1、Stress concentrations in keyways and optimization of 鍵槽應(yīng)力集中分析及優(yōu)化設(shè)計Abstract: Keys and keyways are one of the most common shafthub connections.摘要：鍵和鍵槽是最常見的軸轂連接方式的一種。然而，很少見到關(guān)于數(shù)值分析方面的文獻。The design is often regulated by standards設(shè)計所遵守的標準規(guī)范已有近半個世紀，且文獻中的that are almost half a century old, and most results

2、reported in the literature are based on大多數(shù)結(jié)果，是基于光彈實驗分析得出的experimental photoelastic analysis.。本文介紹了數(shù)值有限元分析(FE) analysis can improve the prediction of stress concentration in the keyway.（FE）如何提高鍵槽的應(yīng)力集中的預(yù)測。 結(jié)果表明，在使用形狀optimization and the simple super elliptical shape, it is shown that the fatigue life

3、of a keyway優(yōu)化和簡單的超橢圓形后，最大應(yīng)力水平降低了50，鍵槽的疲勞壽命可以大幅提高can be greatly improved with up to a 50 per cent reduction in the maximum stress level.。該設(shè)計便于更改，只需改變兩個可變的設(shè)計參數(shù)，因此就比較實用。parameters.Keywords: Keyway, parallel key, stress concentration, optimization, Laplace equation, FE關(guān)鍵詞：鍵槽，平鍵，應(yīng)力集中，優(yōu)化，拉普拉斯方程，有限元 1 INTR

4、ODUCTION 1引言 Keys and keyways commonly connect shaft and hubs. 鍵和鍵槽常用來連接軸和輪轂。The designs of these are controlled by differen鍵和鍵槽的設(shè)計由不同的標準而定，如參考 1。根據(jù)standards, eg reference 1.。不同的設(shè)計原理，鍵可以分為Different design princi-平鍵，錐形keys, or Woodruff keys, see eg references 2 and 3.鍵或半圓鍵。Among these, the most commo

5、n is the parallel key,其中，最常見的是平鍵，也which is the subject of the present paper.是本文的主題。鍵和keyway design is fully controlled by the standards鍵槽的設(shè)計，完全是根據(jù)一個參數(shù)-軸直徑的標準來控制based on only one parameter the shaft diameter.。就提高疲勞強度的設(shè)計而言，這方面的成果寥寥無幾，比如minimizing the stress concentrations.應(yīng)力集中的最小化。目前筆者所知，這方面雖然由Orthwei

6、n指出，但current author's knowledge, very little has been done之后沒有進行。其它設(shè)計或許在文獻中提出，例如文獻7和8。 大概是菲隆首次提出有鍵槽的The first paper addressing the torsional stiffness of首次首次一種軸的扭轉(zhuǎn)剛度shafts with a kind of keyway is probably that of Filon 7。該文中，軸的建模是elliptical cross-section and the keyways were mod-橢圓形橫截面形狀，鍵槽的建模是

7、雙曲線形狀elled as hyperbolae.。Following this analytical paper,這篇分析文章發(fā)表之后，there have been a number of experimental papers很多實驗性論文論述了dealing with the stress concentrations of key and鍵和keyway connections.鍵槽連接的應(yīng)力集中問題。 Many of these papers have這些論文中（所討論的方法），有許多used photoelastic analysis, see eg references 8 t

8、o使用的是光彈性分析方法，例如文獻8到13。其他的是在表面電鍍銅，例如文獻14到15。addition to references 7 and 8, other papers have除了文獻7和8，其他論文論述dealt with experimental stress concentration verifica-了實驗性的應(yīng)力集中證明，請參閱在Orthwein的文獻4。 The most commonly used reference with respect 最常用的關(guān)于to stress concentration factors is Peterson 16應(yīng)力集中因素的論述是Pe

9、terson提出的，which is reproduced and extended in Pilkey 17.Pilkey進行了轉(zhuǎn)載和擴展 17。The keyway results reported here are taken from the本文的鍵槽結(jié)果報告就是取自文獻8、9、15。references 8, 9 and 15.The use of finite element采用有限元(FE) modelling and computational power makes it（FE）的建模和計算可以對結(jié)果改善possible to improve these results, b

