1、 模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方法法. . 眾所周知，經(jīng)典數(shù)學(xué)是以精確性為特征的眾所周知，經(jīng)典數(shù)學(xué)是以精確性為特征的. . 然而，與精確形相悖的模糊性并不完全是消極的、然而，與精確形相悖的模糊性并不完全是消極的、沒有價(jià)值的沒有價(jià)值的. . 甚至可以這樣說，有時(shí)模糊性比精確性還甚至可以這樣說，有時(shí)模糊性比精確性還要好要好. . 例如例如, ,要你某時(shí)到某地去迎接一個(gè)要你某時(shí)到某地去迎接一個(gè)“大胡子高個(gè)子大胡子高個(gè)子長頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡的中年男人長頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡的中年男人”. . 盡管這里只提供了一個(gè)精確信息盡管這里只提供了一個(gè)精確信息男人，而其他

2、男人，而其他信息信息大胡子、高個(gè)子、長頭發(fā)、寬邊黑色眼鏡、中大胡子、高個(gè)子、長頭發(fā)、寬邊黑色眼鏡、中年等都是模糊概念，但是你只要將這些模糊概念經(jīng)過頭年等都是模糊概念，但是你只要將這些模糊概念經(jīng)過頭腦的綜合分析判斷，就可以接到這個(gè)人腦的綜合分析判斷，就可以接到這個(gè)人. . 模糊數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用幾乎涉及到國民經(jīng)濟(jì)的各模糊數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用幾乎涉及到國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)領(lǐng)域及部門，農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質(zhì)勘探、個(gè)領(lǐng)域及部門，農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質(zhì)勘探、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理等方面都有模糊數(shù)學(xué)的廣泛而又成功的醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理等方面都有模糊數(shù)學(xué)的廣泛而又成功的應(yīng)用應(yīng)用. .一一 經(jīng)典集合經(jīng)典集合 1. 1.

3、經(jīng)典集合具有兩條基本屬性：經(jīng)典集合具有兩條基本屬性：元素彼此相元素彼此相異，即無重復(fù)性；范圍邊界分明異，即無重復(fù)性；范圍邊界分明, ,即一個(gè)元素即一個(gè)元素x要要么屬于集合么屬于集合A( (記作記作x A),),要么不屬于集合要么不屬于集合( (記作記作x A) )，二者必居其一，二者必居其一. . 2. 2.集合的表示法集合的表示法 (1)(1)枚舉法，枚舉法，A= x1 , x2 , xn ； (2)(2)描述法，描述法，A= x | P(x).定義定義1 1 A包含于包含于B：A B 若若x A，則則x B； A包含包含B：A B 若若x B，則則x A； A等于等于B：A=B A B且且

4、 A B. .定義定義2 2 若若A包含于包含于B，稱，稱A是是B的的子集子集；不含有任何；不含有任何元素的集合稱為元素的集合稱為空集空集，用，用 表示；設(shè)有集合表示；設(shè)有集合U，對(duì)于任意集合對(duì)于任意集合A，總有，總有A U，則稱，則稱U為為全集全集. 顯然，任何非空集合顯然，任何非空集合A，都有兩個(gè)子集：，都有兩個(gè)子集：A及及 . 全集是個(gè)具有相對(duì)性的概念全集是個(gè)具有相對(duì)性的概念.定義定義3 3 集合集合A的所有子集所組成的集合稱為的所有子集所組成的集合稱為A的的冪冪集集，記為，記為 (A)，即，即 (A)=B|B A . 對(duì)于有限集合來說，對(duì)于有限集合來說，| (A)|=2|A|. . 5

5、. 5.集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算定義定義4 4 并集并集：AB = x | x A或或x B ； 交集交集：AB = x | x A且且x B ； 余集余集：Ac = x | x A .冪等律：冪等律： AA = A， AA = A；交換律：交換律： AB = BA， AB = BA；結(jié)合律：結(jié)合律：( AB )C = A( BC )， ( AB )C = A( BC )；吸收律：吸收律： A( AB ) = A，A( AB ) = A；分配律：分配律：( AB )C = ( AC )( BC )； ( AB )C = ( AC )( BC )；0-10-1律：律：AU = U ， AU = A

6、； A = A ， A = ；還原律：還原律： (Ac)c = A ；對(duì)偶律：對(duì)偶律： (AB)c = AcBc，(AB)c = AcBc； 排中律：排中律： AAc = U， AAc = .定義定義5 5X Y = (x , y )| x X , y Y . 例例1 1 設(shè)設(shè)X = 1, 2 ，Y = a,b,c . 則則X Y = (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c) ,Y X = (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2) . 對(duì)于有限集合來說，對(duì)于有限集合來說，| X Y |= | X | |Y |. 1

