可以是真正的服務,也可以是僅僅通過而已.例如,某個顧客訪問銀行,有的人直接走到出納員那里取錢或存錢,有人則需要先由接待員服務,然后再由出納員服務,如果涉及的資金多,則還需要部門經理服務.那么,接待員,出納員,經理,還有無人自動存儲機,均為節(jié)點,而整個銀行就是一個排隊網(wǎng)絡系統(tǒng).如果我們模擬的是三峽船閘系統(tǒng),那么,不同水平的船

2、閘開起及關閉,及不同船只通過的路線也是一個排隊網(wǎng)絡系統(tǒng).許多工廠,公司都要面臨設備維修保養(yǎng),零件配件的供貨訂貨,生產流水線的管理等等都可以構成排隊網(wǎng)絡系統(tǒng),利用排隊網(wǎng)絡系統(tǒng)模型去模擬實現(xiàn).在排隊網(wǎng)絡系統(tǒng)顧客可以從一個排隊系統(tǒng)進入另一個排隊系統(tǒng),這種轉移可以是隨機的,服從某一概率分布,也可以是固定的6.1開放Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)定義6.1:一個排隊網(wǎng)絡系統(tǒng)被定義為Jackson網(wǎng)絡,那么它滿足:1.所有的系統(tǒng)外的訪問者,不論首先訪問哪一個服務站, 均服從泊松分布2.不論哪一個服務站,所有的服務時間, ,均服從指數(shù)分布3.所有的服務站, 均可接待無限數(shù)量的顧客4.當一個顧客被完成了一個服務以后,

3、其轉移到另一個服務站的概率,與該顧客已經接受的服務過程無關,與其它的服務所在的服務站無關.Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)可以是開放的,也可以是閉合的. 開放的Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)接受系統(tǒng)外顧客的來訪顧客也可以離開.閉合的Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)不接受系統(tǒng)外顧客的來訪,也沒有顧客離開.機器維修保養(yǎng)系統(tǒng),可以看做是閉合的, 機器工作時機器處于一種狀態(tài), 機器不工作時,機器處于另一種狀態(tài),當機器修好, 機器回到第一中第一種工作狀態(tài).6.2開放Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)我們使用例子開始討論開放Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng),演示如何求出解答.例6.1某工作站有三種服務:加工,細加工,裝飾,顧客訪問該工作站,首先要進行加工

4、,然后80%的顧客進行細加工,再被裝飾,其余1/5的顧客直接被裝飾. 工作站內有一臺機器進行加工,平均加工時間為5分鐘, 有兩臺機器進行細加工, 每臺每次平均加工時間為15分鐘, 有一臺機器進行裝飾, 平均加工時間為6分鐘,全部服從指數(shù)分布.顧客到工作站訪問的個數(shù)為泊松分布,平均7.5分鐘一個新顧客到來.整個工作流程如圖6.1所示工作流程圖solution首先可以確定這是一個Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng),根據(jù)陳述,我們寫出其轉移矩陣:這里節(jié)1為加工,節(jié)2為細加工,節(jié)3為裝飾出站. 解決Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)的步驟為首先確定每個節(jié)點的顧客訪問率,然后對每個節(jié)點按照獨立的M/M/c系統(tǒng)處理.Visit

5、Rate那么我們首先計算三個節(jié)點的事件發(fā)生率:很明顯,對于節(jié)點1:1=1/7.5*60=8/小時對于節(jié)點2:2= 1*0.8=6.4/小時對于節(jié)點3:3= 1*0.25+ 2=8*0.2+6.4=8/小時下面我們計算服務率,根據(jù)陳述,顯然1=60/5=12/小時, 2 =60/15=4/小時, 3 =60/6=10/小時. Solution對于節(jié)點1和節(jié)點3, M/M/1系統(tǒng),使用第四章的穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)中顧客數(shù)目的平均值確4.6 1= 1/ 1 =8/12=0.667, 3= 23/ 3 =8/10=0.8, 因此L1=0.667/(1-0.667)=2 L3=0.8/(1-0.8)=4對于節(jié)

