1、第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁計算機(jī)數(shù)學(xué)10第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁基本要求基本要求掌握掌握2，3階行列式的對角線法則。階行列式的對角線法則。 了解排列與反序數(shù)的概念，正確理解了解排列與反序數(shù)的概念，正確理解 階行列式的定義。階行列式的定義。 熟知行列式的性質(zhì)及其推論，并能熟練掌握運用它們計算行列式。熟知行列式的性質(zhì)及其推論，并能熟練掌握運用它們計算行列式。 會運用克萊墨法則求解線性方程組和方程組中的未知常數(shù)。會運用克萊墨法則求解線性方程組和方程組中的未知常數(shù)。 掌握矩陣的定義。掌握矩陣的定義。 掌握矩陣的運算法則。掌握矩陣

2、的運算法則。第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁基本要求基本要求掌握伴隨矩陣的概念及利用伴隨矩陣求逆矩陣的方法。掌握伴隨矩陣的概念及利用伴隨矩陣求逆矩陣的方法。 掌握矩陣秩的概念及求矩陣秩的方法。掌握矩陣秩的概念及求矩陣秩的方法。 掌握初等變換和初等矩陣的概念，能夠利用初等變換計算矩陣的秩，求掌握初等變換和初等矩陣的概念，能夠利用初等變換計算矩陣的秩，求可逆矩陣的逆矩陣。可逆矩陣的逆矩陣。 掌握線形方程組有解得判定定理及其初等變換解線形方程組的方法。掌握線形方程組有解得判定定理及其初等變換解線形方程組的方法。第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前

3、頁重點難點重點難點重點：重點：行列式的性質(zhì)和利用性質(zhì)、按行（列）展開定理計算行列式的方法。行列式的性質(zhì)和利用性質(zhì)、按行（列）展開定理計算行列式的方法。 矩陣定義，矩陣乘法運算，逆矩陣的求法，矩陣的秩，初等變換及線性矩陣定義，矩陣乘法運算，逆矩陣的求法，矩陣的秩，初等變換及線性方程組的解。方程組的解。 難點：難點：n 階行列式的定義、帶有字母的行列式和階行列式的定義、帶有字母的行列式和n階行列式的計算。階行列式的計算。 矩陣乘法，求逆矩陣的伴隨矩陣方法。矩陣乘法，求逆矩陣的伴隨矩陣方法。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.110.1行行 列列 式式 10.1.1

4、 二階行列式二階行列式二階行列式二階行列式：我們從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。：我們從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。 在線性代數(shù)中，將含兩個未知量兩個方程式的線性方程組的一般形式寫為在線性代數(shù)中，將含兩個未知量兩個方程式的線性方程組的一般形式寫為 a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2 用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當(dāng)a11a22-a12a210 時，有 x1 1= = b1 1a2222- -a1212b2 2 a1111a2222- -a1212b2121 x2 2= = a1111b2 2- -b1 1a2121 a1111a

5、2222- -a1212a2121第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁上式中分母都是上式中分母都是a11a22-a12a21，其中，其中a11，a12，a21，a22是方程組未知數(shù)的系數(shù)，是方程組未知數(shù)的系數(shù)，為了便于記憶與討論，把它們按照方程組中原來的位置排成一個正方形，如圖所為了便于記憶與討論，把它們按照方程組中原來的位置排成一個正方形，如圖所示，可以看出：示，可以看出： a11 a12 a21 a22 二階行列式所表示的兩項的代數(shù)和，可用下面的對角線法則記憶：從左上角到右下角兩個元素相乘取正號，虛線連接的兩個數(shù)相乘取負(fù)號。把這個數(shù)定義為二階行列式二階行列式，并記

6、作： a11 a12 a21 a22 D=def a11a22-a12a21 其中a11，a12，a21，a22叫做二階行列式的元素元素，橫排叫行行，豎排叫列列，a11a22-a12a21叫做行列式的展開式展開式。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.1.2 三階行列式三階行列式 含有三個未知量三個方程式的線性方程組的一般形式為：含有三個未知量三個方程式的線性方程組的一般形式為： a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x3+a33x3=b3用加減消元法，即可求得方程組（1）的解的公式，當(dāng) D=a11a2

