1、 總復習總復習 函數(shù)與極限函數(shù)與極限（一）（一）函數(shù)函數(shù)的定義的定義（二）（二）極限極限的概念的概念（三）（三）連續(xù)連續(xù)的概念的概念主要內(nèi)容主要內(nèi)容函函 數(shù)數(shù)的定義的定義反函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接反函數(shù)與直接函數(shù)之間關系函數(shù)之間關系基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)復合函數(shù)復合函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)函函 數(shù)數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)單值與多值單值與多值奇偶性奇偶性單調(diào)性單調(diào)性有界性有界性周期性周期性1、求定義域的常用方法：、求定義域的常用方法：1.分式的分式的分母分母不能為零。不能為零。(分母分母 0)2.在在偶次根式偶次根式中，中，被開方式被開方式 03.對數(shù)對數(shù)函數(shù)的函數(shù)的真數(shù)真數(shù)04.若干項若干項組成

2、的函數(shù)式，它的定義域是各組成的函數(shù)式，它的定義域是各項定義域的項定義域的交集交集部分部分。自變量的取值要使自變量的取值要使左右極限左右極限兩個重要兩個重要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無窮小無窮小的性質(zhì)的性質(zhì)極限存在的極限存在的充要條件充要條件數(shù)列極限數(shù)列極限函函 數(shù)數(shù) 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價無窮小等價無窮小及其性質(zhì)及其性質(zhì)無窮小無窮小0)(lim xf兩者的兩者的關系關系無窮大無窮大 )(limxf2、求極限的常用方法、求極限的常用方法（1）直接代入法）直接代入法（2）極限和函數(shù)交換順序）極限和函數(shù)交換順序（3）洛必達法則）洛必達

3、法則（4）兩個重要極限）兩個重要極限（5）等價無窮小代換）等價無窮小代換（6）其他不定型）其他不定型兩個重要極限兩個重要極限重要極限一重要極限一 : : 1sinlim0 xxx重要極限二重要極限二 ：1)()(sinlim0)( xxx exxx 101limexxx 11limexxx )()()(11lim exxx )(10)()(1 lim 1)1(（3 3）倒數(shù)關系）倒數(shù)關系)1()2( 00當當0 x時時 ,等價無窮小等價無窮小xxsinxxtanxex1- -xx)1ln( 22xcos1x- -利用等價無窮小可以簡化某些極限的運算利用等價無窮小可以簡化某些極限的運算 xarc

4、tanxarcsinxx使用洛必達法則求未定型的極限時，應注意以下幾點：使用洛必達法則求未定型的極限時，應注意以下幾點：.00)1(未未定定型型或或是是否否屬屬于于每每次次使使用用法法則則，需需檢檢查查 (2) 如果有可約去的公因子如果有可約去的公因子, 或有非零極限的乘積因子，或有非零極限的乘積因子，可以先約去或提取出來求極限，以簡化演算可以先約去或提取出來求極限，以簡化演算 .時時，不不存存在在但但不不是是 )()(lim)3()(0 xgxfxxx)()(lim)(0 xgxfxxx 不不能能判判定定此時應使用其它方法求極限此時應使用其它方法求極限.,也不存在也不存在n消去零因子法消去零

5、因子法 ( (通過約分、通過約分、 通過有理化通過有理化) )n無窮小因子分出法無窮小因子分出法n利用無窮小的性質(zhì)利用無窮小的性質(zhì)n復合函數(shù)極限運算法則復合函數(shù)極限運算法則n無窮小和無窮大之間的關系無窮小和無窮大之間的關系解解例例.321lim221- - - -xxxx求求.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小- -x)1)(3()1)(1(lim321lim1221- - - - - - - -xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型n( (消去零因子法消去零因子法) ) 通過約分通過約

6、分例例 求求22011limxxx- 22220022111111limlim11xxxxxxxx-2022lim11xxxx201lim11xx12解：解：型型00n(消去零因子法消去零因子法) 通過有理化通過有理化小結小結: :為非負整數(shù)時有為非負整數(shù)時有和和當當nmba, 0, 000 - - - , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子, ,分母分母, ,以分出無窮小以分出無窮小, ,然后再求極限然后再求極限. .例例.147532lim2323

7、- - xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx- - - - .72 n(無窮小因子分出法無窮小因子分出法)小結小結常見極限類型求解方法：常見極限類型求解方法：型型 1型型01型型10型：型：00型：型： 0 0 分子、分母同時除以最高次方分子、分母同時除以最高次方消去分子或分母趨于零的因式消去分子或分母趨于零的因式0 型型0 -型型通分進行求解通分進行求解 連續(xù)與可導連續(xù)與可導1、連續(xù)與可導、連續(xù)與可

