1、離散時(shí)間信號與系統(tǒng)離散時(shí)間信號與系統(tǒng)Discrete Time Signals and Systems本章主要內(nèi)容TopicsTopicsn離散時(shí)間信號離散時(shí)間信號n采樣采樣n離散信號的傅氏變換與離散信號的傅氏變換與Z變換變換n離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)n系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)1.1 離散時(shí)間信號(1)單位脈沖序列0, 00, 1)(nnn單位脈沖序列functionf,k=impseq(k0,k1,k2);k=k1:k2;f=(k-k0)=0;stem(k,f);Impseq(0,-5,5)(2)單位階躍序列0, 00, 1)(nnnu單位階躍序列functionf,

2、k=stepseq(k0,k1,k2);k=k1:k2;f=(k-k0)=0;stem(k,f);stepseq(0,-5,5)(3)矩形序列NnnNnnRN, 0, 010, 1)(1 1 N-1 n(4)實(shí)指數(shù)序列)()(nuanxnfunctionf,k=expseq(a);k=0:10;f=a.k;stem(k,f);指數(shù)序列expseq(0.9）(5)正弦序列x(n) = sin（n0）functionf,k=sinseq(a);k=0:39;f=sin(a.*k);stem(k,f);正弦序列sinseq(pi/6);(6)復(fù)指數(shù)序列0()00( )(cossin)jnnx nAe

3、Aenjn 當(dāng)當(dāng)0時(shí)時(shí)x(n)的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部分別是余弦和正弦序列分別是余弦和正弦序列。 x(n) = (0.65 + j0.5)nu(n).序列的運(yùn)算1、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n) 2、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n)3、序列的移位 y(n)=x(n-n0)4、序列的能量nnxS2)(nnx2)(平方可和序列nnx)(絕對可和序列xBnx)(有界序列 序列的運(yùn)算序列的運(yùn)算序列的運(yùn)算序列的運(yùn)算5、實(shí)序列的偶部和奇部)()()(nxnxnxoe)()(21)(nxnxnxe)()(21)(nxnxnxo6、序列的單位脈沖序列表示)()()(mnmxnxm1.2 采樣

4、對信號進(jìn)行時(shí)間上的離散化，這是對信號作對信號進(jìn)行時(shí)間上的離散化，這是對信號作數(shù)字化處理的第一個(gè)環(huán)節(jié)。數(shù)字化處理的第一個(gè)環(huán)節(jié)。研究內(nèi)容：研究內(nèi)容：n信號經(jīng)采樣后發(fā)生的變化（如頻譜的變化）信號經(jīng)采樣后發(fā)生的變化（如頻譜的變化）n信號內(nèi)容是否丟失（采樣序列能否代表原始信號內(nèi)容是否丟失（采樣序列能否代表原始信號、如何不失真地還原信號）信號、如何不失真地還原信號）n由離散信號恢復(fù)連續(xù)信號的條件由離散信號恢復(fù)連續(xù)信號的條件1.采樣過程 采樣的這些性質(zhì)對離散信號和系統(tǒng)的分采樣的這些性質(zhì)對離散信號和系統(tǒng)的分析十分重要，要了解這些性質(zhì)，首先分析采析十分重要，要了解這些性質(zhì)，首先分析采樣過程。樣過程。 采樣器一般

5、由電子開關(guān)組成，開關(guān)每隔采樣器一般由電子開關(guān)組成，開關(guān)每隔秒短暫地閉合一次，將連續(xù)信號接通，實(shí)秒短暫地閉合一次，將連續(xù)信號接通，實(shí)現(xiàn)一次采樣。現(xiàn)一次采樣。 連續(xù)時(shí)間信號的采樣采樣器)(txa)(txpP(t)TTfs1T為采樣周期，為采樣周期，fs為采樣頻率為采樣頻率如開關(guān)每次閉合如開關(guān)每次閉合秒，則采樣器的輸出是一串重復(fù)秒，則采樣器的輸出是一串重復(fù)周期為周期為T，寬度為，寬度為的脈沖，的脈沖，(如圖如圖)脈沖的幅度是這段脈沖的幅度是這段時(shí)間內(nèi)信號的幅度時(shí)間內(nèi)信號的幅度(如圖如圖)，這一采樣過程可看作是一，這一采樣過程可看作是一個(gè)脈沖調(diào)幅過程，脈沖載波是一串周期為個(gè)脈沖調(diào)幅過程，脈沖載波是一串

6、周期為T、寬度為、寬度為的的矩形脈沖矩形脈沖，以，以P(t)表示表示,調(diào)制信號是輸入的連續(xù)信號調(diào)制信號是輸入的連續(xù)信號xa(t),則采樣輸出為則采樣輸出為 一般一般很小很小, 越小，采樣輸出脈沖的幅度越接近輸越小，采樣輸出脈沖的幅度越接近輸入信號在離散時(shí)間點(diǎn)上的瞬時(shí)值。入信號在離散時(shí)間點(diǎn)上的瞬時(shí)值。)()()(tptxtxap采樣過程2. 理想采樣 開關(guān)閉合時(shí)間開關(guān)閉合時(shí)間0時(shí)，為理想采樣。時(shí)，為理想采樣。 特點(diǎn)：采樣序列表示為沖激函數(shù)的序列，這些特點(diǎn)：采樣序列表示為沖激函數(shù)的序列，這些沖激函數(shù)準(zhǔn)確地出現(xiàn)在采樣瞬間，其積分幅度準(zhǔn)沖激函數(shù)準(zhǔn)確地出現(xiàn)在采樣瞬間，其積分幅度準(zhǔn)確地等于輸入信號在采樣瞬