7、2a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a320時，有 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁為了便于記憶，我們把未知數(shù)的九個系數(shù)按照方程組中的位置不變，排成三行三列的正方形，并加兩豎線，即 a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33規(guī)定它表示：a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23-a31a22a13-a21a12a33-a11a32a23，則稱上式為三階行列式。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.1.3 n階行列式階行列式 由上

8、小節(jié)中二階、三階行列式的定義可得到如下等式： 上式可以看作三階行列式按第一行元素的展開式，其中三個二階行列式分上式可以看作三階行列式按第一行元素的展開式，其中三個二階行列式分別是原來三階行列式中劃去別是原來三階行列式中劃去a1j(j=1，2，3)所在所在行行所在所在列列的元素的元素，剩余下來的元剩余下來的元素保持原來相對位置所組成行列式，分別稱素保持原來相對位置所組成行列式，分別稱a1j的余子式，記作的余子式，記作M1j，而稱，而稱A1j=(-1)1+j M1j為元素為元素a1j 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式。 有了代數(shù)余子式的概念，則上式可寫成有了代數(shù)余子式的概念，則上式可寫成 第十章行列式與矩

9、陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁若規(guī)定一階行列式若規(guī)定一階行列式a= =a，則二階行列式也可定義為，則二階行列式也可定義為 定義定義10.1第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.1.4 10.1.4 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁定理定理10.1 n階行列式階行列式 n階階n2行列式行列式D 等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。即子式的乘積之和。即 或 n 階行列式的任意一行（列）中各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代階行列式

10、的任意一行（列）中各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零。即數(shù)余子式的乘積之和等于零。即 推論：推論：第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁綜合定理及其推論有：綜合定理及其推論有： 例例 利用定理利用定理10.1求行列式求行列式 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.2克萊默（克萊默（Cramer)法則法則 定理定理10.2若若n元線性方程組元線性方程組(10.2.1)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 則方程組(10.2.1)有且僅有一個解：其中D j(j=1，2，3，n)是把D中第j列各元素?fù)Q成對應(yīng)的常數(shù)項b1，b2，bn而其余

11、各項不變，即 繼續(xù)點擊繼續(xù)點擊第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.3矩陣及其運算矩陣及其運算 10.3.1 10.3.1 矩陣的概念矩陣的概念 下例是一個國家的兩下例是一個國家的兩個機(jī)場個機(jī)場A1、A2，與另一個，與另一個國家的三個機(jī)場國家的三個機(jī)場B1、B2、B3的通航網(wǎng)絡(luò)下圖所示。的通航網(wǎng)絡(luò)下圖所示。每條連線上的數(shù)字表示航每條連線上的數(shù)字表示航線上不同航班的數(shù)目。線上不同航班的數(shù)目。 以數(shù)表表達(dá)一些數(shù)量以數(shù)表表達(dá)一些數(shù)量和關(guān)系的方法，在經(jīng)濟(jì)管和關(guān)系的方法，在經(jīng)濟(jì)管理和工程技術(shù)中是常用的，理和工程技術(shù)中是常用的，稱這種數(shù)表為稱這種數(shù)表為矩陣矩陣。 第十章行列式

12、與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁定義定義10.3由由mn個數(shù)個數(shù)aij(i=1，2，3，m;j=1，2，3，n)按一定順序排按一定順序排列成的一個列成的一個m行行n列的矩形數(shù)表：列的矩形數(shù)表： 稱為一個稱為一個mn矩陣，通常用大寫英文字母矩陣，通常用大寫英文字母A、B、C 等表示，可簡等表示，可簡記為記為A =(aij)mn或或A=(aij)，其中，其中aij稱為矩陣稱為矩陣A中第中第i行第行第j列的元素。列的元素。 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)m=n時，此矩陣稱為時，此矩陣稱為 n 階方陣，簡稱方陣。階方陣，簡稱方陣。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁

13、10.3.2 10.3.2 幾個特殊的矩陣幾個特殊的矩陣 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁1. 矩陣的相等矩陣的相等 定義定義 10.4 若兩個矩陣若兩個矩陣A=(a ij)sn，B=(b ij)rm滿足滿足 (1) 行數(shù)相等行數(shù)相等s=r； (2) 列數(shù)相等列數(shù)相等n=m； (3) 所有對應(yīng)元素相等所有對應(yīng)元素相等aij=bij(i=1,2,3,s;j=1,2,3,n). 則稱矩陣則稱矩陣A與與B相等，記作相等，記作A=B. 10.3.3 10.3.3 矩陣的運算矩陣的運算 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁2. 矩陣的加減法矩陣的加

