1、講座1離散頻譜校正技術(shù)及其在發(fā)動機(jī)扭轉(zhuǎn)振動測試分析中的應(yīng)用一、頻譜分析頻譜分析是現(xiàn)代信號處理技術(shù)的最基本和常用的方法之一，在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中獲得日益廣泛的應(yīng)用。例如，對汽車、飛機(jī)、輪船、汽輪機(jī)等各類旋轉(zhuǎn)機(jī)械、電機(jī)、機(jī)床等機(jī)器的主體或部件進(jìn)行實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)下的譜分析，可以提供設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)和檢驗(yàn)設(shè)計(jì)效果，或者尋找振源和診斷故障，保證設(shè)備的安全運(yùn)行等；在聲納系統(tǒng)中，為了尋找海洋水面船只或潛艇，需要對噪聲信號進(jìn)行譜分析，以提供有用信息，判斷艦艇運(yùn)動速度、方向、位置、大小等。因此對譜分析方法的研究，受到普遍注意和重視，是當(dāng)前信號處理技術(shù)中一個(gè)十分活躍的課題。在頻譜分析中需要考慮兩個(gè)重要的問題，一是怎樣提高

2、分析速度，包括采用FFT 等各類算法、減少分析點(diǎn)數(shù)等；二是怎樣提高分析精度，這需要采用加窗、頻譜修正等技術(shù)壓低旁瓣、抑制泄漏或修正時(shí)域截?cái)嗟挠绊憽?1.傅立葉級數(shù) (1) 周期信號與傅立葉級數(shù) 一個(gè)周期信號f(t)，當(dāng)滿足狄義赫利(Dirichlet)條件，即：周期性函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)(這種間斷點(diǎn)處左、右極限存在)，而其余各處都是連續(xù)的，這時(shí)可以用一個(gè)傅立葉級數(shù)來表示：(1.1.1)式中： (1.1.2)(1.1.3)(1.1.4) 為靜態(tài)分量，T為信號周期，為基頻且，為第n次諧波的頻率（n=1,2,3）為基頻園頻率。第n次諧波的幅值：(1.1.5)第n次

3、諧波的初相位：(1.1.6) (2) 傅立葉級數(shù)的物理意義 a. 任意一個(gè)周期函數(shù)，只要滿足一定條件，都可以由以基頻f的諧波與整數(shù)倍基頻的高次諧波的和，這就是周期信號合成的原理。 b. 周期信號中的任一階頻率成分的幅值、相位都可以通過傅立葉級數(shù)展開得到，這是周期信號分解的原理，在機(jī)械振動分析中，常用這一原理來求旋轉(zhuǎn)機(jī)械基頻以及高次諧波的幅值和相位。也就是說周期函數(shù)的頻譜實(shí)質(zhì)上是由一系列與基頻有關(guān)的離散頻譜構(gòu)成，基波頻率和譜線間隔都是1/T。 c. 這一原理也可以擴(kuò)展來求周期信號的 (m, k均為正整數(shù)，k<m)倍諧波，只要將新周期擴(kuò)大為原周期的m倍，在機(jī)械振動分析中，常用這一原理來求旋轉(zhuǎn)

4、機(jī)械渦流振動的半頻成分和扭振中有理數(shù)分頻成分的幅值和相位。根據(jù)式1.1.3和1.1.4，周期信號的 (m, k均為正整數(shù)，k<m)倍諧波的實(shí)部和虛部可變換為：(1.1.7)(1.1.8)相應(yīng)的幅值和相位為：(1.1.9)(1.1.10) d. 利用整周期信號的傅立葉級數(shù)展開求出的基頻以及高次諧波的幅值和相位對應(yīng)于對同一周期信號進(jìn)行整周期截?cái)嘧龈盗⑷~變換(DFT)求得的各條譜線的幅值和相位。其實(shí)質(zhì)是對周期信號進(jìn)行整周期采樣、無泄漏離散DFT求出的基頻和高次倍頻的幅值和相位。 第n階的幅值和相位為：(1.1.11)(1.1.12) (3) 傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式根據(jù)歐拉公式存在有下列關(guān)系：(1