7、間的幅度。確地等于輸入信號在采樣瞬間的幅度。即：即：理想采樣理想采樣可看作是對沖激脈沖載波的調(diào)幅可看作是對沖激脈沖載波的調(diào)幅過程。我們用過程。我們用M(t)表示這個(gè)沖激載波，表示這個(gè)沖激載波，用M(t)表示nnTttM)()(則有則有 )()()(tMtxtxaannaanTtnTxnTttx)()()()(1.61.71.8理想采樣 實(shí)際情況下，實(shí)際情況下，0 0達(dá)不到，但達(dá)不到，但T(35) (35) maxmax。 同時(shí)，為避免高于折疊頻率的噪聲信號進(jìn)入同時(shí)，為避免高于折疊頻率的噪聲信號進(jìn)入采樣器造成頻譜混淆，采樣器前常常加一個(gè)保護(hù)采樣器造成頻譜混淆，采樣器前常常加一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾

8、波器（抗混疊濾波），阻止高于性的前置低通濾波器（抗混疊濾波），阻止高于 S S/2/2頻率分量進(jìn)入。頻率分量進(jìn)入。3-5倍倍4采樣的恢復(fù)（恢復(fù)模擬信號）如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號最高頻率譜不超過折迭頻率最高頻率譜不超過折迭頻率則理想采樣的頻譜就不會產(chǎn)生混疊，因此則理想采樣的頻譜就不會產(chǎn)生混疊，因此有有202)()(ssaajXjXmsaajmjXTjX)(1)()(1)(jXTjXaa S/2 將采樣信號將采樣信號 通過一個(gè)理想低通濾波器（只通過一個(gè)理想低通濾波器（只讓基帶頻譜通過），其帶寬等于折迭頻率讓基帶頻譜通過），其帶寬等于折迭頻率 S/2，

9、特性如圖特性如圖)(txa202)(ssTjGG(j)g(t)G(j) T xa(t) y(t)=xa(t) 0 S/2 采樣信號通過此濾波器后，就可濾出原信號的頻譜：采樣信號通過此濾波器后，就可濾出原信號的頻譜： )()(jGjXjYa)(jXa)( jXjYa由于在由于在| | |=0部分）進(jìn)行變換部分）進(jìn)行變換的的z變換，其定義為變換，其定義為單邊單邊z變換只在少數(shù)情況下與雙邊變換只在少數(shù)情況下與雙邊z變換有所區(qū)別，即變換有所區(qū)別，即序列的起始條件不同，可以把單邊序列的起始條件不同，可以把單邊z變換看成是雙邊變換看成是雙邊z變變換的一種特例，即因果序列情況下的雙邊換的一種特例，即因果序列

10、情況下的雙邊z變換。變換。0)()(nnznxzX三、 z變換的收斂域 一般，序列的一般，序列的Z變換變換 并不一定對任何并不一定對任何z值值都收斂，都收斂，z平面上使上述級數(shù)收斂的區(qū)域稱為平面上使上述級數(shù)收斂的區(qū)域稱為“收斂域收斂域”。我們知道，級數(shù)一致收斂的條件是絕對值可和，因此我們知道，級數(shù)一致收斂的條件是絕對值可和，因此z平面平面的收斂域應(yīng)滿足的收斂域應(yīng)滿足 因?yàn)閷τ趯?shí)數(shù)序列，因?yàn)閷τ趯?shí)數(shù)序列， nnznx)(nnznx)(nnnnznxznx)()(因此，因此，|z| 值在一定范圍內(nèi)才能滿足絕對可和條件，這值在一定范圍內(nèi)才能滿足絕對可和條件，這個(gè)范圍一般表示為個(gè)范圍一般表示為 Rx-

11、|z|Rx+ 這就是這就是收斂域收斂域，一個(gè)以，一個(gè)以Rx-和和Rx+為半徑的兩個(gè)圓所圍為半徑的兩個(gè)圓所圍成的環(huán)形區(qū)域，成的環(huán)形區(qū)域，Rx-和和Rx+稱為稱為收斂半徑收斂半徑，Rx-和和Rx+的大小，即收斂域的位置與具體序列有關(guān)，特殊情況的大小，即收斂域的位置與具體序列有關(guān)，特殊情況為為Rx-等于等于0，Rx+為無窮大，這時(shí)圓環(huán)變成圓或空心為無窮大，這時(shí)圓環(huán)變成圓或空心圓。圓。1.22 z變換的收斂域變換的收斂域 jImzRx+Rx-Rez0例例1.求求x1(n)=anu(n)和和x2(n)=-anu(-n-1)的的z變換變換解：解：azazzazXazazzazXnnnnnn11210111