10、ut it seems that，但目前this has not yet been done.尚未完成。The purpose of the present paper is therefore 因此，本文的目的有兩個：首先，通過使用有限元analysis of existing standard designs, and secon分析現(xiàn)有的標準設(shè)計，找到應(yīng)力集中；然后，通過降低stress concentratio應(yīng)力集中improve/optimize the keyway design by lowering the改進/優(yōu)化鍵槽設(shè)計。The keyway related stress

11、 is鍵槽應(yīng)力的三維效果indeed fully three dimensional as also stated in實際上正如彼得森所述。通過分析發(fā)現(xiàn)，許多不同的因素，都會對復(fù)雜的an influence on the needed FE analysis complexity有限元分析以及計算最大應(yīng)力產(chǎn)生影響。analyses這些因素是： (a) loading: tension, bending, or torsion; （一）負載：拉伸，彎曲，或扭矩; (b) key: loaded with or without the key inserted in （二）鍵：有負載的鍵（有/無

12、插入the keyway;鍵槽）; (c) stress: at the keyway end or in the prismatic （三）應(yīng)力：在鍵槽末端或圓柱形部分 圖1 兩個標準平鍵鍵槽末端。（a）圓頭平鍵鍵槽（b）平頭平鍵鍵槽由于數(shù)值分析的局限性，本文deals only with torsion; with respect to the other load僅論述扭矩;關(guān)于其他負載or any load combinations the reader is referred t或負載組合，讀者可以參考Fessler et 費斯勒9To make an easy comparison

13、 with the。numerical and experimental work in Leven 8Leven對數(shù)值和實驗做了簡單的比較8。possible, the keyway is loaded in torsion without t試驗條件可能是加載扭矩時鍵槽中沒有鍵，說明這種情況沒有必要做接觸analysis, which would complicate the numerical分析，這使得數(shù)值analysis considerably分析相當復(fù)雜。該報告的結(jié)果（在Okubo15）指出，不通過the key relative to torsion applied throu

14、gh the key鍵而施加純扭矩載荷下的最大應(yīng)力，與通過鍵施加扭矩載荷的情況有所區(qū)別。experiments presented in reference 15 were in two 這篇文章中的實驗 15分為兩groups (group A and B) for the different relative sizes 組（A組和B），以對應(yīng)軸直徑不變情況下不同尺寸the keyway to the shaft diameter的鍵槽。experimental result is that in the prismatic keyway實驗結(jié)果是，相對于無鍵的情況下，A組中圓柱形鍵槽pa

15、rt the maximum stress is 812 per cent for group A的最大應(yīng)力大于8-12，B組的大于and 47 per cent for group B greater with a key relati4-7。不同的是，A組鍵末端的最大應(yīng)力大于16-24 group A and 1214 per cent for group B at the key end.，B組大于12-14。These values were relatively unaffected by different這些數(shù)值不受ratios of fillet radius to shaft

16、 diameter.圓角半徑對軸直徑的比值的影響。 This leads to thconclusion that the true stress concentrations can be結(jié)論是，應(yīng)力集中可以通過研究發(fā)現(xiàn)。研究的方法不是通過鍵施加扭矩，而是在鍵槽圓柱形部分施加大于應(yīng)力最大值12的應(yīng)力。 the key by adding a maximum 12 per cent to theThe end of a keyway has two standard designs, 鍵槽末端有兩種標準設(shè)計，如shown in Fig.圖1。 圓頭平鍵The profile keyway is

17、 cut by an end-鍵槽是由一個立銑刀銑出，平頭平鍵mill while the sled-runner keyway is cut by an鍵槽（sled-runner keyway）是由普通銑刀銑出。 在圓頭平鍵鍵槽中，鍵槽末端The stress concentrations at的應(yīng)力集中最嚴重。keyway, so with respect to fatigue the sled-runner is所以對于疲勞測試，平頭平鍵mill while the sled-runner keyway is cut by an鍵槽是the best design.最好的設(shè)計。 Ort

