1、三階行列式的計(jì)算三階行列式的計(jì)算333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 說明說明 1 1. . 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式 2 2. . 三階行列式包括三階行列式包括3!3!項(xiàng)項(xiàng), ,每一項(xiàng)都是位于不同行每一項(xiàng)都是位于不同行, ,不同列的三個(gè)元素的不同列的三個(gè)元素的乘積乘積,其中三項(xiàng)為正其中三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù)三項(xiàng)為負(fù).1112112212212122.aaDa aa aaa在一個(gè)排列在一個(gè)排列 中，若數(shù)中，若數(shù) 則稱這

2、兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序. nstiiiii21stii 定義定義n 個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序標(biāo)準(zhǔn)次序.定義定義 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù).方法方法1 1分別計(jì)算出排在分別計(jì)算出排在 前面比它大的數(shù)前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出碼之和即分別算出 這這 個(gè)元素個(gè)元素的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù).n,n,121 n,n,121 n分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大

3、的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)序數(shù).方法方法2 2把把 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 個(gè)元素的全排列（或排列）個(gè)元素的全排列（或排列）.nn逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列; ;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列. .由前向后由前向后(后向前后向前)求每個(gè)數(shù)的逆序數(shù)求每個(gè)數(shù)的逆序數(shù). 121212111212122212121nnnnt p ppnppnpp ppnnnnaaaaaa

4、Daaaaaa 1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的.2、 階行列式共有階行列式共有 項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列列 的的 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積,正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定.nn!n 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). . 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)行列式的某一行（列）中所有

5、的元素都乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kk 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行行)對(duì)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變應(yīng)的元素上去，行列式不變利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式j(luò)ikrr (行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立對(duì)列也同樣成立).(1)利用定義利用定義;(2)利用

6、性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值而算得行列式的值若行列式的某一列若行列式的某一列( (行行) )的元素都是兩數(shù)之和的元素都是兩數(shù)之和. .則可拆為兩個(gè)行列式之和則可拆為兩個(gè)行列式之和. .利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式j(luò)ikrr 一個(gè)一個(gè) 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都為零，外都為零，那末這行列式等于那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即與它的代數(shù)余子式的乘積，即 ijijAaD niijaija 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘

7、行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即積之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即乘積之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)1,0 ,;nkikjkDija Aij當(dāng)當(dāng)1,0 ,;nikjkkDija Aij當(dāng)當(dāng)線性方程組線性方程組11 112 2111 12 2(1)n nnnnn nna x a xa xba x a

8、 xa xb nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 122123nnDDDDx, x, x,x.DDDD那么線性方程組那么線性方程組(1) 有解，有解，并且解是唯一的并且解是唯一的:0D nnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 系數(shù)行列式系數(shù)行列式非齊次線性非齊次線性方程組方程組12,nb bb不全為零不全為零0D 線性方程組線性方程組 (1) 無解無解或有兩個(gè)不同的解或有兩個(gè)不同的解齊次線性方程組齊次線性方程組12,nb bb全為零全為零0D 沒有非零解沒有非零解有非零解有非零解0 D( (2)(2)例例1計(jì)算計(jì)算.43213

9、213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列列都都加加到到第第一一列列，得得將將第第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23

10、122121111010010001)(例例1計(jì)算計(jì)算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 評(píng)注評(píng)注本題利用行列式的性質(zhì)，采用本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零化零”的方法，逐步將所的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時(shí)一般盡量選含有的行（列）及給行列式化為三角形行列式化零時(shí)一般盡量選含有的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利含零較多的行（列）；若沒有，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1 1；若所給行列式中元素間具；若所給行列式中元素間具有某些

11、特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的三角形行列式之目的例例2計(jì)算計(jì)算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆拆成成兩兩個(gè)個(gè)行行列列式式之之和和列列把把依依第第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 121.000nna xaaaa xaaaa xaaax .1121DxaxxxDnnnn 從而從而得得列展開列展開第第右端的第二個(gè)行列式按右端的第二個(gè)行列式按列列加到第加到第倍分別倍分別列的列的將第將第右端的第一個(gè)行列式右端的第一個(gè)行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,000

12、0000001121DxaaxaxaxDnnnn 由此遞推，得由此遞推，得1221221121221,.nnnnnnnnnnnaaax xxxx xxx xxxx xDDDD于于是是例例3證明證明cos100012cos100012cos00cos.000100012cosnDn 證證對(duì)階數(shù)對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結(jié)論成立結(jié)論成立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?nnDD 得得展展開開按按最最后后一一行行現(xiàn)現(xiàn)將將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數(shù)數(shù)等等于于下下證證對(duì)對(duì)的的行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成立立假假設(shè)設(shè)對(duì)對(duì)階階數(shù)數(shù)小小于