12、)(11)(RezRezjImzjImz這里主要討論以下四種序列：這里主要討論以下四種序列：(1) (1) 有限長序列有限長序列序列序列 ( (序列序列x(n)x(n)只在有限長度只在有限長度n n1 1nn2 2 內(nèi)有值，其余為零內(nèi)有值，其余為零) )其其Z Z變換變換X X（z z）是）是有限項(xiàng)的級數(shù)和，只要級數(shù)每一項(xiàng)有界有限項(xiàng)的級數(shù)和，只要級數(shù)每一項(xiàng)有界，有限項(xiàng)和也有界，有限項(xiàng)和也有界，所以有限長序列，所以有限長序列z z變換的收斂域取決于變換的收斂域取決于|z|z|-n-n，n1nn2n1nn2。 顯然顯然 |z| |z| 在整個(gè)開域（在整個(gè)開域（0 0，）都能滿足以上條件，因此有限）

13、都能滿足以上條件，因此有限長序列的收斂域是除長序列的收斂域是除 0 0 及及 nnnnnxnx其它0)()(2121)()(nnnnznxzX1.230 0|z|z|如果對如果對n1n1，n2n2加以一定的限制，如加以一定的限制，如n10n10或或n20n20，則根據(jù)，則根據(jù)條件條件|z|z|-n-n（n1nn2n1nn2），收斂域可進(jìn)一步擴(kuò)大為包），收斂域可進(jìn)一步擴(kuò)大為包括括0 0點(diǎn)或點(diǎn)或點(diǎn)的半開域：點(diǎn)的半開域： 0|00021nznz 例例 序列序列x x（n n）=（n n）解：解： 由于由于n1=n2=0n1=n2=0，其收斂域?yàn)檎麄€(gè)閉域，其收斂域?yàn)檎麄€(gè)閉域 z z 平面，平面，0|Z

14、|0|Z|，nnzznzX11)()(0例例 矩形序列矩形序列x x（n n）= =R RN N（n n）解解 等比級數(shù)求和等比級數(shù)求和 10)1(2111)()(NnNnnnNzzzzznRzX|0,11)(1zzzzXN(2) 右邊序列右邊序列 指 x（n）只在nn1，有值，而nn1時(shí)，x（n）=0 收斂域：|z|Rx- ,為收斂半徑Rx-以外的z平面， 1)()(nnnznxzX1.24右邊序列中最重要的一種序列是右邊序列中最重要的一種序列是 “ “因果序列因果序列” ” ，即即n1 0n1 0的右邊序列，因果序列只在的右邊序列，因果序列只在n0n0有值，有值，n0nn2時(shí)，x（n）=0

15、 收斂域： |Z|Rx-，則存在公共的收斂區(qū)間，X（z）有收斂域: Rx-|z|Rx-如果Rx+Rx-，無公共收斂區(qū)間，X（z）無收斂域，不收斂.1.261.27z變換小結(jié)nZ 變換收斂域的特點(diǎn)： 1） 收斂域是一個(gè)圓環(huán)，有時(shí)可向內(nèi)收縮到原點(diǎn)，有時(shí)可向外擴(kuò)展到，只有x（n）=（n）的收斂域是整個(gè) z 平面。 2） 在收斂域內(nèi)沒有極點(diǎn)，X（z）在收斂域內(nèi)每一點(diǎn)上都是解析函數(shù)。 nZ 變換表示法： 級數(shù)形式 解析表達(dá)式（注意:只表示收斂域上的函數(shù)，要同時(shí)注明收斂域）四、逆z變換 已知函數(shù)已知函數(shù)X(z)X(z)及其收斂域，反過來求序列及其收斂域，反過來求序列x(n)x(n)的變換稱為的變換稱為逆逆

16、z z變換變換，常用，常用Z Z-1-1x(z)x(z)表示。表示。若若 則逆則逆z z變換為：變換為： 逆逆z z變換是一個(gè)對變換是一個(gè)對X X（z z）z zn-1n-1進(jìn)行的圍線積分，積分路徑進(jìn)行的圍線積分，積分路徑C C是一條在是一條在X X（z z）收斂環(huán)域（）收斂環(huán)域（Rx-Rx-，Rx+Rx+）以內(nèi)）以內(nèi)反時(shí)針方向繞原點(diǎn)一周的單圍線反時(shí)針方向繞原點(diǎn)一周的單圍線。xxnnRzRznxzX|)()(cndzzzXjnx1)(21)(),(xxRRc1.291.30圍線積分路徑證： 設(shè)積分路徑設(shè)積分路徑C在半徑為在半徑為R的圓上，即的圓上，即 z=Rej ， Rx-RRx+，則，則 m

17、cmncnmmcndzzjmxdzzzmxjdzzzXj1)(1121)()(21)(21nmkkkdeRdjeRjdzzjjkkcjkjkck,00012Re2121)1(11這個(gè)公式稱為這個(gè)公式稱為柯西積分定理柯西積分定理。因此因此 或或 mcmnnxdzzjmx)(21)(1)(),()()(211xxcnRRcnxdzzzXj直接計(jì)算圍線積分比較麻煩，一般不采用此法求直接計(jì)算圍線積分比較麻煩，一般不采用此法求z z反變反變換，求解逆換，求解逆z z變換的常用方法有：變換的常用方法有：冪級數(shù)冪級數(shù)留數(shù)定律法留數(shù)定律法部分分式法部分分式法常用序列常用序列z z變換（可直接使用）變換（可直接

