1、實用標準文檔電動力學答案第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1.根據(jù)算符的微分性與向量性，推導下列公式：(AB)B(A)(B)AA(A (A)21A2(A )A解：（ 1）(A B)( A Bc )(B Ac)Bc(A) (Bc) A Ac(B(A)( B) AA(（ 2）在（ 1）中令AB 得：(A A)2A (A) 2(A所以A (A)1(A A)( A2即A(A)1A2( A22. 設 u 是空間坐標 x, y, z的函數(shù)，證明：B)(A)BB)( Ac)BB)(A)B) A ，) A) Af (u)df，A(u)dAA(u)udAuu，dududu證明：f (u)f (u)eyf (u)dfudf

2、udfu（1） f (u)exyzezduexdueyduezxxyzdf ( u exu eyu ez )dfuduxyzdu（ 2）A(u)Ax (u)Ay (u)Az (u)dAxudAyu dAzuxyzduxduyduzdAxexdAyeydAzuuudA(dududuez ) ( exeyez )uxyzdudAexeyez（ 3）u / xu / yu / zududAx/ du dAy / du dAz / dudAz udAyudAxudAzudAy udAxu( du yduz )ex( du zdux )ey( du xduy) ezAz (u)Ay (u)Ax (u)A

3、z (u)Ay (u)Ax (u)zexzxeyyezyxA(u)3. 設 r( x x' ) 2( yy') 2(zz' ) 2為源點 x' 到場點 x 的距離， r 的方向規(guī)定為精彩文案實用標準文檔從源點指向場點。（ 1）證明下列結果，并體會對源變量求微商與對場變量求微商的關系：r' rr / r；(1/ r )'(1/ r )r / r 3 ；(r / r 3 )0 ；( r / r 3 )' (r / r 3 )0， ( r0) 。（ 2）求r，r， (a)r，(a r ) ， E 0 sin(kr ) 及 E 0 sin( k

4、r )，其中a 、 k 及 E 0 均為常向量。（ 1）證明： r( xx')2( yy' )2(zz') 2r(1/r) (xx')ex (yy(zzr /r' )ey' )ez 1' r(1 / r)( xx' )ex( yy' )ey(zz') ez r / r可見r' r21d1r1rrrdrrr 2r 3'1d1' r1' rrrdrrr 2r 3可見1/ r' 1/ r3( r /r 3 )(1/r 3 )r (1/ r 3 )r(1/ r 3 )rd1rr03

5、rr0drr 3r 4r4( r / r 3 )(1/ r 3 )r (1/ r 3 )r1r3 r3r 3r0，(r0)（ 2）解：r 4rr 31r(exeyez ) ( xx' )ex( y y' )ey( z z' )ez 3xyzexeyez2r/x/y/ z0xx'yy'zz'3(a)r( axxa yyaz)( xx') ex( yy' )ey( zz' )ez zaxexay eyaz eza(a r)r (a)(r)a a (r )(a)r4因為， a為常向量，所以，a0 ，(r)a0 ，又r 0 ，(a

6、 r )(a)r a5 E 0 sin(kr )(E0 ) sin(k r )E0 sin(kr )E 0 為常向量，E 00 ，而sin( kr )cos(k r ) (kr)cos(kr) k ，精彩文案實用標準文檔所以 E 0 sin(k r )k E 0 cos(k r )6 E0 sin(k r )sin(k r )E0kE 0 cos(k r )4.應 用 高 斯 定 理 證 明dVfdSf ， 應 用 斯 托 克 斯（ Stokes） 定 理 證 明VSdSdlSL證明：（ I ）設 c 為任意非零常矢量，則cdVfdV c (f )VV根據(jù)矢量分析公式(AB)(A) BA(B)

7、，令其中 Af ， Bc ，便得( f c)(f ) cf (c)(f ) c所以c dVfdV c (f )dV ( f c)( f c) dSVVVc ( dSf ) c dSf因為 c 是任意非零常向量，所以dVfdSfV（ II ）設 a 為任意非零常向量，令Fa ，代入斯托克斯公式，得F dSF dl（ 1）S（1）式左邊為：S(a)dSaadSSSa dSadSSadSadSSSadS（ 2）S（ 1）式右邊為：a dladl（ 3）所以adSadl（ 4）S因為 a 為任意非零常向量，所以SdSdl5. 已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為p(t )( x' , t)x'

