1、第五章 二元流體運動學基礎Chapter Five Dynamics Basis of Two-dimensional Fluid 第一節(jié) 微元流團運動分析Section One Movement Analysis of Fluid Differential Element一、流體微團運動的基本形式 (二維情況)流體微團運動的基本形式有四種，即平移、轉動、線變形和角變形。1. 平移(1) 含義:流體團整體從一處平行移動至另一處。(2) 表示:用平移速度(u, v)表示。2. 轉動(1) 含義:流體團繞某一轉軸轉動，同時伴有流團形狀的改變(若取矩形流體團，轉動后可按菱形考慮)。(2) 表示:用旋

2、轉角速度表示。A.定義：流體團中取正交的兩條流體線，單位時間內(nèi)繞某一轉軸(如z軸)轉動時，其旋轉角度(旋轉具有方向性)的平均值稱為旋轉角速度。 B. 表示：3. 線變形(1) 含義:流體團中的流體線伸長或縮短。(2) 表示:用線變形速度、表示。A. 定義：單位時間流體團中流體線的相對伸長或縮短量。B. 表示： 4. 角變形(1) 含義: 繞某一轉軸流體團形狀發(fā)生改變(若取矩形流體團，轉動后可按菱形考慮)。(2) 表示:用角變形速度表示。 A.定義：流體團中取正交的兩條流體線，單位時間內(nèi)繞某一轉軸(如z軸)時，其所夾直角變化量的平均值稱為角變形速度。 B. 表示： 二、海姆霍茲(Helmholt

3、z)速度分解定理1. 定理實質:主要研究流體微團內(nèi)部相鄰兩流點間的速度關系，說明流體微團運動的基本形式有平移、轉動、線變形與角變形四種。2. 定理內(nèi)容：將上式微元速度、及展開，并組合成旋轉角速度、線變形速度及角變形速度的形式，則 上式即為海姆霍茲速度分解定理。3. 意義：(1) 將旋轉運動從一般運動中分離出來，使流體運動可以劃分兩大類：有旋運動與無旋運動。(2)將變形運動從一般運動中分離出來，使問題研究更為廣泛，如由角變形速度可進一步得出廣義牛頓內(nèi)摩擦定律(速度梯度的實質可理解為角變形速度)。注意海姆霍茲速度分解定理只適用于微元流團內(nèi)部，是個局部定理，不同于工程力學中剛體的速度分解定理。 第二

4、節(jié) 有旋運動的基本概念Section Two Basic Concepts of Vortex Movement一、區(qū)分有旋運動與無旋運動1.定義：流動中流體微團的旋轉角速度為零或可以忽略不計，稱此流動為無旋運動，否則為有旋運動。2.區(qū)分有旋運動和無旋運動的判據(jù)：旋轉角速度，即為無旋運動，而則為有旋運動。注意(1)不能只看外觀表象，必須通過判據(jù)，即旋轉解速度來區(qū)分有旋與無旋。如剪切流u=ay ，v=w=0，由判據(jù)可得，因此剪切流是有旋運動；點渦流，由判據(jù)可得，因此點渦流是無旋運動。若從表象看則結果正好與上述相反。(2)有旋運動在工程中常見?？梢哉J為無旋運動是有旋運動退化的結果。(3)流體應指明

5、某點或某區(qū)域有旋或無旋，具有局部性質，區(qū)別于剛體的整體性質。 二、有旋運動的基本概念1.旋渦現(xiàn)象：2.有旋運動與無旋運動相對應的概念(可以對照理解有旋運動的相關概念)(1)渦量場與渦量(即角速度場與旋轉角速度)速度場與線速度；(2)渦線流線：渦線是指渦量場(角速度場)中的瞬時光滑曲線，該曲線上任一點的切點方向與該點的渦量(或旋轉角速度)的方向相重合。(3)渦管、渦束與微元渦管、微元渦束流管、流束與微元流管、微元流束：渦管是指渦量場中取一封閉曲線(其本身不是渦線，且不能兩次通過同一條渦線)，該曲線上每一點所在的渦線所構成的管狀表面。渦束是指渦管中的渦線簇。(4)渦通量體積流量qv：，其中角標“n

