1、【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】第17講：高頻考點(diǎn)分析之極限、導(dǎo)數(shù)和定積分探討12講，我們對客觀性試題解法進(jìn)行了探討，38講，對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，912講對數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行了探討，從第13講開始我們對高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。在我國現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)新教材中，微積分處于一種特殊的地位，是高中數(shù)學(xué)知識的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，是聯(lián)系多個(gè)章節(jié)內(nèi)容以及解決相關(guān)問題的重要工具。微積分的思想方法和基本理論有著廣泛的應(yīng)用。結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)的知識，高考中微積分問題主要有以下幾種： 1. 極限的計(jì)算；2. 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最（極）值；3. 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的增減性；4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線；5. 定積分的計(jì)算和

2、應(yīng)用。結(jié)合2012年全國各地高考的實(shí)例，我們從以上五方面探討極限、導(dǎo)數(shù)和定積分問題的求解。一、極限的計(jì)算：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年四川省理5分）函數(shù)在處的極限是【 】A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于【答案】A?！究键c(diǎn)】分段函數(shù)，極限。【解析】分段函數(shù)在處不是無限靠近同一個(gè)值，故不存在極限。故選A。例2. （2012年重慶市理5分） .【答案】?！究键c(diǎn)】極限的運(yùn)算?！痉治觥?。例3. （2012年上海市理4分）有一列正方體，棱長組成以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，體積分別記為，則 .【答案】。【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】【考點(diǎn)】無窮遞縮等比數(shù)列的

3、極限，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式?！窘馕觥坑烧襟w的棱長組成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，可知它們的體積則組成了一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此，。二、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最（極）值：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1.（2012年重慶市理5分）設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是【 】（A）函數(shù)有極大值和極小值 （B）函數(shù)有極大值和極小值 （C）函數(shù)有極大值和極小值 （D）函數(shù)有極大值和極小值【答案】D?！究键c(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，函數(shù)的圖象?！痉治觥坑蓤D象知，與軸有三個(gè)交點(diǎn)，2，1，2， 。 由此得到， ，和在上的情況：212000000

4、極大值非極值極小值 的極大值為，的極小值為。故選D。例2. （2012年陜西省理5分）設(shè)函數(shù)，則【 】A. 為的極大值點(diǎn) B.為的極小值點(diǎn)C. 為的極大值點(diǎn) D. 為的極小值點(diǎn)【答案】D?！究键c(diǎn)】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值?！窘馕觥?，令得。當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以為的極小值點(diǎn)。故選D。例3. （2012年陜西省文5分）設(shè)函數(shù)則【 】A=為的極大值點(diǎn) B=為的極小值點(diǎn)C=2為 的極大值點(diǎn) D=2為 的極小值點(diǎn)【答案】D?！究键c(diǎn)】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。【解析】，令得。當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)。為的極小值點(diǎn)。故選D。例4. （2012年廣東省理14分）設(shè)a1，集合，（1）求集合D（用區(qū)間

5、表示）（2）求函數(shù)在D內(nèi)的極值點(diǎn)?！敬鸢浮拷猓海?）設(shè)，方程的判別式當(dāng)時(shí)，恒成立，。，即集合D=。當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，。，即集合D=。當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，。，即集合D=。（2）令得的可能極值點(diǎn)為。 當(dāng)時(shí)，由（1）知，所以隨的變化情況如下表：00極大值極小值在D內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)為：極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為。當(dāng)時(shí)，由（1）知=。， ，隨的變化情況如下表：0極大值在D內(nèi)僅有一個(gè)極值點(diǎn)：極大值點(diǎn)為，沒有極小值點(diǎn)。當(dāng)時(shí)， 由（1）知。，。在D內(nèi)沒有極值點(diǎn)?！究键c(diǎn)】分類思想的應(yīng)用，集合的計(jì)算， 解不等式，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）根據(jù)根的判別式應(yīng)用分類思想分、討論即可，計(jì)算比較繁?！景鏅?quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得