18、使用）|)(|011)(|11)(1zaazznuazzznRzzznunNN五、z變換的性質(zhì)z變換的許多重要性質(zhì)在數(shù)字信號處理中常常要用到 、 njnjenxeX)()(njnezenxzXj)()(六、DTFT與z變換1.331.32一個(gè)序列一個(gè)序列x(n)x(n)的的z z變換為變換為1.31nnznxzX)()(而而x(n)x(n)的的DTFTDTFT為為則(1.31)式為,e令zj 也就是說，采樣序列單位圓上的也就是說，采樣序列單位圓上的z z變換就等于變換就等于該采樣序列的該采樣序列的DTFTDTFT七、Parseval定理z變換的重要性質(zhì)之一若有兩序列若有兩序列 x（n），），y

19、（n），且），且 X（z）=Z x（n） Rx-|z|Rx+ Y（z）=Z y（n） Ry-|z|Ry+ 它們的收斂域滿足條件：它們的收斂域滿足條件： Rx- Ry-1， Rx+Ry+1則則 其中，其中，C 所在收斂域?yàn)樗谑諗坑驗(yàn)?X(v) 和和 Y*(1/v*) 兩者收斂區(qū)域的重兩者收斂區(qū)域的重迭部分迭部分 Max Rx- , 1/Ry+ |v| min Rx+ , 1/Ry -ncdvvvYvXjnynx1*)/1(*)(21)(*)(1.34證：令證：令 w（n）=x（n）y*（n） 利用復(fù)共軛和復(fù)卷積特性利用復(fù)共軛和復(fù)卷積特性(p21表表1.3，第，第7和第和第10)：則則 由于假設(shè)

20、條件中已規(guī)定收斂域滿足：由于假設(shè)條件中已規(guī)定收斂域滿足： Rx-Ry-1Rx+Ry+ 因此，因此， |z|=1 在收斂域內(nèi)，即在收斂域內(nèi)，即w（z）在單位圓上收斂，）在單位圓上收斂，w（z）|z=1存在，存在，cyxyxRRzRRdvvvzYvXjnynxZzXnxZ|)/()(21)()(*)(*)(*1dvvvzYvXjnwZzWc1*)/()(21)()(cdvvvYvXjW1*1*)(21)1(又因又因 因此因此 證畢證畢nznnnynxznynxW)(*)()(*)() 1 (1cndvvvYvXnynx1*1*)(21)(*)(1.351.36如果如果 X（v）、）、Y（v）在單位

21、圓上收斂，則選取單位圓為圍線積分途徑，這時(shí)）在單位圓上收斂，則選取單位圓為圍線積分途徑，這時(shí) ,Parseval 定理的一個(gè)定理的一個(gè)重要應(yīng)用重要應(yīng)用是計(jì)算序列能量：是計(jì)算序列能量：一個(gè)序列值的平方總和一個(gè)序列值的平方總和 稱為稱為“序列能量序列能量” 即時(shí)域中對序列求能量與頻域中求能量是一致的。即時(shí)域中對序列求能量與頻域中求能量是一致的。deYeXnynxjjn*)(21)(*)(nnx2)(deXeXnxnxnxjjnn*2)(21*)()()(deXj2| )(|21jev 1.381.37例例3 3 驗(yàn)證序列驗(yàn)證序列x(n)=ex(n)=e-n-nu(n)u(n)滿足滿足Parseva

22、lParseval定理定理解解11011)(zezezXnnn時(shí)域時(shí)域2020211| )(|eenxnnn頻域頻域211111111*11,11111Re1111121)/1()(21eevvevesdvvvevedvvvXvXcC時(shí)域和頻域中求得的能量均為時(shí)域和頻域中求得的能量均為211e1.4 離散時(shí)間系統(tǒng) 一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上的定義是將輸入一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上的定義是將輸入序列序列x(n)x(n)映射成輸出序列映射成輸出序列y(n)y(n)的唯一性變換或運(yùn)的唯一性變換或運(yùn)算。算。 y(n)= Tx(n)它的輸入是一個(gè)序列，輸出也是一個(gè)序列，其它的輸入是一個(gè)序列，輸出也是一個(gè)序列

23、，其本質(zhì)是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列的一個(gè)運(yùn)算。本質(zhì)是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列的一個(gè)運(yùn)算。1.391.39T離散時(shí)間系統(tǒng)模型離散時(shí)間系統(tǒng)模型 x (n) y(n)對算子對算子TT表示變換，對表示變換，對TT加以種種約束加以種種約束, ,可定義出各類離散時(shí)間系統(tǒng)。由于線性時(shí)不變系可定義出各類離散時(shí)間系統(tǒng)。由于線性時(shí)不變系統(tǒng)在數(shù)字上容易表征，且它們可以實(shí)現(xiàn)多種信號統(tǒng)在數(shù)字上容易表征，且它們可以實(shí)現(xiàn)多種信號處理功能處理功能 ，因此，將著重講討論這類系統(tǒng)。，因此，將著重講討論這類系統(tǒng)。T . 滿足迭加原理的系統(tǒng)具有滿足迭加原理的系統(tǒng)具有線性特性線性特性 即若對兩個(gè)激勵(lì)即若對兩個(gè)激勵(lì)x1(n)和和x2(n