6、點2,它是 M/M/2系統(tǒng),見圖2那么, 我們首先設p0為n=0的概率,明顯n=, 對任意n=0,1,2 成立.服務時間稍有變化,只有一個顧客和有兩個或兩個以上的顧客的服務效率不同. 只有一個顧客時,一個服務器工作,另一個服務器工作等待,系統(tǒng)具有兩個或兩個以上的顧客時, 兩個服務器均工作,因此服務率為: 那么我們可以得到這里=/, =/2.那么,由于於是:對于節(jié)點2: 2=6.4/8=0.8,因此p02=0.2/1.8=1/9,可以證明,M/M/2系統(tǒng)的平均顧客數(shù)目為 平均排隊等待數(shù)目為因此 L2=2*0.8/(1-0.82)=4.44. 可以得到,節(jié)點1沒有顧客的概率為p01=1- 01=1

7、-2/3=1/3, 節(jié)點2沒有顧客的概率為p02=1/9, 節(jié)點3沒有顧客的概率為p03=1- 03=1-0.8=0.2.節(jié)點總訪問率現(xiàn)在最困難的地方是計算估計每個節(jié)點(服務器)的顧客訪問率.我們使用i代表節(jié)點i的總訪問率.在一個穩(wěn)定系統(tǒng)中每個節(jié)點總顧客訪問率與總輸出率應該相等,因此i應該等于從所有其它節(jié)點的來訪率及系統(tǒng)外來訪率的總和.因此我們有這里,i為網(wǎng)絡系統(tǒng)外訪問節(jié)點外的訪問率,P(k,i)為由節(jié)點k直接傳到節(jié)點i的概率.對于網(wǎng)絡系統(tǒng)中的任一節(jié)點都有一個方程,因此我們可以得到性質如下:性質6.1 性質6.1:假設矩陣P為Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)各節(jié)點之間的轉換概率為由網(wǎng)絡系統(tǒng)外顧客訪問每個

8、節(jié)點的訪問率所構成的向量,那么各個節(jié)點實際訪問率構成的向量=(1, 2, m)T滿足 =(I-P)-1 6.2這里m為由網(wǎng)絡系統(tǒng)節(jié)點的總數(shù).性質6.2:假設Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)具有m個節(jié)點,每個節(jié)點的服務效率均服從指數(shù)分布,其相應的指數(shù)參數(shù)為i,假設隨機變元Ni為節(jié)點i訪問顧客的個數(shù),那么m個節(jié)點的聯(lián)合分布概率為PN 1=n1, N 2=n2, N m=nm= PN 1=n1* PN 2=n2* ,*P N m=nm 6.3式中任何一個概率, PNi=ni, ni=0,1,2,均可以用M/M/C排隊系統(tǒng)概率公式求出.顧客數(shù)目的期望值研究網(wǎng)絡系統(tǒng)的特性,通常關注的是:通過系統(tǒng)服務的顧客數(shù)目期望

9、值,在系統(tǒng)中接受服務的期望值,以及顧客在系統(tǒng)中停留時間的期望值.由于我們研究的系統(tǒng)是穩(wěn)定的,因此通過系統(tǒng)服務的顧客數(shù)目期望值應該等于外界到系統(tǒng)訪問的數(shù)目總數(shù)的期望值,i., 在系統(tǒng)中接受服務顧客數(shù)目的期望值等于每個節(jié)點中接受服務顧客數(shù)目期望值之和. 顧客在系統(tǒng)中停留時間的期望值可以使用Little定律解決,于是我們有:性質6.3:考慮Jackson一個擁有m個節(jié)點的,Nnet為代表在系統(tǒng)中停留的顧客總數(shù),Tnet 代表任一個顧客在系統(tǒng)停留時間, 是由各個節(jié)點外界顧客訪問率所構成的向量.Li為M/M/C系統(tǒng)中得到的節(jié)點i中的顧客數(shù)目的期望值,那么我們有,例6.2某工作站有三種服務:加工,細加工,

10、裝飾,顧客訪問該工作站,首先要進行加工,然后4/5的顧客進行細加工,再被裝飾,其余1/5的顧客直接被裝飾. 在所有被細加工的顧客有10%的顧客需要退回到第一種狀態(tài)重新加工.在所有被裝飾的顧客也有10%的顧客需要退回到第一種狀態(tài)重新加工. 工作站內有一臺機器進行加工,平均加工時間為5分鐘, 有兩臺機器進行細加工, 每臺每次平均加工時間為15分鐘, 有一臺機器進行裝飾, 平均加工時間為6分鐘,全部服從指數(shù)分布.顧客到工作站訪問的個數(shù)為泊松分布,平均7.5分鐘一個新顧客到來.解:首先可以確定這是一個Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng),根據(jù)陳述,我們寫出其轉移矩陣: 這里節(jié)1為加工,節(jié)2為細加工,節(jié)3為裝飾出站.

