1、 (2) F( r , t ) 為關(guān)于為關(guān)于 r , t 的連續(xù)可微二元函數(shù)，記的連續(xù)可微二元函數(shù)，記 mrrtrrFtrp0,),(),(4) 任何時刻任何時刻 t ，出生嬰兒的人口分布密度（即單位時間，出生嬰兒的人口分布密度（即單位時間 內(nèi)出生的嬰兒數(shù)）為已知函數(shù)內(nèi)出生的嬰兒數(shù)）為已知函數(shù) p ( 0 , t ) = p1 ( t ) ； 二偏微分方程建模實例 考慮年齡結(jié)構(gòu)的人口連續(xù)模型考慮年齡結(jié)構(gòu)的人口連續(xù)模型 不考慮人口的遷移，只考慮自然的出生和死亡，建立有不考慮人口的遷移，只考慮自然的出生和死亡，建立有 年齡結(jié)構(gòu)的人口連續(xù)模型。記年齡結(jié)構(gòu)的人口連續(xù)模型。記 F( r , t ) 為時

2、刻為時刻 t 時，時， 年年 齡小于齡小于 r 的人口總數(shù)，稱之為人口分布函數(shù)。的人口總數(shù)，稱之為人口分布函數(shù)。 建模假設：建模假設：(1) 人的最大年齡為常數(shù)人的最大年齡為常數(shù) rm ； 稱為年齡的人口分布稱為年齡的人口分布 密度函數(shù)密度函數(shù) ； (3) 初始時刻的人口分布密度為已知函數(shù)初始時刻的人口分布密度為已知函數(shù) p ( r , 0) = p0 ( r )建模過程建模過程 考慮年齡在考慮年齡在 r , r + dr 之間的人群從時刻之間的人群從時刻 t 到時刻到時刻 t + dt 的變化情況，這部分人原來的人數(shù)近似為的變化情況，這部分人原來的人數(shù)近似為 p ( r , t ) dr ,

3、 經(jīng)過經(jīng)過 dt 時間后，這部分人中繼續(xù)生存的時間后，這部分人中繼續(xù)生存的 年齡位于年齡位于 r + dt , r + dr + dt 之間，其總?cè)藬?shù)近似為之間，其總?cè)藬?shù)近似為 p ( r + dt , t + dt ) dr , (5) 任何時刻任何時刻 t 和任何年齡和任何年齡 r 處的人口死亡率為已知函數(shù)處的人口死亡率為已知函數(shù) ),(tr 這部分人中死亡人數(shù)近似為這部分人中死亡人數(shù)近似為dtdrtrptr),(),(dtdrtrptrdrdttdtrpdrtrp),(),(),(),(),(),(trptrtprp0),(, )(), 0(, )()0 ,(10trptptprprpm

4、 應有應有 任何時刻的總?cè)藬?shù)為：任何時刻的總?cè)藬?shù)為：mrdrtrptN0),()( 某時刻某時刻 t 處，在年齡段處，在年齡段 r1 , r2 中的總?cè)藬?shù)為：中的總?cè)藬?shù)為： 21),()(rrdrtrptN 平均年齡為：平均年齡為： mrdrtrprtNtR0),()(1)( t r rm 0 ),(),(trptrtprp)()0 ,(0rprp0),(trpm)(),0(1tptp 可以證明，這樣的可以證明，這樣的 初、邊值問題初、邊值問題 是是 適定適定 的。的。 熱量（物質(zhì)）擴散模型熱量（物質(zhì)）擴散模型 建模假設：建模假設：(1) 細桿長度為細桿長度為 l ， 其材料是均勻的，即其材料

5、是均勻的，即 細桿的密度細桿的密度 （克（克 /厘米厘米3 ），）， 比熱系數(shù)比熱系數(shù) c （卡（卡 / 克克度度 ）均為常數(shù)）均為常數(shù) ； (2) 桿中熱量傳導服從桿中熱量傳導服從 Fourier 定律定律，即單位時間內(nèi)，即單位時間內(nèi) 通過單位面積的熱量與溫度關(guān)于位置量通過單位面積的熱量與溫度關(guān)于位置量 x 的下降率成的下降率成 正比正比 ，比例系數(shù)（導熱率）為常數(shù)，比例系數(shù)（導熱率）為常數(shù) k ; (3) 桿的左段溫度為桿的左段溫度為 u ( 0 , t ) = u1 , 桿的右段溫度為桿的右段溫度為 u ( l , t ) = u2 , u1 u2 , 均為已知常數(shù)均為已知常數(shù) ；(4)