8、; dV ' ，利用電荷守恒定律VJ0 證明 p 的變化率為：dpJ ( x' , t)dVtdtV證明： 方法（ I）dpd(x', t) x' dV' (x', t) x' dV'dtdt VV tVdpe1( ' J) x1' e1dV'x1' ( ' J)dV'dtVVV( x' ,t) x' dV'(' J) x' dV'tV' (x1'J ) (' x1' )JdV '精彩文案實用標準

9、文檔x1' J dS'J x1 dV 'SV因為封閉曲面S 為電荷系統(tǒng)的邊界，所以電流不能流出這邊界，故x1' J dS' 0 ，dp e1VJ x1 dV 'Sdtdp e2dp e3同理J x2 dV ' ，VJ x3dV 'dtVdt所以dpJdV 'dtV方法（ II ）dpd(x',t)x'dV'(x',t)x' dV'(x', t) x'dV'( ' J)x'dV'dtdtVVtVtV根據(jù)并矢的散度公式( fg )(

10、f ) g( f) g 得：( Jx' )(J ) x' (J)x'(J ) x' Jdp' ( Jx' )dV 'JdV 'dS(Jx' )JdV 'JdV 'dtVVVV6.若 m 是常向量，證明除R0 點以外，向量A （ m R）/ R 3的旋度等于標量m R / R3 的梯度的負值，即A，其中 R 為坐標原點到場點的距離，方向由原點指向場點。證明：（1/ r )r / r 3mr11A(r 3 ) m (r )(r )m(m)1(m )1(1) m (1)mrrrr(m)12 1m2 (1/ r )

11、rr其中0，（ r0）A( m)1，（ r0）r又m r1)(r 3) m ( rm (1) (1) (m)(m )(1) (1) m1rrrr(m)()r所以，當 r0 時，A7.有一內外半徑分別為r1 和 r2的空心介質球，介質的電容率為，使介質球內均勻帶靜止自由電荷f，求：（ 1）空間各點的電場； （ 2）極化體電荷和極化面電荷分布。解：（ 1）設場點到球心距離為r 。以球心為中心，以 r為半徑作一球面作為高斯面。由對稱性可知，電場沿徑向分布，且相同r 處場強大小相同。精彩文案實用標準文檔當 rr1 時， D10， E10 。當 r1r r2 時，4 r 2D 24 (r 3r13 )

12、f3D2(r 3r13 ) fE2(r 3r13 ) f3r 2，3 r 2，(r 33 )向量式為E2r1fr3 r 3當 rr2 時，24334 r D33(r2r1 )fD3(r23r13) fE3(r23r13 ) f3r 230r 233向量式為E3( r2r1 )fr3 0 r 3（ 2）當 r1r r2 時，pP(D20E2)(D20 D2)(10 )D2(10 )f當 rr1 時，pn ( P2P1 )n ( D20 D2)(10 ) D2 r r10當 rr2 時，n P2(10)D2 r r(10r23r13p)2f23r28. 內外半徑分別為r1 和 r 2 的無窮長中空

13、導體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流J f ，導體的磁導率為，求磁感應強度和磁化電流。解：（ 1）以圓柱軸線上任一點為圓心，在垂直于軸線平面內作一圓形閉合回路，設其半徑為 r 。由對稱性可知，磁場在垂直于軸線的平面內，且與圓周相切。當 rr1時，由安培環(huán)路定理得：H 1 0,B10當 r1rr2 時，由環(huán)路定理得：2rH 2J f(r 2r12 )所以H 2J f (r 2r12 )，B2( r 2r12 )2r2rJ f向量式為B2( r 2r12 )J f e?(r 2r12 )J fr2r2r 2當 rr2時， 2 rH 3J f(r 22r12 )精彩文案實用標準文檔所以H 3J f

14、(r22r12 )B30 (r22r12 )J f2r，2r向量式為B30(r22r12 )?0 (r22r12 )r2rJ f e2r 2J f（ 2）當 r1rr2 時，磁化強度為M(1)H 2(r 2r12 )r1)J f002r 2所以J MM(1)H2(1)H 2(1)J f000在 rr1處，磁化面電流密度為M1M dl02 r1在 rr2處，磁化面電流密度為01dl(r22r12 )MM1)J f2 r202r2222向量式為M(1)(r2r1 )J f2r2209.證明均勻介質內部的體極化電荷密度p 總是等于體自由電荷密度f 的(1 0/)倍。證明： 在均勻介質中P( /01)

