1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計 報告人：劉璐 201231208 摘要 易拉罐十分流行，對易拉罐的優(yōu)化設計有重要的經(jīng)濟意義與實際意義。 對問題一，我們通過實際測量得出（355ml）易拉罐各部分的數(shù)據(jù)。 對問題二，在假設易拉罐蓋口厚度與其他部分厚度之比為3：1的條件下，建立易拉罐用料模型 ),2(2)(2rrvrdrs 由微積分方法求最優(yōu)解，結(jié)論：易拉罐高與直徑之比2：1，用料最??； 在假定易拉罐高與直徑2：1的條件下，將易拉罐材料設想為外體積減內(nèi)體積，得用料模型：000),(.),(min2hrvhrhrgtshrs 用微積分方法得最優(yōu)解：易拉罐蓋子厚度與其他部分厚度為3：1。 對問題三，在易拉罐

2、基本尺寸，高與直徑之比2：1的條件下，將上面為正圓臺的易拉罐用料優(yōu)化設計，轉(zhuǎn)化為正圓柱部分一定而研究此正圓臺的用料優(yōu)化設計。 圓臺面積用數(shù)學軟件求得最優(yōu)解r=1.467, h=1.93時，s=5.07最小。結(jié)論：易拉罐總高：底直徑=2：1，上下底之比=1：2，與實際比較分析了各種原因。 關(guān)鍵詞：易拉罐 最優(yōu)設計 22222229( )()()()vs rrRrRrrrRR 一、問題的提出 每年我國易拉罐的使用量是很大的，（近年我國每年用易拉罐億只），如果每個易拉罐在形狀和尺寸作優(yōu)化設計，節(jié)約一點用料，則總的節(jié)約就很大了。為此提出下述問題：1：取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可

3、口可樂飲料罐，測量驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度、厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明。2：設易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結(jié)果是否可以合理地說明所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。3設易拉罐的上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結(jié)果是否可以合理地說明所測量的易拉罐的形狀和尺寸。二、基本假設1本文研究易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計，不考慮具體的用料（假設為鋁材），也不考慮易拉罐的工藝過程。2易拉罐的形狀和尺寸假設為“正圓柱體”或“正圓臺與正圓柱體的結(jié)合”等等。3易拉罐的基本構(gòu)造為“兩片罐”。4實際測量允許有一定的誤差。

4、(對不同問題的研究再作補充假設)。5. 不考慮壓強三模型的假設與求解問題一 ： 我們實際測量355ml易拉罐的各種數(shù)據(jù)如下表： 常見易拉罐尺寸（mm） 問題二 1.補充假設，在基本假設的基礎上我們補充下述假設：在本問題的研究中，假設易垃罐是一個正圓柱體；假設易拉罐側(cè)面和底面的厚度相同，頂部的厚度是側(cè)面厚度的3倍；體積一定的柱體中，正圓柱體的表面積最小。 2. 符號說明： h：易拉罐的高；r：易拉罐的上下底半徑；d：易拉罐金屬板的厚度；V：易拉罐的體積；D：易拉罐上下底直徑。3問題分析與模型在本問題中，易拉罐的最優(yōu)設計著眼于每個易拉罐用料最少。因此需要考慮易拉罐的形狀、尺寸和厚度，已假設易拉罐頂

5、部厚度是側(cè)面厚度的3倍。 因此一個易拉罐所需材料為：側(cè)面的材料+底面的材料+頂部的材料 即 假設易拉罐的體積V一定 則所需材料為22232(2 )srhdr dr drd hr2vr h2( )2(2 )(0,)vs rrdrrr 模型求解，用微積分方法 令 ，解得 。 討論當 時， ； 當 時， ； 因此 是 的極小值，而 沒有其它極值點， 故 是 的最小值點。 2( )2(4 )vs rdrr( ) 0s r 34vr34vr( )0s r 34vr( )0s r 34v(0,)r34vr ( )s r( )s r 此時，易拉罐的直徑 易拉罐的高 4.結(jié)果分析 上述模型及其求解得到的結(jié)論是

6、：在正圓柱體易拉罐體積一定時，當高與直徑之比為2：1時，易拉罐的用料最省。 即為考慮用料最少，正圓柱體易拉罐的的高與直徑之比為2：1是最優(yōu)設計。 此結(jié)果正好符合實際大多數(shù)易拉罐的形狀和尺寸。如我們所測的355毫升的可口可樂易拉罐高104，直徑65，（比例2：1.06），其它355毫升的易拉罐如青島啤酒、百威啤酒、統(tǒng)一冰紅茶、統(tǒng)一鮮橙多等其比例都如此。又如 180毫升的雀巢咖啡高10.5mm,直徑54mm（比例為2：1.02）。3224vDr23322(4 )4424vvvhrDrv問題二再解 上述問題二的解中，是基于一個重要假設：“易拉罐頂蓋厚度是其他部分厚度的3倍”。這是由實測數(shù)據(jù)得到，并認