14、減法定義定義10.5 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A=(a ij)mn，B=(b ij)mn為同型矩陣，則為同型矩陣，則C=(aijbij)mn為矩陣為矩陣A與與B的和與差，記作的和與差，記作AB，即，即AB=(a ijbij)mn. 不難驗證，矩陣的加法滿足下列運算規(guī)律：不難驗證，矩陣的加法滿足下列運算規(guī)律：交換律：交換律：A+B=B+A；(1) 結(jié)合律：結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C); 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁3. 數(shù)乘矩陣數(shù)乘矩陣定義定義 10.610.6 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A=(a ij)mn，kR為常數(shù)，則矩陣為常數(shù)，則矩陣B=(ka ij) mn稱為數(shù)稱為數(shù)

15、 k 與矩陣與矩陣A的數(shù)乘，簡稱的數(shù)乘，簡稱數(shù)乘矩陣數(shù)乘矩陣，記作，記作kA，即，即kA=(ka ij) mn. 不難驗證，設(shè)不難驗證，設(shè)A、B為同型矩陣，為同型矩陣，k,k1,k2R為任意實數(shù)，則數(shù)乘矩為任意實數(shù)，則數(shù)乘矩陣滿足：陣滿足： (1) 結(jié)合律：結(jié)合律：(k1k2)A=k1(k2A)； (2) 分配律：分配律：(k1+k2)A=k1A+k2A;k(A+B)=kA+kB； (3) kA=O k=0或或A=O. 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁4. 矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘定定義義10.71

16、0.7 設(shè)設(shè) A=(a ij) 是一個是一個 ms 矩陣矩陣, B =(b ij) 是一個是一個 sn 矩陣矩陣, 規(guī)定規(guī)定A 與與 B 的積為一個的積為一個 mn 矩陣矩陣 C =( c ij) ，其中，其中A 與與B 的乘積記成的乘積記成AB， 即即C=AB.注意注意3： 只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于只有當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時才能相乘。右邊矩陣的行數(shù)時才能相乘。第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁 對于兩個對于兩個 n 階矩陣階矩陣A與與B，一，一般說般說 AB kA k B k 。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁5. 矩

17、陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置定定義義10.810.8 把矩陣把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列，得到一個新的矩陣，稱為的行換成同序數(shù)的列，得到一個新的矩陣，稱為A 的轉(zhuǎn)置，的轉(zhuǎn)置，記為記為AT 或或A。第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁6. n 階方陣的行列式階方陣的行列式定義定義10.9把方陣把方陣 A 的元素按原來的次序排列的行列式，稱為方陣的元素按原來的次序排列的行列式，稱為方陣 A 的行列式，的行列式，記作記作 det A. 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.4矩陣的初等變換與矩陣的秩矩陣的初等變換與矩陣的秩 10.4.1 10.4.1

18、矩陣的初等變換矩陣的初等變換 定義定義10.10 矩陣的初等行矩陣的初等行(列列)變換是指對矩陣進(jìn)行下列三種變換：變換是指對矩陣進(jìn)行下列三種變換：互換矩陣某兩行互換矩陣某兩行(列列)的位置的位置(互換第互換第 i,j 兩行兩行(列列)，記為，記為r i r j(c i c j)；用非零常數(shù)遍乘以矩陣的某一行用非零常數(shù)遍乘以矩陣的某一行(列列) (用用k0乘以第乘以第i行行(列列)所有元素，記為所有元素，記為kr i(kc i)；將矩陣的某一行將矩陣的某一行(列列)乘以一個常數(shù)乘以一個常數(shù) k 加到另一行加到另一行(列列)上上(第第 i 行行(列列)乘以乘以 k 加加到第到第j行行(列列)上，記