11、 使用6.1,1=8+0.1 2+0.1 32=0.8 13=0.2 1+0.9 2 解這個方程組,由第三式我們得到3=0.92 1,與第二式一起代入第一式, 1=9.662, 2=7.729, 3=8.889,其相應的服務率為1=60/5=12/小時, 2 =60/15=4/小時, 3 =60/6=10/小時.那么1= 1/ 1 =9.662/12=0.8052, 2= 2/ (22) =7.729/8=0.96613= 3/ 3 =8.889/10=0.8889, 對于節(jié)點1和節(jié)點3, M/M/1系統(tǒng),使用第四章的穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)中顧客數(shù)目的平均值 因此L1=0.8052/(1-0.8052

12、)=4.1326L3=0.8889/(1-0.8889)=8.0009對于節(jié)點2,M/M/2系統(tǒng)的平均顧客數(shù)目為因此顧客在整個網(wǎng)絡系統(tǒng)停留數(shù)目的期望值為L= L1+ L2+ L3=41.124.在節(jié)點1,沒有顧客訪問的概率為p01=(1-1)/(1+1)=(1-0.8052)/(1+0.8052)= 0.1079,在節(jié)點2,沒有顧客訪問的概率為p02=(1-2)/(1+2)=(1-0.9661)/(1+0.9661)= 0.0172,在節(jié)點3,沒有顧客訪問的概率為p03=(1-3)/(1+3)=(1-0.8889)/(1+0.8889)= 0.0588.因此,在整個網(wǎng)絡系統(tǒng)沒有顧客訪問的概率為

13、p= p01* p02* p03=0.0001.顧客在系統(tǒng)中的平均時間為E(Tnet)=41.124/(8+0+0)=2.34小時.Adjustment -comparison 如果有25%的產品不進行細加工,而在節(jié)點3僅有5%的產品被退回,那么 解: 首先可以確定這是一個Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng),根據(jù)陳述,我們寫出其轉移矩陣:1=8+0.1 2+0.05 32=0.75 13=0.25 1+0.9 2 解這個方程組,我們得到, 1=9.104, 2=6.828, 3=8.421,其相應的服務率為1=60/6=10/小時, 2 =60/15=4/小時, 3 =60/5=12/小時.那么1= 1/

14、 1 =9.104/10=0.9104, 2= 2/ (22) =6.828/8=0.85353= 3/ 3 =8.421/12=0.702, 對于節(jié)點1和節(jié)點3, M/M/1系統(tǒng),使用第四章的穩(wěn)定狀態(tài)下系統(tǒng)中顧客數(shù)目的平均值Equ.4.6 因此L1=0.9104/(1-0.9104)=10.161L3=0. 702/(1-0. 702)=2.356對于節(jié)點2,M/M/2系統(tǒng)的平均顧客數(shù)目為因此顧客在整個網(wǎng)絡系統(tǒng)停留數(shù)目的期望值為L= L1+ L2+ L3=18.80.在節(jié)點1,沒有顧客訪問的概率為p01=(1-1)/(1+1)=(1-0.9104)/(1+0.9104)= 0.0469,在節(jié)

15、點2,沒有顧客訪問的概率為p02=(1-2)/(1+2)=(1-0.8535)/(1+0.8535)= 0.079,在節(jié)點3,沒有顧客訪問的概率為p03=(1-3)/(1+3)=(1-0.702)/(1+0.702)= 0.175, 顧客在系統(tǒng)中的平均時間為E(Tnet)=18.8/(8+0+0)=2.35小時. 6.2封閉Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)所謂的封閉Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)并不是真正封閉的.而是當系統(tǒng)飽和后,進出系統(tǒng)的個數(shù)相同,一個顧客被完成服務后,下一個顧客才被容許進入,因此系統(tǒng)的顧客總數(shù)是固定的.系統(tǒng)永遠處于穩(wěn)定狀態(tài),因此我們可以把系統(tǒng)看成是封閉的.下面我們使用例子來具體討論例6.3,

