1、中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院GISGIS中心中心圖形變換本講內(nèi)容本講內(nèi)容l齊次坐標(biāo)表示法齊次坐標(biāo)表示法l常見的二維圖形幾何變換常見的二維圖形幾何變換n平移變換平移變換n比例變換比例變換n旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換n對(duì)稱變換對(duì)稱變換n錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換l變換矩陣的功能分區(qū)變換矩陣的功能分區(qū)l圖形的復(fù)合變換圖形的復(fù)合變換2圖形變換圖形變換l指將圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形指將圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形n坐標(biāo)系不動(dòng)而圖形變動(dòng)（幾何變換）坐標(biāo)系不動(dòng)而圖形變動(dòng)（幾何變換）n圖形不動(dòng)而坐標(biāo)系變動(dòng)（坐標(biāo)變換）圖形不動(dòng)而坐標(biāo)系變動(dòng)（坐標(biāo)變換）l幾何變換通常是以點(diǎn)變

2、換為基礎(chǔ)，即對(duì)圖形對(duì)象的幾何變換通常是以點(diǎn)變換為基礎(chǔ)，即對(duì)圖形對(duì)象的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行變換；但作為線框圖形，可以取一系列每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行變換；但作為線框圖形，可以取一系列頂點(diǎn)作幾何變換，連接新的頂點(diǎn)序列即可產(chǎn)生變換頂點(diǎn)作幾何變換，連接新的頂點(diǎn)序列即可產(chǎn)生變換后的新圖形后的新圖形l圖形的拓?fù)潢P(guān)系不變圖形的拓?fù)潢P(guān)系不變3本講內(nèi)容本講內(nèi)容l齊次坐標(biāo)表示法齊次坐標(biāo)表示法l常見的二維圖形幾何變換n平移變換n比例變換n旋轉(zhuǎn)變換n對(duì)稱變換n錯(cuò)切變換l變換矩陣的功能分區(qū)l圖形的復(fù)合變換4齊次坐標(biāo)表示法齊次坐標(biāo)表示法l將一個(gè)原本是將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)維的向量用一個(gè)n+1維向量表示維向量表示l一個(gè)向量的齊次表示不是唯一

3、的一個(gè)向量的齊次表示不是唯一的l當(dāng)齊次坐標(biāo)的當(dāng)齊次坐標(biāo)的h為為1時(shí)，稱為規(guī)范化齊次方程時(shí)，稱為規(guī)范化齊次方程512(,.,h)nxxx12(/h,/h,.,/h)nxxx ),.,(21nxxx12(h, h,., h, h )nxxx齊次坐標(biāo)表示法齊次坐標(biāo)表示法l二維齊次坐標(biāo)在三維空間中二維齊次坐標(biāo)在三維空間中6齊次坐標(biāo)技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)齊次坐標(biāo)技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)l齊次坐標(biāo)可以表達(dá)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)齊次坐標(biāo)可以表達(dá)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)n對(duì)于對(duì)于h=0的齊次坐標(biāo)表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，如的齊次坐標(biāo)表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，如(a,b,0)表示表示ay=bx直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)l采用齊次坐標(biāo)可以統(tǒng)一圖形變換的運(yùn)算形式采用齊次坐標(biāo)可以統(tǒng)一圖形變

4、換的運(yùn)算形式n圖形變換統(tǒng)一為圖形的點(diǎn)集矩陣與某一變換矩陣進(jìn)行矩圖形變換統(tǒng)一為圖形的點(diǎn)集矩陣與某一變換矩陣進(jìn)行矩陣相乘的單一形式陣相乘的單一形式u將平移轉(zhuǎn)換成矩陣乘法運(yùn)算將平移轉(zhuǎn)換成矩陣乘法運(yùn)算7本講內(nèi)容本講內(nèi)容l齊次坐標(biāo)表示法l常見的二維圖形幾何變換常見的二維圖形幾何變換n平移變換平移變換n比例變換比例變換n旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換n對(duì)稱變換對(duì)稱變換n錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換l變換矩陣的功能分區(qū)l圖形的復(fù)合變換8二維圖形幾何變換的齊次表示法二維圖形幾何變換的齊次表示法9某一點(diǎn)P(x,y)列向量齊次表示法一個(gè)圖形的點(diǎn)集齊次表示法12121 1 1nnxxxyxx矩陣圖形幾何變換表示：圖形幾何變換表示：T111x