19、為上，記為 r ik+r j (c ik+c j ).(1) 矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換初等變換。前頁前頁第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.4.2 10.4.2 階梯形矩陣階梯形矩陣 定義定義10.11若矩陣若矩陣B 滿足：滿足： (1) 零行零行(元素全為元素全為0的行的行)在下方；在下方； (2) 首非零元首非零元(即非零行的第一個不為零的元素即非零行的第一個不為零的元素)的列標(biāo)號隨行標(biāo)號的增加而的列標(biāo)號隨行標(biāo)號的增加而嚴(yán)格遞增，則稱此矩陣嚴(yán)格遞增，則稱此矩陣B 為階梯形矩陣。為階梯形矩陣。 定

20、義定義10.11若階梯形矩陣B 還滿足： (1) 非零行的首行非零元都是1 1； (2) (2) 所有首非零元所在列的其他元素都是所有首非零元所在列的其他元素都是0 0， 則稱為行簡化階梯形矩陣行簡化階梯形矩陣。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁 顯然，矩陣顯然，矩陣。定理定理10.3任意一個矩陣經(jīng)過若干次初等行變換可以化成階梯形矩陣。證略。任意一個矩陣經(jīng)過若干次初等行變換可以化成階梯形矩陣。證略。 均為階梯形矩陣；其中均為階梯形矩陣；其中B2為行簡化階梯形矩陣。應(yīng)該指出，一個矩陣為行簡化階梯形矩陣。應(yīng)該指出，一個矩陣A可可以通過初等行變換化為階梯形矩陣，這時，就

21、稱此階梯形矩陣為矩陣以通過初等行變換化為階梯形矩陣，這時，就稱此階梯形矩陣為矩陣A的階梯的階梯形矩陣。形矩陣。第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.4.3 10.4.3 矩陣的秩矩陣的秩 定義定義10.13矩陣的階梯形矩陣矩陣的階梯形矩陣非非 0 行的行數(shù)稱為矩陣行的行數(shù)稱為矩陣 A 的的秩秩，記作，記作 r(A) 或或 R(A)，Rank(A)。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁定義定義10.14設(shè)A為n階方陣，若r(A)=n，則稱A為滿秩矩陣滿秩矩陣，或非奇異非奇異的，或非退化的非退化的。 例如例如 等都是滿軼矩陣。等都是滿軼矩陣

22、。關(guān)于滿軼矩陣我們有如下重要定理。關(guān)于滿軼矩陣我們有如下重要定理。定理定理10. 4任何滿秩矩陣都能經(jīng)過初等行變換成單位矩形。任何滿秩矩陣都能經(jīng)過初等行變換成單位矩形。第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.5.1 10.5.1 逆矩陣的概念逆矩陣的概念 10.5逆矩陣逆矩陣 對于一般線性方程組對于一般線性方程組 由于方程組的解是由未知量的系數(shù)由于方程組的解是由未知量的系數(shù) a ij 和常數(shù)項和常數(shù)項 b j 決定，為此，我們把未知決定，為此，我們把未知量的系數(shù)量的系數(shù) a ij 和常數(shù)項和常數(shù)項 b j 分別以矩陣的形式給出，記分別以矩陣的形式給出，記 第十章行列

23、式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁 由由10.3 10.3 節(jié)矩陣的乘法運算以及相等的概念，則方程組節(jié)矩陣的乘法運算以及相等的概念，則方程組(10.5.1)(10.5.1)可用矩陣可用矩陣表示為表示為 AX= =b. . (10.5.2) (10.5.2) 另外我們記另外我們記第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁定義定義10.1510.15 設(shè)設(shè)A是是 n 階方陣，階方陣，E 是是 n 階單位矩陣，若存在一個階單位矩陣，若存在一個 n 階方陣階方陣 C，使，使得得AC=CA=E，則稱，則稱 C 為方陣為方陣 A 的的逆矩陣逆矩陣(簡稱簡稱逆陣逆陣)。

24、記作。記作A-1，即，即 A-1A=AA-1=E。若有逆矩陣存在，則稱若有逆矩陣存在，則稱A是可逆的。是可逆的。 有了逆陣的概念，方程組有了逆陣的概念，方程組(10.5.2)(10.5.2)中，若中，若A 可逆，則可逆，則 AX=b A-1=A-1b EX=A-1b X=A-1b.即可用逆矩陣法求方程組的解。即可用逆矩陣法求方程組的解。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.5.2 10.5.2 逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的性質(zhì) 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.5.3 10.5.3 逆矩陣存在的充要條件 由式由式(10.1.15)(10