7、. 1.映射映射定義定義6 6 設(shè)設(shè)X 與與 Y是兩個(gè)是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)對(duì)非空集合，如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則應(yīng)規(guī)則 f ，使得，使得 x X ，有唯一的元素，有唯一的元素 y Y 與之與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)，則稱 f 是是 X 到到 Y 的的映射映射，記為，記為f ： X Y定義域、值域、滿映射、一一映射定義域、值域、滿映射、一一映射. .特征函數(shù)滿足：特征函數(shù)滿足： ., 0;, 1)(AxAxxA).(1)();()()();()()(xxxxxxxxAABABABABAc取大運(yùn)算取大運(yùn)算, ,如如23 = 3取小運(yùn)算取小運(yùn)算, ,如如23 = 2擴(kuò)張：點(diǎn)集映射擴(kuò)張：點(diǎn)集映射 集合變換集

8、合變換定義定義7 7 ( (擴(kuò)張?jiān)頂U(kuò)張?jiān)? )設(shè)設(shè)映射映射 f ：X Y，定義，定義f (A) = y | f (x) = y，x A 例例2 2 設(shè)設(shè)X = a, b, c ，Y = 1, 2 . f ：X Y 且且f (a) =1，f (b) =2，f (c) =1. 則則f ： (X) (Y)且且 f ( ) = ，f ( a ) = 1 ，f ( b ) = 2 ， f ( c ) = 1 ，f ( a, b ) = 1, 2 ，f ( a, c ) = 1 ， f ( b, c ) = 1,2 ， f ( a, b, c ) = 1,2 .點(diǎn)集映射、集合變換點(diǎn)集映射、集合變換 1

9、. 1.二元關(guān)系二元關(guān)系定義定義8 8 X Y 的子集的子集 R 稱為從稱為從 X 到到 Y 的的二元關(guān)系，二元關(guān)系，特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) X = Y 時(shí)，時(shí)，稱之為稱之為 X 上的上的二元關(guān)系二元關(guān)系.二元關(guān)系簡稱為二元關(guān)系簡稱為關(guān)系關(guān)系. 若若(x , y ) R，則，則稱稱 x 與與 y 有有關(guān)系，記為關(guān)系，記為R (x , y ) = 1； 若若(x , y ) R，則，則稱稱 x 與與 y 沒有沒有關(guān)系，記為關(guān)系，記為R (x , y ) = 0. 映射映射R : X Y 0,1實(shí)際上是實(shí)際上是 X Y 的子集的子集R上的特征函數(shù)上的特征函數(shù).定義定義9 9 設(shè)設(shè)R為為 X 上的上的

10、關(guān)系關(guān)系 (1) 自反性自反性：若：若 X 上的任何元素都與自己有上的任何元素都與自己有關(guān)系關(guān)系R，即，即R (x , x) =1，則稱關(guān)系，則稱關(guān)系 R 具有自反性；具有自反性； (2) 對(duì)稱性對(duì)稱性：對(duì)于：對(duì)于X 上的任意兩個(gè)元素上的任意兩個(gè)元素 x , y，若若 x 與與y 有關(guān)系有關(guān)系R 時(shí)，則時(shí)，則 y 與與 x 也有關(guān)系也有關(guān)系R，即，即若若R (x , y ) =1，則，則R ( y , x ) = 1，那么稱關(guān)系那么稱關(guān)系R具具有對(duì)稱性有對(duì)稱性； (3) 傳遞性傳遞性：對(duì)于：對(duì)于X上的任意三個(gè)元素上的任意三個(gè)元素x, y, z，若若x 與與y 有關(guān)系有關(guān)系R，y 與與z 也有關(guān)

11、系也有關(guān)系R 時(shí)，則時(shí)，則x與與z 也有關(guān)系也有關(guān)系R，即若，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，則則R ( x , z ) = 1，那么稱關(guān)系那么稱關(guān)系R具有傳遞性具有傳遞性. . 定義定義1010 設(shè)設(shè)X = x1, x2, , xm, ,Y= y1, y2, , yn，R為從為從 X 到到 Y 的的二元關(guān)系，記二元關(guān)系，記rij = =R(xi , yj )，R = (rij)mn，則則R為布為布爾矩陣爾矩陣( (Boole) )，稱為稱為R的關(guān)系矩陣的關(guān)系矩陣. 布布爾矩陣爾矩陣( (Boole) )是元素只取是元素只取0或或1的矩陣的矩陣. .定義定義11