24、)有有 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) 式中，式中，a,b為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。 不滿足上述關(guān)系的為不滿足上述關(guān)系的為非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)。 1. 線性系統(tǒng)1.401.40例例 判斷判斷y(n)=T(x(n)=7x2(n-1)?解：解：T(ax(n)=7aT(ax(n)=7a2 2x x2 2(n-1)(n-1) aT(x(n)=7ax aT(x(n)=7ax2 2(n-1)(n-1) 而而 T(ax(n)aT(ax(n)T(ax(n)aT(ax(n) 所以系統(tǒng)是非線性的。所以系統(tǒng)是非線性的。例例: : 設(shè)一系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為設(shè)一系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為y(n)=

25、3x(n)+4 y(n)=3x(n)+4 試判斷系統(tǒng)是否為線性？試判斷系統(tǒng)是否為線性？解：解：TaxTax1 1(n)+bx(n)+bx2 2(n)=3ax(n)=3ax1 1(n)+bx(n)+bx2 2(n)+4(n)+4 aTx aTx1 1(n)+bTx(n)+bTx2 2(n)(n) =3ax =3ax1 1(n)+4a+3bx(n)+4a+3bx2 2(n)+4b(n)+4b =3ax =3ax1 1(n)+bx(n)+bx2 2(x)+4(a+b)(x)+4(a+b) 兩者不相等，故系統(tǒng)不滿足線性系統(tǒng)的的定義，所兩者不相等，故系統(tǒng)不滿足線性系統(tǒng)的的定義，所以系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。以系

26、統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。如果如果 Tx(n)=y(n)，則則 Tx(n-n0)=y(n-n0)( n0為任意整數(shù)為任意整數(shù))即系統(tǒng)的特性不隨時(shí)間而變化。即系統(tǒng)的特性不隨時(shí)間而變化。2. 時(shí)不變系統(tǒng)又稱移不變系統(tǒng)又稱移不變系統(tǒng)1.411.41例例 證證y(n)=3x(n)+4是時(shí)不變系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)證：證： Tx(n-nTx(n-n0 0)=3x(n-n)=3x(n-n0 0)+4)+4 y(n-n y(n-n0 0)=3x(n-n)=3x(n-n0 0)+4)+4 由于二者相等，故是時(shí)不變系統(tǒng)由于二者相等，故是時(shí)不變系統(tǒng)?)792()()(. 2?)()(. 1nSinnxnymxnynm線性時(shí)不變系

27、統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)既滿足迭加原理又具有時(shí)不變性的既滿足迭加原理又具有時(shí)不變性的系統(tǒng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。系統(tǒng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。我們知道，任一序列都可表示成各延時(shí)單位脈沖序列的我們知道，任一序列都可表示成各延時(shí)單位脈沖序列的加權(quán)和加權(quán)和 如令如令h(n)h(n)為系統(tǒng)對單位脈沖序列的響應(yīng)，為系統(tǒng)對單位脈沖序列的響應(yīng)， h(n)=T(n)h(n)=T(n)則系統(tǒng)對任一輸入序列則系統(tǒng)對任一輸入序列x x（n n）的響應(yīng)為）的響應(yīng)為 mmnmxnx)()()(3. 線性時(shí)不變系統(tǒng)1.411.41mmnmxTnxTny)()()()(由于系統(tǒng)是線性的，滿足迭加定

28、理由于系統(tǒng)是線性的，滿足迭加定理mmnTmxny)()()(1.421.42又由于系統(tǒng)是時(shí)不變的，對移位的單位脈沖的響又由于系統(tǒng)是時(shí)不變的，對移位的單位脈沖的響應(yīng)等于單位脈沖響應(yīng)的移位。應(yīng)等于單位脈沖響應(yīng)的移位。 注：只有線性時(shí)不變系統(tǒng)才能由單位脈沖響應(yīng)來注：只有線性時(shí)不變系統(tǒng)才能由單位脈沖響應(yīng)來表示表示)()(mnhmnTmnhnxmnhmxny)(*)()()()(1.431.43 上式表明：對任何線性時(shí)不變系統(tǒng)，可完全上式表明：對任何線性時(shí)不變系統(tǒng)，可完全通過其單位脈沖響應(yīng)通過其單位脈沖響應(yīng)h（n）來表示。這個(gè)公式和）來表示。這個(gè)公式和模擬系統(tǒng)的卷積是類似的，稱為離散卷積，或線模擬系統(tǒng)的

29、卷積是類似的，稱為離散卷積，或線性卷積。性卷積。 卷積過程卷積過程： 對對 h（ k）繞縱軸折疊，得）繞縱軸折疊，得h（-k）；）； 對對 h（-k）移位得）移位得 h（n-k）；）； 將將 x(k)和和 h(n-k)所有對應(yīng)項(xiàng)相乘之后相加，所有對應(yīng)項(xiàng)相乘之后相加，得離散卷積結(jié)果得離散卷積結(jié)果 y（n）。）。令令k=n-k，做變量代換，則卷積公式變?yōu)椋鲎兞看鷵Q，則卷積公式變?yōu)橐虼?，因此，x(k)與與h(n-k)的位置可對調(diào)。（即輸入的位置可對調(diào)。（即輸入為為x（n）、單位脈沖響應(yīng)為）、單位脈沖響應(yīng)為h（n）的線性時(shí)不）的線性時(shí)不變系統(tǒng)與輸入為變系統(tǒng)與輸入為h（n）、單位脈沖響應(yīng)為）、單位脈沖