6、”表示面積的法方向。3.速度環(huán)量：(1) 定義：流場中取一封閉曲線l，流速沿該曲線的線積分稱為速度環(huán)量，即(2) 說明：A.有旋運動場，其流動空間既是速度場，又是渦量場或旋轉角速度場。B.實驗觀測到：有旋運動中，流體圍繞某一核心旋轉，渦通量越大，旋轉角速度越快，旋轉的范圍越大。因此，渦通量與環(huán)繞核心的流體線速度有密切關系，于是引入速度環(huán)量這一概念。C.考察速度環(huán)量的方向時，認為被封閉曲線所圍繞的面積正法線方向與繞行正方向遵循右手定則。 三、有旋運動的基本定理1.斯托克斯(Stokes)定理(1)內(nèi)容：沿封閉曲線l的速度環(huán)量等于通過該曲線所圍曲面面積A的渦通量，即(2)意義：A.渦通量與速度環(huán)量

7、都可以表征流體的有旋性，但渦通量不能直接測得，而用速度環(huán)量則較容量。B.若，則曲線l所圍面積A內(nèi)有渦線通過，流體一定有旋運動；若曲線l所圍面積A內(nèi)不包含渦線，則，流體一定無旋；若單單給出，則不能明確判斷有旋或無旋。2.湯姆生(Thomson)定理(1)內(nèi)容：正壓性理想流體，在有勢質量力作用下，沿任何封閉流體線的速度環(huán)量不隨時間變化，即(2)意義：A.速度環(huán)量不隨時間變化，意味著渦通量不隨時間變化(斯托克斯定理)，即若某一時刻流體有旋，則此前此后都是有旋；若某一時刻無旋，則此前此后都是無旋；若某一時刻由于某種原因，在無旋運動場內(nèi)產(chǎn)生旋渦，它必然成對產(chǎn)生大小相等、方向相反的旋渦，以保持整體仍為無旋

8、運動。因此，湯姆生定理指明旋渦具有不生不滅的性質。B. 旋渦不生不滅是有條件的，即流體必須是正壓性理想流體，質量力必須是有勢力，且流體質點必須還是原來的全部質點組成。所謂正壓性流體是指流體的密度只壓力有關(工程上，其它物理量的影響可忽略時也可如是認為)。3.海姆霍茲(Helmholtz)三定理(1)內(nèi)容：A. 海姆霍茲第一定理：任一瞬時，沿渦管長度各截面上的旋渦強度（即渦通量）相等。即或對于微元渦管，則或因此，海姆霍茲第一定理又稱為渦管強度守恒原量，可參照一維不可壓縮流體動的連續(xù)性方程理解此定理。B. 海姆霍茲第二定理：正壓性理想流體，在有勢質量力作用下流動，則渦管一直保持為相同流體質點組成的

9、渦管而不被破壞。C. 海姆霍茲第三定理：正壓性理想流體，在有勢質量力作用下流動，則任何渦管的渦通量不隨時間變化，永遠保持定值。(2)意義：A. 海姆霍茲第一定理闡述了渦通量守恒原理，即渦管不能在運動中產(chǎn)生或消失，只能自行封閉成渦環(huán)或終止(或開始于)邊界，如吸煙時所吐的煙圈；龍卷風始于地面，終于高空；漏斗中的有旋流動角速度將隨面積收縮而增大等等。B. 海姆霍茲第二、第三定理說明，在限定條件下，渦管、渦線上的流體質點永遠保持在渦管、渦線上，隨其一起運動，好象凍結在其上面一樣，此種現(xiàn)象稱為凍結性。 第三節(jié) 無旋運動的一般性質Section Three General Properties of Po

10、tential Movement一、速度勢函數(shù)1.存在條件：只要是無旋運動就存在速度勢函數(shù)，因此無旋運動又稱為勢流。2.勢函數(shù)表示：無旋運動的旋轉角速度為零，即 根據(jù)高數(shù)知識，上式是成為某個“函數(shù)”(這里記作)全微分的充要條件，即稱函數(shù)為速度勢函數(shù)。3.勢函數(shù)意義：(1)勢函數(shù)與速度的關系因為，對照，則(2)勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)將上述勢函數(shù)與速度的關系代入不可壓縮流體的連續(xù)性方程，則 稱之為勢函數(shù)的拉普拉斯方程，滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)，因此勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。(3)勢函數(shù)的應用將不可壓縮流體的無旋運動歸結為求解拉普拉斯方程的問題(結合初始條件和邊界條件可獲得某一具體問題的解)，然后根據(jù)所