6、 細桿的初始溫度分布為已知函數(shù)細桿的初始溫度分布為已知函數(shù) u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) . 一根均勻細桿，沿著桿長方向一根均勻細桿，沿著桿長方向 x 維持一定的溫度差，維持一定的溫度差， 試建立桿上每一點試建立桿上每一點 x 處關(guān)于時間處關(guān)于時間 t 的溫度分布模型的溫度分布模型 .建模過程建模過程 取細桿的一小段取細桿的一小段 x , x +x , 設細桿的截面設細桿的截面積為積為 s 0 厘米厘米2 ，記，記 q ( x , t ) 為熱流密度（卡為熱流密度（卡 / 秒秒 厘米厘米2 , 單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量 ），），（ x s 0

7、）c u ( x , t +t ) u ( x , t ) （卡）（卡） ， 則在則在 t 時間內(nèi)，沿時間內(nèi)，沿 x 方向流入小段方向流入小段 x , x +x 的的 總熱量數(shù)近似為：總熱量數(shù)近似為： q ( x , t ) s 0 t （卡）（卡） , 流出小段流出小段 x , x +x 的總熱的總熱 量數(shù)近似為：量數(shù)近似為： q ( x +x , t ) s 0 t （卡）（卡） , 流入小段與流出小段的熱量差使得小段的溫度升高，流入小段與流出小段的熱量差使得小段的溫度升高， 這個熱量差可以根據(jù)下式計算：這個熱量差可以根據(jù)下式計算：),(),(),(),(00txuttxucxststxx

8、qtxq 根據(jù)熱量守恒定律，流入小段根據(jù)熱量守恒定律，流入小段 x , x +x 的總熱量的總熱量 - - 流出小段流出小段 x , x +x 的總熱量的總熱量 = 溫度升高所需熱量溫度升高所需熱量 利用利用 Fourier 定律，有：定律，有： xtxuktxq),(),(xtxxuktxxq),(),(),(),(),(),(txuttxucxttxxxutxxuk,)0(,02222ckaxuatu)()0 ,(,),(,), 0(021xuxuutluutu t x l 0 0222xuatu)()0 ,(0 xuxu1), 0(utu2),(utlu這樣的這樣的 初、邊值問題初、邊值

9、問題 是是 適定適定 的。的。 即問題的解是即問題的解是 存在、唯一存在、唯一 的，且的，且 連續(xù)依賴連續(xù)依賴 于初邊值數(shù)據(jù)于初邊值數(shù)據(jù) 。 弦振動模型弦振動模型 在在 a , b 上繃緊的弦，將之垂直拉起然后放開，弦發(fā)上繃緊的弦，將之垂直拉起然后放開，弦發(fā) 生上下震動，試求出上下方向上位移生上下震動，試求出上下方向上位移 u ( x , t ) 的規(guī)律的規(guī)律 . 建模假設：建模假設： (1) 假定弦是均勻的，柔軟的，處在直線繃緊假定弦是均勻的，柔軟的，處在直線繃緊 狀態(tài)下；弦只能作微小橫振動狀態(tài)下；弦只能作微小橫振動 ；(2) 弦的線密度為常數(shù)弦的線密度為常數(shù) 。 ),(),(),(txux

10、txutxxuTttxx 建模過程建模過程 取一小段弦取一小段弦 x , x +x , 應有：應有： T1 cos 1 = T2 cos 2T2 sin 2 - - T1 sin 1 = x utt （ Newton Law ） cos 1 1 , cos 2 1 , sin 2 tg 2 = u x ( x + x , t ) , 2 1 T1 x x +xT2sin 1 tg 1 = u x ( x , t ) ,0,0222222Taxuatu),(),(),(txuxtxutxxuTttxx t x b 0 )()0 ,(0 xuxu0),(tau0),(tbu這樣的這樣的 初、邊值問