5、abcxaxdygbxeyhydefycxfyicxfyighi 1xy 幾種常見的二維圖形幾何變換幾種常見的二維圖形幾何變換l平移變換平移變換l縮放變換縮放變換l旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換l對(duì)稱變換對(duì)稱變換l錯(cuò)切變換錯(cuò)切變換10平移變換（平移變換（Translation）l指不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛性變換指不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛性變換Tx平行于平行于x軸的方向上的移動(dòng)量軸的方向上的移動(dòng)量Ty平行于平行于y軸的方向上的移動(dòng)量軸的方向上的移動(dòng)量11xTyPPyT平移變換xyxTyyTxx幾何關(guān)系yxTTyxyx矩陣形式平移變換的齊次坐標(biāo)表示平移變換的齊次坐標(biāo)表示l平移變換的處理由原本的加法變?yōu)榱司仃嚦朔?/p>

6、平移變換的處理由原本的加法變?yōu)榱司仃嚦朔╪線性幾何變換線性幾何變換-矩陣乘法矩陣乘法l從而與其余四種幾何變換運(yùn)算方式相統(tǒng)一從而與其余四種幾何變換運(yùn)算方式相統(tǒng)一121 00 1110 011xxyyxx TTxyy TTy 齊次矩陣形式1001001xyTT平移矩陣：平移矩陣：簡(jiǎn)寫為：簡(jiǎn)寫為：pTp縮放變換（縮放變換（Scaling）l指圖形相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)，按比例系數(shù)指圖形相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)，按比例系數(shù)(Sx,Sy)放大或放大或縮小的變換縮小的變換Sx平行于平行于x軸的方向上的縮放量軸的方向上的縮放量Sy平行于平行于y軸的方向上的縮放量軸的方向上的縮放量13yx相對(duì)于原點(diǎn)的比例變換相對(duì)于原點(diǎn)的比例變

7、換xyxxSyyS幾何關(guān)系yxSSyxyx00 矩陣形式縮放變換的齊次坐標(biāo)表示縮放變換的齊次坐標(biāo)表示140010010011xxyyxSxyS x S ySy 0000001xySS比例矩陣：比例矩陣：齊次矩陣形式簡(jiǎn)寫為：簡(jiǎn)寫為： p = Tp縮放變換的性質(zhì)縮放變換的性質(zhì)l當(dāng)當(dāng)Sx=Sy時(shí)，變換前的圖形與變換后的圖形相似時(shí)，變換前的圖形與變換后的圖形相似n當(dāng)當(dāng)Sx=Sy=1時(shí)，圖形不變，稱為恒等變換時(shí)，圖形不變，稱為恒等變換n當(dāng)當(dāng)Sx=Sy1時(shí)，圖形將均勻放大，并遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，圖形將均勻放大，并遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)n當(dāng)當(dāng)0 Sx=Sy1時(shí)，圖形將均勻縮小，并靠近坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，圖形將均勻縮小，并靠近坐標(biāo)

