1、第十五章 薄板的振動(dòng)問題第一節(jié) 薄板的自由振動(dòng)第二節(jié) 四邊簡(jiǎn)支板的 自由振動(dòng) 第三節(jié) 兩對(duì)邊簡(jiǎn)支板的自由振動(dòng) 第四節(jié) 圓形薄板的自由振動(dòng) 第五節(jié) 用差分法求自然頻率 第六節(jié) 用能量法求自然頻率第七節(jié) 薄板的受迫振動(dòng)第五章 薄板的振動(dòng)問題第一節(jié) 薄板的自由振動(dòng) 關(guān)于薄板的振動(dòng)問題，這里將只討論薄板在垂直于中面方向的所謂橫向振動(dòng)，因?yàn)檫@是工程實(shí)際中的重要問題。 薄板在平行于中面方向的所謂縱向振動(dòng)，由于它在工程實(shí)際中無(wú)關(guān)重要，而且在數(shù)學(xué)上也難以處理，所以不加討論。首先來(lái)討論薄板的自由振動(dòng)。 單自由度振動(dòng)的例子 薄板自由振動(dòng)的一般問題：在一定的橫向荷載作用下處于平衡位置的薄板，受到干擾力的作用而偏離這

2、一位置，當(dāng)干擾力被除去以后，在該平衡位置附近作微幅振動(dòng)。 (1)試求薄板振動(dòng)的頻率，特別是最低頻率。 (2)設(shè)已知薄板的初始條件，即已知初撓度及初速度，試求薄板在任一瞬時(shí)的撓度。 當(dāng)然，如果求得薄板在任一瞬時(shí)的撓度，就易求得薄板在該瞬時(shí)的內(nèi)力。 設(shè)薄板在平衡位置的撓度為wewe(x，y)，這時(shí)，薄板所受的橫向靜荷為qq(x，y)。按照薄板的彈性曲面微分方程，我們有： 設(shè)薄板在振動(dòng)過程中的任一瞬時(shí)t的撓度為wewe(x，y)，則薄板每單位面積上在該瞬時(shí)所受的彈性力，將與橫向荷載q及慣性力qi成平衡，即注意薄板的加速度是 qwDe4i4qqwDt2twt22twmqt2i其中m為薄板每單位面積內(nèi)的

3、質(zhì)量(包括薄板本身的質(zhì)量和隨薄板振動(dòng)的質(zhì)量)，則前式可以改寫為因而每單位面積上的慣性力22i4twmqqqwDtt22e4)(twmwwDtt將上式與下式相減得到 qwDe4由于we不隨時(shí)間改變，所以上式可以改寫成為 在以下的分析中，為了簡(jiǎn)便，我們把薄板的撓度不從平面位置起，而從平衡位置量起。于是薄板在任一瞬時(shí)的撓度為wwtwe，而上式成為 這就是薄板自由振動(dòng)的微分方程。 )()(e22e4wwtmwwDtt224twmwD現(xiàn)在來(lái)試求微分方程的如下形式的解答 在這里，薄板上每一點(diǎn)(x，y)的撓度，被表示成為無(wú)數(shù)多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)下的撓度相疊加，而每一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率是k ，另一方面，薄板在每一瞬時(shí)t

4、的撓度，則被表示成為無(wú)數(shù)多種振形下的撓度相疊加，而每一種振形下的撓度是由振形函數(shù)Wk(x，y)表示的。 11),()sincos(kkkkkkkkyxWtBtAww 為了求出各種振形下的振形函數(shù)Wk，以及與之相應(yīng)的頻率k，我們?nèi)?代入自由振動(dòng)微分方程),()sincos(yxWtBtAw224twmwD然后消去因子(Acost十Bsint)，得出所謂振形微分方程024WDmW求得相應(yīng)的頻率。自由振動(dòng)的頻率，稱為自然頻率或固有頻率，完全決定于薄板的固有特性，而與外來(lái)因素?zé)o關(guān)。 實(shí)際上，只有當(dāng)薄板每單位面積內(nèi)的振動(dòng)質(zhì)量為常量時(shí)，才有可能求得函數(shù)形式的解答。這時(shí)，命如果可以由這一微分方程求得W的滿足