6、轉(zhuǎn)載】 （2）求出，得到的可能極值點(diǎn)為。仍然分、討論。例5. （2012年浙江省理14分）已知，函數(shù)（）證明：當(dāng)時(shí)， （i）函數(shù)的最大值為； （ii）；（）若對恒成立，求的取值范圍【答案】() 證明：()當(dāng)b0時(shí)，0在0x1上恒成立，此時(shí)的最大值為：|2ab|a；當(dāng)b0時(shí)，在0x1上的正負(fù)性不能判斷，此時(shí)的最大值為：|2ab|a。綜上所述：函數(shù)在0x1上的最大值為|2ab|a。() 設(shè)， ，令。當(dāng)b0時(shí)，0在0x1上恒成立，此時(shí)的最大值為：|2ab|a；當(dāng)b0時(shí)，在0x1上的正負(fù)性不能判斷，|2ab|a。綜上所述：函數(shù)在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a，即|2ab|a0在0x1上恒成

7、立。()解：由()知：函數(shù)在0x1上的最大值為|2ab|a，且函數(shù)在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大。11對x0，1恒成立，|2ab|a1。取b為縱軸，a為橫軸則可行域?yàn)椋汉?，目?biāo)函數(shù)為zab。作圖如下：由圖易得：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為zab過P(1，2)時(shí)，有所求ab的取值范圍為：。【考點(diǎn)】分類思想的應(yīng)用，不等式的證明，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，簡單線性規(guī)劃?！窘馕觥?) ()求導(dǎo)后，分b0和b0討論即可。() 利用分析法，要證|2ab|a0，即證|2ab|a，亦即證在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a。 （）由（）知：函數(shù)在0x1上的最大值為|2ab|a，且函數(shù)在0x1上的最小值比

8、(|2ab|a)要大根據(jù)11對x0，1恒成立，可得|2ab|a1，從而利用線性規(guī)劃知識，可求ab的取值范圍。例6. （2012年江西省文14分）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減且滿足。（1）求的取值范圍；（2）設(shè)，求在上的最大值和最小值?！敬鸢浮拷猓海?），。函數(shù)在上單調(diào)遞減，對于任意的，都有。由得；由得。又當(dāng)=0時(shí)，對于任意的，都有，函數(shù)符合條件；當(dāng)=1時(shí)，對于任意的，都有，函數(shù)符合條件。綜上所述，的取值范圍是01。（2）。（i）當(dāng)=0時(shí)，對于任意有，在0，1上的最小值是，最大值是；（ii）當(dāng)=1時(shí)，對于任意有，在0，1上的最小值是，最大值是；（iii）當(dāng)01時(shí)，由得，若，即時(shí)，在0，1上是增函數(shù)，在0

9、，1上最大值是，最小值是；若，即時(shí)，在取得最大值g，在=0或=1時(shí)取到最小值：，當(dāng)時(shí)，在=0取到最小值；當(dāng)時(shí)，在=1取到最小值?！究键c(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。【解析】（1）由題意，函數(shù)在0，1上單調(diào)遞減且滿足，可求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將函數(shù)在0，1上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在0，1上的函數(shù)值恒小于等于0，再結(jié)合，這兩個(gè)方程即可求得取值范圍。（2）由題設(shè)條件，先求出的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，由于參數(shù)的影響，函數(shù)在0，1上的單調(diào)性不同，結(jié)合（1）的結(jié)論及分=0，=1， 01三類對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論，確定并求出函數(shù)的最值。例7. （2012年重慶市文13分）已知函數(shù)在處取得極值為

10、（1）求、的值（6分）；（2）若有極大值28，求在上的最大值（7分） 來源:21世紀(jì)教育網(wǎng)【答案】解：（）， 。 在點(diǎn) 處取得極值，即，化簡得，解得。（）由（）得，令 ，得。， 和在上的情況如下表：00極小值極大值由此可知 在 處取得極大值， 在 處取得極小值。有極大值28，解得。此時(shí)， 上的最小值為?！究键c(diǎn)】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值，最值之間的關(guān)系。【分析】（）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)=0，求出、的值。（）根據(jù)（）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令，解出，列表求出函數(shù)的極大值和極小值。再比較函數(shù)的極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，端點(diǎn)函數(shù)值與極大值中最大的為函數(shù)的最大值，端點(diǎn)函數(shù)值與極小值中最小的為函數(shù)的最小值。例8. （20

11、12年江蘇省16分）若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】已知是實(shí)數(shù)，1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)（1）求和的值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點(diǎn)；（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】解：（1）由，得。 1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 是的極值點(diǎn)。 當(dāng)或時(shí)， 不是的極值點(diǎn)。 的極值點(diǎn)是2。（3）令，則。 先討論關(guān)于 的方程 根的情況：當(dāng)時(shí)，由（2 ）可知，的兩個(gè)不同的根為I 和一2 ，注意到是奇函數(shù)，的兩個(gè)不同的根為一和2。當(dāng)時(shí)， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 當(dāng)時(shí)， ，于