16、某加工廠需要三道程序對產品進行加工:1.機工車間,2.組裝車間3.電力車間.在機工車間加工的產品,70%需要到組裝車間組裝,30%直接到電力車間.在組裝車間的產品,10%被發(fā)現(xiàn)質量問題,需要返回到加工車間,90%的產品到電力車間.在電力車間完成的產品,離開系統(tǒng),因此一個新的產品進入網(wǎng)絡系統(tǒng),以保持系統(tǒng)總產品數(shù)目不變假設系統(tǒng)最多可以容納5個產品.有關各個車間的時間信息如下,所有的加工時間均服從指數(shù)分布,在機工停留時間時間,其均值為80分鐘, 在組裝停留時間時間,其均值為120分鐘, 在電力停留時間時間,其均值為60分鐘.系統(tǒng)的轉移矩陣(I-P)是不滿秩矩陣外界輸入變量(產品進入各個節(jié)點的訪問向量

17、)r為0向量.因此不可能解出,進入每個節(jié)點的實際輸入率. 僅能求出相對訪問向量,因此我們可以假設第一行第一列的取值為1,然后求出其它行列相對外界對輸入率為0=(1,0.7,0.3),出去第一個數(shù)值,接點1的輸假設輸入率,那么=(0.7,0.3)可以被看做為由節(jié)點2,3構成的網(wǎng)絡系統(tǒng)的外界輸入向量,使用6.1性質6.4假設P代表一個具有m個節(jié)點的封閉網(wǎng)絡系統(tǒng)的轉移矩陣,Q代表移去第一行,第一列的P的子矩陣, 為由P的第一行,移去第一個分量所構成的向量=(p12, p13, p1m),第二到m個節(jié)點的相對輸入向量可以由下式估計 = (1-Q)-1 此為性質6.1的推論輸入率向量為(1,0.7,0.

18、93). 估計系統(tǒng)內產品所花的時間 但是我們最關心的是如何估計系統(tǒng)內產品所花的時間,系統(tǒng)在每一個節(jié)點上所需要的時間,但是這些量是與封閉網(wǎng)絡系統(tǒng)的水平有關部門,所謂的水平是與網(wǎng)絡所同時服務的顧客數(shù)目決定的,容許進入系統(tǒng)的個數(shù)越多,那么每個顧客在系統(tǒng)內停留時間越長.顯然,同時也與顧客實際的訪問率有關均值分析策略性質6.5:均值分析考慮一個封閉的具有m個節(jié)點的網(wǎng)絡系統(tǒng),最多服務于wmax個工作.節(jié)點i的服務時間服從均值為i的指數(shù)分布i=1,2,m.使用性質6.4估計出的相對節(jié)點訪問率,i.我們可以使用下面步騶計算在每個節(jié)點平均停留時間.1. 設w=1, Wk(w)=1/k, k=1,2, m2. s

19、et w=w+1,3. 4. 當w=wmax 停止,否則回到2每個節(jié)點的平均顧客訪問率例: 6.3(繼續(xù))在網(wǎng)絡系統(tǒng)停留時間的計算過程列在表6.1中的第1-5行當w=5時,我們得到產品在機工車間平均停留時間為289.3分鐘,在組裝車間平均停留時間為471.6分鐘,在電力車間平均停留時間為108.6分鐘.wW1(w)W1(w)W3(w)iWi(w82109.12165.8671.46291.683149.94231.8883.72390.114207.57328.3696.30526.975289.32471.58108.62720.446405.51687.65120

20、.08998.54表6.1網(wǎng)絡系統(tǒng)內平均逗留時間計算 (w=5或者6) 系統(tǒng)特征(容許量)表6.2網(wǎng)絡系統(tǒng)內有關統(tǒng)計量 (w=5) 統(tǒng)計量 節(jié)點 1 節(jié)點 2 節(jié)點 3平均逗留時間289.32471.58108.62k0.400.460.141/k8012060k0.540.920.14Lk1.1510.960.16表6.3網(wǎng)絡系統(tǒng)內有關統(tǒng)計量 (w=6) 統(tǒng)計量 節(jié)點 1 節(jié)點 2 節(jié)點 3平均逗留時間405.51687.65120.08k0.410.480.111/k8012060k0.540.960.11Lk1.1826.870.13討論從表6.1-6.3可以看出, 平均逗留時間與系統(tǒng)中