5、邊界條件的非零解，即可由相應(yīng)的關(guān)系式(對(duì)任意的一點(diǎn)(x,y)都成立）WWmD4242Dm則振形微分方程簡(jiǎn)化為常系數(shù)微分方程024WDmW044WW現(xiàn)在就可能比較簡(jiǎn)便地求得W的滿足邊界條件的、函數(shù)形式的非零解，從而求得相應(yīng)的值，然后再用式42Dm求出相應(yīng)的頻率。將求出的那些振形函數(shù)及相應(yīng)的頻率取為Wk及k，代入表達(dá)式11),()sincos(kkkkkkkkyxWtBtAww就有可能利用初始條件求得該表達(dá)式中的系數(shù)Am及Bm 。 設(shè)初始條件為 則由上式得 ),(),()(0000yxvtwyxwwtt),(),(),(),(0101yxvyxWByxwyxWAkkkkkkk 于是可見，為了求得A

6、m及Bm，須將已知的初撓度w0及初速度v0展為Wm的級(jí)數(shù)，這在數(shù)學(xué)處理上是比較困難的。 因此，只有在特殊簡(jiǎn)單的情況下，才有可能求得薄板自由振動(dòng)的完整解答，即任一瞬時(shí)的撓度。在絕大多數(shù)的情況下，只可能求得各種振形的振形函數(shù)及相應(yīng)的頻率。但是，這也就可以解決工程上的主要問題了。 第二節(jié) 四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板的 自由振動(dòng) 當(dāng)矩形薄板的四邊均為簡(jiǎn)支邊時(shí)，可以較簡(jiǎn)單地得出自由振動(dòng)的完整解答。取振形函數(shù)為 其中k及n為整數(shù)，可以滿足邊界條件。代入振形微分方程bynaxkWsinsin044WW得到0sinsin4222224bynaxkbnak 為了這一條件在薄板中面上的所有各點(diǎn)都能滿足，也就是在x和y取任

7、意值時(shí)都能滿足，必須有 04222224bnak2222244bnak得到得出求自然頻率的公式 mDbnakmD22222442命k及n取不同的整數(shù)值，可以求得相應(yīng)于不同振形的自然頻率 當(dāng)薄板以這一頻率振動(dòng)時(shí)，振形函數(shù)為 而薄板的撓度為 bynaxkWknsinsinmDbnak22222bynaxktBtAwknknknknsinsin)sincos(當(dāng)kn1時(shí)，得到薄板的最低自然頻率 mDbamDbnak22222222min11與此相應(yīng)，薄板振動(dòng)的振形函數(shù)為 而薄板在x方向和y方向都只有一個(gè)正半弦波。最大撓度發(fā)生在薄板的中央(xa2，yb2)。byaxWsinsin11當(dāng)k2而n1時(shí)，自

8、然頻率為 相應(yīng)的振形函數(shù)為 薄板在x方向有兩個(gè)正弦半波，而在y方向只有一個(gè)正弦半波。對(duì)稱軸xa2是一根節(jié)線(撓度為零的線，亦即在薄板振動(dòng)時(shí)保持靜止的線）。振形如圖所示，圖中的有陰線部分及空白部分表示相反方向的撓度。 mDba2222114byaxWsin2sin21xy薄板的總撓度為bynaxktBtAwknknknknknsinsin)sincos(11 為了求得Am及Bm，須將已知的初撓度w0及初速度v0展為Wm的級(jí)數(shù)yxbynaxkvabDyxbynaxkwabCbynaxkDvbynaxkCwabknabknknknknknddsinsin4ddsinsin4sinsinsinsin0

9、00000110110 根據(jù)初始條件為 ),(),()(0000yxvtwyxwwtt可得 knknknknknDBCAbynaxktDtCwknknknknknknsinsin)sincos(11 當(dāng)矩形薄板的四邊均為簡(jiǎn)支邊時(shí)，可以較簡(jiǎn)單地得出自由振動(dòng)的完整解答。第三節(jié) 兩對(duì)邊簡(jiǎn)支的矩形薄板的 自由振動(dòng) 其中Yk是待定的y的函數(shù)。W可以滿足該兩簡(jiǎn)支邊的邊界條件。將其代入振形微分方程取振形函數(shù)為 axkYWksin044WW得出常微分方程 0dd2dd24442222244kkkYakyYakyYxy它的特征方程是在大多數(shù)的情況下，2k22/a2，而上面所示的四個(gè)根是兩實(shí)兩虛，取正實(shí)數(shù) 而這個(gè)

10、代數(shù)方程的四個(gè)根是 02244422224akrakr22222222akak22222222222222akDmakakDmakDm上述四個(gè)根成為及i，而微分方程的解可寫為yCyCyCyCYksincosshch4321從而得振形函數(shù)的表達(dá)式 axkyCyCyCyCWsin)sincosshch(4321 在少數(shù)的情況下，2k22/a2)，得到Cl至C4的齊次線性方程組，00)(00)(0220bybyyyywwyww0cossinchsh0chsinchcosshch004321432121221bCbCbCbCbCbbCbbCbCCCC上列方程可以改寫為 命這一方程組的系數(shù)行列式等于零，