12、是是單調(diào)增函數(shù)，從而。此時(shí)在無實(shí)根。 當(dāng)時(shí)，于是是單調(diào)增函數(shù)。又，的圖象不間斷， 在（1 , 2 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。同理，在（一2 ，一I ）內(nèi)有唯一實(shí)根。 當(dāng)時(shí)，于是是單調(diào)減兩數(shù)。又， ，的圖象不間斷，在（一1，1 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。因此，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的根滿足；當(dāng) 時(shí)有三個(gè)不同的根，滿足?，F(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn)：( i ）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，滿足。而有三個(gè)不同的根，有兩個(gè)不同的根，故有5 個(gè)零點(diǎn)。( 11 ）當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的根，滿足。而有三個(gè)不同的根，故有9 個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn)。【考點(diǎn)】函數(shù)的概念和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)1和是函

13、數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可。 （2）由（1）得，求出，令，求解討論即可。 （3）比較復(fù)雜，先分和討論關(guān)于 的方程 根的情況；再考慮函數(shù)的零點(diǎn)。例9. （2012年山東省理5分）設(shè)函數(shù)，若的圖像與圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A（x1，y1）,B(x2，y2),則下列判斷正確的是【 】A. 當(dāng)a<0時(shí)，x1x2<0，y1y2>0 B. 當(dāng)a<0時(shí)，x1x2>0， y1y2<0C. 當(dāng)a>0時(shí)，x1x2<0，y1y2<0 D. 當(dāng)a>0時(shí)，x1x2>0， y1y2>0【答案】B?！究键c(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥苛?，則。設(shè)，。

14、令，則要使的圖像與圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)必須：，整理得。取值討論：可取來研究。當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，此時(shí)。故選B。例10. （2012年天津市理14分）已知函數(shù)的最小值為，其中.（）求的值；（）若對任意的,有成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（）證明.【答案】解：（）函數(shù)的定義域?yàn)椋?求導(dǎo)函數(shù)可得. 令，得。當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表：0極小值在處取得極小值。由題意，得。（）當(dāng)0時(shí)，取，有，故0不合題意。當(dāng)0時(shí)，令，即。求導(dǎo)函數(shù)可得。令，得。當(dāng)時(shí)， 0，在（0，+）上恒成立，因此在（0，+）上單調(diào)遞減，從而對任意的），總有，即對任意的，有成立。符合題意。當(dāng)時(shí)，0，對于(0， )

15、，0，因此在(0， )上單調(diào)遞增，因此取(0， )時(shí)，即有不成立。 不合題意。綜上，實(shí)數(shù)的最小值為?！景鏅?quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】（）證明：當(dāng)=1時(shí)，不等式左邊=2ln32=右邊，所以不等式成立。當(dāng)2時(shí)，。在（2）中，取，得，。綜上，?！究键c(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值?！痉治觥浚ǎ┐_定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，利用函數(shù)的最小值為，即可求得的值。（）當(dāng)0時(shí)，取，有，故0不合題意。當(dāng)0時(shí)，令，求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，分類討論：當(dāng) 時(shí)，0，在（0，+）上單調(diào)遞減，從而對任意的），總有。當(dāng)時(shí)，0，對于(0， )，0，因此在(

16、0， )上單調(diào)遞增。由此可確定的最小值。（）當(dāng)=1時(shí)，不等式左邊=2ln32=右邊，所以不等式成立。當(dāng)2時(shí)，由，在（）中，取得,從而可得，由此可證結(jié)論。例11. （2012年安徽省理13分）設(shè) （I）求在上的最小值； （II）設(shè)曲線在點(diǎn)的切線方程為；求的值?！敬鸢浮拷猓海↖）設(shè)，則。 當(dāng)時(shí)，。在上是增函數(shù)。 當(dāng)時(shí)，的最小值為。 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為。（II），。 由題意得：，即，解得?！究键c(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的增減性，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥浚↖）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的的性質(zhì)分和求解。 （II）根據(jù)切線的幾何意義列方程組求解。三、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的增減性：典型例題：【版權(quán)歸錦元