8、導的的某某個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，在在點點設設函函數(shù)數(shù)0)(xxf)()(lim00 xfxfxx=如果如果則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy=在在0 x 點點連續(xù)連續(xù).)(0的的連連續(xù)續(xù)點點稱稱為為xfx【注【注】)()(lim00 xfxfxx - - , )()(lim00 xfxfxx 連續(xù)連續(xù).)()(lim000hxfhxfh- - .)()(lim000 xxxfxfxx- - - xxfxxfxyyxxxx - - )()(limlim00000 或或 0|xxy )(0 xf 0 xxdxdy 或或0)(xxdxxdf 或或導數(shù)導數(shù)2.2.右導數(shù)右導數(shù): :單側導數(shù)單側導數(shù)1.

9、1.左導數(shù)左導數(shù): :;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx - - - - - - - - - -;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx - - - - - 2、間斷點分類、間斷點分類：（一）第一類間斷點（一）第一類間斷點(左、右極限均存在左、右極限均存在)但不相等但不相等;2.跳躍間斷點跳躍間斷點1.可去間斷點可去間斷點00+-均存在均存在與與,)(lim)(limxfxfxxxx存在存在 ,)(lim0 xfxx（二）第二類間斷點（二）第二類間斷點( 左、右極限至少有一個不存在左、右極限至少有一個

10、不存在 );()(lim00 xfxfxx 但但;)()(lim00處無定義處無定義在在存在，但存在，但或或xxfxfxx振蕩間斷點振蕩間斷點無窮型間斷點、無窮型間斷點、 導數(shù)與微分導數(shù)與微分求求 導導 法法 則則基本公式基本公式導導 數(shù)數(shù)xyx 0lim微微 分分xydy 關關 系系)( xodyydxydyydxdy 高階導數(shù)高階導數(shù)切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy- - - -).()(1000 xxxfyy- - - - - -)0)(0 xf0)(0 xf若若處處的的在在點點則則曲曲線線)(,()(00 xfxMxfy 切切線線方方程程為為法法線線

11、方方程程為為0 xx 0yy )(0 xf若若處處的的在在點點則則曲曲線線)(,()(00 xfxMxfy 切切線線方方程程為為法法線線方方程程為為0 xx 0yy 1 1、求導法則、求導法則(1) (1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則函數(shù)的和、差、積、商的求導法則(2) (2) 反函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則.)(1)(),()(xxfxfyyx 則有則有的反函數(shù)為的反函數(shù)為如果函數(shù)如果函數(shù)(3) 復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的導數(shù)為的導數(shù)為則復合函數(shù)則復合函數(shù)而而設設(4) 對數(shù)求導法對數(shù)求導法

12、先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導方法然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)求出導數(shù).適用范圍適用范圍:.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu(5) 隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則復合函數(shù)求導法則復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導和直接對方程兩邊求導和對數(shù)求導法則對數(shù)求導法則,)()(間的函數(shù)關系間的函數(shù)關系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd - - (6) 參變量函數(shù)的求導法則參變量函數(shù)的求導法則2、導數(shù)與微分的關系、導數(shù)與微分的關系).(,)

13、()(000 xfAxxfxxf 且且處可導處可導在點在點可微的充要條件是函數(shù)可微的充要條件是函數(shù)在點在點函數(shù)函數(shù)3、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法:計算函數(shù)的導數(shù)計算函數(shù)的導數(shù),乘以自變量的微分乘以自變量的微分. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud- - 4、 微分的基本法則微分的基本法則基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotse

14、c)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221- - - - - - - - dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( - - - - - - - 微分中值定理1、羅爾定理、羅爾定理 如果函數(shù)如果函數(shù) )(xf滿足條件：滿足條件：（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間 ,ba上上連續(xù)連續(xù), （2）在開區(qū)間）在開區(qū)間 內(nèi)內(nèi)可導可導, ),( ba),()()3(bfaf ,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點那那末末在

15、在ba使使得得0)( fxyabo)(xfy AB羅爾定理的幾何解釋：羅爾定理的幾何解釋：1 2 C;,)()1(上上是是一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線在在baxfy ;),()2(軸軸的的切切線線內(nèi)內(nèi)處處處處有有不不垂垂直直于于曲曲線線在在xba;)3(度度相相同同曲曲線線在在兩兩個個端端點點處處的的高高.是是水水平平的的，上上至至少少有有一一點點在在曲曲線線弧弧CAB在在該該點點處處的的切切線線如圖所示如圖所示:2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理)()()(abfafbf- - - - 如果函數(shù)如果函數(shù) )(xf滿足條件：滿足條件：（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間 ,ba上上連續(xù)連續(xù), （2）在開區(qū)

