1、等腰梯形 （2） 特殊梯形等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。（3）梯形的判定方法可依據(jù)梯形的定義來(lái)判定一個(gè)四邊形是否為梯形。2. 等腰梯形的性質(zhì)如圖所示，等腰梯形ABCD（1）等腰梯形的兩腰相等、兩底平行：AB CD，ADBC；ABCD （2）等腰梯形在同一底上的兩底相等：ABCBCD，BADCDA； （3）等腰梯形的對(duì)角線相等ACBD； （4）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸，一底的垂直平分線是它的對(duì)稱軸，即MN。ABCDMN 例1. 下列語(yǔ)句中錯(cuò)誤的是（ ）A. 只有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形B. 有一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形

2、是梯形C. 有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形D. 一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形 思路點(diǎn)撥：解答本題的關(guān)鍵是要緊扣梯形的定思路點(diǎn)撥：解答本題的關(guān)鍵是要緊扣梯形的定義，先排除義，先排除B，然后排除，然后排除A，考慮，考慮D，一組對(duì)邊，一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形一定不是平行四邊形，從平行且不相等的四邊形一定不是平行四邊形，從而可知它的另一組對(duì)邊不平行，因此而可知它的另一組對(duì)邊不平行，因此D是正確的。是正確的。解：選解：選C誤點(diǎn)剖析：應(yīng)仔細(xì)體會(huì)誤點(diǎn)剖析：應(yīng)仔細(xì)體會(huì)A和和C的區(qū)別。的區(qū)別。評(píng)注：正確理解每個(gè)命題的意義是解題的必評(píng)注：正確理解每個(gè)命題的意義是解題的必要條件。要條件。 例2. 求證：等腰

3、梯形上底的中點(diǎn)與下底兩端點(diǎn)距離相等。 已知如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABDC，M是AD的中點(diǎn)。求證:MB=MC 思路點(diǎn)撥：要證BMCM，只需證 ABMDCM。ABCDM 解：在等腰梯形ABCD中，ABDC， AD， 又M是AD的中點(diǎn)， AMDM ABMDCM BMCMABCDM 誤點(diǎn)剖析：對(duì)等腰梯形的定義理解不深刻，只認(rèn)為是判定用，因而得不出ABCD，故本題的證明難于著手。 評(píng)注：等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，本題也可利用軸對(duì)稱的性質(zhì)來(lái)解。 本題中題設(shè)ABDC與結(jié)論BMCM交換，其他條件不變，命題仍成立。 例3. 如圖，梯形ABCD中，ADBC，AC與BD交于O，且ACBD，AC4，BD3

4、.4，求梯形ABCD的面積 。 思路點(diǎn)撥:求梯形的面積常用公式 S 來(lái)計(jì)算，而此題上 底、下底、高都是未知數(shù)，故不能用此公式，但S梯形ABCDSABDSBCD，利用這一等量關(guān)系可求。高上底下底） (21ABCDO 解：ACBD SABDAOBD SBCDCOBD S梯形ABCDSABDSBCD AOBDCOBD （AOCO）BD 即S梯形ABCDACBD43.46.8 答：梯形的面積為6.8。21212121212121ABCDO 誤點(diǎn)剖析要注意靈活應(yīng)用梯形面積的求法。 評(píng)注（1）當(dāng)梯形（或任意四邊形）對(duì)角線互相垂直時(shí)，它們的面積等于對(duì)角線乘積的一半。 （2）本題也可以利用等量關(guān)系 S梯形AB

5、CDSABCSADC來(lái)解答。ABCDO （3）本題還可以過(guò)D點(diǎn)作DEAC交BC的延長(zhǎng)線于E，如圖所示，則SABD=SCDE，從而 S梯形ABCDSBCD SABDSBCDSCDE SBDEBDDEBDAC6.82121ABCDOE 方法指引解有關(guān)梯形問題的途徑可化歸、分割、拼接成三角形.平行四邊形的問題來(lái)解決，常用的方法如下：1. 平移一腰，即從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線、把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，如圖所示。ABDCE 例4. 已知等腰梯形的銳角等于60，它的兩底分別為15 cm和49cm，求它的腰長(zhǎng)。 思路點(diǎn)撥：通過(guò)平移一腰把等腰梯形化為平行四邊形和等邊三角形式 解如圖，過(guò)D作

6、DEAB交BC于E，則四邊形ABED為平行四邊形。 ADBE15cm，ABDE EC491534cm AB=CD CD=DEABDCE 又C60 CDE是等邊三角形 CDEC34cm 誤點(diǎn)剖析本例獲解的關(guān)鍵是輔助線的添加，因此，若不能平移一腰，得到等邊三角形CDE，則問題的獲解將變得困難得多。評(píng)注：在等腰梯形中通常通過(guò)作腰的平行線，構(gòu)造平行四邊形和等腰三角形，利用平行四邊形，把分散的條件集中到一個(gè)三角形中去。ABDCE 例5. 如圖，梯形ABCD中，ABDC，AB5，BC，C45，D60，求DC的長(zhǎng)及梯形的面積。 思路點(diǎn)撥：作AEDC，BFCD，垂足為E、F，這樣可構(gòu)造兩個(gè)直角三角形。 解：作

7、AECD于E，BFCD于F，則四邊形ABFE是矩形 EFAB5，AEBF， 在RtBCF中，C45 CFBF 設(shè)CFBFx 由勾股定理，得x2+x2=( )22323ABDCEF x3，BFCF3， AE3， 在RtADE中，D60 DAE30DEAD 設(shè)DEy ,則AD2y (2y)2-y2=9 y= DE= CD=DE+EF+FC= +5+3=8+ 213333ABDCEF S梯形ABCD（ABCD）AE （5+8+）3 誤點(diǎn)剖析本例的誤點(diǎn)就是不能作出輔助線AE與BF，因此，能否利用過(guò)上底的端點(diǎn)向下底作垂線，將梯形分割為一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形是問題獲解的關(guān)鍵。21213233239)31

