1、一、平面方程平面方程三、曲面面積三、曲面面積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 曲面面積的計算 二、曲面的切平面與法線平面與法線zyxo0Mn（一）平面的（一）平面的點法式點法式方程方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱上式為平面的點法式方程點法式方程,則該平面的方程為：法向量.量, ),(CBAn 的為平面稱n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、平面方程一、平面方程1112121213131310 xxyyzzxxyyzzxxyyzz過三點(,) (1,2,3)kkkkMxyzk 的平面方程為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

2、 （二）平面的（二）平面的三點式三點式方程方程當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時,)0,(cba平面方程為 PozyxRQ機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （三）平面的（三）平面的截距式截距式方程方程（四）平面的（四）平面的一般一般方程方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點法式方程等價, )0(22

3、2CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 外一點,求),(0000zyxP0DzCyBxA補：補： 設(shè)222000CBADzCyBxAd是平面到平面的距離d .0P(點到平面的距離公式)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 :( , , )0F x y z二、二、曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 設(shè) 有光滑曲面000(,)M xyz為其上定點。MT機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面，此平面稱為 在該點的切平面切平面.曲面 在點 M 的法向量法向量法線方程法線方程000 xxyyzz

4、0000(,)()xF xyzxx0000(,)()yF xyzyy0000(,)()0zF xyzzz切平面方程切平面方程000(,)xF xyz000(,)yF xyz000(,)zF xyzMTn000000000(,),(,),(,)xyznF xyzF xyzF xyz復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 空間光滑曲面:( , )zf x y切平面方程切平面方程法線方程法線方程 顯式情況.法線的方向余弦方向余弦法向量法向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (,1)xynff ,:為法線與各坐標(biāo)軸的夾角,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2211cosyxff)( ),

5、()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyxMAdzdn二、曲面的面積二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素)則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 DyxyxfzS),( , ),(:),(zyxMxyzSoMndAdcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygxzyzxyxAdd)()(122zyD若光滑曲面方程為 若光滑曲面方程為隱式則則有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),( , ),(xzDxzxzhyxzxyzyAdd)()(122,0),(zyxF且0,zF yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDzzyxFFFF222yxddzxD例例. 計算雙曲拋物面被柱面所截解解: : 曲面在 xoy 面上投影為則出的