13、于,.,Dnnn.cos221DDDnnn ,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由歸納假設(shè)由歸納假設(shè)2coscos(1)cos(2)coscos(2) cos(2)cos;nnnnnnnD.結(jié)論成立結(jié)論成立所以對(duì)一切自然數(shù)所以對(duì)一切自然數(shù)n例例3證明證明cos100012cos100012cos00cos.000100012cosnDn 評(píng)注評(píng)注12,(),1(1),.nnnnDDDnnD為了將展開成能用其同型的表示 本例必須按第 行 或第 列 展開 不能按第 行 或第 列 展開 否則所得的低階行列式不是與同型的行列式,.,.一般來講當(dāng)行列式已告訴其結(jié)果而要我們證明是與自然數(shù)有

14、關(guān)的結(jié)論時(shí)可考慮用數(shù)學(xué)歸納法來證明如果未告訴結(jié)果也可先猜想其結(jié)果然后用數(shù)學(xué)歸納法證明其猜想結(jié)果成立計(jì)算行列式的方法比較靈活，同計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列用在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法用常用的幾種方法小小 結(jié)結(jié)證證4 0,0,00.axbycbxcyacxaybabc證明平面上三條不同的直線相交于一點(diǎn)的充

15、分必要條件是例例 2221()() 0.()()()2abcbcaabcabbccacab , ,0.a b cabc因?yàn)槿龡l直線互不相同 所以也不全相同 故.的非零解從而有系數(shù)行列式0000:(,),1Mxyzyxyx必要性 設(shè)所給三條直線交于一點(diǎn)則可視為齊次線性方程組0,0,0axbyczbxcyazcxaybz(2).(1).由克萊姆法則知，方程組有唯一解從而知方程組有唯一解，即三條不同直線交于一點(diǎn).下證此方程組（）有唯一解（） baycxacybxcbyax,將方程組將方程組如果如果充分性充分性, 0 cba的第一、二兩個(gè)方程加到第三個(gè)方程，得,00.axbycbxcya （）2222

16、22()00. ()acacacacacacac ，于是，從而有2200()abacacbacbbbc 如果，則。由得20,0.00.aacbabccb不妨設(shè)由得再由得，與題設(shè)矛盾0.abbc故一、填空題一、填空題( (每小題每小題6 6分，共分，共5454分分) ) ijijnaDaaD則則若若, . 131232. ,0,x xxxpxq設(shè)是方程的三個(gè)根 則行列式行列式行列式 . 3 1000000001998000199700020001000D 4433221100000000 .4ababbaba四四階階行行列列式式123312231xxxxxxxxx 443424144, . 5A

17、AAAcdbaacbdadbcdcbaD則則設(shè)設(shè)四四階階行行列列式式的的符符號(hào)號(hào)為為在在五五階階行行列列式式中中3524415312 . 6aaaaa 的的系系數(shù)數(shù)是是中中在在函函數(shù)數(shù)321112 . 7xxxxxxxf abcdbadccdabdcba四四階階行行列列式式 . 8, . 9時(shí)時(shí)且且則則當(dāng)當(dāng)為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)若若 baba010100 abba二、二、計(jì)算下列行列式計(jì)算下列行列式( (每小題每小題1010分，共分，共2020分分) )0112210321011322211313211 . 15 DxzzzyxzzyyxzyyyxDn . 2齊齊次次方方程程組組取取何何值值問問, 02

18、00321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？三、三、解答題解答題(10(10分分)四、四、(16(16分分) ) 設(shè)設(shè) 階行列式階行列式nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和2323141422222 1. 1; 2. 0; 3. 1998!; 4. ; 5. 0; 6.; 7. 2; 8. ; 9. 0,0; naa ab ba ab babcd一、 . . 2 ;170 . 1zyyxzzxynn 二、二、. 00 或或三、三、21! 1.njnj四、一、填空題一、填空題( (每小題每小題6 6分，共分，共54

19、54分分) ) ijijnaDaaD則則若若, . 131232. ,0,x xxxpxq設(shè)是方程的三個(gè)根 則行列式123312231xxxxxxxxx1na12332123123122331123,()()()()x xxxxxxxxxxxxxx xx xx xxx x x因?yàn)槭欠匠痰母?，則=01230 xxx1231232331212312231123310 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx0行列式行列式 . 31998 1998 12000 1 01002 0 021019970 0 01997199800 0 01998000 0 11998199711998!21D 4142434445. ,abcdcbdaDdbcaabdcAAAA設(shè)四階行列式則1424344411011abccbdAAAAdbcabd0 abcdbadccdabdcba四四階階行行列列式式 . 822222abcd222222222222222242222Tabcd abcdbadc badcDDcdab c