30、響應(yīng)為x（n）的線性時(shí)不變系統(tǒng)具有同樣的輸出）的線性時(shí)不變系統(tǒng)具有同樣的輸出）離散卷積也稱為離散卷積也稱為“線性卷積線性卷積”或或“直接卷積直接卷積”，以區(qū)別其他種類的卷積。，以區(qū)別其他種類的卷積。kknxnhkhknxknhkxny)(*)()()()()()(1.441.44例例6 6 用用MatlabMatlab計(jì)算序列計(jì)算序列-2 0 1 -1 3-2 0 1 -1 3和序列和序列1 1 2 0 -12 0 -1的離散卷積。的離散卷積。解：解：MatlabMatlab程序如下：程序如下：a=-2 0 1 -1 3;b=1 2 0 -1;c=conv(a,b);M=length(c)-1

31、;n=0:1:M;stem(n,c);xlabel(n);ylabel(幅度幅度);-2-413151-34 4、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性線性和時(shí)不變兩個(gè)約束條件定義了一類可用線性和時(shí)不變兩個(gè)約束條件定義了一類可用卷積和表示的系統(tǒng)。穩(wěn)定性和因果性也是很重卷積和表示的系統(tǒng)。穩(wěn)定性和因果性也是很重要的限制。要的限制。穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)：對于每一個(gè)有界輸入產(chǎn)生一個(gè)有：對于每一個(gè)有界輸入產(chǎn)生一個(gè)有界輸出的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。界輸出的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) (充要條件充要條件) 時(shí)，該線性時(shí)不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的。時(shí)，該線性時(shí)不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的。kkhs)(1.451.45 因果系統(tǒng)因果系

32、統(tǒng)： 系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)的輸出y（n）只取決于此）只取決于此時(shí)，以及此時(shí)以前的輸入，即時(shí)，以及此時(shí)以前的輸入，即x（n）,x（n-1），），x（n-2）。 非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)：如果系統(tǒng)的輸出：如果系統(tǒng)的輸出y（n）不僅）不僅取決于現(xiàn)在和過去的輸入，而且還取決于未取決于現(xiàn)在和過去的輸入，而且還取決于未來的輸入，如來的輸入，如x（n+1），），x（n+2），），這，這在時(shí)間上就違背了因果規(guī)律，因而它是非因在時(shí)間上就違背了因果規(guī)律，因而它是非因果系統(tǒng)，也即不現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)，（不可實(shí)現(xiàn)）果系統(tǒng)，也即不現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)，（不可實(shí)現(xiàn)） 因果系統(tǒng)的充要條件因果系統(tǒng)的充要條件：h（n）0，n0（可從可從y（n）=x（n）

33、*h（n）導(dǎo)出）導(dǎo)出）1.461.46例：例： 分析單位脈沖響應(yīng)為分析單位脈沖響應(yīng)為h h（n n）= =a an nu u（n n）的線）的線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。解解 既然，既然，n0n0時(shí)，時(shí)，h h（n n）=0=0，系統(tǒng)是，系統(tǒng)是因果因果的的如果如果 | |a a|1, |1, 則則 如如 | |a a|1 , |1 , 則則s s ，級數(shù)發(fā)散。，級數(shù)發(fā)散。故系統(tǒng)僅在故系統(tǒng)僅在| |a a|1|1時(shí)才是時(shí)才是穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。kkkakhs| )(|11as例例 設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)設(shè)某線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為為 h(n)=-

34、anu(-n-1)的因果性和穩(wěn)定性的因果性和穩(wěn)定性解解 (1)因果性因果性 n0 時(shí)，時(shí)，h(n)0 故非因果關(guān)系故非因果關(guān)系 (2)穩(wěn)定性穩(wěn)定性1|1|1|1|11|1|1|)(|11aaaaaaanhnnnnn 穩(wěn)定的因果系統(tǒng)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)：既滿足穩(wěn)定性又滿足因果性的系統(tǒng)。：既滿足穩(wěn)定性又滿足因果性的系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)既是單邊的，又是絕對可積的，這種系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)既是單邊的，又是絕對可積的，即即 這種穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實(shí)現(xiàn)的又是穩(wěn)定工作的，這這種穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實(shí)現(xiàn)的又是穩(wěn)定工作的，這種系統(tǒng)是最主要的系統(tǒng)。種系統(tǒng)是最主要的系統(tǒng)。nnhnnnhnh|)(|000)()(因果因