17、數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1. （2012年浙江省理5分）設(shè)，【 】 A若，則 B若，則 C若，則 D若，則【答案】A?！究键c(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥繉x項(xiàng)A，若，必有。構(gòu)造函數(shù)：，則恒成立，故有函數(shù)在x0上單調(diào)遞增，即ab成立。其余選項(xiàng)用同樣方法排除。故選A。例2. （2012年湖南省文5分）設(shè)定義在R上的函數(shù)是最小正周期為2的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，01；當(dāng) 且時(shí) ，則函數(shù)在-2，2 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【】A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】?！究键c(diǎn)】函數(shù)的周期性、奇偶性、圖像及兩個(gè)圖像的交點(diǎn)問題?！窘馕觥坑僧?dāng) 且時(shí) ，知為減函數(shù)；為增函數(shù)。又時(shí)，0f(x)1，在R上的函

18、數(shù)f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出和草圖像如下，由圖知在-2，2 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)。例3. （2012年遼寧省文5分）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【 】（A）（1,1 （B）（0,1 （C.）1，+） （D）（0，+）【答案】B?！究键c(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。【解析】，。 。故選B。例4. （2012年遼寧省理5分）若，則下列不等式恒成立的是【 】(A) (B) (C) (D)【答案】C。【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性與最值來證明不等式?！窘馕觥吭O(shè)，則所以所以當(dāng)時(shí)，同理即。故選C。例5. （2012年山東省文4分）若函數(shù)在1，2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)在

19、上是增函數(shù)，則a . 【答案】?！究键c(diǎn)】函數(shù)的增減性。【解析】，。當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，在1，2上的最大值為，最小值為。此時(shí)，它在上是減函數(shù)，與題設(shè)不符。當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，在1，2上的最大值為，最小值為。此時(shí)，它在上是增函數(shù)，符合題意。綜上所述，滿足條件的。例6. （2012年浙江省文15分）已知aR，函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）證明：當(dāng)01時(shí)， + 0.【答案】解：（1）由題意得， 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為。（2）由于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。設(shè)，則。則有0101減極小值增1。當(dāng)時(shí)，總有。【考點(diǎn)】分類思想的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，不等式

20、的證明。 【解析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，分和討論即可。 （2）根據(jù)，分和兩種情形，得到，從而設(shè)出新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，證出，得到恒成立，即。例7. （2012年天津市理5分）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是【 】（A）0 （）1（）2（）3【答案】B?！究键c(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)的概念，函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。【分析】，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。 又，。 函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一的零點(diǎn)。故選B。例8. （2012年福建省文14分）已知函數(shù)f(x)axsinx(aR)，且在上的最大值為.（I）求函數(shù)f(x)的解析式；（II）判斷函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明【答案】解：（I）由已知f(x)a(sinxx

21、cosx)，對于任意x，有sinxxcosx0。當(dāng)a0時(shí)，f(x)，不合題意；當(dāng)a0，x時(shí)，f(x)0，從而f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，又f(x)在上的圖象是連續(xù)不斷的，故f(x)在上的最大值為f(0)，不合題意；當(dāng)a0，x時(shí)，f(x)0，從而f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，又f(x)在上的圖象是連續(xù)不斷的，故f(x)在上的最大值為f，即a，解得a1。綜上所述，函數(shù)f(x)的解析式為f(x)xsinx。（II）f(x)在(0，)內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。證明如下： 由（I）知，f(x)xsinx，從而有f(0)0，f0。又f(x)在上的圖象是連續(xù)不斷的，所以f(x)在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。又由（I）知f(x)在上單調(diào)

22、遞增，故f(x)在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)x時(shí)，令g(x)f(x)sinxxcosx.由g10，g()0，且g(x)在上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在m，使得g(m)0。由g(x)2cosxxsinx，知x時(shí)，有g(shù)(x)0，從而g(x)在內(nèi)單調(diào)遞減。當(dāng)x時(shí)，g(x)g(m)0，即f(x)0，從而f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)x時(shí)，f(x)f0，故f(x)在上無零點(diǎn)；當(dāng)x(m，)時(shí)，有g(shù)(x)g(m)0，即f(x)0，從而f(x)在(m，)內(nèi)單調(diào)遞減又f(m)0，f()0，且f(x)在m，上的圖象是連續(xù)不斷的，從而f(x)在(m，)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，f(x)在(0，)內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)?！究键c(diǎn)