11、得的勢函數(shù)可求出速度分布，進而應用伯努利方程可獲得壓強分布。 二、速度流函數(shù)1.存在條件：不可壓縮流體的平面流動就存在速度流函數(shù)。2.流函數(shù)表示：不可壓縮流體平面流動的連續(xù)性方程為或，根據(jù)高數(shù)知識，上式是成為某個“函數(shù)”(這里記作)全微分的充要條件，即稱函數(shù)為速度流函數(shù)。3.流函數(shù)意義：(1)流函數(shù)與流線的關系平面流動的流線方程為或，結合可得或因此，流線上的流函數(shù)是常數(shù)，這也是為何稱為“流線”的原因。(2) 流函數(shù)與速度的關系因為，對照，則(3)流函數(shù)與體積流量的關系兩點流函數(shù)之差(即兩條流線間的距離)等于通過此兩點連線的體積流量。(4)平面勢流中，不可壓縮流體的流函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。根據(jù)無旋運動

12、的旋轉角速度為零，平面流動時可表示為或將流函數(shù)與流速的關系式代入，得 因此，平面勢流中，不可壓縮流體的流函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。(5)流函數(shù)的應用將不可壓縮流體的平面勢流歸結為求解拉普拉斯方程的問題，然后根據(jù)所得的流函數(shù)可求出速度分布，進而應用伯努利方程可獲得壓強分布。 三、極坐標系下的勢函數(shù)與流函數(shù)1. 勢函數(shù)：，則，；2. 流函數(shù)：，則，四、流網(wǎng)1.含義：等勢函數(shù)線與等流函數(shù)線(即流線，因為流線上的流函數(shù)是常數(shù))所構成正交網(wǎng)絡稱為流網(wǎng)。2.存在條件：(1)前提條件：同時存在速度勢函數(shù)與流函數(shù)，即流動不可壓縮流體的平面勢流。(2)等勢函數(shù)線與等流函數(shù)線的正交性條件：4.特征：(1)流網(wǎng)中等勢線與等流

13、線正交；(2)等勢線的勢函數(shù)沿流線方向增大，而流線的流函數(shù)則沿逆流線900的方向增大。(3)無論是等勢線還是等流線，其疏密程度反映流速的大小，越密則流速越大。3. 應用：獲得流網(wǎng)后，等勢線與等流線可互相推出，進一步可獲得整個流場的速度和壓強分布。 第四節(jié) 簡單平面勢流的疊加Section Four Combination of Simple Plane Potential-flow一、簡單的平面勢流1.均勻流(1)含義：流體在平面內(nèi)作等速直線運動，各流點的速度大小相等，方向相同。(2)速度場：A.沿某一坐標軸(如x軸)的均勻流：，；B.速度與x軸成某一角度的均勻流：，。(3)流網(wǎng)：A. 沿某一

14、坐標軸(如x軸)的均勻流網(wǎng)：垂直(流線)、水平網(wǎng)絡；B. 速度與x軸成某一角度的均勻流網(wǎng)：傾斜的正交網(wǎng)絡。2.點源與點匯(1)含義：平面上，流體從某一點沿“徑向”直線均勻地向各方流出，此流動稱為點源流，某點稱為源點；若流體沿“徑向”直線均勻從各方流入某一點，此流動稱為點匯流，某點稱為匯點。(2)速度場：A.點源：，；B. 點匯：，。(3)流網(wǎng)：點源與點匯的流網(wǎng)，其等勢線都是同心圓，而流線為不同極角的徑線；流線從源點指向外部的為點源流；流線從外部指向匯點的稱為點匯流。3.點渦(1)含義：由某一渦束所誘導的環(huán)流稱為渦流，若取該渦束為z軸，則其所誘導的環(huán)流在xoy面是以原點為圓心環(huán)流，稱之為點渦。(

15、2)速度場：，。(3)流網(wǎng)：點渦的流網(wǎng)，其流線是以原點為圓心的同心圓，而等勢線為不同極角的徑線。 二、簡單平面勢流的疊加1. 疊加的意義不可壓縮流體的平面勢流中勢函數(shù)與流函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)，都是拉普拉斯方程的解。根據(jù)數(shù)學知識，拉普拉斯方程的解疊加后仍是原拉普拉斯方程的解。因此將簡單平面勢流疊加將得到新的平面勢流，具有工程實際意義，即工程上某一復雜的平面勢流可由簡單平面勢流進行疊加獲得。2. 疊加應用舉例(1)將點匯與點渦疊加可得到螺旋流，如離心泵或風機中葉輪外緣與殼體間流道內(nèi)的流動等。(2)將點源與點匯疊加可得到偶極流，再將均勻流與偶極流疊加可得到直線運動流體繞流某一物體時無環(huán)量的流動，如水繞流過橋墩的流動等。(3)將均勻流、偶極流與點渦疊加可得到直線運動流體繞流某一物體時有環(huán)量的流動，如沖動式汽輪機的葉輪即是利用這種疊加產(chǎn)生輪周力矩使其轉動的。北航版：2、速度分解定理德國物理學家Helmho