18、hwein 4 suggested a designOrthwein 4提出一種改變平頭平鍵mill while the sled-runner keyway is cut by an鍵槽末端的設(shè)計，該設(shè)計能夠change to the sled-runner keyway end that further末進一步提高鍵槽的疲勞性能。improves the fatigue properties.Leven 8 found thLeven8發(fā)現(xiàn)，圓頭平鍵鍵槽末端在stress concentration factor for pure torsion for 純扭矩作用下，應(yīng)力集中系數(shù)prof

19、ile keyway end to be K=3.4，該鍵槽的寬度to diameter ratio equal to b/d 5 1/4.與軸直徑之比b/d=1/4。這個值unaffected by the keyway bottom fillet radius.不受鍵槽底部圓角半徑的影響。如果圓頭平鍵profile keyway end design is to be improved we鍵槽末端的設(shè)計能夠改進的話，我們可以不用圓形設(shè)計，這would most probably increase the machining cost很可能會增加加工成本，and is not discus

20、sed further in this paper并且不是本文進一步討論的內(nèi)容。如果用同樣的銑刀加工cutter is used for the hole cutting operation加工孔，相對于鍵槽末端而言，平頭平鍵sled-runner keyway in pure torsion the stress con-鍵槽在純扭矩作用下的應(yīng)力集中系數(shù)比圓柱形鍵槽高centration factor is higher in the keyways prismaticpart relative to the keyway end if the same milling。本文中，通過簡化（模

21、型），使得分析的With the simplification made the analysed stress應(yīng)力集中系數(shù)concentration factor in the present paper is fully完全取決于圓柱形鍵槽底部的圓角。該設(shè)計的二維圖如圖2所示。 Obeying the standards, the only way to improve 按照標準，改善應(yīng)力集中的唯一方法如the stress concentrations for the design in Fig.如圖2中的設(shè)計，即select the maximum fillet radius r.選取

22、最大圓角半徑r。以往對于機械元件形狀優(yōu)化的成果（see references 19 and 20, has shown that見參考文獻19和20）表明，由changing from the circular shape to an elliptical由圓形變?yōu)闄E圓形對應(yīng)力集中影響shape significantly affects the stress concentrations.顯著。這也在This is also demonstrated in the present paper.本文中得到了證明。 The current paper is organized as follow

23、s. 本文的結(jié)構(gòu)如下：在第2 the torsional problem is formulated mathematicall2節(jié)用數(shù)學(xué)公式闡述扭矩問題and the FE implementation is presented.，并且介紹有限元處理過程。第3節(jié)介紹了介紹標準設(shè)計的結(jié)果，和基于一定比值r/ d（t/d和b / d是確定值）的應(yīng)力集中實際曲線的擬合方程。第42 the torsional problem is formulated mathematicall44節(jié)提出優(yōu)化設(shè)計方案，同時對標準設(shè)計做出不同的修改，從而大大減少了應(yīng)力集中。因此，第5are proposed, res

24、ulting in large reductions in the節(jié)中提出了新的鍵槽標準設(shè)計。圖2. 平鍵鍵槽 (a) end-milled or profile keyway; (b) sled的圓柱形截面way, the coordinate system is placed at，軸心為坐標系原點shaft axis.。The relative dimensions correspond根據(jù)DIN 6885-11，相關(guān)尺寸為to a d5100mm shaft according to DIN 6885-為軸直徑d=100mm（t=10mm，b=28mm，0.4mmr0.6mm） 2 M

25、ATHEMATICAL FORMULATION AND FE2 數(shù)學(xué)公式和有限元分析（Fe） 扭矩如下G-剪切彈性模量J-橫截面的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)，-扭轉(zhuǎn)截面的旋轉(zhuǎn)角度l-軸的長度在文獻中經(jīng)常使用=L，即單位長度的旋轉(zhuǎn)角度。這是假設(shè)一個圓柱形軸與笛卡兒坐標系X，Y和Z方向?qū)R。例如，軸線與Z方向?qū)R。Saint-Venant給出了變形函數(shù)y（x，y），其中力矩作用下軸的位移函數(shù)如下根據(jù)定義，JSA6Using this definition the cross-section shearge截面剪切stresses (all other stresses are zero) are given b