23、】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值?！窘馕觥浚↖）由題意，可借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)axsinx(aR)，在上的單調(diào)性，確定出最值，令最值等于 ，即可得到關(guān)于a的方程，由于a的符號對函數(shù)的最值有影響，故可以對a的取值范圍進(jìn)行討論，分類求解。（II）借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)在（0，）內(nèi)單調(diào)性，由零點(diǎn)判定定理即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。例9. （2012年全國大綱卷理12分）設(shè)函數(shù)。（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，求的取值范圍。【答案】解：。（1），。當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由得， 由得或； 由得。 當(dāng)時(shí)在和上為為單調(diào)遞增函數(shù)；在上為單調(diào)遞減

24、函數(shù)。（2）由恒成立可得。令，則。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。又，所以，即故當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，所以。當(dāng)時(shí)，。綜上可知故所求的取值范圍為?！究键c(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，三角函數(shù)的有界性，。【解析】（1）利用三角函數(shù)的有界性，求解單調(diào)區(qū)間。 （2）運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的思想，證明不等式。關(guān)鍵是找到合適的函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明最值大于或者小于零的問題得到解決。例10. （2012年全國大綱卷文12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若過兩點(diǎn)，的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，求的值【答案】解：（1）， 當(dāng) 時(shí)，且僅當(dāng)時(shí)。是增函數(shù)。 當(dāng) 時(shí)，有兩個(gè)根。列表如下：的增減性0增函數(shù)減函數(shù)0增函數(shù) （2）由題設(shè)知，是的兩個(gè)

25、根，且。 。 同理，。 直線的解析式為。 設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則，解得。 代入得 ， 在軸上， 解得，或或?！究键c(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性和極值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分區(qū)間討論即可。 （2）由，是的兩個(gè)根和（1）的結(jié)論，得，求出關(guān)于的表達(dá)式和關(guān)于的表達(dá)式，從而得到直線的解析式。求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，由其等于0，求出的值。例11. （2012年全國課標(biāo)卷理12分）已知函數(shù)滿足滿足；（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值?！敬鸢浮拷猓海?），。令得，。，得。 的解析式為。 設(shè)，則。 在上單調(diào)遞增。 又時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減。 的單調(diào)區(qū)間為：單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。 （

26、2），。令得。 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增。 但時(shí)，與矛盾。 當(dāng)時(shí)，由得；由得。 當(dāng)時(shí)， 。 令；則。 由得；由得。 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，的最大值為?！究键c(diǎn)】函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)。【解析】（1）由求出和即可得到的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間。（2）由和，表示出，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求解。例12. （2012年全國課標(biāo)卷文5分）設(shè)函數(shù)()求的單調(diào)區(qū)間()若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，求k的最大值【答案】解：() f(x)的的定義域?yàn)?，?若，則，在上單調(diào)遞增。 若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。 ()a=1，。 當(dāng)x>0時(shí)，它等價(jià)于。 令，則。 由()知，函數(shù)在上單調(diào)遞增。 ，在

27、上存在唯一的零點(diǎn)。 在上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則。 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。 在上的最小值為。 又，即，。 因此，即整數(shù)k的最大值為2?！究键c(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥?)分和討論的單調(diào)區(qū)間即可。 ()由于當(dāng)x>0時(shí)，等價(jià)于，令，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)情況求出整數(shù)k的最大值。例13. （2012年北京市文13分）已知函數(shù)（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a、b的值；（2）當(dāng)a=3,b=9時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間k,2上的最大值為28，求k的取值范圍。【答案】解：（1）（1，c）為公共切點(diǎn)，。 ，即。 又，。 又曲線與曲線在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，

28、。 解，得。（2）a=3,b=9，設(shè)。 則。令，解得。 又在各區(qū)間的情況如下：100在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。其中，為最大值。如果函數(shù)在區(qū)間k,2上的最大值為28，則區(qū)間包含最大值點(diǎn)。，即k的取值范圍為。【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值，切線的斜率，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。【解析】（1）由曲線與曲線有公共點(diǎn)（1，c）可得；由曲線與曲線在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線可得兩切線的斜率相等，即。聯(lián)立兩式即可求出a、b的值。 （2）由 a=3,b=9得到的方程，求導(dǎo)可得的單調(diào)區(qū)間；根據(jù)函數(shù)在區(qū)間k,2上的最大值為28，則區(qū)間包含最大值點(diǎn)。從而得出k的取值范圍。例14. （2012年天津市文14分）