11、題初、邊值問題 是是 適定適定 的的 。022222xuatu0)0 ,(xux a 休漁期魚群分布規(guī)律模型休漁期魚群分布規(guī)律模型 建立實行休漁政策下近海魚群分布情況的數(shù)學模型。建立實行休漁政策下近海魚群分布情況的數(shù)學模型。建模假設：建模假設：(1) 海岸線近似為直線；魚群只沿垂直于海岸海岸線近似為直線；魚群只沿垂直于海岸 線方向向外游動；故問題的空間維數(shù)可取為一維；線方向向外游動；故問題的空間維數(shù)可取為一維；海岸 0 外海 x (2) 規(guī)定休漁區(qū)域在沿海規(guī)定休漁區(qū)域在沿海 l l 公里以內(nèi)；休漁邊界公里以內(nèi)；休漁邊界 x = l l 外，魚群將全部被外海漁船打盡；外，魚群將全部被外海漁船打盡

12、； (3) 任何地點任何地點 x 、任何時刻、任何時刻 t 的魚群密度分布函數(shù)的魚群密度分布函數(shù) u ( x , t ) 為可微函數(shù)；為可微函數(shù)； (4) 初始時刻的魚群密度分布函數(shù)初始時刻的魚群密度分布函數(shù) u ( x , 0 ) 為已知函數(shù)為已知函數(shù) u 0 ( x ) ； (5) t 時刻時刻 、x 處魚群處魚群密度密度 u ( x, t ) 的增長速度為的增長速度為 已知函數(shù)已知函數(shù) f ( u ) ; (6) t 時刻時刻 、x 處魚群數(shù)向外游動的擴散量處魚群數(shù)向外游動的擴散量 ( x , t ) 與與 u x ( x, t ) 成正比成正比 ，比例系數(shù)為常數(shù)，比例系數(shù)為常數(shù) a 2

13、 ： xtxuatx),(),(2這個假設類似于熱量擴散問題中的這個假設類似于熱量擴散問題中的 Fourier 法則法則 。 建模過程建模過程 單位時間里單位時間里 ，任意區(qū)間段，任意區(qū)間段 a , b 段段上魚群數(shù)上魚群數(shù) 的變化量為：的變化量為： badxtxudtd),( 這個變化量可分為兩項之和，一項為單位時間里，殘留這個變化量可分為兩項之和，一項為單位時間里，殘留 在在 a , b 段內(nèi)的魚群數(shù)：段內(nèi)的魚群數(shù)：),(),(tbta 另一項為單位時間里，另一項為單位時間里， a , b 段內(nèi)的新生魚群數(shù)：段內(nèi)的新生魚群數(shù)： badxtxuf),(dxtxuftbtadxtxudtdba

14、ba),(),(),(),(dxtxufdxtxxdxtxudtdbababa),(),(),() ), 0(,), 0( (),(,),(222ltxtxufxutu0),(),(),(badxtxufxtxdttxdu0),(),(),(222badxtxufxtxuadttxdu 其中初邊值其中初邊值 條件為：條件為：), 0(,0),(,)()0 ,(0), 0(0tbaxtluxuxuxtu0), 0(xtu0),(tlu0l lxt)()0 ,(0 xuxu),(222txufxutu 這個偏微分方程的初、邊值問題是這個偏微分方程的初、邊值問題是 適定的適定的 ，即問題的解是即問題

15、的解是 存在、唯一存在、唯一 的，且的，且 連續(xù)依賴連續(xù)依賴 于初邊值數(shù)據(jù)。于初邊值數(shù)據(jù)。 三、自由邊界問題三、自由邊界問題 自由邊界問題是一類較為復雜的偏微分方程問題，這種自由邊界問題是一類較為復雜的偏微分方程問題，這種 類型的問題在各種各樣的應用中非常頻繁地出現(xiàn)，例如類型的問題在各種各樣的應用中非常頻繁地出現(xiàn)，例如 它可出現(xiàn)在物相變化過程、化學反應過程、生物擴散它可出現(xiàn)在物相變化過程、化學反應過程、生物擴散 過程、土壤凍過程等等的物理、化學現(xiàn)象之中，甚至過程、土壤凍過程等等的物理、化學現(xiàn)象之中，甚至 還出現(xiàn)在金融衍生物價格計算、抵押貸款評估研究等等還出現(xiàn)在金融衍生物價格計算、抵押貸款評估研