11、展開以后，進(jìn)行一些簡(jiǎn)化，最后可得出 0ththbbbb0/th/th2222222222222222ambambambamb求得2的實(shí)根，即可求得自然頻率 mD2 用如上方法求得的最低自然頻率，可以表示成為依賴于邊長(zhǎng)比值ab算得的系數(shù)k值，并以表來(lái)表示。 這樣進(jìn)行計(jì)算，雖然可以求得自然頻率的精確值，但代數(shù)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算都是比較繁的。因此，在工程實(shí)踐中計(jì)算矩形板的自振頻率，特別是最低自然頻率，不論邊界條件如何，都宜用差分法或能量法。 第四節(jié) 圓形薄板的自由振動(dòng) 對(duì)于圓形薄板的自由振動(dòng)，也可以與上相同地進(jìn)行分析。在極坐標(biāo)中，薄板的自由振動(dòng)的微分方程仍然是 現(xiàn)在，仍然把微分方程的解答取為無(wú)數(shù)多簡(jiǎn)諧振

12、動(dòng)的疊加224twmwD11),()sincos(kkkkkkkkrWtBtAww 為了求出各種振形下的振形函數(shù)Wk，以及與之相應(yīng)的頻率k，我們?nèi)?),()sincos(rWtBtAw 代入自由振動(dòng)微分方程224twmwD024WDmW仍然得出振形微分方程 可以改寫為 044WW或0)(2222W011222222Wrrrr或取振形函數(shù)為如下的形式： nrFWcos)(其中n=0，1，2，。相應(yīng)于n0，振形是軸對(duì)稱的。相應(yīng)于n1, 2；圓板的環(huán)向圍線將分別具有一個(gè)及兩個(gè)波，板的中面將分別具有一根或兩根徑向節(jié)線，余類推。將上式代入式 011222222Wrrrr得常微分方程 0dd1dd2222

13、FrnrFrrF或引用無(wú)因次的變量xr 而得 這一微分方程的解答是 0dddd22222FnxxFxxFx)()()()(4321xKCxICxNCxJCFnnnn其中Jn(x)及Nn(x)分別為實(shí)宗量的、n階的第一種及第二種貝塞爾函數(shù)，In(x)及kn(x)分別為虛宗量的、n階的第一種及第二種貝塞爾函數(shù)（又稱修正貝塞爾函數(shù)）。貝塞爾函數(shù)將上式代入如果薄板具有圓孔，則在外邊界及孔邊各有兩個(gè)邊界條件。利用這四個(gè)邊界條件，可得出的一組Cl至C4四個(gè)齊次線性方程。命這一方程組的系數(shù)行列式等于零，可以得出計(jì)算頻率的方程，從而求得各階的自然頻率。 nrFWcos)(即得振形函數(shù)如下： nxKCxICxN

14、CxJCWnnnncos)()()()(4321 由板邊的兩個(gè)邊界條件，可以得出 Cl 及 C3 的一組兩個(gè)齊次線性方程，命方程組的系數(shù)行列式等于零，也就得出計(jì)算自然頻率的方程。 如果薄板無(wú)孔，則在薄板的中心(xr0)，Nn(x)及Kn(x)成為無(wú)限大。為了使W不致成為無(wú)限大，須在式中取C20，C40。于是式簡(jiǎn)化為nxICxJCWnncos)()(31參見習(xí)題153。第五節(jié) 用差分法求自然頻率 在前兩節(jié)中提到的那幾種簡(jiǎn)單情況下，才可能求得振形微分方程的函數(shù)形式的非零解，從而求得薄板自然頻率的精確值。在其他的情況下，振形微分方程可以用差分法進(jìn)行處理，從而求自然頻率的近似值。不須采用很密的網(wǎng)格，就

15、可以求得滿足工程上精度要求的自然頻率，特別是最低的自然頻率。 0)()( 2)( 8200421211109876543210WDmhWWWWWWWWWWWWW 按照振形微分方程，在任一典型結(jié)點(diǎn)0 利用差分公式，可得上列方程的差分形式 00204WDmW其中h是網(wǎng)格間距，引用無(wú)因次的常數(shù) 應(yīng)用邊界條件以后，這些齊次線性方程中的未知W值的數(shù)目將等于方程的數(shù)目。薄板可能發(fā)生自由振動(dòng)，必須這些W值具非零解，因而上述齊次線性方程的系數(shù)行列式必須等于零。這就得出一個(gè)以為未知值的方程。由這個(gè)方程求出，即可求得自然頻率。 Dmh42則上列差分方程成為0)()( 2)( 8)20(12111098765432