26、y應(yīng)力（所有其他應(yīng)力為零）如下：With zero volume force the force equilibrium give根據(jù)零體積變化和力的平衡the Laplace differential equation that the warpin進行拉普拉斯微分方程變換，變形function must fulfil函數(shù)必須滿足 To solve this differential equation the boundary為了解決這個微分方程，需要有邊界條件。conditions are needed自由邊界There is no surface traction沒有表面牽引力for f

27、ree boundaries.。如果把正交的表面defined as n定義為Nxx，, ，。Nyyyyy，Tthen the condition of no surfa則沒有表面牽引力的邊界條件traction is given by由下式給出：This can be reformulated into a Neumann bound- equation (3通過使用等式（3），上式可以改寫成變形函數(shù) 的Neumann邊界條件：圖3利用對稱性顯示half the cross-section of a shaft is shown.顯示了軸橫截面的一半。It is possible to ut

28、ilize symmetry, see Fig.boundary condition for a symmetry line is given by對稱線的邊界條件如下：If the symmetry line demonstrates that y 5 0, as in如果對稱線y=0，如Fig.圖3，對稱線（7）的邊界條件可以簡化。由于nxx=0和nyy=1，the boundary condition becomes t，邊界條件變?yōu)閠ZX=5 0 or by using=0或根據(jù)方程（3）DY / DX=0。這與Dirichlet邊界條件是相同的。where C is an arbit

29、rary constant.其中，C為任意常數(shù)。由于只有derivative of the warping function is of interest, w變形函數(shù)的一次導(dǎo)數(shù)有用，我們可以讓C=0。 By formulating the torsional 通過邊界條件tions (6) and (8) it is possible to use a standard（6）和（8）闡述扭矩problem as equation (4) with the boundary condi問題（4），可以使用標準偏微分方程（PDE）求解。本文中用到程序COMSOL21。 It should be

30、noted that the displacements (2) are應(yīng)當指出的是，位移（2）是相對于扭矩中心的坐標系定義的。然而，所涉及的應(yīng)變和應(yīng)力的計算，是不受movement or rotation of the coordinate system.運動或坐標系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)影響的。 Fig.圖3. 圖像是圖2中的軸的一半。例（a）是有限元網(wǎng)格劃分，插圖有917個網(wǎng)格。狄利克雷Dirichle邊界條件（8）應(yīng)用于底部的邊，而Neumann邊界條件（6）應(yīng)用于其余的邊。（b）是由此產(chǎn)生的應(yīng)力水平線，該圖說明了邊角的應(yīng)力集中情況。 corner 2.1 Stress concentration

31、2.1應(yīng)力集中 The stress concentration is most often defined as 應(yīng)力集中一般定義為 Stress concentrations in keyways在鍵槽應(yīng)力集中其中NOMis the nominal stress, ie the maximum是公稱應(yīng)力，即沒有鍵槽的最大應(yīng)力，stress without the keyway and smax是有鍵槽的最大應(yīng)力。 Both stresses are the greatest 這兩者都是最大的principal stress.主應(yīng)力。下標t表示，這僅是理論上基于幾何形狀和載荷/邊界條件的應(yīng)力

32、集中，不包括材料敏感度。對于對于扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力集中，可以由以下等式求出 where for the present torsional problem 當前扭轉(zhuǎn)問題 公稱應(yīng)力和最大應(yīng)力是在The nominal stress and the maximum stress are相同外部荷載作用下的應(yīng)力。根據(jù)。assumption of linear elasticity the external load size。線性彈性（linear elasticity）的假設(shè)，外部負載大小不影響應(yīng)力集中。 Mt的The size的大小應(yīng)由下式選取公稱This leads to the nominal