21、容許接待的顧客或產品數(shù)量有關.隨著最大容許量w的增加, 平均逗留時間增加,但是各個節(jié)點的增加量并不平衡.從5個容許量增加到6個容許量,在節(jié)點1, 平均逗留時間由289分鐘增加到406分鐘, 相應的顧客訪問數(shù)基本未變,1.15對應1.18.而在節(jié)點2, 平均逗留時間由472分鐘增加到688分鐘, 相應的顧客訪問數(shù)從11個增加到27. 其次可以看到系統(tǒng)的原設計并不合理,在節(jié)點2訪問的顧客總數(shù)為11(w=5),要遠遠多于在其它兩個節(jié)點停留的顧客總數(shù)1.15和0.16.因此我們需要改變編制機構.如果,我們增加組裝車間的人員設備為加倍.構成M/M/C/2系統(tǒng).在使用同樣的相對輸入率的情況下,其結果列在表

22、6.4中: 表6.4網(wǎng)絡系統(tǒng)內有關統(tǒng)計量 (w=5) 統(tǒng)計量 節(jié)點 1M/M/1 節(jié)點 2M/M/2 節(jié)點 3M/M/1平均逗留時間289.32471.58108.62k0.400.460.141/k8012060k0.540.460.14Lk1.151.160.166.3非Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)很多網(wǎng)絡系統(tǒng)是非Jackson系統(tǒng)類型.對于這種Jackson類型,通常只能使用模擬或近似方式.一種常見的網(wǎng)絡系統(tǒng)是節(jié)點的連接順序是固定的.也就是說,所有的加工順序是給定的.例如考慮一個產品由兩道工序組成,產品訪問率為每小時10個,產品總是先進入第一道工序,然后進入第二道工序,第二道工序結束后,再回到

23、第一道工序,然后離開.因此產品所經過的途經是固定的.因此這個過程不滿足本章初,所定義的Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)定義,主要是第四條,系統(tǒng)轉入下一個狀態(tài)的的概率,與該產品客已經接受的服務過程無關,與其它的服務所在的節(jié)點無關.但是我們可以將其稍為改造一下,建立一個Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)用來近似這個程序.例如我們可以假定訪問率加倍,完成第一道工序的產品,50%轉入第二道工序,那么網(wǎng)絡系統(tǒng)轉移矩陣為系統(tǒng)轉換 顧客訪問率加倍具有泊松分布的固定路程的系統(tǒng)例6.4:下圖給出一個由三個固定路程構成的非Jackson網(wǎng)絡系統(tǒng)路程 路程1為(1,2,3,2), 該加工過程為,產品先進入節(jié)點1,然后進入節(jié)點2,再進入節(jié)

24、點3,再回到節(jié)點2,然后離開網(wǎng)絡系統(tǒng).其網(wǎng)絡路程長度為4.類似地, 路程2為(2,3), 路程3為(1,2,1,3). 對于一般的具有K個路程的系統(tǒng), rk=(Ik1,Ik2, Ik)來表示第k個路程的具體途徑, Ikj 為該路程k第j個節(jié)點, ni為該路程所通過的節(jié)點總數(shù),稱其為,節(jié)點通過,重復計算. 那么對路程1,n1=4,對路程2, n2=4對路程3 n3=3. 路程1-3的外界輸入率分別為1,2 和3.節(jié)點的輸入率計算節(jié)點的輸入率計算那么我們可以計算出節(jié)點1的輸入率為 1= 1,+23 節(jié)點2的輸入率為 2=21+2 +3, 節(jié)點3的輸入率為 3=1+2 +3.具體地說,當計算通過每個