8、原點(diǎn)l當(dāng)當(dāng)SxSy時(shí)，圖形沿坐標(biāo)軸方向作非均勻縮放發(fā)生時(shí)，圖形沿坐標(biāo)軸方向作非均勻縮放發(fā)生形變（如正方形變?yōu)殚L(zhǎng)方形、圓形變?yōu)闄E圓）形變（如正方形變?yōu)殚L(zhǎng)方形、圓形變?yōu)闄E圓）l當(dāng)當(dāng)Sx0時(shí)或時(shí)或Sy0時(shí)，圖形不僅大小發(fā)生變化，而且時(shí)，圖形不僅大小發(fā)生變化，而且將相對(duì)于將相對(duì)于y軸、軸、x軸或原點(diǎn)作對(duì)稱變換軸或原點(diǎn)作對(duì)稱變換15161yxSSyxSS yxyxyx0yS yx0 xS 整體比例變換整體比例變換l整體比例變換，比例系數(shù)為整體比例變換，比例系數(shù)為1/Sn當(dāng)當(dāng)01時(shí)，圖形等比例縮小時(shí)，圖形等比例縮小n當(dāng)當(dāng)S0時(shí)，為等比例變換再加上對(duì)原點(diǎn)的對(duì)稱變換時(shí)，為等比例變換再加上對(duì)原點(diǎn)的對(duì)稱變換171

9、0001000S整體比例矩陣：整體比例矩陣：旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換18xsincos ryrxcossinsincos)sin(sinsincoscos)cos(rrryrrrxcossinsincosyxyyxx兩式合并可得：兩式合并可得：幾何關(guān)系yxyxcossinsincos 矩陣形式PPy 指將圖形圍繞圓心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)指將圖形圍繞圓心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的變換（規(guī)定逆角度的變換（規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎r(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎┬D(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換l新坐標(biāo)軸方向新坐標(biāo)軸方向nx軸軸:ny軸軸:lP在新坐標(biāo)軸上的投影在新坐標(biāo)軸上的投影 =P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)19xPyxysincossinc

10、os)sin,(cos)cos,(sincossinsincosyxyyxx旋轉(zhuǎn)變換的齊次坐標(biāo)表示旋轉(zhuǎn)變換的齊次坐標(biāo)表示20TT 1cossinx sincos1cossin0sincos00011xyxyyxy cossin0sincos0001旋轉(zhuǎn)矩陣：旋轉(zhuǎn)矩陣：齊次矩陣形式簡(jiǎn)寫為：簡(jiǎn)寫為： p = Tp對(duì)稱變換對(duì)稱變換l指相對(duì)坐標(biāo)軸、原點(diǎn)、指相對(duì)坐標(biāo)軸、原點(diǎn)、 線的對(duì)稱變換（反射變線的對(duì)稱變換（反射變換）換） 2145yyxx關(guān)系幾何11 1000100011yxyxyx齊次矩陣形式相對(duì)于相對(duì)于y軸對(duì)稱：軸對(duì)稱：oyxyyxx關(guān)系幾何yox相對(duì)于相對(duì)于x軸對(duì)稱：軸對(duì)稱：齊次矩陣形式11

11、1000100011yxyxyxn相對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱（即中心對(duì)稱）相對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱（即中心對(duì)稱）22yyxx關(guān)系幾何yox齊次矩陣形式關(guān)系幾何xyyxyox相對(duì)于直線相對(duì)于直線y=x對(duì)稱對(duì)稱齊次矩陣形式對(duì)稱變換對(duì)稱變換11 1000100011yxyxyx11 1000010101xyyxyx23xyyx幾何關(guān)系xyoy=-x相對(duì)于直線相對(duì)于直線y=-x對(duì)稱對(duì)稱010100 100111xxyyyx 齊次矩陣形式簡(jiǎn)寫為：簡(jiǎn)寫為： p = Tp錯(cuò)切變換（錯(cuò)切變換（Shearing）l指用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理（剪切、錯(cuò)位或錯(cuò)指用于產(chǎn)生彈性物體的變形處理（剪切、錯(cuò)位或錯(cuò)移變換）移變換）n沿沿x軸方向關(guān)