33、stress and maximum stressnormal應(yīng)力和最大應(yīng)力的計算為where J其中JÇ是圓軸橫截面的扭矩剛度系數(shù) factor for the circular shaft and Jis the cross-是有鍵槽處軸橫截面的扭矩剛度系數(shù)ð17Þ 2.2 FE model2.2有限元模型 A FE model example is shown in Fig. 有限元模型如圖3所示。軸的設(shè)計按照DIN標準，如圖3所示design is the DIN standard presented in Fig.。只需對軸的half the shaft

34、 is necessary for the modelling.一半建模。底邊是對稱線，狄利克雷Dirichlet邊界條件（8）適用。Neumannboundary condition (6) is applied to the remaining邊界條件（6）應(yīng)用于到其他的邊界。為了達到直觀的效果，網(wǎng)格數(shù)被限制（917片）。在本文中，網(wǎng)格是被劃分成很多片（30 00060 000）的情況下進行的數(shù)值計算。采用收斂測試(Convergence tests)確認有限元分析結(jié)果。The maximum stress is of primary interest, since最大應(yīng)力是主要的目的，因

35、為應(yīng)力集中由應(yīng)力決定。在所有數(shù)值計算中，鍵槽邊界發(fā)現(xiàn)了最大應(yīng)力。沿著圓角的應(yīng)力集中（分布）如圖4（a）The 所示（s為弧長），沿著鍵槽邊界的應(yīng)力集中（分布）如呈下降趨勢的（close up）圖4（b）所示，。從優(yōu)化的角度來說，這是不是最佳的設(shè)計，因為為了達到設(shè)計優(yōu)化的目的，希望應(yīng)力是沿表面的主要部分連續(xù)不變的。參考【19】Fig.圖。 4 The figures are for half the shaft shown in Fig. 應(yīng)力水平為：圓角半徑r=0.6mm時 The maximum value is KKt=t=2.93；r=0.4mm時 The maximum value i

36、s KKt=t=3.333.32。這對于符合標準幾何形狀的設(shè)計而言，應(yīng)力集中有相當大的變化。 standard geometry.圖4 該圖是圖2所示中軸的一半，并以弧長函數(shù)的形式顯示了應(yīng)力集中function of the arc length.。 (a) The stress concentration factor along the keyway boundary （a）圖是沿鍵槽邊界的應(yīng)力集中系數(shù)，從外部的點開始，直到中點結(jié)束starting from the external point until the centre point.。（b）圖中應(yīng)力集中呈閉合狀，這里只顯示在拐角處

37、沿圓角半徑r=0.6mm的值，該值為最大值為Kt=2.93 ；圓角半徑r=0.4時，Kt=3.32。 A fine mesh near the point of stress concentration應(yīng)力集中點附近的網(wǎng)格有必要進行細微劃分is needed in order for the FE analysis to return the，以便通過有限元分析來得到精確的最大應(yīng)力值。按照fillet designs defined by the standard, see section標準規(guī)定設(shè)計的半圓形圓角，見第3節(jié)中， the mesh densities are controlled

38、 by the FE program.網(wǎng)格密度由有限元程序控制。Convergence tests have been made ensure that 收斂測試使得mesh density is sufficiently large to ensure reliabl網(wǎng)格密度足夠大，以確保結(jié)果可靠。在第4節(jié)的優(yōu)化設(shè)計中 ，離散的outer boundary is discritized such that there are 5外部邊界使得沿圓角有500 個節(jié)點。這樣，of the reported stress concentration factors.應(yīng)力集中系數(shù)的準確度會很高。 3

39、STRESS CONCENTRATION OF FILLET 3 鍵槽圓角（DIN）的應(yīng)力集中 KEYWAYS (DIN) In the standard keyway design 1 the fillet of the標準的鍵槽設(shè)計中1，圓柱部分的圓角在公差范圍以內(nèi)。對于相同的直徑，日r r/ d可變。如圖2所示。根據(jù)特定軸的直徑，Th標準還規(guī)定了b / d和t / d 的比值。根據(jù)標準，直徑范圍為6mm d500mm，不同比率的限制范圍是：5 The variations of depth ratio t/d and width ratio b/深度t / d和寬度b /d的變化如圖5（