8、3(23ABDCEF 評(píng)注：作梯形的高構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理求出有關(guān)線段的長(zhǎng)度，這是常見的題型。ABDCEF 例6. 如圖，梯形ABD中，ABDC，ABCD14，對(duì)角線ACBD，BDC30，求梯形的高AH。 思路點(diǎn)撥由題設(shè)對(duì)角線ACBD，想到平移對(duì)角線可構(gòu)造直角三角形和平行四邊形，ABCDHO 解：過(guò)A作AEBD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E， E=BDC=30，CAE=COD=90 ABCE AEBD DE=AB AB+CD=14 DE+CD=14 ，即CE=14 在RtACE中，AC= CE=7 AE= 在RtAHE中，AH= AE=21377142221327ABCDEHO 誤點(diǎn)剖析 不能

9、添加輔助線AE是本例的誤點(diǎn)，因此我們要通過(guò)解題實(shí)踐，針對(duì)問題的具體情況總結(jié)梯形添加輔助線的規(guī)律，以提高我們的解題水平。ABCDEHO 例7.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，且AB=AD+BC，M為DC的中點(diǎn)，求證：ABM= CBM 思路點(diǎn)撥：由條件AB=AD+BC，想到應(yīng)將兩底集中，由于M是CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于N這樣易證ADMNCM，從而構(gòu)造出等腰ABN，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)可證得ABMCBM， 證明：延長(zhǎng)AM交BC的 延長(zhǎng)線于NABCDMN123 ADBC3D 又12，DMCM ADMNCM ADCNAMMN ABADBC ABCNBC 即ABBN 又AMMN ABM

10、CBMABCDMN123 誤點(diǎn)剖析如何應(yīng)用題設(shè)條件ABADBC是本例的關(guān)鍵，而誤點(diǎn)就在于此，即不知如何應(yīng)用，論證不易展開。 評(píng)注（1）還可證得BMAM， （2）如果延長(zhǎng)BM交AD的 延長(zhǎng)線于一點(diǎn)也可獲證， （3）若將題設(shè)ABADBC與結(jié)論交換，其他條件不變結(jié)論仍成立。ABCDMN123 例8. 如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB90，E、F分別是AB、CD的中 點(diǎn)，求證EF（ABCD） 思路點(diǎn)撥：由AB90，可考慮把A、B移到同一個(gè)三角形中，從而構(gòu)造出一個(gè)直角三角形來(lái)。21ABCDEFMN12 證明：過(guò)E作FMAD交AB于M，作FNBC交AB于N， DFAMADFM 四邊形AMFD是平行四

11、邊形 1ADFAM 同理可證2B.CFBN AB90 1290MFN90 DFCFAMBNABCDFEMN12 AEBEMENE EFMN DFAMCFBN MNABCD EF（ABCD）2121ABCDFEMN12 誤點(diǎn)剖析在證明一個(gè)較復(fù)雜的題目時(shí)， 要理清思路，本例中要證明EF（AB CD），只要證MN ABCD和EFMN， 而證EFMN又需證兩個(gè)條件：MFN 90，和MFNF，缺少任一條件都會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。212121ABCDFEMN12 評(píng)注：本例也可以延長(zhǎng)AD、BC，并設(shè)它的相交于G，通過(guò)先證E、F、G共線后，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半來(lái)證明，較繁雜了。ABCDEFMN1

12、2 例9. 已知：如圖，梯形ABCD中，ADBC，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，EF分別交BD、AC于點(diǎn)G、H， 求證： （1）EGHF； （2）GH（BCAD）。21ABCDEFGH 精析：由于EF是梯形ABCD的中位線，則EFADBC，從而G、H分別為BD、AC的中點(diǎn)，再利用三角形中位線定理即可得出結(jié)論。 證明（1）因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，ADBC，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，所以ADEFBC 所以ADEFBC 所以G、H分別是BD、AC的中點(diǎn)ABCDEFGH 所以EGAD，F(xiàn)HAD 所以EGFH （2）因?yàn)镋、H分別是AB、AC的中點(diǎn)， 所以EHBC 因?yàn)镚HEHEG 所以GHBCAD（

13、BCAD）212121212121ABCDEFGH 說(shuō)明：此題是三角形、梯形中位線定理的綜合運(yùn)用，解此題的關(guān)鍵是確定G、H分別是BD、AC的中點(diǎn)。ABCDEFGH 例10. 已知：如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，ABCD，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P、Q、R分別為AO、BC、DO的中點(diǎn)，且AOB60。 求證：PQR為等邊三角形。PABCDROQ 精析： 由三角形中位線定理易得PRAD，欲證PQR為等邊三角形， 只要證明PQRQADBC即可。 由等腰梯形ABCD易得AOBO， 又AOB60，從而AOB 為等邊三角形，又P是AO的中 點(diǎn)，即有BPC90， 從而有PQBC，類似地RQBC，從而原題得證。2121212121PABCDROQ 證明：連結(jié)RC、PB， 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形， 所以ADBC，ACBD， 在ABC和BAD中，因?yàn)锳CBD，BCAD，ABBA， 所以ABCBAD， 因此CABDAB 所以O(shè)AOB， 因?yàn)锳OB60PABCDROQ 所以AOB是等邊三角形 又因?yàn)镻是AO的中點(diǎn)，所以BPAO， 在RtBPC中，BQCQ， 所以PQBC，同理QRBC， 因?yàn)镻、R分別是OA、OD的中點(diǎn)， 所以PRAD，