1、第六節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系知識點(diǎn)一 直線與圓錐曲線的位置線1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常是將直線方程與曲線方程聯(lián)立，消去變量y(或x)得變量x(或y)的方程：ax2bxc0(或ay2byc0).(1)若a0，可考慮一元二次方程的判別式，有：0直線與圓錐曲線 ；0直線與圓錐曲線 ；0直線與圓錐曲線 .(2)若a0，則直線與圓錐曲線相交，且有一個(gè)交點(diǎn).相交相切相離2.圓錐曲線的弦長問題3.弦中點(diǎn)問題對于弦中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件是0.一個(gè)方法：有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法.一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：忽略直線的斜

2、率不存在致誤.(2)解決直線與圓錐曲線相交，相切，相離等問題時(shí)，一定要注意直線垂直于x軸的情形，此時(shí)直線的斜率不存在；以免漏解直線l過定點(diǎn)P(0，1)且與拋物線y22x只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的方程為_.答案x0或y1或x2y201.曲線與方程一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).知識點(diǎn)二 曲線與方程那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.求動點(diǎn)的軌跡方程一般步驟“建、設(shè)、列、代、證”(1)建系建立適

3、當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(2)設(shè)點(diǎn)設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y).(3)列式列出動點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式.(4)代入依條件的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡.(5)證明證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)的軌跡方程.2.圓錐曲線的綜合問題(1)最值問題：可結(jié)合數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值或線性規(guī)則問題.(2)定值問題：先求出表達(dá)式，再化簡，據(jù)已知條件列出方程(或不等式)，消參.(3)對參數(shù)的取值范圍問題：據(jù)已知條件建立等式或不等式或函數(shù)關(guān)系，求參數(shù)的范圍.(4)對稱問題：若A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則直線AB與對稱軸垂直，且線段AB的中點(diǎn)在對稱軸上，即對稱軸是線段AB的垂直平分線.解決對稱問題

4、應(yīng)注意條件的充分利用，尤其是各量之間的關(guān)系.(5)存在性問題：一般采用“假設(shè)反證法”或“假設(shè)驗(yàn)證法”來解決.另外，也可先用特殊情況或特殊位置得到所求的值，再給出一般性的證明，即由特殊到一般的方法.五種方法：求曲線或軌跡方程方法.(3)直接法(五步法)；定義法；相關(guān)點(diǎn)法(代入法)；參數(shù)法；交軌法已知點(diǎn)P是直線2xy30上的一個(gè)動點(diǎn)，定點(diǎn)M(1，2)，Q是線段PM延長線上的一點(diǎn)，且|PM|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是_.解析由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(2x，4y)，代入2xy30得2xy50.答案2xy50兩點(diǎn)注意：求軌跡方程要注意以下兩點(diǎn).(4)求軌跡方程時(shí)，要注意曲線上的點(diǎn)與

5、方程的解是一一對應(yīng)關(guān)系.檢驗(yàn)可從以下兩個(gè)方面進(jìn)行：一是方程的化簡是否是同解變形；二是是否符合題目的實(shí)際意義.求點(diǎn)的軌跡與軌跡方程是不同的要求，求軌跡時(shí)，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等.已知ABC的頂點(diǎn)B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長|CD|3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_.最值與范圍問題求解方略求范圍的方法同求最值及函數(shù)的值域的方法類似(1)求最值常見的解法有兩種：代數(shù)法和幾何法.若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.(2)圓錐曲線中的最值問題

6、大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題.解決圓錐曲線中的取值范圍問題的5種常用解法(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)橢圓左焦

7、點(diǎn)為F1，若AF1B為鈍角，求橢圓長軸長的取值范圍.點(diǎn)評本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.定點(diǎn)與定值問題求解方略解決定點(diǎn)問題的關(guān)鍵就是建立直線系或者曲線系方程，要注意選用合適的參數(shù)表達(dá)直線系或者曲線系方程，如果是雙參數(shù)，要注意這兩個(gè)參數(shù)之間的相互關(guān)系.解決圓錐曲線中的定值問題的基本思路很明確，即定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，其不受變化的量所影響的一個(gè)值，就是要求的定值.解決這類問

8、題的關(guān)鍵就是引進(jìn)參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.(1)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；(2)從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意.定點(diǎn)問題常見的2種解法定值問題常見的2種求法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān).(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若E，F(xiàn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，則當(dāng)直線PE，PF的斜率都存在，并記為kPE，kPF時(shí)，kP

9、EkPF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由.點(diǎn)評圓錐曲線中的定值與定點(diǎn)問題是高考的?？碱}型，運(yùn)算量較大，解題思維性較強(qiáng).解決這類問題一般有兩種方法：一是根據(jù)題意求出相關(guān)的表達(dá)式，再根據(jù)已知條件列出方程組(或不等式)，消去參數(shù)，求出定值或定點(diǎn)坐標(biāo)；二是先利用特殊情況確定定值或定點(diǎn)坐標(biāo)，再從一般情況進(jìn)行驗(yàn)證.探究性問題是指結(jié)論或條件不完備的試題，這類試題不給出確定的結(jié)論，讓考生根據(jù)題目的條件進(jìn)行分析判斷，從而得出確定的結(jié)論，對分析問題、解決問題的能力有較高的要求，是高考壓軸的熱點(diǎn)題型.圓錐曲線中的探索性問題突破方略解決方案圓錐曲線中，這類問題的解題思想是假設(shè)其結(jié)論成立、存在，在這個(gè)

10、假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果得到了一個(gè)合情合理的推理結(jié)果，就肯定假設(shè)，對問題作出正面回答；如果得到一個(gè)矛盾的結(jié)果，就否定假設(shè)，對問題作出反面回答.(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M(m，n)，使得直線l：mxny1與圓O：x2y21相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的OAB的面積；若不存在，請說明理由.點(diǎn)評1.探索性問題答題模板：第一步：假設(shè)結(jié)論存在.第二步：結(jié)合已知條件進(jìn)行推理求解.第三步：若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設(shè).第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.2.本題是圓錐曲線中的探索性問題，也是最值問題，求圓錐曲線的最值問題是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)，通常是先建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值.圓錐曲線中的對稱問題方法總結(jié)圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱的問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，該問題集垂直、中點(diǎn)弦、直線與圓錐曲