40、a）所示。圓角比值t / d的上下limit for the fillet ratio r/d are shown in Fig限如5(b), all 圖5（b）所示，以上都是根據(jù)DIN 6885。From Fig. 很明顯，圖5 it is clear that there is a large variation i5中的設(shè)計有很大的變化。在已經(jīng)發(fā)表的論文中，圓柱部分在純扭矩作用下的應(yīng)力集中（分析）是根據(jù)利文8的研究得到的。對于b/d50.25 and t/d50.125d=0.25和t/d=0.125的具體情況，已經(jīng)給出了結(jié)果。It is doubtful that these are根

41、據(jù)DIN 6885，對于鍵槽設(shè)計的整個范圍是否有合適的平均值，值得懷疑。從上一節(jié)中100mm軸的集中應(yīng)力值來看，似乎不是如此。 The利文的研究結(jié)果8略微高估了Kt的值，因此，Pilkey 17的研究中的擬合曲線也同樣高估。然而，得到的結(jié)果仍然是保守的。更好的擬合曲線如下式 這是The curve fit is given for the specific case b/d 5 0.25這是 b/d =0.25和和t/d=0.125特定情況的擬合曲線。Pilkey 17的擬合曲線是由由方程（20）得出。方程（20）給出的KtThe average 平均值 比方程式（19）的平均值高4。鍵槽設(shè)計

42、是由四個變量控制，直徑d，深度t，寬度b和圓角比r。如第2節(jié)中所述，對于specific values it is possible to find the stress特定值，可以得到應(yīng)力集中系數(shù)K。然而，這有利于得到一個與擬合曲線接近的應(yīng)力集中系數(shù)代數(shù)表達式，（19）。在此不會去嘗試得到一個同時涵蓋所有不同設(shè)計的應(yīng)力集中的表達式。根據(jù)DIN標準that covers all the different design possibilities is no不可能 ，嘗試把應(yīng)力集中系數(shù)與設(shè)計變量取得聯(lián)系是可行的。兩組曲線圖像可以看出，從寬度比到厚度比，這兩個設(shè)計參數(shù)根據(jù)軸直徑的變化呈自然下降趨

43、勢。5 (a) The depth ratio t/d and width ratio b/d as a function of the shaft diameter according to圖5（a）根據(jù)DIN 6885，以深度比t/d、寬度比b/d為軸直徑的函數(shù)。（b）根據(jù)DIN 6885，以圓角比r/d的上、下限為軸直徑的函數(shù)。performed.可行的 diameter.圖6（a）中直徑范圍6mmD38mm，圖6（b）中直徑range 38 mm udu 500 mm范圍38mmD500mm。 The assumption made here is that a linear curv

44、e fit to the data is假設(shè)根據(jù)數(shù)據(jù)擬合的線性曲線適當，為了與深度t的建立聯(lián)系，消除一個設(shè)計參數(shù)（寬度B）。線性擬合曲線是 bIt should be noted that no attempt is made for應(yīng)注意的是，不應(yīng)當對d=38mm時的連續(xù)性做出分析。 having continuity at d 5 38 mm. Two numerical experiments have been carried 兩個數(shù)值實驗已經(jīng)完成，一個如圖7所示，直徑范圍6mmD38mm；7 and the other for the diameter range另一個如圖8所示，直

45、徑范圍38mmD500mm。 8.,在這兩種情況下， DIN標準規(guī)定設(shè)計變量做出了不同的限制。從數(shù)值計算（這些points) it is clear that it is possible to make a simpl點）來看，顯然能得到一個可表示結(jié)果的簡單擬合曲線。應(yīng)該注意，在圖7和圖8中顯示的結(jié)果，是由以based on the design constraints specified by equa-由由方程（21）和（22）為限制條件的設(shè)計得出。 。A curve fit is made for each of the two diameter為兩個直徑ranges范圍中的每一個添加