12、11 設(shè)設(shè)R1 是是 X 到到 Y 的關(guān)系的關(guān)系, R2 是是 Y 到到 Z 的關(guān)系的關(guān)系, 則則R1與與 R2的的合成合成 R1 R2是是 X 到到 Z 上的一個(gè)關(guān)上的一個(gè)關(guān)系系.(R1R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 例例3 3 設(shè)設(shè) X= 1, 2, 3 ,Y= 1, 2, 3, 4 , Z= 1, 2, 3 , R1 = (x, y)| xy 是是X到到Y(jié)的關(guān)系的關(guān)系, R2 = (y, z)| y = z 是是Y 到到 Z 的關(guān)系的關(guān)系, 則則 R1= (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) , R2 =

13、 (1,1), (2,2), (3,3) ,R1與與 R2的合成的合成 R1 R2= (x, z) | xz = (1,2), (1,3), (2,3) . 設(shè)設(shè) X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z = z1, z2, , zn，且，且X 到到Y(jié) 的關(guān)系的關(guān)系R1 = (aik)ms，Y 到到 Z 的關(guān)系的關(guān)系R2 = (bkj)sn，則則X 到到Z 的關(guān)系可表示為矩陣的合成：的關(guān)系可表示為矩陣的合成：R1 R2 = (cij)mn，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks.定義定義12 12 若若R為為 n 階方陣，定義階方陣，定義R 2

14、= R R，R 3 = R 2 R 例例3 3 設(shè)設(shè) X= 1, 2, 3 ,Y= 1, 2, 3, 4 , Z= 1, 2, 3 , R1 = (x, y)| xy 是是X到到Y(jié)的關(guān)系的關(guān)系, R2 = (y, z)| y = z 是是Y 到到 Z 的關(guān)系的關(guān)系, 則則R1 R2= (x, z) | xz.1000110011101R0001000100012RR1 R2000100110性質(zhì)性質(zhì)1：(A B) C = A (B C)；性質(zhì)性質(zhì)2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn；性質(zhì)性質(zhì)3： A ( BC ) = ( A B )( A C ) ； ( BC ) A =

15、( B A )( C A ) ；性質(zhì)性質(zhì)4：O A = A O = O，I A=A I =A；性質(zhì)性質(zhì)5：AB，CD A C B D.O為零矩陣為零矩陣，I 為為 n 階單位方陣階單位方陣.AB aijbij . 設(shè)設(shè)R為為 X = x1, x2, , xn 上的上的關(guān)系，則其關(guān)關(guān)系，則其關(guān)系系矩陣矩陣R = (rij)nn 為為 n 階方陣階方陣.(1) R具有具有自反性自反性 I R；(2) R具有具有對(duì)稱性對(duì)稱性 RT = R ； (3) R具有具有傳遞性傳遞性 R2R . . 性質(zhì)性質(zhì): 若若R具有具有自反性，則自反性，則 I R R2 R3 下面證明：下面證明： R具有具有傳遞性傳遞

16、性 R2R. . 記記R=(rij)nn, R2 =(rij(2)nn. 先先設(shè)設(shè)R具有具有傳遞性傳遞性. 若若rij(2) =0，則有，則有rij(2) rij . 若若rij(2) =1，則由于，則由于rij(2) = (rikrkj) | 1kn = 1，故存在故存在1sn，使得，使得(risrsj) = 1，即即ris= 1, rsj= 1. 由于由于R具有具有傳遞性，傳遞性，ris= 1, rsj= 1，則則rij =1. 綜上所述綜上所述 R2R. . 再再設(shè)設(shè)R2R，則對(duì)任意的，則對(duì)任意的 i , j , k，若有，若有 rij =1， rjk = 1，即即(rijrjk) =

17、1，因此，因此(risrsk) | 1sn=1，即即rik(2) =1. 由由R2R，得，得rik=1，所以，所以R具有具有傳遞性傳遞性.定義定義1313 設(shè)設(shè) X 上的上的關(guān)系關(guān)系R具有具有自反性、對(duì)稱性、傳遞自反性、對(duì)稱性、傳遞性，則稱性，則稱R為為 X 上的上的等價(jià)等價(jià)關(guān)系關(guān)系. 若若x與與y 有等價(jià)關(guān)系有等價(jià)關(guān)系R，則記為，則記為 x y. 設(shè)設(shè) R是是X 上的等價(jià)上的等價(jià)關(guān)系，關(guān)系，x X. 定義定義x的等價(jià)的等價(jià)類：類：xR = y | y X ， y x .xR為集合為集合X上的一個(gè)等價(jià)類上的一個(gè)等價(jià)類.相似相似關(guān)系關(guān)系定義定義14 14 設(shè)設(shè) X 是非空集，是非空集，Xi 是是

