1、旁切圓每個三角形都有3個旁切圓，各與三角形其中一邊和另外兩邊的延線相切。而它們的圓心稱為旁心，旁心是三角形一內(nèi)角平分線和另外兩外角平分線的交點，每個三角形有三個旁心，一般記為J。在三線性坐標系中，旁心分別是-1:1:1、1:-1:1和1:1:-1。其半徑分別是2S / ( a + b + c)、2S / (a b + c)和2S / (a + b c)，其中S表示三角形面積,a,b,c,表示3條邊。旁切圓與三角形相切的點，和三角形相對的頂點連起，三線交于一點，稱為奈格爾點。性質三角形關于頂點A、B、C的旁切圓的半徑分別是、和，其中表示三角形面積，a、b、c分別是A、B、C的對邊。旁切圓和內(nèi)切圓

2、有密切的聯(lián)系。它們都與九點圓相切，切點稱為費爾巴哈點。三個旁心與內(nèi)心組成一個垂心組，也就是說內(nèi)心是三個旁心所組成的三角形的垂心，而相應的三個垂足則是旁心所對的頂點。在右圖中，I、B、C、JA四點共圓，其中IJA是這個圓的直徑，而圓心PA在三角形ABC的外接圓上，并且過BC的中垂線，即等分劣弧BC。對其它兩邊也有同樣的結果。對于一個頂點（比如A）所對的旁切圓，三角形ABC的外接圓半徑R、A所對旁切圓半徑rA以及內(nèi)外心間距OJA之間有如下關系：1:185旁切圓與三角形的邊（或其延長線）相切的點稱為旁切點。從一個頂點沿著三角形的邊走到與之相對的旁切圓在對邊的切點所用的距離必定是周長的一半，也就是說，

3、這個頂點和它“對面”的旁切點將三角形的周界等分為兩半。將三角形的每個頂點和與之相對的旁切圓關于對邊的旁切點連起，則根據(jù)塞瓦定理，三線交于一點，這個點稱為奈格爾點。內(nèi)切圓在一邊上的切點與旁切圓在該邊的切點之間的距離恰好是另外兩邊的差（絕對值）。比如說，A的對邊：BC上面的內(nèi)切點和外切點之間的距離等于。坐標表示在三線性坐標系中，三個旁心的坐標分別是-1:1:1、1:-1:1和1:1:-1。在直角座標系中，若頂點的座標分別為、，則三個旁心的座標為：梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA或其延長

4、線交于F、D、E點，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：設X、Y、Z分別在ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。定理的證明首先給出完整的定理內(nèi)容：當直線交 三邊所在直線 于點 時，以及逆定理：在 三邊所在直線上有三點 ，且，那么 三點共線。注意：以上定理嚴格來說應該用有向線段形式，且乘積為-1；另外， 三點中有偶數(shù)個點在線段上時，才有梅氏定理，否則為塞瓦定理.證明一過點A作AGDF交BC的延長線于點G.則證畢證明二過點C作CPDF交AB于P，則 BD：DC=FB：PF，

5、CE：EA=PF：AF兩式相乘得(AF：FB)×(BD：DC)×(CE：EA)=(AF：FB)×(FB：PF)×(PF：AF)=1證明三連結CF、AD，根據(jù)“兩個三角形等高時面積之比等于底邊之比”的性質有。AF：FB =SADF：SBDF（1），BD：DC=SBDF：SCDF（2），CE：EA=SCDE：SADE=SFEC：SFEA=（SCDE+SFEC）：（SADE+SFEA）=SCDF：SADF （3）（1）×（2）×（3）得× × = × × 證明四過三頂點作直線DEF的垂線AA，BB&#

6、39;，CC'，如圖：充分性證明：ABC中，BC，CA，AB上的分點分別為D，E，F(xiàn)。連接DF交CA于E'，則由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1又 有CE/EA=CE'/E'A，兩點重合。所以 共線推論 在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是=-1。（注意與塞瓦定理相區(qū)分，那里是=1）此外，用該定理可使其容易理解和記憶：第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖：若E，F(xiàn)，D三點共線，則

7、(sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBE/sinABE)=1即圖中的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積。該形式的梅涅勞斯定理也很實用。證明：可用面積法推出：第一角元形式的梅氏定理與頂分頂形式的梅氏定理等價。第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任取一點O，且EDF共線，則（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOE/sinAOE)=1。(O不與點A、B、C重合)塞瓦定理在ABC內(nèi)任取一點O，直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。證法簡介（）本題可利用梅涅勞

8、斯定理（簡稱梅氏定理）證明：ADC被直線BOE所截， (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1ABD被直線COF所截， (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1*得：(DB/BC)×(CE/EA)×(AO/OD)×(BC/CD)×(AF/FB)×(DO/OA)=1(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1（）也可以利用面積關系證明BD/DC=SABD/SACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=SBOC/ SAOB ，AF/F

9、B=SAOC/SBOC ××得(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1可用塞瓦定理證明的其他定理利用塞瓦定理逆定理證明三角形三條高線必交于一點:設ABC三邊的高分別為AE、BF、CD，垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=(CD*cotBAC)/(CD*cotABC)*(AE*cotABC)/(AE*cotACB)*(BF*cotACB)/(BF*cotBAC)=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。三角形三條中線交于一點（重心）:如右圖：已知，D、E分別為ABC的邊BC、AC 的中點，連接AD、BE相交于

10、點O，連接CO并延長   塞瓦定理證明三條中線交于一點交AB于F求證：AF=FB證明：BD=DC，CE=EABD/DC=1，CE/EA=1由塞瓦定理得(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1AF/FB=1 AF=FB ，CF為AB邊上的中線三角形三條中線交于一點（重心）用塞瓦定理還可以證明三條角平分線交于一點此外，可用定比分點來定義塞瓦定理：在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是=1。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是=-1）塞瓦定理推論1.塞瓦

11、定理角元形式AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是：(sinBAD/sinDAC)*(sinACF/sinFCB)*(sinCBE/sinEBA)=1由正弦定理及三角形面積公式易證2.如圖，對于圓周上順次6點A，B，C，D，E，F(xiàn)，直線AD，BE，CF交于一點的充分必要條件是：(AB/BC)×(CD/DE)×(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關系易證。數(shù)學意義使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的對偶定理是梅涅勞斯定理。記憶方法塞瓦定理的優(yōu)點多多，但是卻不是特別好記，這里有一個方法分享給大家(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1相當于BD*CE*AF=DC*EA*FB各位發(fā)現(xiàn)等式左右兩端字母竟然是一樣的！可以如下表述，在記憶(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)