46、擬合曲線。應(yīng)當指出，擬合曲線的正確性被圖7和8所示的設(shè)計空間所限制。擬合Figs 7 and 8 respectively.曲線由下式給出 ：It should be noted that no attempt is made fo應(yīng)注意，d=38mm時，不需要嘗試讓曲線具有連續(xù)性。Fig.圖6 （a）根據(jù)DIN 6885，直徑范圍是6mmd38mm時，寬度比隨深度比變化的函數(shù)如圖，同時也給出了線性擬合曲線（21）。 (b) （b）根據(jù)DIN 6885，直徑范圍是38mmd500mm時，寬度比隨深度比變化的函數(shù)（22）如圖。Fi圖7 The stress concentration facto

47、r as a function of the fillet ratio for diameter ran7 直徑范圍為6mmd38mm時，應(yīng)力集中系數(shù)隨圓角比而變化的情況如圖。根據(jù)DIN 6885,這個直徑范圍內(nèi)，滿足0.005r/d0.027并且深度比滿足0.13t/d0.25。The width ratio b/d is通過（21），寬比b/d與深度比產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。由點和實線所顯示的數(shù)值計算結(jié)果，就是以上數(shù)據(jù)的擬合曲線，見公式（23） 兩條擬合曲線，和一個簡單的應(yīng)力集中系數(shù)。該系數(shù)是按照DIN 6885給出的設(shè)計，在純扭矩作用在鍵槽圓柱部分時估計出的。 factor estimation fo

48、r the keyways prismatic part in。至于具體的設(shè)計，可以不按照在第2節(jié)規(guī)定的全數(shù)值模擬標準DIN 6885specified in section 2 is needed.。從一個標準鍵槽得出的應(yīng)力集中系數(shù)參數(shù)參數(shù)，也可以以圖形的方式顯示，如圖 9.9。對應(yīng)圓角ratio here connected by straight lines比上限和下限的點，在此處用直線連接。The points不同的設(shè)計的k系數(shù)，將位于兩條線所限制的區(qū)域中。最上方的線作為最壞情況的應(yīng)力集中系數(shù)4 KEYWAY OPTIMIZATION 4 鍵槽優(yōu)化 In keyway design,

49、as in many other designs within 和很多其他機械元件設(shè)計一樣，在鍵槽設(shè)計中，machine elements, the standard preferred shape i標準的首選形狀是the circle or a semicircle圓形或半圓形。This is probably attribu這可能是因為參數(shù)化簡單和/或容易制造。然而，F(xiàn)or the sled-runner design or the對于平頭平鍵鍵槽設(shè)計或圓頭平鍵鍵槽，采用不同的圓角形狀并不難。對于應(yīng)力集中，從形狀最佳的角度來說，圓形并非最理想的形狀，這是眾所周知，如見彼得森19。在num

50、erical shape optimization it is important 數(shù)字化的形狀優(yōu)化方面，有詳細的或更好的形狀分析說明是非常重要的。分析說明也可以對其他設(shè)計進行驗證和對比成為可能。另一個原因由形狀優(yōu)化中得知optimization (see eg Ding 22 and references（例如，見22和參考文獻therein) that the FE model nodes cannot be use），即有限元模型的節(jié)點不能作為設(shè)計參數(shù)使用。Fig圖8 在直徑范圍為38mmd500mm時，應(yīng)力集中系數(shù)隨圓角比而變化的情況如圖。根據(jù)DIN 6885，這個直徑范圍內(nèi)，滿足0.

51、003r/d0.01并且深度比滿足0.06t/d0.14。The width ratio b/d is通過方程（22），寬比b/d與深度比產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。由點和實線所顯示的數(shù)值計算結(jié)果，就是以上數(shù)據(jù)的擬合曲線，見公式（24） Fig.圖9 The stress concentration factor for the pris9 matic part of a keyway in pure torsion as a在純扭作用下，鍵槽圓柱部分的應(yīng)力集中系數(shù)隨直徑變化。不同的設(shè)計variables are controlled by DIN 6885變量由DIN 6885的控制。對應(yīng)The point數(shù)