16、10WWWWWWWWWWWWW 例如，對(duì)于圖所示的簡(jiǎn)支邊正方形薄板，首先用2 2的網(wǎng)格，即h=a2，為結(jié)點(diǎn)a立出差分方程，用簡(jiǎn)支邊的邊界條件，得 aa0)4() 0( 2) 0( 8)20(aaWW命系數(shù)的行列式等于零，也就是命唯一的系數(shù)等于零，即 16=0得到 16 。于是得 mDamhDmhD2441616 其次，用33的網(wǎng)格，即h=a3。假定振形為兩向?qū)ΨQ，因而四個(gè)內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的撓度相同，均為w a 。為任一內(nèi)結(jié)點(diǎn)列出差分方程，并應(yīng)用簡(jiǎn)支邊的邊界條件，得 w a的系數(shù)等于零，得=4 。于是得 不假定振形為對(duì)稱，則將有四個(gè)獨(dú)立的未知W值，得出的四次方程，但這個(gè)方程的最小值仍然是4，得出的最低自

17、然頻率與前面相同。 aa0)( 2)( 2)2( 8)20(aaaaWWWWmDamhDmhD244184aaa再其次，用44的網(wǎng)絡(luò)，即h = a4。假定振形為四向?qū)ΨQ，則僅有三個(gè)獨(dú)立的未知W值。為a、b、c三結(jié)點(diǎn)列出差分方程，并應(yīng)用簡(jiǎn)支邊的邊界條件，簡(jiǎn)化以后，得 命這一方程組的系數(shù)行列式等于零，得展開以后，得的三次方程，它的最小實(shí)根是1373。于是得最低自然頻率 aacbbbbccc0)20(162016)24(80832)20(cbacbacbaWWWWWWWWWmDamhDmhD24475.18373. 1中命mn1，ba，得簡(jiǎn)支邊正方形薄板的最低自然頻率的精確值 可見前面三種情況給出的

18、最低自然頻率的系數(shù)分別為16、18、18.75，比精確值小19、9及5 。 在最低自然頻率公式mDamDa22274.192mDbnam22222min所示頻率相應(yīng)的振形，將相應(yīng)的代入中的差分方程的任何兩個(gè)方程，得到與式所示頻率相應(yīng)的振形，可由如下的比值反映 為了明確與式0)20(162016)24(80832)20(cbacbacbaWWWWWWWWWaacbbbbccc50. 0:707. 0:0 . 1:cbaWWW第六節(jié) 用能量法求自然頻率 當(dāng)薄板以某一頻率及振形作自由振動(dòng)時(shí)，它的瞬時(shí)撓度可以表示成為 如果以薄板經(jīng)過平衡位置的瞬時(shí)作為初瞬時(shí)(t0)，則有 由此可見A0, 將常數(shù)B歸入W

19、(x，y)，則w簡(jiǎn)化為 速度的表達(dá)式則成為 ),()sincos(yxWtBtAw0),(0yxAWwt),(sinyxtWw),(cosyxtWtw 為了計(jì)算能量時(shí)比較簡(jiǎn)便，假定薄板并不受有靜載荷，于是靜撓度等于零，而薄板的平衡位置就相應(yīng)于無(wú)撓度時(shí)的平面狀態(tài)。這樣，由式從而 這時(shí)，薄板的動(dòng)能為零而形變勢(shì)能達(dá)到最大值。),(sinyxtWw),(cosyxtWtw可見，當(dāng)薄板距平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，即w最大或最小時(shí)，我們有 0cos),(1sintyxWwt0tw當(dāng)薄板經(jīng)過平衡位置時(shí)，我們有 按照變分法一節(jié)，形變勢(shì)能是 將w 換為W，則得到最大形變勢(shì)能。如果一個(gè)矩形薄板沒有自由邊，而只有固支邊和簡(jiǎn)支

20、邊，則有yxW)DU2dd(221cos00sintwtWtw速度達(dá)到最大值yxyxwywxwwDUdd)1 (2)(2122222222 這時(shí)，薄板的形變勢(shì)能為零，而動(dòng)能達(dá)到最大值 根據(jù)能量守恒定理，薄板在距平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)的形變勢(shì)能應(yīng)等于它在平衡位置時(shí)的動(dòng)能 于是，如果設(shè)定薄板的振形函數(shù)W，使其滿足邊界條件，并且盡可能地符合頻率最低的振形，根據(jù)這個(gè)W求出Umax，及Kmax。命UmaxKmax,即可求得最低自然頻率。 yxmWyxtwmKdd2dd21222maxUmaxKmax 由于設(shè)定的振形函數(shù)W未必能相應(yīng)于最低頻率的振形，所以這樣求得的最低頻率可能不夠精確。為了求得較精確的最低自振頻率