35、果穩(wěn)定穩(wěn)定 注意：在許多重要系統(tǒng)中，也有非因果的系統(tǒng)，例注意：在許多重要系統(tǒng)中，也有非因果的系統(tǒng)，例如理想低通濾波器。如果考慮到數(shù)字信號處理可以非實(shí)時(shí)如理想低通濾波器。如果考慮到數(shù)字信號處理可以非實(shí)時(shí)的，即使要求實(shí)時(shí)處理，往往也容許的一定的延時(shí)，這時(shí)的，即使要求實(shí)時(shí)處理，往往也容許的一定的延時(shí)，這時(shí)對于某一個(gè)輸出對于某一個(gè)輸出y(n)來說，可以將大量的輸入數(shù)據(jù)來說，可以將大量的輸入數(shù)據(jù)x(n+1),x(n+2),存儲在存儲器中延遲一段時(shí)間后再被調(diào)存儲在存儲器中延遲一段時(shí)間后再被調(diào)用，從而可以很接近于非因果系統(tǒng)。也就是說，可以具有用，從而可以很接近于非因果系統(tǒng)。也就是說，可以具有一定延遲的因果系

36、統(tǒng)去逼近非因果系統(tǒng)，這也是數(shù)字系統(tǒng)一定延遲的因果系統(tǒng)去逼近非因果系統(tǒng)，這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)，可以獲得接近于理想性的原因。優(yōu)于模擬系統(tǒng)，可以獲得接近于理想性的原因。 5.系統(tǒng)的差分方程描述 一個(gè)線性的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)總可以用線性微一個(gè)線性的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)總可以用線性微分方程來表達(dá)。而對于離散時(shí)間系統(tǒng)，由于其分方程來表達(dá)。而對于離散時(shí)間系統(tǒng)，由于其變量變量n是離散整型變量，故只能用差分方程來反是離散整型變量，故只能用差分方程來反映其輸入輸出序列之間的運(yùn)算關(guān)系。映其輸入輸出序列之間的運(yùn)算關(guān)系。 N階線性常系數(shù)差分方程的一般形式：階線性常系數(shù)差分方程的一般形式：NiMiiiinxainyb00)()(

37、1.471.47 其中其中 ai、bi都是常數(shù)。都是常數(shù)。一般來說，這類系統(tǒng)不必是因果的。例如，研究如一般來說，這類系統(tǒng)不必是因果的。例如，研究如下的一階差分方程下的一階差分方程 y(n)-ay(n-1)=x(n)可以根據(jù)上述差分方程引出不同的單位脈沖響應(yīng)，可以根據(jù)上述差分方程引出不同的單位脈沖響應(yīng)，寫成遞推關(guān)系式寫成遞推關(guān)系式 y(n)=ay(n-1)+x(n)令令x(n)=(n),且假設(shè)且假設(shè)n0n0時(shí)，時(shí)，y(n)=0,y(n)=0,令令m=n-1,n=m+1,m=n-1,n=m+1,代入代入（1.481.48）式，得）式，得 y(m+1)=ay(m)+x(m+1)y(m+1)=ay(m

38、)+x(m+1)再用再用n n表示，得表示，得)1() 1(1)(nxnyany1.49a1.49a)1()()()1(1)(.)1()1(1)2()0()0(1)1(0)1()1(1)0(21nuanynhanyanyaxyayaxyayxyaynn1.49b1.49b離散系統(tǒng)差分方程表示法有兩個(gè)主要用途：離散系統(tǒng)差分方程表示法有兩個(gè)主要用途： 由差分方程得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)；由差分方程得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)； 求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)；求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)；X(n)X(n)X(n)Y(n)aT x(n)+y(n) a x(n) x(n-1)運(yùn)算結(jié)構(gòu)運(yùn)算結(jié)構(gòu)例：用途一，由一階差分方程畫網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)例：用途一，由一階差分方

39、程畫網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) y（n）=ay（n-1）+x（n） 由此得到它的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖由此得到它的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖Ta網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu))( nx()yn用途二用途二在給定輸入和給定初始條件下，用遞推的在給定輸入和給定初始條件下，用遞推的方法求系統(tǒng)瞬態(tài)解方法求系統(tǒng)瞬態(tài)解例，一階差分方程系統(tǒng)：例，一階差分方程系統(tǒng)：其輸入為其輸入為)1(21)(5 .1)(nynxny0001)()(nnnnx解：初始條件為解：初始條件為 y（n）=0，n0 n=0以的前的輸出已由初始條件給定，瞬態(tài)解以的前的輸出已由初始條件給定，瞬態(tài)解從從n=0求起，由差分方程、初始條件和輸入，得：求起，由差分方程、初始條件和輸入，得： 依次遞推

40、依次遞推 穩(wěn)定、因果系統(tǒng)穩(wěn)定、因果系統(tǒng)5 . 1) 1(21)0(5 . 1)0(yxy75.0)0(21)1(5.1)1(yxy375. 0215 . 1)0(21)2(5 . 1)2(2yxy)(215 .1)()(nunhnyn輸入相同，但初始條件改為輸入相同，但初始條件改為 n0，y（n）=0將上述差分方程將上述差分方程 改寫成改寫成 y（n-1）=2 y（n）-1.5x（n） 此時(shí)此時(shí) y（0）=2 y（1）-1.5x(1) =0 依此類推，得到依此類推，得到 非因果、不穩(wěn)定系統(tǒng)非因果、不穩(wěn)定系統(tǒng) 、兩式所表示的兩個(gè)不同的單位脈沖響應(yīng)，雖滿足同一差分方、兩式所表示的兩個(gè)不同的單位脈沖