52、值模擬的點，由直線連在一起。Fig. 圖10設(shè)計領(lǐng)域： 半個鍵槽的fillet is a super ellipse with semi-major axes A圓角是一個半長軸是Aand B和B超的橢圓 從實用的角度，重點應(yīng)該是簡單，simplicity, although the optimization result shou雖然優(yōu)化結(jié)果仍然應(yīng)still be near to the optimal design接近最佳設(shè)計。 That a given 一個確定的parameterization is sufficiently flexible, ie that i參數(shù)具有足夠的靈活性，

53、即can return optimal designs, can only be checked or得到的最優(yōu)設(shè)計，只能verified after an actual optimization procedure實際優(yōu)化過程后進行檢查或驗證。如果應(yīng)力一直沿面的主要部分，則該then the shape is assumed to be optimal, se則形狀被認為是最理想的，見彼得森19。 The parameterization chosen here is to use the 這里選擇的參數(shù)化，是通過使用super ellipse due to the simple param

54、eterization an超橢圓形得到的。這是因為參數(shù)化簡單，并且在其他問題上，原來由owing to previous results obtained with this shape in這種形狀獲得的結(jié)果與應(yīng)力集中有關(guān)。圓角的橢圓形狀可以在The design domain is shown in Fig.圖10的設(shè)計領(lǐng)域中看到。The super ellipse (with super elliptical power g) is超橢圓（超橢圓冪）的參數(shù)形式為The keyway design is, according to Fig.根據(jù)圖 10, fully 10，鍵槽的設(shè)計完全

55、由以下5個設(shè)計參數(shù)決定：寬度為b，深度T，長度L1、L22，和超橢圓功率。所有進行的優(yōu)化中，一些參數(shù)當做是已知的，這樣只有兩個起作用的起作用的設(shè)計參數(shù)。對100mm軸所有參數(shù)的研究，和所有例子中寬度的選取，都是根據(jù)標準進行的，即B=28mm。這當然是特殊選擇的軸直徑，但能表明應(yīng)力水平改善如何的結(jié)果，更有普遍性。 4.1 Design revision 1 4.1設(shè)計方案1 In the first design revision allowance is only made第一個設(shè)計方案的公差僅適用于最小可能的設(shè)計變更，該設(shè)計變更，與DIN標準規(guī)定的原設(shè)計有關(guān)。預(yù)選值是B=28mm，t=8mm

56、，L11=7.4mm ie the width and depth comply with the standard即寬度和深度符合標準，軸肩長度L1符合complies with the larges滿足允許的最大圓角比r=0.6mm。因此，設(shè)計變量是末端長度L2和超橢圓冪。The parameter study results研究得到的最佳參值L2=13.19mm，=1.63 An iso line plot of the largest principal stress is圖11是最大主應(yīng)力的等值線圖。From this figure it can be seen從該圖中可以看出，這些

57、等值線接近圓角平行線，說明indicating constant stress along the shape沿著外形有連續(xù)的應(yīng)力。這在顯示沿鍵槽邊界集中應(yīng)力系數(shù)的圖12中可以直觀地看到。從呈下降趨勢的12(b) it is seen that the stress is圖12（b）可以看出，該應(yīng)力沿圓角接近穩(wěn)定不變。最佳的應(yīng)力集中系數(shù)值為Kt=2.53。該數(shù)值可以與原來Kt=2.93時的結(jié)果相比。Kt=2.93時，是按照DIN標準的半圓形圓角設(shè)計的。由于這個相當小的設(shè)計變化，最大應(yīng)力因此降低了13.6。由于軸肩長度L11沒有改變，unchanged shoulder length, L未因此可以認為這種鍵槽設(shè)計完全和原設(shè)計的作用一樣。Fig.圖12 是半個鍵槽的圖，顯示了集中應(yīng)力隨弧長變化的情況：（a）應(yīng)力集中系數(shù)沿所述鍵槽邊界的外部點開始 the external point until the centre point; (b) stress concentration close up, here only，直到中心點結(jié)束（b）集中應(yīng)力呈閉合趨勢，這里只顯示shown along the super ellipse; the maximum stress concentration factor is 沿超橢圓鍵槽邊界最大應(yīng)力集中系數(shù)，為K=2.53 4.2 Desi