15、 0E(0 )E所以pP(0 )E(0 )(1/)D(0 ) / f(10 / ) f10.證明兩個閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向相反( 但兩個電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律)證明 : 線圈 1在線圈 2的磁場中受的力 :dF12 I 1dl1B2 ,而 B20I 2dl 2r12 ，4l2r123F120 I 1dl1(I 2 dl2r12 )0I1I2dl 1(dl2r12 )4r1234r123l 1 l 2l1 l20I1I2dl 2dl1r12r12(1)433 (dl1 dl2 )l1l2r12r12同理可得線圈2在線圈 1的磁場中受的力：精彩文案實用

16、標準文檔F 210I1I2dl1r21r21(dl 2dl1 )(2)4dl 233l2 l1r21r21(1) 式中：dl2 dl1r12dl 2 dl1r12dl 2dr12dl 2 (1 )0l1 l 2r123l 2l1r123l 2l1 r122l2r12 一周同理 (2)式中：dl1dl 2r210r213l 2 l1F12F210I1I2r123 (dl1 dl2 )4l1 l2r1211. 平行板電容器內有兩層介質，它們的厚度分別為l1 和 l2 ，電容率為1 和 2 ，今在兩板接上電動勢為E 的電池，求： （ 1）電容器兩極板上的自由電荷面密度f 1 和f 2 ；（ 2）介質

17、分界面上的自由電荷面密度f 3 。(若介質是漏電的， 電導率分別為1 和 2當電流達到恒定時，上述兩物體的結果如何？)解：忽略邊緣效應，平行板電容器內部場強方向垂直于極板，且介質中的場強分段均勻，分別設為 E1 和 E 2 ，電位移分別設為D1 和 D2 ，其方向均由正極板指向負極板。當介質不漏電時，介質內沒有自由電荷，因此，介質分界面處自由電荷面密度為f 30取高斯柱面，使其一端在極板A 內，另一端在介質1 內，由高斯定理得：D1f 1同理，在極板B 內和介質2 內作高斯柱面，由高斯定理得：D2f 2在介質 1 和介質 2 內作高斯柱面，由高斯定理得：D1D2所以有E1f 1，E2f 112

18、由于 EE dlf 1l1f 1l 2f 1 ( l1l2 )1212所以f 1f 2E( l1l 2 )12當介質漏電時，重復上述步驟，可得：D1f 1 ，D 2f 2 ，D2D1f 3f 3f 1f 2介質 1 中電流密度J11 E11D1 /11f 1 /1介質 2 中電流密度J 22 E 22D2 /22 (f 1f 3 ) /2由于電流恒定，J1J 2 ，精彩文案實用標準文檔1f 1 / 12 ( f 1f 3 ) / 2f 32 ( 12 ) f 1( 211) f 121221再由EE d l E 1 l1E 2 l 2得Ef 1 l 12 1f 1f 1 (l11 l 2 )1

19、22112f 11E21El12 l11l 21l 2 /2f 2(f 1f 3 )12E2 l11l 2f 31221E2 l11l 212.證明：（1）當兩種絕緣介質的分界面上不帶面自由電荷時，電場線的曲折滿足tantan2 21 1其中 1 和 2 分別為兩種介質的介電常數(shù)， 1 和 2 分別為界面兩側電場線與法線的夾角。（2）當兩種導電介質內流有恒定電流時，分界面上電場線的曲折滿足tantan2 21 1其中1 和2 分別為兩種介質的電導率。證明：（ 1）由 E 的切向分量連續(xù)，得E1 sin 1E2 sin 2（1）交界面處無自由電荷，所以D 的法向分量連續(xù)，即D1 cos 1D2

20、cos21 E1 cos 12 E2 cos 2（ 2）（ 1）、（ 2）式相除，得tantan2 21 1（ 2）當兩種電介質內流有恒定電流時J11E1, J22E2由 J 的法向分量連續(xù)，得1 E1 cos 12 E2 cos 2（ 3）（1）、（ 3）式相除，即得tantan2 21 1精彩文案實用標準文檔13.試用邊值關系證明：在絕緣介質與導體的分界面上，在靜電情況下，導體外的電場線總是垂直于導體表面；在恒定電流情況下，導體內電場線總是平行于導體表面。證明：（ 1）設導體外表面處電場強度為E ，其方向與法線之間夾角為，則其切向分量為 E sin。在靜電情況下，導體內部場強處處為零，由于