12、于軸方向關(guān)于y軸錯(cuò)切，即變換前后軸錯(cuò)切，即變換前后y坐標(biāo)不變，坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)坐標(biāo)呈線性變化呈線性變化將圖形上關(guān)于將圖形上關(guān)于y軸的平行線沿軸的平行線沿x方向推成方向推成角的傾斜線，角的傾斜線，而保持而保持y坐標(biāo)不變。坐標(biāo)不變。 25ayyxcot 有cot a令yyayxx 代入得yyxxx 幾何關(guān)系xyx齊次矩陣形式10010 100111xaxxayyyy 26n沿沿 y 軸方向關(guān)于軸方向關(guān)于 x 軸錯(cuò)切，即變換前后軸錯(cuò)切，即變換前后x坐標(biāo)不變，坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)坐標(biāo)呈線性變化。呈線性變化。 幾何關(guān)系yyyxx yxctgbx有ctgb 令yyx齊次矩陣形式簡(jiǎn)寫為：簡(jiǎn)寫為：10010 10

13、0111xxxyayyax p = Tp本講內(nèi)容本講內(nèi)容l齊次坐標(biāo)表示法l常見的二維圖形幾何變換n平移變換n比例變換n旋轉(zhuǎn)變換n對(duì)稱變換n錯(cuò)切變換l變換矩陣的功能分區(qū)變換矩陣的功能分區(qū)l圖形的復(fù)合變換27變換矩陣的功能分區(qū)變換矩陣的功能分區(qū)l變換矩陣可用變換矩陣可用33矩陣來描述矩陣來描述n左上角的左上角的22子塊可實(shí)現(xiàn)比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切四種子塊可實(shí)現(xiàn)比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切四種基本變換；基本變換；n右上角的右上角的12子塊可實(shí)現(xiàn)平移變換；子塊可實(shí)現(xiàn)平移變換；n左下角的左下角的21子塊可實(shí)現(xiàn)投影變換；子塊可實(shí)現(xiàn)投影變換；n右下角的右下角的11子塊可實(shí)現(xiàn)整體比例變換。子塊可實(shí)現(xiàn)整體比例變換。2

14、8abcTdefghi變換矩陣的功能分區(qū)變換矩陣的功能分區(qū)2900001abTde 比例變換、旋轉(zhuǎn)變換比例變換、旋轉(zhuǎn)變換 對(duì)稱變換、錯(cuò)切變換對(duì)稱變換、錯(cuò)切變換 平移變換平移變換1001001cTf變換矩陣的功能分區(qū)變換矩陣的功能分區(qū)3010001000Ti 投影變換投影變換 整體比例變換整體比例變換1000101Tgh本講內(nèi)容本講內(nèi)容l齊次坐標(biāo)表示法l常見的二維圖形幾何變換n平移變換n比例變換n旋轉(zhuǎn)變換n對(duì)稱變換n錯(cuò)切變換l變換矩陣的功能分區(qū)l圖形的復(fù)合變換圖形的復(fù)合變換31復(fù)合變換復(fù)合變換l對(duì)于任何一個(gè)比較復(fù)雜的變換對(duì)于任何一個(gè)比較復(fù)雜的變換n可以轉(zhuǎn)換成若干個(gè)連續(xù)進(jìn)行的基本變換可以轉(zhuǎn)換成若干

15、個(gè)連續(xù)進(jìn)行的基本變換n這些基本幾何變換的組合稱為復(fù)合變換這些基本幾何變換的組合稱為復(fù)合變換n復(fù)合：復(fù)合：u矩陣乘法矩陣乘法32復(fù)合變換復(fù)合變換l設(shè)圖形經(jīng)過設(shè)圖形經(jīng)過n次基本幾何變換，其變換矩陣分別為次基本幾何變換，其變換矩陣分別為T1,T2,Tn 頂點(diǎn)頂點(diǎn)p經(jīng)經(jīng)T1變換后：變換后：p= T1 p 經(jīng)經(jīng)T2變換后：變換后： p= T2 p= T2 T1 p 經(jīng)經(jīng)Tn變換后：變換后： p(n)= Tn p(n-1)= TnTn-1T2T1plT= TnTn-1T2T1就為復(fù)合變換矩陣就為復(fù)合變換矩陣33復(fù)合變換復(fù)合變換l對(duì)于計(jì)算復(fù)合變換時(shí)，可將各基本變換矩陣按序相對(duì)于計(jì)算復(fù)合變換時(shí)，可將各基本變換