5、.1.15) 將(1.1.15)代入(1.1.1)中并整理得：(1.1.16)式中：若令(1.1.15)式中第三項(xiàng)n取值從到，則該項(xiàng)可表示為，于是得到另一種傅立葉級數(shù)的展開式，即指數(shù)展開式：(1.1.17)式中，為傅立葉系數(shù)：(1.1.18)為一復(fù)數(shù)，故將上式稱為周期信號的復(fù)數(shù)形式傅立葉展開式。由于n可取負(fù)數(shù)，就意味著“負(fù)頻率”，這是由復(fù)數(shù)表示所引起的。例： 周期方波的傅立葉級數(shù)展開 函數(shù)表達(dá)式為:(1.1.19)滿足狄義赫得條件,其傅立葉級數(shù)存在。(1.1.20)(1.1.21)則：圖1.1.1 周期方波的傅立葉級數(shù)(1.1.22)式中。 2. 傅立葉變換 (1) 傅立葉變換 傅立葉級數(shù)是將

6、周期信號分解為離散譜線，其積分的上、下限必須滿足整周期的條件，也只能分析離散譜線，具有很大的局限性。對于一個(gè)非周期信號，我們可以把它看成一個(gè)周期T趨于無窮大的周期信號，這種信號的基頻、譜線間隔都將變成無窮小而趨近于零。顯然，這時(shí)組成頻譜的譜線越來越密集，從而使離散譜線過渡到連續(xù)頻譜，由此可引出傅立葉變換對的概念。 傅立葉正變換的定義：(1.2.1) 傅立葉逆變換的定義是：(1.2.2)傅立葉正變換和逆變換構(gòu)成一個(gè)傅立葉變換對，其典型表達(dá)式如下：(1.2.3)傅立葉變換的物理意義是建立了時(shí)間域和頻率域的關(guān)系，可以將連續(xù)的時(shí)間域函數(shù)變換成連續(xù)的頻率域函數(shù)，觀察信號的頻率分布；也可以將連續(xù)的頻率域函

7、數(shù)變換成連續(xù)的時(shí)間域函數(shù)，觀察信號的波形特征。(2) 脈沖函數(shù)的傅立葉變換建立脈沖函數(shù)的傅立葉變換是重要的，因?yàn)樗氖褂每蓸O大的簡化許多函數(shù)傅立葉變換的推導(dǎo)。a.脈沖函數(shù)定義為：(1.2.4)(1.2.5)函數(shù)的篩選特性（采樣特性）：(1.2.6)(1.2.7)其中是在處連續(xù)的任意函數(shù)。應(yīng)用脈沖函數(shù)序列的傅立葉級數(shù)展開的定義可以直接得到許多重要函數(shù)的傅立葉變換。b. 函數(shù)的傅立葉變換函數(shù)為：(1.2.8) 函數(shù)的傅立葉變換為(1.2.9) 的傅立葉逆變換為：(1.2.10) 因?yàn)榈诙€(gè)積分的被積函數(shù)是奇函數(shù)，在對稱區(qū)間的積分為零。第一個(gè)積分要使用廣義函數(shù)的概念才能算出（參見Papoulis的書

8、第281頁）為：(1.2.11)即存在下列關(guān)系式：(1.2.12)圖1.2.1 函數(shù)的傅立葉變換 (1.2.13) 這個(gè)關(guān)系式是推導(dǎo)許多傅立葉變換的基礎(chǔ)(3) 幾種典型信號的傅立葉變換給出一些典型信號的傅立葉變換對，了解它們變換過程和結(jié)果，可使我們進(jìn)一步加深對傅立葉變換的理解，深入認(rèn)識信號從時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換過程，為今后的推導(dǎo)和了解傅立葉變換的性質(zhì)提供幫助。 a.余弦信號的傅立葉變換(1.2.14) 其傅立葉變換為：(1.2.15) 根據(jù)(1.2.13)式有：(1.2.16)(a).時(shí)域波形 (b).傅立葉變換圖1.2.2 余弦信號的傅立葉變換 余弦信號的傅立葉變換為純實(shí)數(shù)，虛部為零，見圖1.2