18、 X 的非空子集，若的非空子集，若Xi = X，且，且XiXj = (i j )，則稱集合族則稱集合族 Xi 是集合是集合 X 的一個(gè)分類的一個(gè)分類.定理定理 集合集合X 上的任一個(gè)等價(jià)上的任一個(gè)等價(jià)關(guān)系關(guān)系R可以確定可以確定X 的的一個(gè)分類一個(gè)分類. 即即 (1) 任意任意 x X，xR非空；非空； (2) 任意任意 x , y X，若，若x與與y 沒有關(guān)系沒有關(guān)系R，則，則xRyR = ； (3) X = xR .下面給出上述定理的證明下面給出上述定理的證明 (1) 由于由于R具有自反性，所以具有自反性，所以xxR，即，即xR非空非空. (2) 假設(shè)假設(shè) xRyR , 取取zxRyR，則，

19、則z與與x有關(guān)系有關(guān)系R，與，與y也有關(guān)系也有關(guān)系R. 由于由于R具有對(duì)稱性，具有對(duì)稱性，所以所以x與與z有關(guān)系有關(guān)系R，z與與y也有關(guān)系也有關(guān)系R. 又由于又由于R具具有傳遞性，有傳遞性，x與與y也有關(guān)系也有關(guān)系R. 這與題設(shè)矛盾這與題設(shè)矛盾. (3) 略略.例例4 4 設(shè)設(shè)X = 1, 2, 3, 4, 定義關(guān)系定義關(guān)系R 1 ：xixj；R 2 ：xi + xj為偶數(shù)；為偶數(shù)；R 3 ：xi + xj = 5. 則關(guān)系則關(guān)系R1是傳遞的，但不是自反的，也不是是傳遞的，但不是自反的，也不是對(duì)稱的；容易驗(yàn)證關(guān)系對(duì)稱的；容易驗(yàn)證關(guān)系R2 是是X上的等價(jià)關(guān)系；關(guān)上的等價(jià)關(guān)系；關(guān)系系R3是對(duì)稱，但

20、不是自反的和傳遞的是對(duì)稱，但不是自反的和傳遞的.按關(guān)系按關(guān)系R2可將可將X分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，即分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，即X = 1, 32, 4.按關(guān)系按關(guān)系R3可將可將X分為兩類，即分為兩類，即X = 1, 42, 3.定義定義1515 設(shè)在集合設(shè)在集合L中規(guī)定了兩種運(yùn)算中規(guī)定了兩種運(yùn)算與與,并滿并滿足下列運(yùn)算性質(zhì)：足下列運(yùn)算性質(zhì)：冪等律：冪等律： aa = a ， aa = a ；交換律：交換律： ab = ba ， ab = ba ；結(jié)合律：結(jié)合律：( ab )c = a( bc )， ( ab )c = a( bc ) ；吸收律：吸收律：a( ab ) = a， a( ab ) = a.

21、則稱則稱L是一個(gè)格，記為是一個(gè)格，記為(L ,).例如例如(R,)是一個(gè)格是一個(gè)格.定義定義1616 設(shè)設(shè)(L,)是一個(gè)格，如果它還滿足下列運(yùn)是一個(gè)格，如果它還滿足下列運(yùn)算性質(zhì)：算性質(zhì)：分配律：分配律：( ab )c = ( ac )( bc ) , ( ab )c = ( ac )( bc ) .則稱則稱 (L ,)為分配格為分配格. 若格若格 (L,)滿足：滿足： 0- -1律：在律：在L中存在兩個(gè)元素中存在兩個(gè)元素0與與1，且，且a0=a，a0=0，a1=1，a1=a，則稱則稱 (L,)有最小元有最小元 0 與最大元與最大元 1，此時(shí)又稱，此時(shí)又稱 (L,)為完全格為完全格. 例如例如(

22、 (R+,-+,-,),)是一個(gè)完全格是一個(gè)完全格. .定義定義1717 若在具有最小元若在具有最小元0與最大元與最大元1的分配格的分配格 (L,)中規(guī)定一種余運(yùn)算中規(guī)定一種余運(yùn)算c，滿足：，滿足：還原律：還原律：(ac)c=a；互余律：互余律：aac=1， aac=0，則稱則稱(L,c )為一個(gè)為一個(gè)Boole代數(shù)代數(shù). 若在具有最小元若在具有最小元0與最大元與最大元1的分配格的分配格 (L,)中規(guī)定一種余運(yùn)算中規(guī)定一種余運(yùn)算c，滿足：，滿足：還原律：還原律：(ac)c = a ；對(duì)偶律：對(duì)偶律：(ab)c = acbc，(ab)c = acbc，則稱則稱(L,c ) 為一個(gè)軟代數(shù)為一個(gè)軟代