16、間）在開區(qū)間 內(nèi)內(nèi)可導可導, ),( ba那末至少有一點那末至少有一點),(ba 使得使得).()()( fabafbf - - -或或拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB平平行行于于弦弦在在該該點點處處的的切切線線上上至至少少有有一一點點在在曲曲線線弧弧ABxoy)(xfy ba1 2 1C 2C 例例上上滿滿足足在在區(qū)區(qū)間間驗驗證證函函數(shù)數(shù) 2, 0cos)( xxf拉格拉格 朗日中值定理朗日中值定理.解解 ,2, 0cos)(上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間因因為為函函數(shù)數(shù) xxf內(nèi)內(nèi)可可導導，在在)2,0( 滿滿足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理故故)(xf.的條

17、件的條件xxfsin)(- - 而而02)0()2(- - - ff)0cos2(cos2- - 2- - ，由由 2sin- - - - 2arcsin 解得解得)2, 0( )()()( fabafbf - - -. 并求并求函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值、凸凹性1、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的單調(diào)性定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在可導可導內(nèi)內(nèi)上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設函數(shù)設函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (1) 函數(shù)單調(diào)

18、性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法(2)單調(diào)區(qū)間求法單調(diào)區(qū)間求法導數(shù)等于零導數(shù)等于零的點和的點和不可導點不可導點，可能是單調(diào)區(qū)間，可能是單調(diào)區(qū)間的的分界點分界點方法方法:.,)()(0)(數(shù)的符號數(shù)的符號然后判斷區(qū)間內(nèi)導然后判斷區(qū)間內(nèi)導的定義區(qū)間的定義區(qū)間來劃分函數(shù)來劃分函數(shù)不存在的點不存在的點的根及的根及用方程用方程xfxfxf 指出：利用函數(shù)單調(diào)性的判定可以指出：利用函數(shù)單調(diào)性的判定可以證明某些不等式證明某些不等式. .例例證證.tan,20 xxx 試證試證時時當當 .tan)(xxxf- - 設設,2,0)(連連續(xù)續(xù)在在顯顯然然 xf內(nèi)內(nèi)可可導導，在在 2,0 1sec2- -x )(xfx

19、2tan 0 .2,0)(上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在故故 xf,20時時當當 x)0()(fxf 0 .tanxx 時時，當當即即20 x2、函數(shù)極值的求法、函數(shù)極值的求法定理定理1 1( (必要條件必要條件) )注意注意：逆定理不成立逆定理不成立. .例如例如0)0(03 yxxy處處在在.03的的極極值值點點不不是是函函數(shù)數(shù)但但xyx o3xy 說明：說明： 對于連續(xù)函數(shù)對于連續(xù)函數(shù),導數(shù)不存在的點也可能是函數(shù)導數(shù)不存在的點也可能是函數(shù)yxo| xy 例如，例如，.0|處處有有極極小小值值在在函函數(shù)數(shù) xxy.0處處不不可可導導但但在在 x稱稱為為的的點點使使00)(xxf .駐點駐點函數(shù)在

20、定義域中的駐點及不可導點統(tǒng)稱為函數(shù)在定義域中的駐點及不可導點統(tǒng)稱為 極值可疑點極值可疑點.指出：指出： 連續(xù)函數(shù)僅在極值可疑點上可能取得極值連續(xù)函數(shù)僅在極值可疑點上可能取得極值.的極值點的極值點. 定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x - - - ( (是極值點情形是極值點情形) )xyoxyo0 x0 x - - - (不是極值點情形不是極值點情形)求極值的步驟求極值的步驟: :);()()1(xfxf 的的定定義義域域，求求導導數(shù)數(shù)確確定定函函數(shù)數(shù)的的極極值值可可疑疑點點；求求出出函函數(shù)數(shù))()2(xf極極值值，在在極極值值可可疑疑點點處處是是否否有有，確

21、確定定按按定定理理)(2)4(xf分分成成若若干干個個部部分分區(qū)區(qū)間間，用用極極值值可可疑疑點點將將定定義義域域）（3號號；在在每每個個部部分分區(qū)區(qū)間間上上的的符符并并確確定定)(xf 定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導數(shù)求導數(shù);0)()2(的根的根求駐點，即方程求駐點，即方程 xf;,)()()3(判斷極值點判斷極值點該點的符號該點的符號在在在駐點左右的正負號或在駐點左右的正負號或檢查檢查xfxf .)4(求極值求極值步驟步驟:1.求駐點和不可導點求駐點和不可導點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值求區(qū)間端點及駐點和不可導點