16、究等等 的經(jīng)濟現(xiàn)象之中。的經(jīng)濟現(xiàn)象之中。 （1）一相一相 Stefan 問題問題 考慮一根套在與四周完全絕緣隔熱的管子中而正在融考慮一根套在與四周完全絕緣隔熱的管子中而正在融 化的細冰棍；其右端為冰，左端為融化而成的水。擬化的細冰棍；其右端為冰，左端為融化而成的水。擬 建立一個融化水區(qū)域上任意點處溫度隨時間演變的模型。建立一個融化水區(qū)域上任意點處溫度隨時間演變的模型。 建模假設：建模假設： （1）假定冰區(qū)域溫度恒等于零度；）假定冰區(qū)域溫度恒等于零度； （2）假定水區(qū)域中熱量傳導服從）假定水區(qū)域中熱量傳導服從 Fourier 定律定律 ，即，即 單位時間中高溫點到低溫點單位時間中高溫點到低溫點通

17、過單位面積的通過單位面積的熱熱 流量大小與流量大小與與溫度關(guān)于位置量與溫度關(guān)于位置量 x 的下降率成正比的下降率成正比 ； ,),(),(xtxuktxq 由此可推出以下等式由此可推出以下等式 ： （3）假定水的密度）假定水的密度 、比熱、比熱 c 、熱傳導系數(shù)、熱傳導系數(shù) k 和和 為了融化冰為水的潛熱為了融化冰為水的潛熱 L 均為常數(shù)均為常數(shù) 。 取細棍的一小段取細棍的一小段 x , x +x , 設細棍的截面積為設細棍的截面積為 s 0 厘米厘米2 ； 記記 q ( x , t ) 為熱流密度（卡為熱流密度（卡 / 秒秒 厘米厘米2 , 單位時間內(nèi)通過單位時間內(nèi)通過 單位面積單位面積 的

18、熱量），的熱量）， 則在則在 t 時間內(nèi)，沿時間內(nèi)，沿 x 方向流入小段方向流入小段 x , x +x 的總熱量數(shù)近似為：的總熱量數(shù)近似為：q ( x , t ) s 0 t （卡）（卡） , 流出小段流出小段 x , x +x 的總熱量數(shù)近似為：的總熱量數(shù)近似為： q ( x +x , t ) s 0 t （卡）（卡） , 流入小段與流出小段的熱量差使得小段中水的溫度升流入小段與流出小段的熱量差使得小段中水的溫度升 高，這個熱量差可以根據(jù)下式計算：高，這個熱量差可以根據(jù)下式計算：（ x s 0 ）c u ( x , t +t ) u ( x , t ) （卡）（卡） ，0 xxx 這樣便可得

19、：這樣便可得： ),(),(),(),(00txuttxucxststxxqtxqttxuttxucxtxxqtxq),(),(),(),( 根據(jù)根據(jù) Fourier 定律，有：定律，有： ,),(),(xtxuktxqxtxxuktxxq),(),(ttxuttxucxxtxuxtxxuk),(),(),(),()(,),(),(2222ckaxtxuattxu這個方程稱為這個方程稱為熱傳導方程熱傳導方程 在融化而成的水域里在融化而成的水域里 ，水的溫度，水的溫度 u ( x , t ) 服從服從 熱傳導熱傳導 方程方程 ： u t = a2 uxx , x ( 0 , s0 ) , t (

20、 0 , + ) . 為求解這個為求解這個偏微分方程偏微分方程，還需知道，還需知道左、右邊界值左、右邊界值和和初值初值。 在在 左邊界上左邊界上 水溫為已知函數(shù)：水溫為已知函數(shù)： u ( 0 , t ) = u 1 ( t ) 0 ; 假定水溫的假定水溫的 初值初值 為已知函數(shù)為已知函數(shù) ： u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) ； 由于右邊界端處的由于右邊界端處的 熱傳導熱傳導，冰在不斷融化，故水域的，冰在不斷融化，故水域的 右邊界是一條右邊界是一條 移動邊界移動邊界 ，或稱為，或稱為 自由邊界自由邊界 。 這條這條 自由邊界自由邊界 本身也是需要求解的本身也是需要求解的 未知一元

21、函數(shù)未知一元函數(shù)！ 0L冰冰水水xts0 x = s ( t ) 易知，在移動的右邊界易知，在移動的右邊界 s ( t ) 上水溫函數(shù)應滿足：上水溫函數(shù)應滿足： u ( s ( t ) , t ) = 0 ；為了決定為了決定 自由邊界自由邊界 的位置，還需導出邊界上的位置，還需導出邊界上另一個條件另一個條件 。t1t2t3t4 設在設在 t 時段內(nèi)，移動邊界向右移動了一段路程時段內(nèi)，移動邊界向右移動了一段路程 x ， x為了融化邊界移動中消失的冰，為了融化邊界移動中消失的冰， 需要一份熱量，其數(shù)量應是：需要一份熱量，其數(shù)量應是： )(0：冰密度：潛熱，；LsxL 在在 t 時段內(nèi)，從邊界左邊水