25、節(jié)點的輸入率時,我們是通過數(shù)該網(wǎng)絡的每個路程通過該點次數(shù)乘以該路程輸入率,然后求和.例如對節(jié)點i:路程k通過該節(jié)點i的次數(shù)為這里, 那么,所有路程通過該節(jié)點的總數(shù)為或者使用矩陣表達式得到節(jié)點的輸入率 = 節(jié)點的服務率計算節(jié)點的服務率計算在得到每個節(jié)點的輸入率以后,各個節(jié)點可以被看作為獨立的服務器,盡管輸入變元不滿足泊松分布,但是我們通常認為多個獨立相異非泊松分布的變元之和,可以使用泊松分布去近似.因此我們需要估計,不同的非泊松分布的變元是如何疊加,也就是計算疊加權重:給定一個節(jié)點i,由第k個路程輸入的概率為 例6.4(續(xù))由三個路程的節(jié)點轉換,可以看到由節(jié)點1轉到節(jié)點2分別在三個節(jié)點之間的傳輸

26、狀態(tài)矩陣為輸入率概率矩陣假設,路程1輸入率為1=10/小時, 路程2輸入率為2=20/小時, 路程3輸入率為1=30/小時.那么,節(jié)點1的輸入率為1=10+2*30=70/小時, 節(jié)點2的輸入率為2=2*10+20+30=70/小時, 節(jié)點3的輸入率為 3=10+20+30=60/小時.那么概率矩陣為我們還需要計算服務時間的有關參數(shù)服務時間 性質6.5: 服務時間 假設節(jié)點i服務路程k的服務時間均值為ki,其服務率1/ ki的方差為ki2.設Si為節(jié)點i的任一工作的服務時間. 式中 6.6給出.例6.5,假設一個網(wǎng)絡系統(tǒng)具有5個類型的工作組合,其工作路程由下表給出,表中T代表圖象處理,M代表模

27、型研發(fā),S代表產品生產,X代表銷售.總共有六類產品,每種產品的流程及產品到達速度列在表6.5中.例如生產A類產品,需要訪問四個加工節(jié)點,每個節(jié)點只訪問一次,該產品訪問網(wǎng)絡的平均輸入率為每八小時55個B類產品,需要訪問五個加工節(jié)點,需要二次圖象處理,因此訪問節(jié)點T兩次其它節(jié)點只訪問一次,該產品訪問網(wǎng)絡的平均輸入率為每八小時35個.表6.5:產品種類,流程及輸入率產品種類生產流程產品輸入率(小時)AT-M-S-X55BM-T-M-S-T-X35CT-M-X30DM-S-T-S-X56ET-M-S-T-X70FT-S-X40使用的EXCEL根據(jù)表格6.5,是取自EXELL, 表中最后一列為該表在EX

28、ELL中所在的行數(shù),在行17-22列出不同類產品訪問不同節(jié)點的頻數(shù),ki,在行23我們計算每個節(jié)點的輸入率i.最后一行為該表所在的列數(shù),使用的EXCEL公式為i (T): =(B17*$F$17+B18*$F$18+B19*$F$19+B20*$F$20+B21*$F$21+B22*$F$22)/8i (M): =(C17*$F$17+C18*$F$18+C19*$F$19+C20*$F$20+C21*$F$21+C22*$F$22)/8i (S): =(D17*$F$17+D18*$F$18+D19*$F$19+D20*$F$20+D21*$F$21+D22*$F$22)/8i (X): =

29、(E17*$F$17+E18*$F$18+E19*$F$19+E20*$F$20+E21*$F$21+E22*$F$22)/8使用EXELL, 表中最后一列為該表在EXELL中所在的行數(shù),產品輸入率 表6.6:計算節(jié)點的產品輸入率產品種類節(jié)點產品輸入率行數(shù) TMSX(小時) A11115517B22113518C11013019D11215620E21117021F10114022i 個/小時48.87535.1253935.75 23ABCDEF 產品種類 節(jié)點 TMSX 行數(shù)A0.1410.1960.1760.19231B0.1790.2490.1120.12232C0.0770.1070

30、.0000.10533D0.1430.1990.3590.19634E0.3580.2490.2240.24535F0.1020.0000.1280.14036ESi1.010.570.691.2937ES21.080.360.491.7438C2s1/20.261/10.931/20.721/24.6439ABCDE 表6.7:計算節(jié)點的產品輸入概率: q k,I,不同工作在各個節(jié)點的平均工作時間,二階矩,及方差系數(shù)行31-36給定節(jié)點條件下,為相應工作被服務的概率,使用6.11計算q k,I, 使用EXCELL相應的計算公式并使用表6.6,6.7和6.8,行31,列B給出q A,T, =B