25、.1.15)知，知，n 階行列式階行列式det A等于它任一行等于它任一行( (列列) )元素和它對應(yīng)代數(shù)余元素和它對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積之和，且任意一行子式的乘積之和，且任意一行( (列列) )元素和其他行元素和其他行( (列列) )各元素對應(yīng)代數(shù)余子式乘各元素對應(yīng)代數(shù)余子式乘積之和為零，所以我們把積之和為零，所以我們把det A中所有元素的代數(shù)余子式按一定順序排列得到一中所有元素的代數(shù)余子式按一定順序排列得到一個新的矩陣個新的矩陣伴隨矩陣。伴隨矩陣。 定義定義10.1510.15 設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A=(a ij ) nn，其行列式，其行列式det A中各元素中各元素a ij 的代數(shù)余子式為

26、的代數(shù)余子式為A ij，將，將A ij 按按det A中中a i的順序排列成方陣，再轉(zhuǎn)置后得的方陣稱為方陣的順序排列成方陣，再轉(zhuǎn)置后得的方陣稱為方陣A的伴隨矩陣，記作的伴隨矩陣，記作A*，即，即 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁由式由式( 10.1.15 )( 10.1.15 )易知易知 同理可得同理可得 A*A=(det A)E。 若若 det det A00，則有則有 這說明方陣這說明方陣A 可逆，且可逆，且A -1-1= = ，再由性質(zhì)，再由性質(zhì)10.1110.11，得下面一個定理。，得下面一個定理。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前

27、頁前頁定理定理10.510.5 方陣方陣 A 可逆的充要條件是可逆的充要條件是det A00，且當(dāng)，且當(dāng) A 可逆時有可逆時有A-1= . .由由定理定理10.510.5可以得到以下兩個方面：可以得到以下兩個方面： (1) (1) 判斷方陣判斷方陣A 是否可逆：先求出是否可逆：先求出det A，若，若det A0，則，則A一定可逆；否則，一定可逆；否則，A一定不可逆；一定不可逆； (2) (2) 用伴隨矩陣求逆陣：先求出用伴隨矩陣求逆陣：先求出det A 的值判定方陣的值判定方陣A是否可逆；若是否可逆；若det A00，再按再按A* *中中A ij的排列順序分別求出的排列順序分別求出det A

28、中元素中元素a ij 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式A ij，求出，求出A*，則則A-1= 。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁定理定理10.610.6 n 階矩陣階矩陣A可逆的充要條件是可逆的充要條件是A為滿秩矩陣，即為滿秩矩陣，即 r (A)=n.如如第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁定理定理10.710.7 設(shè)設(shè)A、B都是都是n階方陣，若階方陣，若AB=E，則，則A、B均為可逆矩陣，且均為可逆矩陣，且A-1=B.證證 因為因為AB=E，det(AB)=det A det B=det E=1，所以所以det A0知知A可逆，設(shè)逆陣可逆，設(shè)

29、逆陣為為A-1，由于，由于 BA=E(BA)=(A-1A)(BA)=A-1(AB)A=A-1EA=A-1A=E， 所以所以B是是A的逆矩陣，再由逆矩陣的惟一性知的逆矩陣，再由逆矩陣的惟一性知A-1=B. 利用定理利用定理10.710.7判定矩陣判定矩陣A A是否可逆，比直接用定義判定要簡單。是否可逆，比直接用定義判定要簡單。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.5.410.5.4 逆矩陣的求法逆矩陣的求法 具體方法是具體方法是：對：對n2n矩陣矩陣( (A E) )進(jìn)行一系列初等行變換，當(dāng)進(jìn)行一系列初等行變換，當(dāng)A變成變成E時，時，右邊的右邊的E 就同步地變成就

30、同步地變成A-1，于是有如下定理，于是有如下定理 定理定理10.810.8 可逆矩陣可逆矩陣A經(jīng)過一系列初等行變換后，一定可化為單位矩陣，同時，同樣經(jīng)過一系列初等行變換后，一定可化為單位矩陣，同時，同樣的初等行變換作用于的初等行變換作用于E，可將，可將E E化為化為A-1。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.5.510.5.5 矩陣方程的求解矩陣方程的求解 設(shè)設(shè)A為為n階可逆方程，階可逆方程，B nm為已知矩為已知矩陣陣，X nm為未知矩陣，且為未知矩陣，且AX=B，我們來，我們來求解這樣的矩陣方程。求解這樣的矩陣方程。 由于由于A可逆，設(shè)逆陣為可逆，設(shè)逆陣為