22、域中傳入陰影冰區(qū)域內(nèi)的時段內(nèi)，從邊界左邊水域中傳入陰影冰區(qū)域內(nèi)的 總熱量根據(jù)總熱量根據(jù) Fourier 定律定律 ，應是，應是 ： ,), )(),(00stxttsukstttsq 上述兩者上述兩者 應該相等：應該相等：tsLtxLxttsuk), )(xttsuk), )( 令令 t 0 ， 可得：可得： dtdsLxttsuk),(于是，融化水區(qū)域上任意點處溫度于是，融化水區(qū)域上任意點處溫度 u ( x , t ) 隨時間隨時間 t 演變的模型為：演變的模型為： xtx = s ( t )0s0222),(),(xtxuattxu)()0 ,(0 xuxu)(), 0(1tutu0),(

23、ttsudtdsLxttsuk),( 偏微分方程理論研究證明了這個問題也是偏微分方程理論研究證明了這個問題也是 適定適定 的的 。 （2）兩相兩相 Stefan 問題問題 如果在如果在 一相一相 Stefan 問題問題 中將假設（中將假設（1）冰區(qū)域冰區(qū)域 溫度溫度 恒等于零度恒等于零度 改為改為 不恒等于零度不恒等于零度 ，該冰區(qū)域中也有，該冰區(qū)域中也有 熱傳導過程，則熱傳導過程，則 一相一相 Stefan 問題問題 就變成了就變成了 兩相兩相 Stefan 問題問題 。 建模假設：建模假設：（1）假定水、冰區(qū)域中熱量傳導服從）假定水、冰區(qū)域中熱量傳導服從 Fourier 定律定律 ，即，即

24、 單位時間中高溫點到低溫點單位時間中高溫點到低溫點通過單位面積的通過單位面積的熱熱 流量大小與流量大小與與溫度關(guān)于位置量與溫度關(guān)于位置量 x 的下降率成正比的下降率成正比 ； ,),(),(xtxuktxq 由此可推出以下等式由此可推出以下等式 ： （2）假定水的密度）假定水的密度 s、比熱、比熱 c s、熱傳導系數(shù)、熱傳導系數(shù) k s 和和 為了融化冰為水的潛熱為了融化冰為水的潛熱 L 均為常數(shù)均為常數(shù) 。（3）假定水的密度）假定水的密度 b、比熱、比熱 c b、熱傳導系數(shù)、熱傳導系數(shù) k b 均為均為 常數(shù)常數(shù) 。)(,),(),(2222sssssckaxtxuattxu 類似一相類似一

25、相 Stefen 問題的討論，我們有問題的討論，我們有 ： 在融化而成的水區(qū)域中在融化而成的水區(qū)域中 ，水的溫度，水的溫度 u ( x , t ) 服從熱傳導方程服從熱傳導方程 ：在凍結(jié)成冰的冰區(qū)域中在凍結(jié)成冰的冰區(qū)域中 ，冰的溫度，冰的溫度 u ( x , t ) 也服從熱傳導方程也服從熱傳導方程 ：)(,),(),(2222bbbbbckaxtxuattxu0L冰冰水水xts0 x = s ( t ) 易知，在移動的邊界易知，在移動的邊界 s ( t ) 的兩側(cè)，溫度函數(shù)應滿足：的兩側(cè)，溫度函數(shù)應滿足： 為了決定為了決定 自由邊界自由邊界 的位置，還需導出邊界上的位置，還需導出邊界上另一個

26、條件另一個條件 。t1t2t3t4222),(),(xtxuattxus222),(),(xtxuattxubu ( s ( t ) , t ) = u ( s ( t ) + , t ) 設在設在 t 時段內(nèi)，移動邊界向右移動了一段路程時段內(nèi)，移動邊界向右移動了一段路程 x ， 為了融化邊界移動中消失的冰，需要一份熱量，其數(shù)量為了融化邊界移動中消失的冰，需要一份熱量，其數(shù)量 應是：應是： )(0：冰密度：潛熱，；LsxLx 在在 t 時段內(nèi)，從邊界左邊水區(qū)域中傳入陰影區(qū)域內(nèi)、時段內(nèi)，從邊界左邊水區(qū)域中傳入陰影區(qū)域內(nèi)、 從邊界右邊冰區(qū)域中傳出陰影區(qū)域內(nèi)后所殘留下從邊界右邊冰區(qū)域中傳出陰影區(qū)域內(nèi)