22、的函數(shù)值,比比較大小較大小,那個大那個就是最大值那個大那個就是最大值,那個小那個就那個小那個就是最小值是最小值;注意注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就則這個極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)3 最大值、最小值問題最大值、最小值問題實際問題求最值應注意實際問題求最值應注意:1)建立目標函數(shù)建立目標函數(shù);2)求最值求最值;（或最?。┲担ɑ蜃钚。┲岛瘮?shù)值即為所求的最大函數(shù)值即為所求的最大點，則該點的點，則該點的若目標函數(shù)只有唯一駐若目標函數(shù)只有唯一駐定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形

23、是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在導數(shù)導數(shù)內(nèi)具有二階內(nèi)具有二階在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 4、函數(shù)的凸凹性、函數(shù)的凸凹性方法方法1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的鄰域內(nèi)二階可導的鄰域內(nèi)二階可導在在設函數(shù)設函數(shù);)(,(,)()1(000即為拐點即為拐點點點變號變號兩近旁兩近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點不是拐點點點不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx 方法方法2:.)()(,(, 0)(, 0)(,)(00000的拐點的拐點曲線曲線是是那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導的鄰域內(nèi)三階可導在在設函數(shù)設

24、函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 不定積分積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分1、原函數(shù)、原函數(shù)定義定義原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理2、不定積分、不定積分(1) 定義定義CxFdxxf )()(2) 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的. )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()( dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)(

25、)( dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k(3) 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)(4)、基本積分表、基本積分表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù))1(1)2(1- - Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Carctgx - - dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx - -cos dxex)10(Cex xdx2cos)8( xdx2secCtgx xdx2sin)9( xdx2cscCctgx - - dxax)11(Caax lnCaxarctgadxxa 11)12(22Cxaxaadxxa -

26、 - - - ln211)14(22Caxdxxa - - arcsin1)15(22Caxaxadxax - - - - ln211)13(224、第一類換元法、第一類換元法3、直接積分法、直接積分法由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不由定義直接利用基本積分表與積分的性質(zhì)求不定積分的方法定積分的方法.常見湊微分公式常見湊微分公式 ：(2) xdxdxcossin- - (3) xdxdxsincos (5) |ln1xddxx (6) )(1baxdadx (1) )(212baxdaxdx )(d11bxndxxnn - -(4) xxdsec)7(2xdtan例例. 求求.dtan

27、xx解解: xxxdcossin - - xxcoscosdCx - - |cos|ln?dcot xx xxxsindcosCx sinln xxsinsind xxdtan類似類似.)12(: dxxtan求求思考思考5、第二類換元法、第二類換元法. 1nbax 被積函數(shù)含有根式被積函數(shù)含有根式nux 可采用令可采用令當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上根式當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上根式 時，時，. 2lkxx,為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） （其中（其中n2222. 3axxa - -或或被積函數(shù)含有根式被積函數(shù)含有根式.1. 4tx 采用倒代法，令采用倒代法，令當分母的階較

28、高時，可當分母的階較高時，可不定積分的分部積分公式：不定積分的分部積分公式：uvvuvudd - - 1. 適用被積函數(shù)為：適用被積函數(shù)為：兩類函數(shù)相乘兩類函數(shù)相乘；6、分部積分法、分部積分法2. “(反對反對)冪冪(指三指三)” ，前為，前為 u定積分定積分說明：說明： badxxf)( badttf)( baduuf)(即即2. 規(guī)定規(guī)定 - - baabdxxfdxxf.)()()1( aadxxf0)()2(3. 可積的充分條件可積的充分條件：,)(. 1 badxxf是一個數(shù)是一個數(shù)定積分定積分它只取決于積分區(qū)間它只取決于積分區(qū)間和被積函數(shù)，和被積函數(shù)， 而與積分變量用什么字母表示無關而與積分變量用什么字母表示無關.上上連連續(xù)續(xù)在在當當,)(baxf斷點，斷點，或只有有限個第一類間或只有有限個第一類間 如果如果 f (x) 在在a,b上連續(xù)，則上連續(xù)，則積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) dttfxxa )()(在在a,b上具有導數(shù)，且它的導數(shù)上具有導數(shù)，且它的導數(shù) dttfxxa)()()(xf 1