9、.2。 余弦信號的傅立葉變換對：(1.2.17) b.正弦信號的傅立葉變換(1.2.18) 參考(1.2.13)式，其傅立葉變換為：(1.2.19)正弦信號的傅立葉變換為純虛數(shù)，實(shí)部為零，見圖1.2.3。正弦信號的傅立葉變換對：(a).時(shí)域波形 (b).傅立葉變換圖1.2.3 正弦信號的傅立葉變換(1.2.20) c.一般諧波信號的傅立葉變換(1.2.21) 參考(1.2.13)式，其傅立葉變換為：(1.2.22) 一般諧波信號的傅立葉變換為復(fù)數(shù)，見圖1.2.4。 顯然令，則(1.2.21)變?yōu)椋杭从嘞倚盘柕母盗⑷~變換 令，則(1.2.21)變?yōu)椋杭凑倚盘柕母盗⑷~變換 一般諧波信號的傅立葉變

10、換對：(1.2.23)(a).時(shí)域波形 (b).傅立葉變換圖1.2.4 一般諧波信號的傅立葉變換 d.直流信號的傅立葉變換(1.2.24) 參考(1.2.13)式，其傅立葉變換為：(1.2.25) 直流信號的傅立葉變換為純實(shí)數(shù)，是頻率為零而幅值為K的函數(shù)，見圖1.2.5。 直流信號的傅立葉變換對：(a).時(shí)域波形 (b).傅立葉變換圖1.2.5 直流信號的傅立葉變換(1.2.26)e. 矩形窗的傅立葉變換矩形脈(1.2.27)傅立葉變換(1.2.28)圖1.2.6 矩形窗的時(shí)域信號與窗譜模函數(shù)令積分區(qū)間為，即新區(qū)間為原區(qū)間的一半，則上式變?yōu)椋篺.哈明(Hanning)和海寧(Hamming)窗

11、(1.2.29) 考慮被積函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)積分為零，其傅立葉變換為：(1.2.30)令：(1.2.31)則(1.2.30)可以寫為：(1.2.32) 哈明(Hanning)窗：令 a0.5，新的區(qū)間為原區(qū)間的一半，即則哈明(Hanning)窗的傅立葉變換為：(1.2.33) 令，則(1.2.33)式變換為：(1.2.34)令：(1.2.35) 則(1.2.34)式變換為：(a).時(shí)域波形 (b).傅立葉變換圖1.2.7 哈明(Hanning)窗的傅立葉變換(1.2.36) 哈明(Hanning)窗的傅立葉變換對：(1.2.37)(1.2.38) 海寧(Hamming)窗：令a0.54，新的區(qū)間為

12、原區(qū)間的一半，即，參照哈明(Hanning)窗的傅立葉變換推導(dǎo)得到海寧窗的傅立葉變換對：(1.2.39)(1.2.40)(a).時(shí)域波形 (b).傅立葉變換圖1.2.8 海寧(Hamming)窗的傅立葉變換 g.脈沖序列(采樣函數(shù))(1.2.41) 用脈沖序列(采樣函數(shù))傅立葉級數(shù)的指數(shù)形式展開式進(jìn)行傅立葉變換得: (a) 時(shí)域波形 (b) 傅立葉級數(shù)圖1.2.9 脈沖序列(采樣函數(shù))函數(shù)的傅立葉變換(1.2.42) (3) 傅立葉變換的性質(zhì)表4.1.1 傅立葉變換的性質(zhì)時(shí) 域頻 域X線性相加線性相加時(shí)間尺度的改變頻率尺度的改變時(shí)間尺度的改變頻率尺度的改變對 稱 性對 稱 性時(shí)間位移相 移調(diào)