29、已知函數(shù)，其中.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若函數(shù)在區(qū)間（2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（III）當(dāng)=1時(shí)，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M（），最小值為m（）,記，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值?！敬鸢浮拷猓海↖）求導(dǎo)函數(shù)可得。 令，可得。當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下表：00極大值極小值函數(shù)的遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。（II）由（I）知函數(shù)在區(qū)間（2，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)在（2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)。 ，即，解得。的取值范圍為(0，)。（III）=1時(shí)，由（I）知，函數(shù)在（3，1）上單調(diào)遞增，在（1，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，1，+3，在，1上單調(diào)遞增

30、，在1，+3上單調(diào)遞減。函數(shù)在，+3上的最大值為M（）=，而最小值m（）為與中的較小者。由知，當(dāng)3，2時(shí)，故m（）=f（），所以。而在3，2上單調(diào)遞增，因此。在3，2上的最小值為。當(dāng)2，1時(shí)，+31，2，1，1，+3。下面比較的大?。河稍?，1，1，2上單調(diào)遞增，有。，M（）= ，m（）=在2，1上的最小值為。 綜上，函數(shù)在區(qū)間3，1上的最小值為?！究键c(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性?！痉治觥浚↖）求導(dǎo)函數(shù)，令0，可得函數(shù)的遞增區(qū)間；令0，可得單調(diào)遞減區(qū)間。（II）由（I）知函數(shù)在區(qū)間（2，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)在（2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零

31、點(diǎn)，由此可求的取值范圍。（III）=1時(shí)，由（I）知，函數(shù)在（3，1）上單調(diào)遞增，在（1，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，再進(jìn)行分類討論：當(dāng)3，2時(shí)，+30，1，1，+3，在，1上單調(diào)遞增，在1，+3上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在，+3上的最大值為M（）= ，而最小值m（）為與中的較小者，從而可得在3，2上的最小值；當(dāng)2，1時(shí)，+31，2，1，1，+3，比較的大小，從而可確定函數(shù)在區(qū)間3，1上的最小值。例15. （2012年山東省理13分）已知函數(shù) = （k為常數(shù)，e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y= )在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線與x軸平行。（）求k的值；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)g

32、(x)=(x2+x) ，其中為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意x0，?！敬鸢浮拷猓海ǎ┯?= 可得，曲線y= f(x)在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線與x軸平行，即，解得。（），令可得，即。 令， 由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，在時(shí)，從單調(diào)減??；從單調(diào)增加。和只相交于一點(diǎn)，即只有一解。 由（）知，。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。（取點(diǎn)代入）在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù)。（）， 可以證明，對任意x0，有（通過函數(shù)的增減性和極值證明）， 。 設(shè)。則。 令，解得。 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。 在取得最大值。 ，即。 對任意x0，?！究键c(diǎn)】曲線的切線，兩直線平行的性質(zhì)，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和極值。【解析】（）由曲線

33、y= f(x)在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線與x軸平行，可令y= f(x)在點(diǎn)（1，f(1)）處的導(dǎo)數(shù)值為0，即可求得k的值。 （）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論它的正負(fù)，即可得的單調(diào)區(qū)間。 （）對，用縮小法構(gòu)造函數(shù)，求出它的最大值即可得到證明。例16. （2012年湖南省文13分）已知函數(shù)，其中0.#中國教育出版&網(wǎng)（）若對一切R，1恒成立，求的取值集合；z（）在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn)，記直線AB的斜率為，證明：存在，使恒成立.【答案】解：（）令，得。 當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，取最小值。對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).令則。當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，取最大值。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，式成立。綜上

34、所述，的取值集合為。（）證明：由題意知，。令則。令，則。當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。當(dāng)，即。，。又。函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，存在使即成立?！究键c(diǎn)】利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立，分類討論思想、函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用?！窘馕觥浚ǎ├脤?dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切R，1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求的取值集合。（）在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析證明。例17. （2012年福建省理14分）已知函數(shù)f(x)exax2ex，aR.（）若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切

35、線平行于x軸，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）試確定a的取值范圍，使得曲線yf(x)上存在唯一的點(diǎn)P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P.【答案】解：（）f(x)ex2axe，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處切線斜率k2a0。a0，即f(x)exex。此時(shí)f(x)exe，f(x)0得x1，當(dāng)x(，1)時(shí)，有f(x)<0；當(dāng)x(1，)時(shí)，有f(x)>0，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)。（）設(shè)點(diǎn)P(x0，f(x0)，曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線方程為yf(x0)(xx0)f(x0)，令g(x)f(x)f