7、為是易拉罐開口原理（即開口邊緣切口，便于拉開），要求頂蓋有一定的厚度，現(xiàn)去除此假設，做一般地研究。 1.補充假設：假設易拉罐是一個正圓柱體；假設易拉罐側(cè)面厚度與底面厚度相同，與頂蓋厚度不同（如圖2）。2.符號說明： r：易拉罐的半徑； h：易拉罐的高； v：易拉罐內(nèi)體積（容積）； sv：易拉罐所用材料的體積； b：易拉罐除頂蓋外的厚度； ：頂蓋厚度參數(shù)，即頂蓋厚度 。3.問題分析與模型由于易拉罐尺寸優(yōu)化設計要研究到易拉罐各部分厚度問題，可設想一個易拉罐所用材料是易拉罐外形體積減去內(nèi)部體積（見圖2）。易拉罐用料=側(cè)面材料+底面材料+頂蓋材料b 將上式化簡，有 作簡化，因為 ，則 很小，所以可將帶

8、 的項忽略。 有 記 （v是已知的，即罐容積一定）。 得數(shù)學模型 2222sv=( () - r )(h+(1+ )b)+b rrbb r 2223( , )2(1)2(1)(1)sv r hrhbr brbh bb br23,bb23,bb2( , )( , )2(1)sv r hs r hrhbrb2( ,)g r hr hvmin ( , )s r h2( , )0.00g r hr hvstrh 4.模型求解 由約束條件 ，得 ，代入目標函數(shù) 令 得 又因為 所以 為最小值點。 又由于極值點只有此一個，因此也是全局極小。2( , )0grhrh v 2vhr22( , ( )(1)vs

9、 r h rbrr322(1)0bsrvr 3242 (1)0(0)vsbrr 3(1)vr 3(1)vr 又由于 則由對問題二的前一解的結(jié)論， 得 ， 結(jié)論 ： 。 5.結(jié)果分析 易拉罐頂蓋厚度是側(cè)面厚度的3倍（ ）與我們對355ml可口可樂等易拉罐的實測數(shù)據(jù)完全一致（見問題（1）的解）。 問題三 1.補充假設，在基本假設的基礎上我們補充下述假設： 在本問題中假設易拉罐如圖3所示，即上面是正圓臺，下面是正圓柱體。2332(1)()(1)(1)(1)vvvhrrv 4hr4133 2.符號說明 R：易拉罐正圓柱體半徑（也即是正圓臺下底半徑）；r：易拉罐正圓臺上底半徑；h1：易拉罐正圓柱體高；V

10、1：易拉罐正圓柱體容積；h ：易拉罐正圓臺高；V：易拉罐正圓臺容積。 3.問題分析與模型 因為上述解問題二的結(jié)論（正圓柱體易拉罐用料最省的形狀和尺寸的最優(yōu)設計是h=2D）已確定了圓柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐體積一定，則基本的高與半徑可大致確定，即易拉罐的圓柱體部分確定。所以這里我們可以由此簡化問題為研究正圓臺部分的優(yōu)化設計。以常見的可口可樂等355ml易拉罐為例，易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm,于是測算出V=35ml.于是問題三轉(zhuǎn)化為，已知易拉罐上部正圓臺體積V一定，底半徑R一定時，其上底半徑r和高h為何值（或r與h比例是多少）正圓臺的表面積最小，如圖4： 求正圓臺的面積得模型

11、： 正圓臺面積=頂蓋面積+圓臺側(cè)面積 用數(shù)學軟件求S的最小值（其中如前分析取V=35ml,R=3.2cm）， 得： 當r=1.467cm,h=1.93cm時， 正圓臺表面積最小值s=45.07（ ）2222222222222()()1()33()9()()()SrrRhRrVh rrRRVhrrRRvrrRRrrrRR即代 入 有S=2c m結(jié)論：常見的正圓臺與正圓柱體結(jié)合的易拉罐，只考慮形狀和尺寸變化用料最少的優(yōu)化設計標準是：總高度與底直徑之比為2：1， 正圓臺的高與上底直徑之比約為2：3（即h：2r2：3），相應易拉罐上下底直徑之比為 。4.結(jié)果分析上述結(jié)果是不考慮其他因素，僅就易拉罐形狀

12、和尺寸變化，考慮其基本用料最省的數(shù)學結(jié)論，對實際易拉罐的設計有一定參考意義。但上述結(jié)果與現(xiàn)今實際的易拉罐尺寸有出入，以可口可樂等355ml易拉罐為例，其r=2.9cm h=1.2cm。我們分析這種差異的原因是易拉罐的實際設計必須要考慮形狀和尺寸以外的其他各種因素。加工工藝：可口可樂等鋁制易拉罐是“兩片”構(gòu)成（即正圓柱體側(cè)面及底為一部2 :21:2rR分，上密封蓋為一部分，分別簡稱為“罐體”和“封蓋”）。將鋁材罐體縮口形成上部圓臺部分，為了使“封口蓋”能扣緊“罐體”。圓臺側(cè)面的坡度（斜率）有一定要求（如斜率 0.4），即為了封口蓋的工藝要求，易拉罐上部側(cè)面的（坡度）不能過小，（按數(shù)學優(yōu)化計算則）。同樣是加工工藝的要求，若r較小，較小，即圓臺側(cè)面坡度小，則從圓罐上口“縮口”成圓臺形時，此加工也增加難度（如容易起皺）。外形美觀：按上述數(shù)學