31、47*B17/B23行31,列C給出q AM, c47*C17/C23行32,列B給出q BT, =C48*B18/B23表6.7不同類型工作在不同節(jié)點上所需要服務的平均時間及標準差產品種類TMSX行數(shù) MeanStdDevMeanStdDevMeanStdDevMeanStdDevA1.250.310.630.130.500.061.060.8147B1.130.940.310.190.630.131.691.0048C0.750.630.880.190.060.060.940.6349D1.380.380.690.190.880.441.500.7550E0.810.500.560.560

32、.560.251.440.5051F0.880.560.060.060.690.191.000.6952ABCDEFGHI 行37為服務時間均值:ESi(T): =B3*B31+B4*B32+B5*B33+B6*B34+B7*B35+B8*B36行38為服務時間的二階矩:ES2(T): =B3*B3*B31+B4*B4*B32+B5*B5*B33+B6*B6*B34+B7*B7*B35+B8*B8*B36特征函數(shù) 節(jié)點 行數(shù)TMSX訪問率 48.87535.1253935.7555服務率 59.28105.1387.3746.3556 0.820.330.450.7757L4.700.500.

33、813.3758W=L/(小時)0.100.010.020.0959Wq=w-(小時)0.080.0050.010.0760ABCDE 表6.9不同節(jié)點上排對系統(tǒng)特征值 最后一步,我們使用6.14計算在網(wǎng)絡系統(tǒng)中完成不同類型產品的時間,行66-71,列B-E給出不同類型產品,在不同工作節(jié)點所需要的停留時間.以A類工作在節(jié)點T的停留時間使用EXCEL為例,其計算公式公式為:E(TA,T )=B47+$B$38/$B$37/$B$37/2*$B$59, A類工作在節(jié)點M的停留時間為E(TA,M )=D47+$C$38/$C$37/$C$37/2*$C$59,B類工作在節(jié)點T的停留時間為E(TB,T

34、) =B48+$B$38/$B$37/$B$37/2*$C$58,其余類推.那么A類產品在整個網(wǎng)絡停留的時間為A所在行按表6.6相應行加權求和(6.14): Tnet,A= B17*B66+C17*C66+D17*D66+E17*E66,類似地,B類產品的期望停留時間為Tnet,B= =B18*B67+C18*C67+D18*D67+E18*E67節(jié)點期望工作時間表6.10在網(wǎng)絡系統(tǒng)中完成不同類型產品的期望時間產品種類(K)節(jié)點期望工作時間Tnet,k行數(shù) TMSXA1.3000.6330.5111.1123.5666B1.1750.3200.6361.7375.3667C0.8000.883

35、0.0730.9872.6768D1.4250.6950.8861.5495.4469E0.8630.5700.5731.4874.3670F0.9250.0700.6981.0492.6771ABCDE 系統(tǒng)模擬理論計算需要將模型簡化,加上很多假設.因此理論模型的結果往往并不準確.我們通常使用數(shù)值模擬計算. 下面程序(SAS)生成250個時間序列.SAS 程序:我們反復使用兩個MACRO,一個ranexp生成服從泊松分布序列,A,B,C,D,E,F根據(jù)表6.5給出的泊松密度,另一個生成服從指數(shù)分布的服務時間,分別代表四個節(jié)點T,M,S和X,依照表6.5給出的順序.我們記錄每個系列到達時間及離

36、開系統(tǒng)的時間,每個節(jié)點(T,M,)的服務時間,及服務對象(A,B,),最后做統(tǒng)計分析.SAS Program%macro rannorm(mu,std,seed,var); Time=&mu+(ranuni(&seed)-0.5)*&std/24; node=&var; %mend; %macro ranexp(lambda,seed,var); Ini1= ranexp(&seed)/&lambda*8;INit=&var; %mend; %macro datade (); data duse; retain timeline aini