16、矩陣按序相乘，形成總的復(fù)合變換矩陣乘，形成總的復(fù)合變換矩陣T，再將變換前的坐標(biāo)，再將變換前的坐標(biāo)與與T相乘，得到變換后的最終坐標(biāo)相乘，得到變換后的最終坐標(biāo)p(n)= Tn p(n-1)= TnTn-1T2T1p= (TnTn-1T2T1)p=Tpl一般情況下，矩陣乘法不滿足交換率，復(fù)合變換應(yīng)一般情況下，矩陣乘法不滿足交換率，復(fù)合變換應(yīng)嚴(yán)格按照一定的交換順序嚴(yán)格按照一定的交換順序34復(fù)合變換復(fù)合變換l連續(xù)平移變換連續(xù)平移變換l連續(xù)比例變換連續(xù)比例變換l連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換l相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換l以平面內(nèi)任一直線為對(duì)稱軸進(jìn)行對(duì)稱變換以平面內(nèi)任一直線為對(duì)稱軸進(jìn)

17、行對(duì)稱變換35連續(xù)平移變換連續(xù)平移變換l設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)p(x,y)經(jīng)過第一次平移變換經(jīng)過第一次平移變換T1(Tx1,Ty1)和第二次和第二次平移變換平移變換T2(Tx2,Ty2)后的坐標(biāo)為后的坐標(biāo)為P(x,y)n設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次平移變換經(jīng)過第一次平移變換T1后的坐標(biāo)為后的坐標(biāo)為P(x,y)n設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)第二次平移變換經(jīng)第二次平移變換T2后的坐標(biāo)為后的坐標(biāo)為P(x,y)361111001001xyttT p = Tp2221001001xyttT21p = T TpTpl得到連續(xù)平移變換的復(fù)合矩陣得到連續(xù)平移變換的復(fù)合矩陣T為：為：即連續(xù)的平移變換是平移量的相加即連續(xù)的平移變換

18、是平移量的相加3721212 121211 01 01 00 10 10 10 010 010 01xxxxyyxytttttttt T TT連續(xù)平移變換連續(xù)平移變換連續(xù)比例變換連續(xù)比例變換l設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次比例變換經(jīng)過第一次比例變換T1(Sx1,Sy1)和第二次比和第二次比例變換例變換T2(Sx2,Sy2)后的坐標(biāo)為后的坐標(biāo)為P (x,y)n設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次比例變換經(jīng)過第一次比例變換T1后的坐標(biāo)為后的坐標(biāo)為P(x,y)n設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)第二次比例變換經(jīng)第二次比例變換T2后的坐標(biāo)為后的坐標(biāo)為P(x,y)381110000001xySTS2220000001xy

19、STS21p = T TpTp p = Tpl得到連續(xù)比例變換的復(fù)合矩陣得到連續(xù)比例變換的復(fù)合矩陣T為：為：即連續(xù)的比例變換是比例系數(shù)的相乘即連續(xù)的比例變換是比例系數(shù)的相乘3921212 12121000000000000001001001xxxxyyyySSSSSSSS T=TT連續(xù)比例變換連續(xù)比例變換連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換l設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)過第一次旋轉(zhuǎn)變換T1(旋轉(zhuǎn)角度為旋轉(zhuǎn)角度為1 1)和第二次旋轉(zhuǎn)變換和第二次旋轉(zhuǎn)變換T2(旋轉(zhuǎn)角度為旋轉(zhuǎn)角度為2 2)后的坐標(biāo)為后的坐標(biāo)為P (x,y)n設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)過第一次旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)過第一次旋轉(zhuǎn)變換T1后的坐標(biāo)為后的坐

20、標(biāo)為P (x,y)n設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x,y)經(jīng)第二次旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)第二次旋轉(zhuǎn)變換T2后的坐標(biāo)為后的坐標(biāo)為P (x,y)4011111cossin0sincos0001T22222cossin0sincos0001T21p = T TpTp p = Tpl得到連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換的復(fù)合矩陣得到連續(xù)旋轉(zhuǎn)變換的復(fù)合矩陣T為：為： 412211212211212121212121212112cossin0cossin0sincos0sincos0001001coscossinsincossinsincos0sincoscossinsinsincoscos0001cossT=TT121212in0sincos0001相