21、在分界面上E 的切向分量連續(xù)，所以Esin0因此0即 E 只有法向分量，電場線與導體表面垂直。（ 2）在恒定電流情況下，設導體內表面處電場方向與導體表面夾角為，則電流密度 JE 與導體表面夾角也是。導體外的電流密度J0 ，由于在分界面上電流密度的法向分量連續(xù)，所以E sin0因此0即 J 只有切向分量，從而E 只有切向分量，電場線與導體表面平行。14.內外半徑分別為a 和 b 的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電為f，板間填充電導率為的非磁性物質。（ 1）證明在介質中任何一點傳導電流與位移電流嚴格抵消，因此內部無磁場。（ 2）求 f 隨時間的衰減規(guī)律。（ 3）求與軸相距為 r 的地方的能量耗散功

22、率密度。（ 4）求長度 l 的一段介質總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率。解：（ 1）以電容器軸線為軸作一圓柱形高斯面，其半徑為r ，長度為 L ，其中arb2rLDL則由高斯定理得：f（ 1）所以Df，J D1f（2）2r2rt再由電流連續(xù)性方程得：2 rLJ fq /tL ( f / t)（ 3）所以J f1fJ D（ 4）2rt即 J f 與 J D 嚴格抵消，因此內部無磁場。（ 2）由 J fE得： J fDf（ 5）2rd聯(lián)立（ 2）（ 4）（ 5）得f0（ 6）dtfd所以fd0tfCet（ 7）f設初始條件為ft0f 0 ，則由（ 7）式得 Cf 0所以，f 0 e

23、t（ 8）f精彩文案實用標準文檔2（ 3）pE 2f（ 9）2r（ 4）將上式在長度為l 的一段介質內積分，得2b22lbfffPdV2 rl dr2 ln（ 10）aV2 r2 r2a由 w 12 E 2 得：11b2rldr2flWwdVf2ln b2 V2a2 r4a所以dWf lbdf（ 11）dt2lndta由（ 6）（ 10）（11）得： PdWdt即總的能量耗散功率等于這段介質的靜電能減少率。第二章靜電場1. 一個半徑為 R 的電介質球，極化強度為（ 1）計算束縛電荷的體密度和面密度：（ 2）計算自由電荷體密度；（ 3）計算球外和球內的電勢；（ 4）求該帶電介質球產生的靜電場總能

24、量解：（ 1） pPK( r / r 2 )pn ( P2P1 )erP r R（2） D內0EPP/(0 )fD內P /(0 )（3） E內D內 /P /(0 )PKr / r 2 ，電容率為。K (1/ r 2 ) r r (1/ r 2 ) K / r 2 K / RK /(0 )r 2D外f dVKRE 外040 r 2 er0 (0 )r 2 er外E 外drKR0 (0 )rrEdrK(ln R)內內E 外drRrR0r0（4）W11K 2R 4 r 2dr12K2R24 r 2 drD EdV2022R422 (0 )r20 (0 )r精彩文案實用標準文檔2 R(1)(K)200

25、2. 在均勻外電場中置入半徑為R0 的導體球， 試用分離變量法求下列兩種情況的電勢：（ 1）導體球上接有電池，使球與地保持電勢差0 ；（ 2）導體球上帶總電荷Q解：（ 1）該問題具有軸對稱性， 對稱軸為通過球心沿外電場 E 0 方向的軸線， 取該軸線為極軸，球心為原點建立球坐標系。當 RR0 時，電勢滿足拉普拉斯方程，通解為(an Rnbn1 )Pn (cos)nR n因為無窮遠處EE 0 ，0E0 R cos0E0 RP1 (cos )所以a00 ， a1E0 ， an0, (n 2)當 RR0 時，0所以0E0 R0 P1 (cos)bnPn (cos)0n R0n 1即：0b0 / R00 , b1 / R02E0 R0所以b0R0( 00 ),b1E0 R03, bn0 , (