37、 bini cini dini eini fini ini 0; %do i=1 %to 250; ran=ranuni(830903)*286; if ran=55 then do; group=A; %ranexp(55,&i+11,Aini); aid=1; %rannorm(1.25,0.31,&i+1,T); idin=A11; output; %rannorm(0.63,0.13,&i+2,M); idin=A12; output; %rannorm(0.5,0.06,&i+3,S); idin=A13; output; %rannorm(1.06,

38、0.81,&i+4,X); idin=A14; output; aini=ini+ini1; end; else if ran=90 then do; group=B; %ranexp(35,&i+13,Bini); Bid=1; idin=B21; %rannorm(0.31,0.19,&i+1,M); output; idin=B22; %rannorm(1.13,0.94,&i+2,T); output; idin=B23; %rannorm(0.31,0.19,&i+3,M); output; idin=B24; %rannorm(0.63,0.

39、13,&i+4,S); output; idin=B25; %rannorm(1.13,0.94,&i+3,T); output; idin=B26; %rannorm(1.69,1.1,&i+4,X); output;bini=ini+ini1; end; else if ran=120 then do; group=C; %ranexp(30,&i+15,Cini); Cid=1; idin=C31; %rannorm(0.75,0.63,&i+1,T); output; idin=C32; %rannorm(0.88,0.19,&i+2,M

40、); output; idin=C33; %rannorm(0.94,0.63,&i+4,X); output; cini=ini+ini1; end; else if ran=176 then do; group=D; %ranexp(56,&i+17,Dini); Did=1; idin=D41; /*?T MSX? MeanStdDevMeanStdDevMeanStdDevMeanStdDevE0.810.500.560.560.560.251.440.5051F0.880.560.060.060.690.191.000.6952ABCDEFGHI */%rannorm

41、(0.69,0.19,&i+1,M); output; idin=D42; %rannorm(0.88,0.44,&i+2,S); output; idin=D43; %rannorm(1.38,0.38,&i+3,T); output; idin=D44; %rannorm(0.88,0.44,&i+4,S); output; idin=D45; %rannorm(1.5,0.75,&i+3,X); output; dini=ini+ini1; end; else if ran=246 then do; group=E; %ranexp(70,&

42、;i+19,Eini); Eid=1; idin=E51; %rannorm(0.81,0.5,&i+1,T); output; idin=E52; %rannorm(0.56,0.56,&i+2,M); output; idin=E53; %rannorm(0.56,0.25,&i+3,S); output; idin=E54; %rannorm(0.81,0.5,&i+4,T); output; idin=E55; %rannorm(1.44,0.5,&i+3,X); output; eini=ini+ini1; end; else do;group

43、=F; %ranexp(40,&i+21,Fini); Fid=1; idin=F61; %rannorm(0.88,0.56,&i+1,T); output; idin=F62; %rannorm(0.69,0.19,&i+2,S); output; idin=F63; %rannorm(1,0.69,&i+3,X); output; fini=ini+ini1; end; ini=ini+ini1;%end; %MEND; %DATADE(); data duse1; set duse;group1=lag1(group);proc print data=d

44、use1;run;data duse2; set duse1;retain atime btime ctime dtime etime ftime ltime ttime mtime stime xtime 0;if _N_=1 then do;atime=ini; btime=ini; ctime=ini; dtime=ini; etime=ini; ftime=ini; ttime=ini;mtime=ini; stime=ini; xtime=ini;end;if group ne group1 THEN DO;ttime=max(ini,ttime)+(node=T)*time;mti

45、me=max(ini,mtime)+(node=M)*time;stime=max(ini,stime)+(node=S)*time;xtime=max(ini,xtime)+(node=X)*time;ltime=max(ttime,mtime,stime,xtime);END;else do;ttime=ltime+(node=T)*time;mtime=ltime+(node=M)*time;stime=ltime+(node=S)*time;xtime=ltime+(node=X)*time;ltime=max(ttime,mtime,stime,xtime);end;/*if GRO

46、UP ne group1 then ltime1=ini;else ltime1=lag1(ltime);*/if _N_=1 THEN DO;IF group=A THEN Atime=ini;IF group=B THEN Btime=ini;IF group=C THEN Ctime=ini;IF group=D THEN Dtime=ini;IF group=E THEN Etime=ini;IF group=F THEN Ftime=ini;END;IF group=A THEN do;if node=T then atime=max (ini, ttime);else if node=M th