41、響應(yīng)，雖滿足同一差分方程，但由于初始條件不同，它們代表不同的系統(tǒng)，也即用差分方程程，但由于初始條件不同，它們代表不同的系統(tǒng)，也即用差分方程描述系統(tǒng)時(shí)，只有附加必要的制約條件，才能唯一地確定一個(gè)系統(tǒng)描述系統(tǒng)時(shí)，只有附加必要的制約條件，才能唯一地確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系。的輸入和輸出關(guān)系。) 1(21)(5 .1)(nynxny1215.1)0(5.1)0(2)1(xyy2215.1)1(5.1)1(2)2(xyy)1(215.1)()(nunhnyn解解 MATLAB程序如下：N=41;a=0.8 -0.44 0.36 0.22;b=1 0.7 -0.45 -0.6;x=1 zeros(1,

42、N-1);k=0:1:N-1;y=filter(a,b,x);stem(k,y)xlabel(n);ylabel(幅度)0510152025303540-1-0.500.511.5n幅度用用MATLAB計(jì)算差分方程輸出計(jì)算差分方程輸出1.5 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù) 一、一、 定義定義 在上一節(jié)中曾討論過用單位脈沖響應(yīng)在上一節(jié)中曾討論過用單位脈沖響應(yīng)h(n)來來表示一個(gè)線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，表示一個(gè)線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系， y（n）=x（n）*h（n） 兩邊同時(shí)做兩邊同時(shí)做DTFT,得得1.501.50)()()()()()()()()()()(jjjjjnknjkkjn

43、kjnjeXeYeHeHeXeknhekxeknhkxeY -系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如果對（如果對（1.501.50）作）作Z Z變換變換取取z z變換變換 Y Y( (z z)=)=X X( (z z) )H H( (z z) ) 1.511.511.521.521.531.53則則 定義為定義為系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)1）它是單位脈沖響應(yīng)的）它是單位脈沖響應(yīng)的z變換。所以可以用單位變換。所以可以用單位脈沖響應(yīng)的脈沖響應(yīng)的z變換來描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。變換來描述線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。 2）單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)）單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 可以證明，它是單位脈沖響應(yīng)可以

44、證明，它是單位脈沖響應(yīng)h(n)的的DTFT。 )()()(zXzYzHjez )()()(jjjeXeYeH 當(dāng)系統(tǒng)可用一線性常系統(tǒng)差分方程表示，系當(dāng)系統(tǒng)可用一線性常系統(tǒng)差分方程表示，系統(tǒng)函數(shù)就是兩個(gè)多項(xiàng)式之比。統(tǒng)函數(shù)就是兩個(gè)多項(xiàng)式之比。 考慮一個(gè)考慮一個(gè)N階差分方程階差分方程 兩邊取兩邊取z變換：變換： NiMiiiinxainyb00)()(NiMiiiiizXzazYzb00)()(1.541.54NiiMiizdzcAzH1111)1 ()1 ()(NiiiMiiizbzazXzYzH00)()()(于是于是 上式也可用因子的形式來表示上式也可用因子的形式來表示 式中式中ci、 di是

45、是H（z）在）在z平面上的零點(diǎn)和極點(diǎn)，平面上的零點(diǎn)和極點(diǎn)， A為比為比例常數(shù)。例常數(shù)。 整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以由它的全部零、極點(diǎn)來唯一確定。整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)可以由它的全部零、極點(diǎn)來唯一確定。1.551.551.561.56 用極點(diǎn)和零點(diǎn)表示系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是，它提供了一用極點(diǎn)和零點(diǎn)表示系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是，它提供了一種有效的求系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何方法。種有效的求系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何方法。 一個(gè)一個(gè) N 階的系統(tǒng)函數(shù)可用它的零極點(diǎn)表示為階的系統(tǒng)函數(shù)可用它的零極點(diǎn)表示為111111()1( )1MMiiiiNNiiiiMNc zzcH zAAd zzdAAz系統(tǒng)的頻響為系統(tǒng)的頻響為: 11MjijiNjiiecHeA

46、ed 1.571.57 在在z平面上平面上,ej-ci可用一根由零點(diǎn)可用一根由零點(diǎn)ci指向單位圓上指向單位圓上ej點(diǎn)的點(diǎn)的向量向量 來表示，而來表示，而ej-di可用極點(diǎn)可用極點(diǎn)di指向指向ej的向量的向量 表示表示于是于是 令令分析上式表明，頻響的模函數(shù)由從各零、極點(diǎn)指向分析上式表明，頻響的模函數(shù)由從各零、極點(diǎn)指向ej點(diǎn)的點(diǎn)的向量幅度來確定，而頻響的相位函數(shù)則由這些向量的幅角向量幅度來確定，而頻響的相位函數(shù)則由這些向量的幅角來確定，當(dāng)頻率來確定，當(dāng)頻率由由02時(shí)，這些向量的終點(diǎn)沿單位圓反時(shí)，這些向量的終點(diǎn)沿單位圓反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一圈，由此可估算出整個(gè)系統(tǒng)的頻響。時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一圈，由此可估算出整個(gè)系統(tǒng)的頻響。icidNiiNiijdcAeH11)()(jjjeeHeH1.581.58 其基本原理是，當(dāng)單位圓上的其基本原理是，當(dāng)單位