27、后所殘留下的總熱的總熱 量根據(jù)量根據(jù) Fourier 定律定律 ，應是，應是 ： 0_0_),)(),)(),)(),)(stxttsukxttsukstttsqttsqbsxttsuk),)(_xttsuk),)( 上述兩者應該相等上述兩者應該相等 ：00_),)(),)(sxLstxttsukxttsukbstxLxttsukxttsukbs),)(),)(_ 令令 t 0 , 可得可得 ： tdsdLxttsukxttsukbs),)(),)(_xtx = s ( t )0s02221),(),(xtxuattxu)()0,(0 xuxu)(), 0(1tutu0),)(),)(ttsu

28、ttsudtdsLxttsukxttsuk),)(),)(21L)(),(2tutLu2222),(),(xtxuattxu這個問題的這個問題的 適定性適定性 也已獲得證明也已獲得證明 。 )(), 0(1tutu 于是，水、冰兩相區(qū)域上任意點于是，水、冰兩相區(qū)域上任意點 x 處的溫度處的溫度 u ( x , t ) 隨隨 時間時間 t 演變的模型為演變的模型為 （3） 細胞體內(nèi)氧氣的擴散與吸收問題細胞體內(nèi)氧氣的擴散與吸收問題 細胞體內(nèi)氧氣的會向周邊細胞體內(nèi)氧氣的會向周邊 擴散擴散 ，在在 擴散擴散 的同時，細胞的同時，細胞 體也在體也在 吸收吸收 氧氣以維持生命氧氣以維持生命 ；如果細胞得不

29、到氧氣的；如果細胞得不到氧氣的 供給將會死亡。建立一個描繪該供給將會死亡。建立一個描繪該 擴散擴散 吸收吸收 過程的數(shù)過程的數(shù) 數(shù)學模型數(shù)學模型 。 為簡單計，以下只考慮一個一維細胞體模型。為簡單計，以下只考慮一個一維細胞體模型。 建模假設：建模假設： （1）假定氧氣在細胞體中從氧氣濃度大的左邊）假定氧氣在細胞體中從氧氣濃度大的左邊 擴散擴散 至至 濃度小的右邊；在擴散中，濃度小的右邊；在擴散中，擴散流量擴散流量 q 的大小與的大小與 左、右兩點的氧氣濃度左、右兩點的氧氣濃度 c 的差成正比；即：的差成正比；即： （2）假定任何時刻，每單位立方體的細胞體）假定任何時刻，每單位立方體的細胞體 吸

30、收吸收 氧氣氧氣 的速度為一常數(shù)的速度為一常數(shù) D ； ,),(),(xtxcktxq （3）某一時刻起，斷絕氧氣供給；缺乏氧氣的細胞體）某一時刻起，斷絕氧氣供給；缺乏氧氣的細胞體 即行死亡，即行死亡，不再參與氧氣擴散過程不再參與氧氣擴散過程 。 （ k 為擴散為擴散系數(shù)系數(shù) ）0 xxx0s細胞體末端細胞體末端氧氣氧氣 考慮細胞體在位置考慮細胞體在位置 x 處、長為處、長為 x 的一段細胞上擴散的一段細胞上擴散 和吸收氧氣情況。和吸收氧氣情況。 在在 t 時段內(nèi)，時段內(nèi)，經(jīng)擴散進入這段細胞內(nèi)的氧氣數(shù)量是經(jīng)擴散進入這段細胞內(nèi)的氧氣數(shù)量是 : 經(jīng)擴散流出這段細胞內(nèi)的氧氣數(shù)量是經(jīng)擴散流出這段細胞內(nèi)

31、的氧氣數(shù)量是 : ,),(Sttxxq 這段細胞內(nèi)氧氣的變化量是：這段細胞內(nèi)氧氣的變化量是： ,),(),(Sxtxcttxc 這段細胞氧氣的吸收量是：這段細胞氧氣的吸收量是： ,tSxD,),(Sttxq：橫截面面積，積的氧氣流量單位時間內(nèi)通過單位面Stxq:),( 進入量、流出量、變化量和吸收量之間應有關(guān)系：進入量、流出量、變化量和吸收量之間應有關(guān)系： tSxDSxtxcttxcSttxxqSttxq),(),(),(),(Dttxcttxcxtxxqtxq),(),(),(),( 根據(jù)假設（根據(jù)假設（1），）， ,),(),(xtxcktxqDttxcttxcxxtxxcxtxck),(