21、，瑞次建議把振形函數(shù)取為 其中Wk是滿足邊界條件的設(shè)定函數(shù)，Ck是互不依賴的待定系數(shù)。然后選擇系數(shù)Ck，使得UmaxKmax為最小，即 這是Ck的一組k個(gè)齊次線性方程。為了具有非零解，必須Ck具有非零解，因而該線性方程組的系數(shù)行列式必須等于零。這樣就導(dǎo)出求解自然頻率的方程。 kkkWCW0)(maxmaxKUCkyxmWKdd222maxUmaxKmax由yxmWUdd22max2得對(duì)于最小頻率，應(yīng)有設(shè)yxmWQdd202kC上式證明如下。kkkkkkkkkCKCUQyxmWCCUQQCQUCUQQCUQCUQCmaxmax22maxmaxmaxmaxmax221dd2111于是可得0)(ma

22、xmaxKUCk 在理論上，設(shè)定的振形函數(shù)只須滿足位移邊界條件，而不一定要滿足內(nèi)力邊界條件，因?yàn)閮?nèi)力邊界條件是平衡條件，而在能量法中已經(jīng)用能量關(guān)系代替了平衡條件。但是，如果能夠同時(shí)滿足一部分或全部?jī)?nèi)力邊界條件，則求得的最低頻率可以具有較好的精度。 對(duì)于圓形薄板，宜用極坐標(biāo)進(jìn)行分折。為此，振形函數(shù)須改用極坐標(biāo)表示 對(duì)于圓形薄板的軸對(duì)稱自由振動(dòng) 當(dāng)全部邊界為固支邊時(shí)，可得),(rWW rrWrWrWrrWrDUddddd2dd1dd222222max最大動(dòng)能則簡(jiǎn)化為 rrWrrWrDUddd1dd2222maxrrmWKd222max 當(dāng)薄板上尚有集中質(zhì)量隨同薄板振動(dòng)時(shí)，還需按照設(shè)定的振形函數(shù)W，

23、求出集中質(zhì)量的最大動(dòng)能，計(jì)入然后進(jìn)行計(jì)算。 參見振動(dòng)例。第七節(jié) 薄板的受迫振動(dòng)設(shè)薄板在動(dòng)力荷載qtqt (x,y,t)的作用下進(jìn)行振動(dòng),薄板的受迫振動(dòng)微分方程為 薄板在動(dòng)力荷載作用下進(jìn)行的振動(dòng)，即所謂受迫振動(dòng)。薄板的受迫振動(dòng)微分方程，可以和自由振動(dòng)微分方程同樣導(dǎo)出。 我們把薄板的撓度從平衡位置量起。于是薄板在任一瞬時(shí)的撓度為wwtwe，薄板自由振動(dòng)的微分方程為 224twmwDDqtwDmwt224 為了求解薄板的受迫振動(dòng)問題，必須首先求解該薄板的自由振動(dòng)問題，求出它的各種振形的振形函數(shù)以及相應(yīng)的自然頻率后,將它所受的動(dòng)力荷載展為振形函數(shù)的級(jí)數(shù) 現(xiàn)在，把受迫振動(dòng)微分方程的解答取為如下的形式：

24、1),()(),(kkktyxWtFtyxq11),()(kkkkkyxWtTww代入受迫振動(dòng)方程，得1221141ddkkkkkkkkkWFDWtTDmWTkkWDmWW244自由振動(dòng)的振形函數(shù)滿足代入上式的左邊，然后比較兩邊Wk的系數(shù)，得 kkkkFtTmTm222dd或mFTtTkkkk222dd)(sincosttBtATkkkkkk常微分方程的解答可以表示成為 其中k是任一特解。 系數(shù)Ak及Bk則須由初始條件來(lái)確定，與自由振動(dòng)的情況下相同。將上式代入11),()(kkkkkyxWtTww即得薄板任一瞬時(shí)的撓度： ),()(sincos1yxWttBtAwkkkkkkk例 設(shè)簡(jiǎn)支邊矩形薄板受有動(dòng)力荷載 動(dòng)力荷載的分布形式保持不變，但它的數(shù)量卻以頻率周期性地隨時(shí)間變化。 已知簡(jiǎn)支邊矩形薄板的振形函數(shù)為 首先把動(dòng)力荷載展為振形函數(shù)的級(jí)數(shù)： tyxqtyxqtcos),(),(0bynaxkWknsinsinbynaxkCyxqknk