31、A-1，對方程兩，對方程兩端左乘端左乘A-1，可得，可得X=(A-1A)X=A-1B。而對而對A左乘左乘A-1，實際上就相當(dāng)于對，實際上就相當(dāng)于對A作初等行變作初等行變換化為單位矩陣，同樣的變換作用于換化為單位矩陣，同樣的變換作用于B，即得即得A-1B，亦即，亦即X。 類似地，設(shè)類似地，設(shè)B nm為已知矩陣，為已知矩陣，X nm為為未知矩陣，且未知矩陣，且XA=B，也可以用初等列，也可以用初等列變換的方法直接求出。變換的方法直接求出。第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.6.1 10.6.1 實驗?zāi)康膶嶒災(zāi)康?1. 1. 掌握掌握MathematicaMathem

32、atica中矩陣的輸入方法；中矩陣的輸入方法； 2. 2. 學(xué)習(xí)用學(xué)習(xí)用MathematicaMathematica計算行列式；計算行列式； 3. 3. 學(xué)習(xí)用學(xué)習(xí)用MathematicaMathematica進(jìn)行矩陣的基本運算；進(jìn)行矩陣的基本運算； 4. 4. 學(xué)習(xí)用學(xué)習(xí)用MathematicaMathematica求逆矩陣及矩陣的秩。求逆矩陣及矩陣的秩。10.6演示與實驗九演示與實驗九 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁10.6.2 10.6.2 內(nèi)容與步驟內(nèi)容與步驟 1. Mathematica 1. Mathematica中矩陣的輸入方法線性代數(shù)中的大量計算

33、都是針對矩陣中矩陣的輸入方法線性代數(shù)中的大量計算都是針對矩陣的，在的，在MathematicaMathematica中矩陣的輸入方法有以下幾種：中矩陣的輸入方法有以下幾種： (1) (1) 按表的形式輸入矩陣按表的形式輸入矩陣A=a11,a12,，a1n，a21,a22,，a2n，am1,am2,，a mn還可以用函數(shù)還可以用函數(shù)a(i,j)生成一個矩陣，也是生成一個矩陣，也是表的形式，格式如下：表的形式，格式如下：B=Tablea(i,j),i,l,m,j,l,n (2) (2) 由模板輸入矩陣步驟如下：由模板輸入矩陣步驟如下： (a) (a) 在基本輸入模板中單擊二階方陣模塊，輸入一個空白

34、的二階方陣；在基本輸入模板中單擊二階方陣模塊，輸入一個空白的二階方陣； (b) (b) 按按“Ctrl+Ctrl+，”使矩陣增加一列；使矩陣增加一列； (c) (c) 按按“Ctrl+Enter”Ctrl+Enter”使矩陣增加一行。使矩陣增加一行。 如果矩陣不大，此法較方便如果矩陣不大，此法較方便. . (3) (3) 由菜單輸入矩陣如果輸入行、列數(shù)較多的矩陣，打開主菜單的由菜單輸入矩陣如果輸入行、列數(shù)較多的矩陣，打開主菜單的InputInput項，單擊項，單擊Create Table/Matrix/PaletteCreate Table/Matrix/Palette項，即可打開一個創(chuàng)建矩陣的對項，即可打開一個創(chuàng)建矩陣的對話框，輸入行數(shù)、列數(shù)，單擊話框，輸入行數(shù)、列數(shù)，單擊 OK OK 即可得到一個空白的矩陣，填入數(shù)據(jù)即即可得到一個空白的矩陣，填入數(shù)據(jù)即可?？?。 對于存入系統(tǒng)中的矩陣可以直接調(diào)用，并進(jìn)行各種運算。對于存入系統(tǒng)中的矩陣可以直接調(diào)用，并進(jìn)行各種運算。 第十章行列式與矩陣第十章行列式與矩陣 后頁后頁首頁首頁前頁前頁 2. 2. 計算行列式