36、(x0)(xx0)f(x0)，故曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P等價(jià)于函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)。因?yàn)間(x0)0，且g(x)f(x)f(x0)exex02a(xx0)，所以，若a0，當(dāng)xx0時(shí)，g(x)0，則xx0時(shí)，g(x)g(x0)0；當(dāng)xx0時(shí)，g(x)0，則xx0時(shí)，g(x)g(x0)0。故g(x)只有唯一零點(diǎn)xx0。由于x0具有任意性，不符合P的唯一性，故a0不合題意。若a0，令h(x)exex02a(xx0)，則h(x0)0，h(x)ex2a。令h(x)0，得xln(2a)，記x*ln(2a)。則當(dāng)x(，x*)時(shí)，h(x)0，從而h(x)在(，x*)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)x

37、(x*，)時(shí)，h(x)0，從而h(x)在(x*，)內(nèi)單調(diào)遞增。(i)若x0x*，由x(，x*)時(shí)，g(x)h(x)>h(x*)0；x(x*，)時(shí)，g(x)h(x)h(x*)0.知g(x)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)xx*。(ii)若x0x*，由于h(x)在(x*，)內(nèi)單調(diào)遞增，且h(x0)0，則當(dāng)x(x*，x0)時(shí)有g(shù)(x)h(x)h(x0)0，g(x)g(x0)0；任取x1(x*，x0)有g(shù)(x1)0。又當(dāng)x(，x1)時(shí)，易知g(x)exax2(ef(x0)xf(x0)x0f(x0)ex1ax2(ef(x0)xf(x0)x0f(x0)ax2bxc，其中b(ef

38、(x0)，cex1f(x0)x0f(x0)。由于a0，則必存在x2x1，使得axbx2c0.所以g(x2)0，故g(x)在(x2，x1)內(nèi)存在零點(diǎn)即g(x)在R上至少有兩個(gè)零點(diǎn)。(iii)若x0x*，仿(ii)并利用ex，可證函數(shù)g(x)在R上至少有兩個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，曲線yf(x)上存在唯一點(diǎn)P(ln(2a)，f(ln(2a)，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P。【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。【解析】（）求導(dǎo)函數(shù)，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，可求a的值，由f(x)<0，可得函數(shù)f(x )的單調(diào)減區(qū)間；由f(x)

39、0，可得單調(diào)增區(qū)間。（）設(shè)點(diǎn)P(x0，f(x0)，曲線yf(x)在點(diǎn)P處的切線方程為yf(x0)(xx0)f(x0)，令g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P等價(jià)于g(x)有唯一零點(diǎn)，求出導(dǎo)函數(shù)，再進(jìn)行分類討論：若a0，g(x)只有唯一零點(diǎn)xx0，由P的任意性a0不合題意；（2）若a0，令h(x)exex02a(xx0)，則h(x0)0，h(x)ex2a，可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可研究g(x)的零點(diǎn)，由此可得結(jié)論。例18. （2012年遼寧省文12分）設(shè)，證明： ()當(dāng)時(shí)， ()當(dāng)時(shí)，【答案】證明：()設(shè)， 則。 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減。 又，。 當(dāng)時(shí)，

40、。() 由均值不等式，當(dāng)0時(shí)，即。 令。則。 令。則當(dāng)時(shí)，。 在（1，3）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。又，在（1，3）內(nèi)，。在（1，3）內(nèi)，。在（1，3）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。又，在（1，3）內(nèi)，。當(dāng)時(shí)，?！究键c(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性?！窘馕觥浚↖）用差值法構(gòu)造函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，可判斷在時(shí)是單調(diào)遞減函數(shù)，從而由得到出，進(jìn)而得出結(jié)論。（II）由均值不等式，可得 。用差值法構(gòu)造函數(shù)，可得。構(gòu)造函數(shù)， 利用導(dǎo)數(shù)判斷在（1，3）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，從而得到出在（1，3）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論。例19. （2012年江西省理14分）若函數(shù)滿足（1），；（2）對任意，有；（3）在上單調(diào)遞減?！?/p>