13、制頻率位移實(shí)、偶函數(shù)實(shí)、偶函數(shù)實(shí)、奇函數(shù)虛、奇函數(shù)實(shí) 函 數(shù)實(shí)部為偶函數(shù)虛部為奇函數(shù)虛 函 數(shù)實(shí)部為奇函數(shù)虛部為偶函數(shù)時(shí)域卷積定理兩時(shí)域信號卷積的傅立葉變換為各信號傅立葉變換的乘積頻域卷積定理兩時(shí)域信號相乘的傅立葉變換為各信號傅立葉變換的卷積巴什瓦定理時(shí)域信號的總能量等于頻域中計(jì)算的總能量3頻譜分析(1) 頻譜分析的基本用途圖1.3.1是典型時(shí)域信號的頻譜分析，其實(shí)質(zhì)是諧波(余弦波)分解確定諧波的頻率、幅值和相位，其特點(diǎn)是把復(fù)雜的時(shí)域信號變換成簡潔的頻率信號，一目了然的觀察到信號有哪些頻率，其相位和幅值大小是多少，可對信號進(jìn)行簡明和直觀的分析。圖1.3.1 典型時(shí)域信號的頻譜分析 信號波形(時(shí)

14、域) 頻譜(頻域)(2).頻譜的作法(離散傅立葉變換DFT) 時(shí)域連續(xù)信號x(t)的采樣信號為(1.3.1) 為采樣間隔。離散傅立葉變換為：(1.3.2) 頻率、時(shí)間離散化得：(1.3.3)進(jìn)行時(shí)域截?cái)?，得到?shí)際計(jì)算的離散頻譜為(1.3.4)式中k為譜線號，N為時(shí)域序列長度，實(shí)部(1.3.5)虛部(1.3.6)令，則(1.3.7) 由此有離散傅立葉變換對：(1.3.8)這就是離散傅立葉變換（DFT）的基本公式。(3) 由DFT的結(jié)果作譜由DFT得到：實(shí)部 虛部 幅值譜 (1.3.9)功率譜(1.3.10)對數(shù)譜 (dB) 分貝(1.3.11)相位譜(1.3.12)上述四種譜是正頻率部分；是負(fù)頻

15、率部分。 幅值譜代表了該諧波頻率時(shí)域信號的有效值，是時(shí)域信號各諧波的幅值隨頻率的線性分布；功率譜代表功率，是諧波頻率時(shí)域信號幅值的自乘，突出主要頻率成分；對數(shù)譜反應(yīng)平均主義，小值加大權(quán)，大值加小權(quán)，突出幅值小的頻率成分。譜圖橫坐標(biāo)確定頻率： 頻率分辯率(1.3.13)(1.3.14)圖1.3.2 譜分析橫坐標(biāo)正負(fù)頻率的關(guān)系以N8為例，fs=80Hz，圖1.3.2是某信號的譜分析結(jié)果，要特別注意圖中橫坐標(biāo)正負(fù)頻率的關(guān)系。對實(shí)信號來說，DFT實(shí)部為偶對稱，虛部為奇對稱，故幅值譜為偶對稱，如圖1.3.3所示。圖1.3.3 實(shí)信號的頻譜分析幅值譜系數(shù)的說明：a.由于作DFT為N點(diǎn)投影累加，故N增大，X

16、(k)增大，以直流為例很容易理解這一點(diǎn)，為使譜分析幅值能反應(yīng)信號的實(shí)際幅值大小，故應(yīng)除以N，這樣就是均值；b.由于作DFT后有一半的能量到了負(fù)頻率區(qū)域，故要真實(shí)反應(yīng)信號幅值，應(yīng)乘以2，這樣系數(shù)就是2/N；頻譜分為雙邊譜和單邊譜，雙邊譜是指正負(fù)頻率都存在時(shí)的頻譜，單邊譜是指只存在正頻率部分，把負(fù)頻率部分的能量疊加到相應(yīng)正頻率部分，即正頻率部分幅值乘2時(shí)的頻譜。c.按照電學(xué)上的習(xí)慣，對正弦交流信號，有效值為峰值的，故為使幅值譜反應(yīng)交流信號的有效值，這樣：如信號為 A為幅值幅值譜中 圖1.3.4 某信號的譜分析結(jié)果d.頻譜的幅值有三種表示方法，一種是有效值譜，一種是單峰值譜，一種是雙峰值譜。單峰值譜