23、數(shù).例例5 任一個(gè)集合任一個(gè)集合A的冪集的冪集 (A)是一個(gè)完全格是一個(gè)完全格. 格中的最大元為格中的最大元為A(全集全集)，最小元為，最小元為 (空集空集)，并且并且(J(A) , c ) 既是一個(gè)既是一個(gè)Boole代數(shù)，也是一代數(shù)，也是一個(gè)軟代數(shù)個(gè)軟代數(shù). 例例6 記記0,1上的全體有理數(shù)集為上的全體有理數(shù)集為Q，則，則(Q ,)是一個(gè)完全格是一個(gè)完全格. 格中的最大元為格中的最大元為1，最小元為，最小元為0. 若在若在Q中定義余運(yùn)算中定義余運(yùn)算c為為ac =1- - a，則，則(Q,c )不是一個(gè)不是一個(gè)Boole代數(shù)代數(shù), 但是一個(gè)軟代數(shù)但是一個(gè)軟代數(shù). 例例7 (a, b,c )是一

24、個(gè)完全格是一個(gè)完全格. 也不是一個(gè)也不是一個(gè)Boole代數(shù)，而是一個(gè)軟代數(shù)代數(shù)，而是一個(gè)軟代數(shù).一一 模糊子集與隸屬函數(shù)模糊子集與隸屬函數(shù) 定義定義1 1 設(shè)設(shè)U是論域，稱映射是論域，稱映射A(x)：U0,1確定了一個(gè)確定了一個(gè)U上的上的模糊子集模糊子集A，映射，映射A(x)稱為稱為A的的隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)，它表示，它表示x對(duì)對(duì)A的隸屬程度的隸屬程度. 使使A(x) = 0.5的點(diǎn)的點(diǎn)x稱為稱為A的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具模糊性具模糊性. 當(dāng)映射當(dāng)映射A(x)只取只取0或或1時(shí)，模糊子集時(shí)，模糊子集A就是經(jīng)就是經(jīng)典子集，而典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù)就是它的特征函數(shù). 可見經(jīng)典子可

25、見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形集就是模糊子集的特殊情形. 例例1 設(shè)論域設(shè)論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：單位：cm)表示人的身表示人的身高，那么高，那么U上的一個(gè)模糊集上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子高個(gè)子”(A)的隸屬的隸屬函數(shù)函數(shù)A(x)可定義為可定義為140190140)(xxA100200100)(xxA也可用也可用Zadeh表示法：表示法：65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA6543219 . 08 . 06 . 042. 02 . 015. 0 xx

26、xxxxA相等相等：A = B A(x) = B(x)；包含包含：A B A(x)B(x)；并并：AB的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac的隸屬函數(shù)為的隸屬函數(shù)為Ac (x) = 1- - A(x). 例例2 設(shè)論域設(shè)論域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集商品集)，在在U上定義兩個(gè)模糊集：上定義兩個(gè)模糊集： A =“商品質(zhì)量好商品質(zhì)量好”， B =“商品質(zhì)量壞商品質(zhì)量壞”，并設(shè)，并設(shè)A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.8

27、6, 0.6, 0).則則Ac=“商品質(zhì)量不好商品質(zhì)量不好”, Bc=“商品質(zhì)量不壞商品質(zhì)量不壞”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可見可見Ac B, Bc A. 又又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .冪等律：冪等律：AA = A， AA = A；交換律：交換律：AB = BA，AB = BA；結(jié)合律：結(jié)合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ；吸收律：吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A

28、； 分配律：分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)；0-10-1律：律： AU = U，AU = A； A = A，A = ；還原律：還原律： (Ac)c = A；對(duì)偶律：對(duì)偶律：(AB)c = AcBc，(AB)c = AcBc； 對(duì)偶律的證明：對(duì)于任意的對(duì)偶律的證明：對(duì)于任意的 x U (論域論域)， (AB)c(x) = 1 - - (AB)(x) = 1 - - (A(x)B(x) = (1 - - A(x)(1 - - B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x) 模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一致，模糊集的運(yùn)算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一致，除了排中律以外，即除了排中律以外，即AAc U， AAc . 模糊集不再具有模糊集不再具有“非此即彼非此即彼”的特點(diǎn)，這正的特點(diǎn)，這正是模糊性帶來的本質(zhì)特征是模糊性帶來