41、版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】則稱為補(bǔ)函數(shù)。已知函數(shù)。（1）判函數(shù)是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）若存在，使得，稱是函數(shù)的中介元。記時(shí)的中介元為，且，若對任意的，都有，求的取值范圍；（3）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖像總在直線的上方，求的取值范圍?！敬鸢浮拷猓海?）函數(shù)h(x)是補(bǔ)函數(shù)，證明如下：h(0)1，h(1)0；對任意a0,1，有h(h(a)ha；令g(x)(h(x)p，有g(shù)(x)。>1，p>0，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)<0。函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，故函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減。（2）當(dāng)p(n*)，由h(x)x，得x2x10，(*)當(dāng)0時(shí)，中介元xnn

42、；當(dāng)>1且0時(shí)，由(*)得x(0,1)或x0,1；得中介元xnn。綜合 ：對任意的>1，中介元為xnn(n*)。當(dāng)>1時(shí)，有Sn i<，當(dāng)n無限增大時(shí)，n無限接近于0，Sn無限接近于。對任意的n*，Sn<成立等價(jià)于，即3，)（3）當(dāng)0時(shí)，h(x)(1xp)，中介元為xp。當(dāng)0<p1時(shí)，1，中介元xp，所以點(diǎn)(xp，h(xp)不在直線y1x的上方，不符合條件。當(dāng)p>1時(shí)，依題意只需(1xp)>1x在x(0,1)時(shí)恒成立，也即xp(1x)p<1在x(0,1)時(shí)恒成立。設(shè)(x)xp(1x)p，x(0,1)，則(x)pxp1(1x)p1。由(x)0

43、得x，且當(dāng)x時(shí)，(x)<0，當(dāng)x時(shí)，(x)>0。又(0)(1)1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，(x)<1恒成立。綜上：p的取值范圍是(1，)?！究键c(diǎn)】綜合法與分析法的應(yīng)用，簡單的演繹推理?！窘馕觥浚?）可通過對函數(shù)進(jìn)行研究，探究其是否滿足補(bǔ)函數(shù)的三個(gè)條件來確定函數(shù)是否是補(bǔ)函數(shù)。（2）由題意，先根據(jù)中介元的定義得出中介元xn通式，代入，計(jì)算出和，然后結(jié)合極限的思想，利用Sn<得到參數(shù)的不等式，解出它的取值范圍。（3），時(shí)，對參數(shù)p分別討論由函數(shù)的圖象總在直線的上方這一位置關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解出p的取值范圍。四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線：典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得

44、轉(zhuǎn)載】例1. （2012年全國課標(biāo)卷文5分）曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線方程為 【答案】。【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，曲線的切線方程。 【解析】，。 曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線方程為，即。例2. （2012年廣東省理5分）曲線在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】曲線的切線方程，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥?，由點(diǎn)斜式得所求的切線方程為 ，即。例3. （2012年遼寧省理5分）已知P，Q為拋物線上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為 ?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法，直線的方程、兩條直線的交點(diǎn)的求法。【解析】點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4

45、，2，代人拋物線方程得P，Q的縱坐標(biāo)分別為8，2。由得，。過點(diǎn)P，Q的拋物線的切線的斜率分別為4，2。過點(diǎn)P，Q的拋物線的切線方程分別為。聯(lián)立方程組解得。點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4。例4. （2012年陜西省理5分）設(shè)函數(shù)，是由軸和曲線及該曲線在點(diǎn)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則在上的最大值為 .【答案】2。【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，簡單線性規(guī)劃?！窘馕觥肯惹蟪銮€在點(diǎn)（1，0）處的切線，然后畫出區(qū)域D，利用線性規(guī)劃的方法求出目標(biāo)函數(shù)z的最大值即可：，曲線及該曲線在點(diǎn)處的切線方程為。由軸和曲線及圍成的封閉區(qū)域?yàn)槿切?。在點(diǎn)處取得最大值2。例5. （2012年北京市理13分）已知函數(shù)（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a、b的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（，1）上的最大值。【答案】解：（1）（1，c）為公共切點(diǎn)，。 ，即。 又，。 又曲線與曲線在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線， 。 解，得。（2），設(shè)。 則。令，解得。 ，。 又在各區(qū)間的情況如下：00在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。若，即時(shí)，最大值為；若，即時(shí)，最大值為。若時(shí)，即時(shí)，最大值為。綜上所述：當(dāng)時(shí)，最大值為；當(dāng)時(shí)，最大值為1?！究键c(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值，切