32、),(),(),(Dxtxckttxc22),(),( 氧氣擴散、吸收方程氧氣擴散、吸收方程 Dxcktc220), 0(tcx)()0 ,(0 xcxc0),(ttsc0),(ttscx0 xt)(tsx s0 在細胞體左端，在在細胞體左端，在 t = 0 起斷絕氧氣輸入，故有：起斷絕氧氣輸入，故有： 0),0(xtc 在細胞體右末端在細胞體右末端 x = s 處，始終有條件：處，始終有條件： 0),(0),(xtsctsc 隨著氧氣的缺乏，隨著氧氣的缺乏，右末端的細胞逐漸右末端的細胞逐漸死亡，故有末端的死亡，故有末端的位置隨時間而變動，位置隨時間而變動，形成一條形成一條 自由邊界自由邊界

33、： x = s ( t ) . 氧氣擴散、吸收問題氧氣擴散、吸收問題 ： TtTtTtsxTtstxssxttscttscxtcxcxcDxtxckttxc000, 0), 0(),(. 0(),(,)0(0),(0),(0), 0()()0 ,(),(),(00022 尋求未知函數(shù)對：尋求未知函數(shù)對： c ( x , t ) ，s ( t ) ， 使得它們滿足：使得它們滿足： 在初邊至充分光滑情況下，這個問題的在初邊至充分光滑情況下，這個問題的 適定性適定性 也可證明。也可證明。 事實上，若該問題的充分事實上，若該問題的充分 光滑解為光滑解為 c ( x , t ) ， 令令 u ( x ,

34、 t ) = c t ( x , t ) , 則有則有;),(),(22xtxukttxu)()0 ,()()0 ,( 00 xcxcxcxcxx)()()0 .()0 ,(0 0 xuDxckDxkcxcxxt;)()0 ,(0 xuxu0), 0(0), 0(tctcxtx0),()( ),(0),(ttsctsttscttsctx0),(ttsct;0), 0(tux;0),(ttsu 已知已知 u ( x , t ) 后后 ， 即可得到即可得到 ：.)(),(),(00 xcdxutxct01),()( ),(0),(ttsctsttscttscxtxxx0),()( ),(0),()

35、( ),(ttskctsDttscttskctsttskcxttxtxx0),()( ),(ttskutsDttsux)( ),(tsDttskux22xuktu0), 0(tux)()0 ,(0 xuxu0),(ttsu)( ),(tsDttskux0 xt)(tsx s0 四四. . 用差分法求解微分方程的數(shù)值解用差分法求解微分方程的數(shù)值解1,)()(hhxyhxydxdy（向前偏心差分）；（向前偏心差分）； 1,2)()(hhhxyhxydxdy（中心差分）；（中心差分）；1,),(),(,),(),(hyxuyxuyuhyxuyhxuxu （向前偏心差分）；（向前偏心差分）；1,2),

36、(),(,2),(),(hyxuyxuyuhyhxuyhxuxu，（中心差分）。（中心差分）。 1. 用有限差分替代用有限差分替代 一階（偏）導數(shù)情況一階（偏）導數(shù)情況1,)()(2)(222hhhxyxyhxydxyd1,),(),(2),(222hhyhxuyxuyhxudxu1,),(),(2),(222hyxuyxuyxudyu 2. 2. 用有限差分替代用有限差分替代 二階（偏）導數(shù)情況二階（偏）導數(shù)情況 0)0(, 0,),()(uuTtttuftu 令令 NTh （ N 等分區(qū)間，步長等分區(qū)間，步長 h 越小越精確），越小越精確）， )(,iiituuiht 有限差分格式：有限差分格式： 1, 2, 1, 0,),(1Niutfhuuiiii 練習：練習：分別取分別取 h = 0.1 和和 h = 0.05, 求解求解 0)0(1 ,0,)(2)()(22utttuttutu （ 與精確解與精確解 u ( t ) = tg t t 作一比較作一比較 ） I ) 常微分方程求解：常微分方程求解： 3. 3. 用差分法求解微分方程數(shù)值解