21、對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換l相對(duì)任一參考點(diǎn)的縮放變換相對(duì)任一參考點(diǎn)的縮放變換n平移變換，即將該參考點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)處平移變換，即將該參考點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)處n作相對(duì)于原點(diǎn)的縮放變換作相對(duì)于原點(diǎn)的縮放變換n平移變換，即將參考點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)移回原來的位置平移變換，即將參考點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)移回原來的位置l相對(duì)任一參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換相對(duì)任一參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換n平移變換，即將該參考點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)處平移變換，即將該參考點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)處n作相對(duì)于原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換作相對(duì)于原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換n平移變換，即將參考點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)移回原來的位置平移變換，即將參考點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)移回原來的位置4243Oxy相對(duì)于任意點(diǎn)

22、(x0,y0)的比例變換(x0,y0)(0,0)相對(duì)任一參考點(diǎn)的縮放變換相對(duì)任一參考點(diǎn)的縮放變換1 1001001 1110022yxyxyx平移T11 1yx平移比例1 1000000 12233yxSSyxyx1 1001001 1330044yxyxyx1001001001yx 1000000yxSSS1001001002yxT 12STTT 相對(duì)任一參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換相對(duì)任一參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換44Oxy相對(duì)于任意點(diǎn)(x0,y0)的旋轉(zhuǎn)變換(x0,y0)(0,0)1 1001001 1110022yxyxyx平移T11 1yx平移旋轉(zhuǎn)1 1000cossin0sincos 12233yxyx

23、1 1001001 1330044yxyxyx1001001001yx1000cossin0sincos R1001001002yxT 12RTTT 例：求點(diǎn)例：求點(diǎn)P(x,y)相對(duì)任一點(diǎn)相對(duì)任一點(diǎn)M(x0,y0)作縮放變換的變作縮放變換的變換矩陣。其中縮放系數(shù)為換矩陣。其中縮放系數(shù)為(Sx,Sy)解：平移得平移矩陣解：平移得平移矩陣T1為：為：進(jìn)行比例變換得縮放變換矩陣進(jìn)行比例變換得縮放變換矩陣T2為：為：反平移使坐標(biāo)系回到原來位置得平移矩陣反平移使坐標(biāo)系回到原來位置得平移矩陣T3為：為：451001001001yx 10000002yxSST1001001003yxT相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾

24、何變換相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換 因此，復(fù)合變換矩陣應(yīng)為：因此，復(fù)合變換矩陣應(yīng)為：注意：注意：460032100001000100100 010010010010(1)0(1)001xyxxyyxSxySySxSSyS TT T 相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換相對(duì)任一參考點(diǎn)的二維幾何變換31T I以任一直線為對(duì)稱軸進(jìn)行對(duì)稱變換以任一直線為對(duì)稱軸進(jìn)行對(duì)稱變換l相對(duì)于平面內(nèi)的任意條直線進(jìn)行對(duì)稱變換相對(duì)于平面內(nèi)的任意條直線進(jìn)行對(duì)稱變換n平移，使對(duì)稱軸直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)平移，使對(duì)稱軸直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)n繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使對(duì)稱軸直線的方向與某個(gè)坐標(biāo)軸（如繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使對(duì)稱軸直線的方向與某個(gè)坐標(biāo)軸（如X軸）重合軸）重合n關(guān)于某個(gè)坐標(biāo)軸（如關(guān)于某個(gè)坐標(biāo)軸（如X軸）進(jìn)行對(duì)稱變換軸）進(jìn)行對(duì)稱變換n繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使對(duì)稱軸直線回到原來的方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使對(duì)稱軸直線回到原來的方向n平移，使對(duì)稱軸直線回到原來的位置平移，使對(duì)稱軸直線回到原來的位