17、就是上式幅值譜乘以系數(shù)，雙峰值譜是上式幅值譜乘以系數(shù)2。各種頻譜分析儀器根據(jù)測試分析對象的不同采用其中的一種，如用電渦流相對式位移傳感器測試分析旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸相對軸承的振動位移時(shí)采用雙峰值譜；測齒輪箱箱體的振動時(shí)多采用有效值譜。(4) 由譜分析的結(jié)果合成時(shí)域波形(相位的含義)圖1.3.4是某信號的譜分析結(jié)果，根據(jù)此結(jié)果合成的時(shí)域信號為：(1.3.15)由此可知，離散傅立葉變換的實(shí)質(zhì)是余弦變換。相位對應(yīng)于時(shí)間序列起點(diǎn)的位置。圖1.3.5 相位對應(yīng)于時(shí)間序列起點(diǎn)的位置但要說明，由DFT而得到的相位角誤差極大，最大誤差達(dá)±900。4.信號處理的里程碑：時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換 (1). 快速傅立葉變換

18、FFT(Fast Fourier Transform)的歷史概述 在十九世紀(jì)六十年代中期的美國“總統(tǒng)科學(xué)諮詢委員會”的一次會議期間，加文(Garwin)注意到圖基正在寫有關(guān)傅立葉變換的文章。當(dāng)時(shí)加文在他自己的研究中，極需要一個(gè)計(jì)算傅立葉變換的快速方法，因此，他詳細(xì)詢問了圖基關(guān)于計(jì)算傅立葉變換的技術(shù)知識。圖基概括地對加文介紹了一種方法，它實(shí)質(zhì)上就是后來著名的庫利圖基算法。 隨后加文就到約克敦(Yprktown Heights)的IBM研究所計(jì)算中心去，請求把該方法程序化。當(dāng)時(shí)，庫利是IBM研究中心的一個(gè)比較新的工作人員，由于他是唯一的一個(gè)沒有重要工作的人，因此主動承擔(dān)了這個(gè)任務(wù)。在加文的迫切要求

19、下，庫利很快設(shè)計(jì)出一個(gè)計(jì)算機(jī)程序，之后他就回到自己的工作項(xiàng)目上去，他以為這個(gè)題目已經(jīng)結(jié)束，可以把它忘掉。然而，人們紛紛要求復(fù)印這個(gè)程序，介紹性的文章也開始多起來了，并要求庫利寫一篇關(guān)于這個(gè)算法的報(bào)告。1965年庫利-圖基在計(jì)算數(shù)學(xué)(Mathematics of Computation)雜志上發(fā)表了著名的“機(jī)器計(jì)算傅立葉變換的一種算法”的文章。 如果沒有加文的努力，快速傅立葉變換相對說來可能到今天還不為大家所知道，或者說至少要晚很多年才能為大家所知道。這里用了相對這個(gè)詞，是因?yàn)樵趲炖蛨D基發(fā)表了他們的研究成果之后，別人利用類似技術(shù)的報(bào)告開始流行，快速傅立葉變換這個(gè)詞才被應(yīng)用。加利福尼亞州拉霍亞(La Jolla)海洋學(xué)院的拉德尼克(Rudnick) 的報(bào)告說，他曾用過類似的方法，并說他的想法是從丹尼爾森(Danielson)和蘭斯佐斯(Lancxos)1942年發(fā)表的一篇文章中得到的，而1942年這篇